Khoá luận tốt nghiệp phép quay và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lụa P H É P Q U A Y VÀ Ứ N G D Ụ N G KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lụa P H É P Q U A Y VÀ Ứ N G D Ụ N G Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: P G S T S N g u y ễ n N ă n g Tâm H N ội —N ăm 2016 LỜI C Ả M ƠN Trước trìn h bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.T S Nguyễn Năng Tâm tậ n tìn h hướng dẫn để em hoàn th àn h đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân th n h tới to àn th ể th ầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tậ n tìn h suốt trìn h học tậ p tạ i khoa N hân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân th n h tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trìn h học tậ p thực đề tài thực tậ p Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên N g u y ễ n T h ị L ụa LỜI C A M Đ O A N K hóa luận tố t nghiệp kết trìn h học tậ p , nghiên cứu em bảo, dìu d ắ t th ầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tìn h thầy Nguyễn Năng Tâm Em xin cam đoan K hóa luận tố t nghiệp với tên đề tài: "Phép quay ứng dụng" trù n g lặp với khóa luận khác Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên N g u y ễ n T h ị L ụa M ục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian c l i t 1.2 Định h n g 1.2.1 Định hướng đường t h ẳ n g 1.2.2 Định hướng mặt p h ẳ n g 1.2.3 Định hướng không g i a n 1.3 Phép biến h ì n h 1.3.1 Các khái niệm phép biến h ì n h 1.3.2 Phép biến hình a fin 10 1.3.3 Phép biến hình đẳng c ự 12 Phép Quay 2.1 2.2 14 Phép quay quanh điểm mặt phẳng 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Tính c h ấ t 15 Phép quay quanh trục không gian 20 2.2.1 20 Định nghĩa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa 2.2.2 Tính c h ấ t 20 2.3 Phép quay quanh (n —2)- p h ẳ n g 22 ứ n g dụng phép quay vào giải số toán hình học 23 3.1 Phép quay toán tính to n 23 3.1.1 Bài toán tính t o n 23 3.1.2 Giải toán tính toán nhờ phép biến hình 23 3.2 Phép quay toán quỹ t í c h 27 3.2.1 Bài toán quỹ t í c h 27 3.2.2 Giải toán quĩ tích nhờ phép biến hình 28 3.3 Phép quay với toán dựng h ìn h 32 3.3.1 Bài toán dựng h ìn h 32 3.3.2 Giải toán dựng hình nhờ phép biến hình 33 3.4 Phép quay với toán chứng m in h 38 3.4.1 Bài toán chứng m in h 38 3.4.2 Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình 39 Tài liệu tham khảo 46 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Lời m đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Bất kì sinh viên khoa toán có niềm say mê nghiên cứu toán học Hình học môn học khó sinh viên nào, tính chặt chẽ, logic tính trìu tượng hình học cao môn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần hay quan trọng hình học, công cụ hữu ích, thể tính ưu việt giải toán hình học Phép quay phép biến hình sơ cấp vận dụng linh hoạt việc giải toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán, toán quỹ tích Tuy nhiên, việc ứng dụng phép quay để giải toán việc dễ dàng Bằng kiến thức học với say mê, tìm tòi, ham học hỏi niềm yêu thích môn hình học nên em lựa chọn nghiên cứu mảng nhỏ hình học với tên đề tài: “Phép quay ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép quay ứng dụng giải toán hình học không gian E71 Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày sở lý thuyết phép quay Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa + Các VÍ dụ minh họa thể ứng dụng phép quay việc giải lớp toán hình học nâng cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng phép quay + Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện trình độ thời gian, em nghiên cứu số toán hình học áp dụng phép quay trình giải Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu dựa sở lý thuyết phép quay + Nghiên cứu sách giáo trình hình học, tạp trí toán học tài liệu có liên quan đến phép quay Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần Mở đầu Nội dung gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép quay Chương 3: ứng dụng phép quay vào giải số toán hình học Kết luận Chương K iến thứ c chuẩn bị 1.1 K h ôn g gian c lit Không gian ơclit không gian afin liên kết với không gian véctơ ơclit hữu hạn chiều Không gian ơclit gọi n chiều không gian véctơ ơclit liên kết với có số chiều n Không gian ơclit thường kí hiệu E, không gian véctơ ơclit liên kết với kí hiệu Ê Ví dụ: Không gian ơclit thông thường E3 học phổ thông 1.2 Đ ịn h hướng 1.2.1 Định hướng đường thẳng Đ ịn h n g h ĩa Cho đường thẳng a a ta xét chiều quy ước dương, chiều ngược lại âm ta nói định hướng đường thẳng a Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Đ ộ d i đ i số Cho đường thẳng a có định hướng hai điểm A, B thuộc a Ta gọi độ dài đại số AB, kí hiệu AB số có trị số khoảng cách hai điểm A B mang dấu dương AB hướng với hướng dương a, mang dấu âm trường hợp ngược lại H ệ th ứ c Sald Trên đường thẳng a định hướng cho điểm Aị, A2, ,An ta có hệ thức: AịA + A A + •••+ An_ịAn —AịAn gọi hệ thức Salơ 1.2.2 Định hướng mặt phẳng Đ ịn h n g h ĩa Trong mặt phẳng cho điểm o xung quanh o có hai chiều quay; ta chọn chiều làm chiều dương chiều lại làm chiều âm, ta nói ta định hướng mặt phẳng Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh o ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm G ó c đ ịn h hư n g g iữ a h tia Cho hai tia OA, OB Góc định hướng hai tia OA OB hình gồm hai tia OA OB hai tập hợp hai tia phân Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa toán có nghiệm hình 3.3.2 Giải toán dựng hình nhờ phép biến hình Giải toán dựng hình nhờ phép biến hình thể bước phân tích, ta quy việc xác định phận hình cần dựng ảnh hình cho qua phép biến hình Ví dụl: Dựng tam giác nội tiếp hình vuông, biết đỉnh tam giác Giải Q p -Bước l(phân tích): Giả sử dựng tam giác ABC nội tiếp hình vuông M N P Q với đỉnh Ả cho trước nằm cạnh MN, đỉnh B nằm cạnh MQ, đỉnh c nằm cạnh P N Thực phép quay Q^°° 33 Khóa luận tốt nghiệp Dại học 60 ° QÁ : c Vì c B N N' Nguyễn Thị Lụa p H» P’ nằm cạnh P N B nằm đoạn P'N' Do V c giao điểm đoạn P'N' cạnh Q M -Bước 2(cách dựng): Dựng N P ' ảnh N, p qua phép quay Q6^° Dựng giao điểm B đoạn P'N' với cạnh MQ Dựng c ảnh B qua phép quay Q^60° -Bước 3(chứng minh): B giao điểm đoạn P'N' với cạnh MQ nên B nằm cạnh MQ \ N 1-i- N ’ p h-> P ’ Mà nên Q -60°: \ N ' h-> N ị [p ' p ịc = Q-đm\ B ) B e [N'P'] Vì c = Q Ỷ ữ°{B) nên tam giác ABC Vậy ta tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán -Bước 4(biện luận): Bài toán có nghiệm hình đoạn P'N' cắt đoạn MQ Bài toán vô nghiệm hình đoạn P'N' không cắt đoạn MQ Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng a,b, c đôi cắt Hãy dựng tam giác có đỉnh nằm ba đường thẳng cho Giải 34 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa - Bước (phân tích): Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn: A € a,B eb,c € c Xét phép quay: Q™° Qa ° ■< c C í4 c e c=> B B c' G d => B = &n c' - Bước (cách dựng): Lấy điểm A a Dựng ảnh c' c qua phép quay Q®°° Dựng giao điểm B c' b Dựng ảnh c B qua phép quay Q^60 35 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa Khi ta tam giác ABC cần dựng - Bước (chứng minh): Ta có: Q^60° : c' c => c € c Theo cách dựng ta có: B E b, A E a c — Q^60°(B) => CBA — 60°, AC = AB => A A B C tam giác Vậy tam giác ABC tam giác cần dựng - Bước (biện luận): Bài toán có nghiệm hình c' cắt b Bài toán vô nghiệm hình d song song với b Bài toán có vô số nghiệm hình c' trùng c *Nhận xét: Trong ví dụ này, ta thay ba đường thẳng ba hình khác, chẳng hạn: ba đường tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, đường thẳng hai đường tròn, đường tròn hai đường thẳng, ta toán hoàn toàn tương tự, sử dụng cách giải Ví dụ 3: Hãy dựng hình vuông có bốn đỉnh nằm bốn đường thẳng chứa bốn cạnh hình bình hành khác hình vuông Giải - Bước (phân tích): Giả sử dựng hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm bốn đường thẳng chứa bốn cạnh hình bình hành M N P Q cho trước với: A G MN, B e NP, c e PQ, D e QM Ta có: ABCD M N P Q có chung tâm đối xứng o Xét phép quay: Qlữ° : A ^ D 36 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa Giả sử đường thẳng a ảnh đường thẳng M N qua phép quay thì: D = a n QM - Bước (cách dựng): Từ việc phân tích ta có cách dựng sau: Hình 3.9: Dựng a = Qq°° (M N ) Dựng D — a n QM Xác định: c = Qq °(D), B = Qq°°(ơ ), A = suy luận hợp logic dựa giả thiết có mặt A, định nghĩa, định lý, công cụ, để khẳng định A 38 Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.4.2 Nguyễn Thị Lụa Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình Nếu ta thiết lập liên hệ điểm hay đường cho giả thiết A với điểm hay đường kết luận B thông qua phép biến hình nhờ tính chất bảo toàn qua phép biến hình ta nhận kết về: + Tính đồng quy hay tính thẳng hàng + Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc + Các đoạn thẳng hàng hay góc giúp ta suy điều cần chứng minh Phép quay công cụ ưu việt việc sử dụng để đưa đến kêt Ta đổi toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề A => B thành mệnh đề A' => B' cách chuyển A thành A' va B thành B' qua phép biến hình Khi mệnh đề thay chứng minh nhờ có tính chất 1-1 tính chất phép biến hình sử dụng để suy mệnh đề ban đầu Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm điểm, đường mà ta quen gọi dựng hình phụ giúp mang liệu với hình có liên quan hợp thành hình để từ nhận điều cần chứng minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh điểm hay đường qua phép biến hình Ví dụ 1: Chứng minh mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d (P') ảnh (p) qua phép quay Q(d, 90°) (p) _L (P') 39 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa Giải Gọi o điểm đương thẳng d Chọn điểm M mặt phẳng (p) cho OM _L (p) Gọi M' ảnh M qua phép quay Q(d, 90°) Khi ỡ , M, M' nằm mặt phẳng (a ) _L d o OM _L OM' hay ta có: Q(d, 90°) : OM OM' (1) Vì OM _L (p) nên OM pháp tuyến (p ) (2) Mặt khác, theo giả thiết (p ') ảnh (P) qua phép quay Q(d, 90°) (3) Từ (1), (2), (3) suy OM' pháp tuyến mặt phẳng {P') Theo chứng minh OM T OM' nên (p) T (P') => Đpcm Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy 40 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa điểm N cho M A N — 45° Chứng minh CM + CB + M N không phụ thuộc vị trí điểm M, N BC CD Giải A B Hình 3.11: Thực phép quay: QA9ữ° B ^C =£►B M = D M 1và M' thuộc tia đối tia DC M M' A A M N = A AM'N(c.g.c) => M N = M' N = DM' + D N = B M + DN => M N + CM + CN = B M + DN + CM + CN = (B M + CM) + {DN + C N ) = BC + DC = 2BC Vậy CM + CB + M N không phụ thuộc vị trí điểm M, N BC CD Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác hình vuông A B M N , ACPQ a Chứng minh rằng: BQ = C N , BQ _L CN 41 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa b Gọi D trung điểm BC K, H theo thứ tự tâm hình vuông A B M N , ACPQ Chứng minh tam giác D K H tam giác vuông cân Giải Q a Thực phép quay: Q9q ° N h-> B { { { C^Q CN = BQ (CN, BQ) = 90° CN = BQ CN _L BQ b Ta có: 42 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa DK//CN, DK = \CN < D E / / B Q , D E = \BQ => D K = DE, D K JL K E CN = B Q , C N JL BQ Nghĩa tam giác D K E vuông cân D Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng d cắt đường thẳng AB CD điểm M, N Một đường thẳng d! vuông góc với d, cắt đường thẳng AD BC p Q Chứng minh rằng: M N = PQ Giải Gọi o tâm hình vuông ABCD Thực phép quay Q9 q° 43 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa AB I—^ DA DC CB Qo° : M ^ M' N ^ N' M £ AB ^ M' £ DA N £ DC ^ N' £ CB M N = M'N', M N JL M'7V' MTV JL PQ { nên M'N' song song trùng với PQ M'N' JL M N trường ta có M'N' = PQ Do đó: M N = PQ Ví dụ 5: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng d ảnh a' a qua phép quay Q(d, 90°) cắt vuông góc với a Giải Hình 3.14: 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Lấy M € a kí hiệu M' ảnh M qua phép quay Q(d, 90°) Khi MM' nằm mặt phẳng (p) vuông góc với d Như a (p ) có điểm chung M vuông góc với d nên aC (P) Gọi a' ảnh a qua phép quay Q(d, 90°) Vì ữ', (P) có điểm chung M' vuông góc với đường thẳng d nên a! c (p) Vậy a' a thuộc mặt phẳng (p ) Phép quay mặt phẳng (p) với góc quay 90° biến đường thẳng a thành đường thẳng a' nên a cắt a' a _L ữ'.(đpcm) 45 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa KẾT LUẬN Khi nghiên cứu hình học, em nhận thấy phép biến hình công cụ hữu ích việc giải lớp toán hình học Nó giúp có lời giải hay, tiết kiệm thời gian công sức Nhằm góp phần đạt mục tiêu đó, khóa luận đưa hệ thống lý thuyết ví dụ minh họa để làm bật ứng dụng phép quay giải toán hình học Như đề tài “Phép quay ứng dụng” hoàn thành nội dung đạt mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận em hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn em hoàn thiện khóa luận 46 Tài liêu th am khảo [1] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trinh hình học sơ cấp tập 1, tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục , 2007 [4] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục, 2006 [5] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục, 2004 [6] Nguyễn Việt Hải, Vũ Hoàng Lâm, Phan Quân, 100 tập sử dụng phép biến hình, Sở giáo dục đào tạo Hải Phòng, 1993 [7] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh THPT, Nxb Đai học Quốc gia Hà Nội, 1999 [8] Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Bài tập hình học 11 (năng cao), Nxb Giáo Dục, 2007 47 ... tài: Phép quay ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép quay ứng dụng giải toán hình học không gian E71 Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày sở lý thuyết phép quay Khóa luận tốt nghiệp Đại học... Tích hai phép đối xứng trục cắt phép quay quanh giao điểm với góc quay 2(ã, a') (a a' hai trục) an a' = I,Đ„ o Đ„ = Chứng minh M = I theo tính chất phép đối xứng trục ta có 18 Khóa luận tốt nghiệp. .. quay Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần Mở đầu Nội dung gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép quay Chương 3: ứng dụng phép quay vào giải số toán hình học Kết luận Chương K iến