Khoá Luận tốt nghiệp Toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert va ứng dụng

Mở đầu Trong toán học, không gian hữu hạn chiều với tích vô hớng(tích trong), khái niệm toán tử tự liên hợp, đợc hiểu liên hợp Tơng tự , ma trận Hermit không thay đổi qua phép biến đổi liên hợp Sự xuất định lí phổ hữu hạn chiều, cho phép toán tử tự liên hợp(có sở trực giao), đợc biểu diễn nh ma trận đờng chéo số thực Trong luận văn này, đề cập tới lớp toán tử tự liên hợp không gian Hilbert với số chiều tùy ý Đó vấn đề đợc quan tâm nhiều giải tích đại vật lí lý thuyết Chẳng hạn, nhờ công thức Dirac-von Neumann(trong học lợng tử) mà ta đánh giá đợc trạng thái vật lí hệ đó, vị trí, xung lợng, tần số, độ xoắn,, qua biểu diễn toán tử tự liên hợp không gian Hilbert Hoặc, nhờ phơng trình toán tử Hamilton H = V 2m , mà ta mô tả đợc lợng hạt có khối lợng m trờng (thực) V.Trong H toán tử vi phân(tự liên hợp), thuộc lớp toán tử khả vi, lớp toán tử không bị chặn Một số vấn đề liên quan khác, thấy ví dụ 3.1 (trang 22); chó ý 4.2(trang 26) Trong thùc tÕ, nhiều toán vật lí - toán, đợc giải cách đa toán tìm véctơ riêng toán tử tự liên hợp không gian Hilbert vô hạn chiều Phơng pháp đợc áp dụng phổ biến hiệu Chẳng hạn, toán Phơng trình tích phân b K(x, y)u(y)dy = λu(x) , a ≤ x ≤ b , u ∈ L [ a,b] , a Bài toán Fredholm λu − Au = b , u ∈ X Bài toán biên - giá trị riêng u′′(x) = u(x) , < x < π ⎨ ⎪⎩u(0) = u(π) = , u ∈ C [ 0, π] , γ ∈ Tõ ý nghĩa đó, luận văn đề cập tới số vấn đề lí thuyết toán tử tự liên hợp không gian Hilbert số ứng dụng(trong toán học), với tiêu đề Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert ứng dụng Gồm nội dung : Phần Một số vấn đề lí thuyết toán tử tự liên hợp không gian Hilbert Đ1 Toán tử tự liên hợp Đ2 Toán tử Laplace ví dụ toán tử Laplace không tự liên hợp Đ3 Liên hệ phổ toán tử tính tự liên hợp Đ4 Phổ toán tử tự liên hợp không bị chặn Phần Một số ứng dụng Đ5 Bài toán giá trị riêng toán tử tự liên hợp Đ6 Bài toán Fredholm Đ7 ứng dụng cho phơng trình tích phân Đ8 ứng dụng cho toán biên giá trị riêng Trong luận văn này, cố gắng tìm hiểu để trình bày hệ thống vấn đề cách đơn giản Nhng quỹ thời gian lực, chắn sai sót Những vấn đề mở rộng, chuyên sâu lý thuyết ứng dụng mà luận văn cha đề cập đến cách đầy đủ, bạn đọc tìm hiểu giáo trình tài liệu chuyên khảo Tác giả xin chân thành cảm ơn góp ý quan trọng thầy giáo Nguyễn Xuân Thuần, thầy cô giáo bạn bè khoa KHTN Thanh hoá, tháng năm 2009 Các kí hiệu sử dụng D(A) Miền xác định toán tử A Ran(A) Tập giá trị toán tử A G(A) G(A) := {( x,Ax ) : x ∈ D(A)} B(X) TËp c¸c to¸n tử tuyến tính bị chặn X kerA Không gian không(hoặc hạch toán tử A) span(D) Bao tuyến tính tập D C Phần bù trực giao không gian tuyến tính C B( ) Tập hàm đơn giản ( X, B, ) Không gian độ đo ( X, ) Không gian đo đợc P(H) Tập phép chiếu không gian Hilbert H A (hoặc [ A ]) Bao đóng toán tử A σ(A) Phỉ cđa to¸n tư tun tÝnh A ρ(A) Tập giải thức toán tử tuyến tính A R (A) Giải thức toán tử tuyến tính A λ dimX Sè chiỊu cđa kh«ng gian tun tÝnh X C k () Tập hàm khả vi bậc k C c () Tập hàm khả vi vô hạn, với giá compact n n k C∞ [ a, b ] , C () Không gian hàm trơn [ a,b ], Ω C [ a,b ] , C(Ω) Không gian hàm liên tục [ a, b ], Ω L(a, b);L2 (a,b);L2 (Ω);L2 (μ) Kh«ng gian hàm khả tổng Riemann, Lebesgue L loc ;L2loc ;Lploc Không gian hàm khả tổng có lũy thừa p =1,2, N, khả tổng địa phơng Mục lục Nội dung Trang Mở đầu Các kí hiệu sư dơng Mơc lơc …………………………………………………………………… PhÇn Một số vấn đề lí thuyết toán tử tự liên hợp không gian Hilbert Đ Toán tử tự liên hợp6 Định nghĩa tính chất bản6 Các ví dụ Đ Toán tử Laplace ví dụ toán tử Laplace không tự liên hợp 11 To¸n tư Laplace……………………………………………………… 11 To¸n tư Laplace không tự liên hợp.16 Đ Liên hệ phổ toán tử tính tự liên hợp 20 Định nghĩa tính chất 20 Các ví dụ 22 Đ Phổ toán tử tự liên hợp không bị chặn 25 Định nghĩa ví dụ 25 Một số tính chât 27 Phần Một số ứng dụng31 Đ Bài toán giá trị riêng toán tử tự liênhợp 31 Đ Bài toán Fredholm 35 Đ ứng dụng cho phơng trình tích phân 38 Đ ứng dụng cho toán biên- giá trị riêng 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Phần Một số vấn đề lý thuyết toán tử tự liên hợp không gian Hilbert Đ Toán tử tự liên hợp Định nghĩa tính chất Định nghĩa1.1 Giả sử X Y không gian Banach, M không gian X Phép biến đổi tuyến tính( toán tử) A : M Y xác định trù mật, M trù mật X Định nghĩa1.2 Cho không gian Hilbert H toán tử A : D(A) ⊆ H → H,B : D(B) ⊆ H → H Khi đó, ta định nghĩa phép cộng nhân c¸c to¸n tư A + B : D ( A ) ∩ D ( B ) → H , bëi x ( A + B ) x = Ax + Bx vµ AB : {x ∈ D ( B ) : Bx ∈ D ( A )} → H , bëi x ( AB ) x = A ( Bx ) Mệnh đề1.1 Giả sử A, B toán tử tuyến tính không gian Hilbert H Khi đó, phép biến đổi liên hợp : H → H, A ∗(A) = A∗ cã c¸c tÝnh chÊt (1) ( cA ) = c A* nÕu c ≠ 0, c ∈ C * ( ) (2) A* + B* ⊂ ( A + B ) , nÕu A + B xác định trù mật (3) * ( AB )* B*A* , AB xác định trï mËt (4) A ⊂ B ⇒ B* ⊂ A* Nhận xét1.1 Các tính chất (2) (3) mệnh đề 1.2 tơng đơng, A bị chặn xác định hầu khắp nơi Mệnh đề1.2 Giả sử A,B toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H Khi ®ã, ta cã (1) A∗ tuyến tính bị chặn A* = A (2) ( αA + βB ) =αA* + βB* , ∀α, β∈ * (3) AB ≤ A ⋅ B vµ ( AB )* = B*A* (4) A∗A = A Định nghĩa1.3 Giả sử A : H H toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H Khi ®ã (1) (2) (3) (4) (5) A chuẩn tắc, A*A = AA* A đối xứng( liên hợp ), ( Ax, y ) = ( x, Ay ) , ∀x, y H A tự liên hợp( Hermit ), nÕu A* = A A lµ unita, nÕu Ax = x , ∀x ∈ H A lµ trùc giao, H không gian Hilbert thực A unita Nhận xét1.2 (1) Nếu định nghĩa toán tử U : H × H → H × H , bëi ( x, y ) U ( x, y ) = ( y, x ) , U toán tử unita (2) Lớp toán tử đối xứng hẹp lớp toán tử tự liên hợp ( A ⊂ A∗ ) Gäi D := D(A) lµ miền xác định A :D H H , kÝ hiÖu G(A) = {( x,Ax ) :x ∈ D} đồ thị A Bổ đề 1.1 Nếu A : H H toán tử tuyến tính xác định trù mật H, G(A ) = ⎡⎣ U ( G(A) ) ⎤⎦ Trong ®ã, U toán tử unita nhận xét 1.1(1) Chứng minh (Ax, y) = (x, y* ) ⇔ ( (Ax, − x),(y, − y) ) = ⇔ U(x,Ax),(y, y* ) = Do ®ã ( ( ) ) (y, y* ) ∈ G(A* ) ⇔ U ( x,Ax ) ,(y, y* ) = , ∀x ∈ D NghÜa lµ ⊥ G(A∗ ) = ⎡⎣ U ( G(A) ) Hệ quả1.1 Nếu A toán tử xác định trù mật, A* toán tử đóng Định lí1.1 Nếu A đóng xác định trù mật H A* xác định trù mật H A** = A Chứng minh Giả sử D(T* ) không trù mật H Khi đó, tån t¹i z ≠ cho z ⊥ D(A* ) V× (0, z) ⊥ (A* y, − y), ∀y ∈ D(A* ) , kÐo theo ( ) ⊥ (0,z) ⊥ U G(A* ) = U ( G(A) ) Do ®ã, tõ U = −1 , suy U ( 0, z ) ⊥ U ( G ( A ) ) Hơn nữa, G ( A ) vµ U ( G ( A ) ) ®ãng, nªn ⊥ U ( 0, z ) ∈ U ( G ( A ) ) T−¬ng tù, 0,z ∈ G ( A ) tøc lµ z = A ( ) , điều mâu ( ) thuẫn với giả thiết z Vì vậy, D A* trù mật H A** tồn Với toán tử unita U không gian đóng M , ta cã ( Do ®ã G(A** ) = U G(A* ) ) = ( U ( G(A)) ) ⊥ ⊥ ⊥ vËy A** = A ♦ = U ( G(A) ) = G ( A ) Vì Nhận xét1.3 Nếu A xác định trù mật H , A* xác định trù mật H vµ chØ A cã më réng tuyÕn tÝnh ®ãng Khi ®ã, A** lµ më réng tuyÕn tÝnh nhá G(A** ) = G(A) Định nghĩa1.4 Nếu A toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật có mở rộng tuyến tính đóng, bao ®ãng cđa A lµ më réng tun tÝnh nhá nhÊt Định nghĩa1.5 Không gian M D ( A ) , gọi lõi toán tử đóng A ,nếu ( ) bao đóng thu hẹp A M lµ A NghÜa lµ, A = A M Mệnh đề1.3 Giả sử H n dãy không gian Hilbert Khi ®ã, tËp ∞ ∞ ⎧ ⎫ ∞ , víi H x x : x x,y = = = < ∞ ( ) ( ) ∑ n ⎨ ∑ ( x i ,y i ) , ∀ x,y ∈ H , ⎬ k k =1 ∑ k n=1 k =1 i=1 không gian Hilbert( H đợc gọi tổng trực tiếp H n ) ∞ H= ∞ ∑ H n Gi¶ sư Mệnh đề1.4 Cho H n dãy không gian Hilbert vµ H = n=1 A n : H n H n bị chặn ; A : H H xác định A ( x1 ,x , ) = ( A1x1, A x , ) víi D ( A ) = ⎨x ∈ H : ∑ A i x i i=1 ⎩ vµ B ( x1 ,x , ) = ( A1*x1 ,A*2 x , ) ∞ ⎧ víi D ( B ) = ⎨x ∈ H : ∑ A1*x i i=1 ⎩ ⎫ < ∞⎬ = H ⎭ ⎫ < ∞⎬ ⎭ Khi A* = B tập dãy hữu hạn (khác không) H lõi A Chứng minh ∞ ∞ i=1 i=1 NÕu x ∈ D(A),y ∈ D(B) th× (Ax,y) = ∑ (A i x i ,y i ) = ∑ (x i ,A*y i ) = (x,By) i Do đó, ánh xạ x ( Ax, y ) liªn tơc trªn D(A) ; y ∈ D(A* ) A*y = By Vì A* B Ngợc lại, giả sử z D(A* ) Khi đó, tồn z* H cho (Ax,z) = (x, z* ), ∀ x ∈ D(A) , vµ víi mäi x ∈ H n ta cã (x,A n*z n ) = (A n x,z n ) = (Ax,z) = (x, z* ) = (x,z* n ) Do A n*z n = z* n Vì vËy, ∞ ∑ A n*z n n=1 ∞ = ∑ n=1 z* n = z* < ∞ Suy z ∈ D ( B ) z* Bz , nên A* B VËy A* = B Cuèi cïng, nÕu x ∈ D ( A ) ,x = ( x1,x , ) phần tử z i = ( x1, , x i , 0, 0, ) lµ ∞ → x Tõ tÝnh trï mËt cña D ( A ) ta có dãy khác không hữu hạn, z i Az i Ax Do đó, dãy hữu hạn(khác không) thuộc lõi A Định nghĩa1.6 Toán tử A mệnh đề 1.4, gọi tổng trực tiÕp cđa c¸c to¸n ∞ tư A n KÝ hiƯu A = ∑ ⊕ An n=1 HƯ qu¶1.2 Trong mệnh đề 1.4, toán tử A n : H n H n Hermit, A tự liên hợp Ví dụ Ví dụ Cho không gian Hilbert H tập toán tử tuyến tính bị chặn H, { } B(H) = {A : H → H} vµ B(H∗ ) = A∗ : H H ; Với chuẩn đợc xác định t−¬ng øng A = sup Ax , A∗ = sup A∗f ,f ∈ H∗ Khi x ≤1 f ≤1 đó, A toán tử tự liên hợp ánh xạ B(H) B(H ),A A đẳng cấu , ®¼ng cù Do ®ã, A∗ cã mäi tÝnh chÊt cđa A. Ví dụ Cho không gian Hilbert H Toán tö ⎧H = Y ⊕ Z ⎧Ax = y ; A ∈ B(H) lµ phÐp chiÕu, nÕu A = A ⇔ ⎨ ⇒⎨ ⎩x = y + z ⎩Az = Khi ®ã, phÐp chiÕu A∗ : H∗ → H∗ ; A∗ (H∗ ) = f ∈ H∗ : f (x) = 0, x ∈ ( I − A ) H { } toán tử tự liên hợp A. Ví dụ ( Toán tử tích phân dạng Hilbert Schmidt ) Xét không gian Hilbert H = L2 ( a,b ) ánh xạ đo đợc K ( s, t ) , cho ∫∫ K ( s, t ) dsdt < ∞ Víi s,t( a,b ) b x(t) L2 ( a,b ) , định nghĩa (Kx)(s)= K ( s,t ) x(t)dt Khi đó, từ bất đẳng a b thức Schwart định lí Fubini K ( s,t ) ds ≤ a Do ®ã ∫∫ s,t∈( a,b ) K ( s, t ) b ∫ x(t)dt N Nếu u nghiệm (6.1) từ (6.4), ta cã (u n ,b ) = víi ∀n = 1, 2,…, N 36 (6.6) { u = λ −1 b + ∞ ∑ α (u n n = N +1 n } , b ) u n , víi α n = λn λ − λn (6.7) Ngợc lại, (6.6) thoả mãn Tơng tự trờng hợp 1, tõ (6.7) ta chØ u tho¶ m·n λu − Au = b VËy u lµ mét nghiƯm (6.1) Cuối cùng, A có hữu hạn giá trị riêng n chuỗi (6.5) (6.7) có tổng hữu hạn, tức chúng hội tụ Chứng minh hệ 6.2 Nếu (6.1) có nghiệm, A tuyến tính , nên u Au = λv − Av hay u = v Do ®ã λw − Aw = hay w = Hệ đợc chứng minh từ định lí 6.1, trờng hợp 1. Chứng minh hệ 6.3 Víi λ ≠ λ n tïy ý, λ ≠ Theo hệ 6.1(1), (A) Khi +) Nếu = giá trị riêng A (A) ([2]) Nếu = không giá trị riêng A th× Av = ⇒ v = Theo định lí 5.1, A có hệ trực giao {u n } véctơ riêng Gọi u := −n1 (u n , b)u n , th× Au = b u K b Do đó, n toán tử A : H H liên tục Tøc lµ : = λ ∈ σ(A) +) a) Nếu A có hữu hạn véctơ riêng khác không, giá trị riêng tơng ứng có bội số hữu hạn dim H = Từ định lí 5.1(Đ5), tồn u để Au = Hay : = λ ∈ σ(A) n b) Nếu A có đếm đợc vectơ riêng { n } khác không, n Vì (A) compact, nên = (A) 37 Đ7 ứng dụng cho phơng trình tích phân ứng dụng lí thuyết toán tử tự liên hợp, ta đa số toán tích phân toán tìm giá trị riêng toán tử tự liên hợp b (+)Cho H = L ( 0, ∞ ) ,víi tÝch v« h−íng xác định (u,v) = u(x)v(x)dx , a ∀ u, v ∈ H;x, y ∈ ( 0, ∞ ) Định nghĩa 7.1 Hàm liên tục f : [ a,b ].[ a,b ] gọi đối xứng, nÕu f ( x, y ) = f ( y, x ) ; ∀x, y ∈ [ a,b ] b Đặt (Au )(x ) = f (x, y)u (y)dy (7.1) a Xét phơng trình tích phân: b ∫ f ( x , y ) u ( y )d y = λ u ( x ), a x b (7.2) a < a < b < Xét toán tìm λ ∈ R vµ ≠ u ∈ X tháa mãn (7.2) Khi đó, từ (7.1), toán cho tơng đơng với toán giá trị riêng ( , u ) ∈ × H : Au = λu (7.3) Phơng trình (7.2) gọi phơng trình gốc phơng trình (7.3) Mệnh đề 7.1(Nghiệm riêng) Giả sử f : [ a,b ].[ a,b ] hm liên tục đối xứng Khi (1).Tồn hệ trực giao đếm đợc hàm riêng S = {u1,u ,u3 , } ⊆ L2 ( a,b ) lµ nghiƯm cđa (7.2) (2) NÕu (λ,u),(β, v) ∈ × S : (λ, u) ≠ (β, v) th× (u, v) = (3) Mỗi giá trị riêng khác không (7.2) có bội số hữu hạn (4) Nếu tập giá trị riêng cña (7.2), Λ = {λ n } , λ n hữu hạn, n (5).Mỗi giá trị riêng (7.2), có hàm riêng u liên tục [ a,b ] 38 Nhận xét 7.1 Với u L2 (a,b) chuỗi Fourier u = (u n , u)u n (7.4) n =1 héi tô L2 (a,b) , theo nghÜa b⎛ ⎞ lim ∫ ⎜ u(x) − ∑ ( u n ,u ) u n (x) ⎟ dx = ♦ m →∞ a ⎝ n =1 m b Hệ 7.1 Nếu hàm u(x) = ∫ f (x, y)v(y)dy , víi v ∈ L2 [ a,b ] , ∀x ∈ [ a,b ] , a chuỗi Fuorier u(x) = (u n ,u)u n (x) hội tụ tuyệt đối [ a,b ] n =1 Hơn nữa, (u n ,u) = véctơ riêng u n có giá trị riêng n = Chứng minh Víi u ∈ L2 (a,b) , vµ λ n ∈ n giá trị riêng ứng với vectơ riêng u n , ∞ Aun = λn un , th× Au = ∑ (u n , Au)u n héi tô L2 [ a,b ] (7.5) n =1 (u n , Au) = (Au n , u) = n (u n , u) Hơn Bây ta xét hội tụ chuỗi ( u n =1 n ,Au ) u n ( x ) víi ∀x ∈ [ a,b ] LÊy k,m ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có k+m (u n =k ≤ ⎛⎜ ⎝ k+m ∑ (u n=k n , Au ) u n ( x ) = n ,u ) 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ k+m ∑ n=k k+m ∑ (u n=k n , u ) λ n u n( x ) λ n u n ( x ) ⎞⎟ , ∀x ∈ [ a,b ] ⎠ (7.6) Theo bất đẳng thức Bessel , x [ a,b ] k,m , = k+m n=k = λn u n (x ) k+m ∑ ( f ( x, ⋅ ) | u ) n n=k = b ∫ a = k+m b n=k a ∑ ∫ f ( x , y ) u ( y ) dy (7.7) n ≤ f ( x, ⋅ ) 2 f ( x, y ) dy dy ≤ ( b − a ) ⎛⎜ Sup f ( x, y ) ⎞⎟ ≤ K ∈ ⎝ a ≤ x ,b ≤ y ⎠ 39 + V× chuỗi Fourier (u n , u ) u n hội tụ, nên theo mệnh đề 5.3[2], chuỗi n ∑ ( u ,u) n=1 k+m héi tơ V× vËy với > 0, n ( ) cho : ∑ ( un,u) 0, ∃δ > f cho x, z ∈ [ a, b ] vµ x − z < δ Khi ®ã α := m ax f ( x , y ) − f ( z, y ) < ε a≤ y≤b b Do ®ã v ( x ) − v ( z ) ≤ α ∫ u ( y ) dy ≤ ε ( b − a ) u (7.8) a Vì vậy, v liên tục [ a,b ] f (x, y ) Mặt khác, m ax v ( x ) ≤ max a≤x≤b a≤x≤b 40 b ∫ u (y) a dy ≤ K u (7.9) ⎛b ⎞2 Au = ⎜ ∫ v(x ) dx ⎟ ≤ K u ⎝a ⎠ Suy (7.10) Tõ ®ã, suy A : H → H liên tục Gọi M tập bị chặn H, từ (7.7), (7.8) định lí Arzela- Ascoli suy A ( M ) compact tơng đối C [ a,b ] Ta chØ A ( M ) compact n tơng đối H = L2 ( a, b ) ThËt vËy, nÕu v n ⎯⎯⎯→ v C [ a,b ] − v th× = b ∫ v n ( x ) − v ( x ) dx a n →∞ ≤ max v n ( x ) − v ( x ) ( b − a ) ⎯⎯⎯ →0 a x b Do A ( M ) compact tơng đối H Vậy A compact +)(3) Với mäi u, v ∈ H , ta cã ⎛b ( Au,v) = ∫ ⎜ ∫ f (x, y) u(y) dy ⎟⎞v(x)dx a⎝a ⎠ b b ⎛b ⎞ = ∫ ⎜ ∫ f ( x , y ) v ( x ) dx ⎟u ( y ) dy = (u , Av ) a ⎝ a ⎠ Suy A(x,y) = A(y, x) Vì A đối xứng. (+) Xét phơng trình tích phân không b f ( x, y ) u ( y ) dy −λ u ( x ) = h ( x ) , a x b (7.11) a phơng trình tơng ứng b f ( x, y ) v ( y ) dy −λ v ( x ) = 0, a ≤ x ≤ b (7.12) a Phơng trình (7.11) gọi phơng trình gốc phơng trình (7.12) Mệnh đề 7.4 Giả sử f : [ a,b ].[ a,b ] hàm liên tục, ®èi xøng h ∈ L [ a, b ] , ≠ λ∈ Khi ®ã (1) NÕu λ không giá trị riêng phơng trình (7.12), (7.11) cã nghiÖm nhÊt u ∈ L2 (a,b) 41 (2).Nếu giá trị riêng phơng trình (7.12), th× (7.11) cã nghiƯm b u ∈ L2 (a,b) vµ chØ ∫ h(x)v(x)dx = , víi hàm riêng v tơng a ứng với (3).Nếu h C [ a,b ] , nghiệm u (7.11) liên tục [ a,b ] Nhận xét 7.2 Phơng trình (7.11) tơng đơng với phơng trình Au u = b ,u X, λ∈R b Trong ®ã X = L2 [ a,b ] vµ ( h,b) = ∫ h( x) v( x) dx a 42 Đ8 ứng dụng cho toán biên Giá trị riêng Bài toán1 Xét toán biên giá trị riêng u (x ) = γ u (x ) , x ∈ ( 0, π ) ⎨ ⎪⎩ u (0) = u ( π ) = 0, u ∈ C [ 0, π ] , (8.1) Đặt Au = u , víi D(A) = {u ∈ C [ 0, π] : u(0) = u(π) = 0} Khi ®ã, toán (8.1) đợc viết dới dạng: Au = u , γ ∈ , u ∈ D(A) (8.2) • XÐt phơng trình tích phân u(x) = (x, y)u(y)dy , ≤ x ≤ π , u ∈ L2 (0, π) (8.3) ®ã ( x , y ) ⎧x ⎪⎪ π ( π − y ), v í i ≤ x ≤ y ≤ π ϕ ( x , y ) := ⎨ ⎪ y ( π − x ), v í i ≤ y ≤ x ≤ π ⎪⎩ π lµ hàm Green liên tục đối xứng [ 0, ].[ 0, ] Đặt H = L2 (0, π) vµ (u , v ) := ∫ u ( x )v ( x )dx , víi ∀u, v ∈ X Bổ đề 8.1 (1) Toán tử tuyến tÝnh A : D ( A ) ⊆ H → H đối xứng (2) Hai hàm riêng u, v (8.1) ứng với hai giá trị riêng khác trực giao với H (3) Mỗi giá trị riêng (8.1) dơng (4) Bài toán (8.1) tơng đơng với phơng trình tích phân (8.3) Chứng minh (1) Sử dụng công thức tích phân phần, víi ∀u, v ∈ D ( A ) : ( Au, v ) = π ∫ ( − u ′′ ) v dx = − u ′v 43 π π + ∫ u ′ v ′ dx π π π 0 = ∫ u′ v′ dx = uv′ − ∫ uv′′ dx = −∫ uv′′ dx = ( u,Av ) π (8.4) ( v× u(0) = u(π) = , v(0) = v(π) = ) (2) Trùc tiÕp suy tõ mÖnh ®Ị 2([2]) (3) Gi¶ sư Au = γu , víi giá trị riêng A, u D(A),u ≠ Tõ (8.4) suy π γ (u,u) = (Au,u) = ∫ u′2dx > Do ®ã γ > (4) NÕu u lµ mét nghiệm (8.1), u nghiệm (8.3) Ngợc lại, u nghiệm (8.3),thì u C [ 0, ] Do đó, u nghiệm (8.1) Mệnh đề 8.2 (1).Các giá trị riªng γ n = n ; n = 1, 2, , toán (8.1) đơn (2).Chuẩn hoá hàm riêng u n ứng với n để (u n ,u n ) = 1, đợc cho − n = 1,2,… u n (x) = sin nx ; (3) Với hàm u D(A) , chuỗi Fourier n =1 n =1 u(x) = ∑ (u n ,u) u n (x) (8.5) vµ u′(x) = ∑(un ,u) u′n (x) (8.6) hội tụ tuyệt đối [ 0, ] Hơn nữa, với hàm u D(A) với u D(A) , chuỗi u(x) = ∑ (u n , u) u′′n (x) (8.7), héi tô tuyệt đối n =1 [ 0, ] (4).Với hàm u X , chuỗi Fourier (8.4) héi tô H = L2 [ 0, π] Theo nghÜa, hƯ { u1 ,u ,…} lµ hệ trực chuẩn đầy đủ H Chứng minh (1) (2) Từ bổ đề 8.1, giá trị riêng (8.1) dơng Ngiệm tổng quát phơng trình vi phân : u = u , > , đợc cho 2 u(x) = C sin γ x + D cos x , với C, D sè thùc 44 Tõ u(0) = , suy D = Vì u() = u ≠ nªn γ = n, n = 1, 2,… (3) LÊy u ∈ D(A) , víi f = u , ta đợc u(x) = (x, y)u(y)dy Vì vậy, khẳng định (8.4) đợc suy tõ hƯ qu¶ 7.2 Chøng minh (8.6) π ( Bf ) (x) := (x, y)f (y)dx Đặt , ∀ x ∈ [ 0, π] π Th× tõ (8.2), ta cã u′(x) = γ n ∫ ϕx (x, y)u n (y)dy , x x hàm liên tục đoạn bị chặn [ 0, ].[ 0, ] Từ tính đối xøng cđa ϕ vµ u n = −γ n Bu n , ta đợc (u n , u) = (u n , − Bu '') = (Bu n , − u '') = −γ −n1 (u n ,u '') Suy ∞ ∞ π n =1 n =1 ∑ (u n ,u)u′n (x) = ∑ (u n ,u′′) ∫ ϕx (x, y)u n (y)dy TÝnh héi tô chuỗi [ 0, ] , đợc suy tõ chøng minh ë (1), cđa Bỉ ®Ị 7.3, x bị chặn [ 0, ].[ 0, π] Chøng minh (8.7) Tr−íc tiªn, ta nhËn thÊy (u n , −u′′) = (u n ,Au) = (Au n ,u) = γ n (u n ,u) V× u D(A) , nên (8.4) thay u b»ng u′′ Sư dơng u′′n = −γu n , ta đợc n =1 n =1 u(x) = ∑ (u n , u′′)u n (x) = ∑ (u n ,u)u′′n (x) (4) Gäi X = span {u , u ,} Khi đó, từ định lÝ 3.A([2]), ta cÇn chøng minh X trï mËt L2 [ 0, π] ThËt vËy, v× C∞0 ( 0, π ) trï mËt L2 [ 0, π] Nên với y L2 [ 0, ] ε > , tån t¹i u ∈ C∞0 ( 0, π ) cho ⎛ v−u =⎜ ⎝ ⎞2 − v(x) u(x) dx ( ) ⎟ < ε 45 Bài toán Xét toán biên-giá trị riêng không u(x) = γu(x) + f (x), x ∈ (0, π) ⎨ ⎩u(0) = u(π) = 0,u ∈ C [ 0, ] (8.8) Phơng trình tơng ứng toán (8.8) u(x) = u(x) + f (x), x ∈ (0, π) ⎨ ⎩u(0) = u(π) = 0,u C [ 0, ] (8.9) Bài toán (8.8) gọi toán gốc toán (8.9) Từ chứng minh trên, (8.9) có nghiệm riêng γ n = n , u n ( x ) = π sin nx , n = 1,2,… − Mệnh đề 8.3 Cho hàm f C [ 0, ] số thực Khi đó, ta có (1) Nếu không giá trị riêng (8.9), toán (8.8) có nghiệm u (2) Nếu giá trị riêng (8.9), toán (8.8) có nghiệm u ∫ f (x)u n (x)dx = Chứng minh Từ bổ đề 8.1, toán biên (8.8) tơng đơng với phơng trình tích phân u(x) = ∫ ϕ(x, y) ( γu(y) + f (y) ) dy , ≤ x ≤ π , u ∈ L2 [ 0, ] (8.10) Đặt b(x) = (x, y)f (y)dy Khi đó, phơng trình (8.10) tơng đơng với u(x) = (x, y)u(y)dy + b(x), x ∈ [ 0, π] ,u ∈ L2 [ 0, ] (8.11) Phơng trình tích phân tơng ứng u(x) = (x, y)u(y) dy, x tơng đơng với toán (8.9) Hơn nữa, ta có u n (x) = γ n ∫ ϕ(x, y)u n (y)dy , x ∈ [ 0, π] , n = 1,2,… (8.12) 46 π Ci cïng, víi tÝch v« h−íng trªn L [ 0, π] , (f , g ) = ∫ f ( x )g ( x )d x Ta thu đợc (1) từ mệnh đề 4(i)([2]) (2) Tõ mƯnh ®Ị 7.4, (8.11) cã nghiƯm vµ chØ (b,u n ) = Do ®ã, tõ (8.12), th× π ⎛π ⎞ (b, u n ) = ∫ ⎜ ∫ ϕ(x, y)f (y)dy ⎟u n (x)dx = 0⎝ ⎠ π π ⎛π ⎞ = ∫ ⎜ ∫ ϕ(x, y)u n (x)dx ⎟f (y)dy = ∫ γ n−1u n (y)f (y)dy = γ −n1 (f , u n ) ⎠ 0⎝ 0 V× ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ [ a,b ] , nªn ( b,un ) = ⇔ γ n−1 (f ,u n ) = Chó ý r»ng u ∈ D ( A ) , nªn tõ (3), tồn hàm w span {u1 ,u ,…} cho Δ := max u(x) − w(x) < ε 0≤ x ≤π Vµ Suy ⎛ u−w =⎜ ⎝ 1 ⎞2 2 u(x) w(x) dx ε − ≤ π Δ < π ( ) ⎟ ∫0 ⎠ π 2 u − w ≤ v − u + u − w < ε + π ε V× vËy, X trï mËt L2 [ 0, π] ♦ 47 KÕt luËn LuËn văn trình bày số vấn đề toán tử tự liên hợp không gian Hilbert ứng dụng Kết đạt đợc Hệ thống khái niệm, tính chất kết toán tử tự liên hợp không gian Hilbert trừu tợng Đặc biệt, lớp không gian (lớp con) hàm khả tích Riemann khả tích Lebesgue Đa đặc trng mối liên hệ tính tự liên hợp toán tử phổ Mô tả ý nghĩa vấn đề ứng dụng để giải toán biên, toán Fredholm, toán biên- giá trị riêng phơng trình vi tích phân không gian Hilbert Mô tả ý nghĩa qua áp dụng vật lý lý thuyết học lợng tử [Mở đầu, ví dụ 4(trang 10), ví dụ 2.2(trang 12), vÝ dơ 3.1(trang 22), chó ý 4.2 (trang26)] Do hạn chế thời gian lực, luận văn đề cập tới vấn đề liên quan hoàn chỉnh chắn sai sót Tác giả mong nhận đợc dẫn góp ý thầy cô giáo bạn bè 48 Tài liệu tham khảo [1] Gross.L Lecture notes on functional analysis Math 713.Springer 2002 [2] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXBGD 1994 [3] Nguyễn Xuân Liêm Tôpô đại cơng độ đo tích phân NXBGD 1996 [4] Trần Trung (chủ biên) Giải tích đại,( Bản thảo ) [5] Rudin.W Functional analysis Springer 1991 [6] Zaidler.E Nonlinear functional analysis and its applications.Vol II Springer 1995 ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜ 49