tính chất của toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

LỜI MỞ ĐẦU Không gian Hilbert không gian quan trọng lí thuyết giải tích hàm, nghiên cứu về: tích vơ hướng khơng gian Hilbert, tính chất trực giao, phiến hàm tuyến tính song tuyến tính khơng gian Hilbert, tốn tử liên hợp khơng gian Hilbert,… Mục đích tiểu luận tìm hiểu, nghiên cứu tính chất toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp khơng gian Hilbert Với mục đích đó, dựa vào tài liệu tham khảo chúng tơi tìm hiểu khái niệm tính chất bản, đưa ví dụ họa tập cụ thể, chúng minh chi tiết số mệnh đề có tài liệu Ngồi chúng tơi chứng minh số mệnh đề có tài liệu tham khảo mà đưa dạng tập để bạn đọc tham khảo Tiểu luận chia thành hai phần   Thứ nhất: trình bày kiến thức tiểu luận Thứ hai: đưa ví dụ, dạng tập cụ thể Chúng xin cảm ơn TS Bùi Thế Hùng hướng dẫn, giúp đỡ chúng tơi hồn thành tiểu luận Do thời gian lực hạn chế, nên tiểu luận khơng tránh khỏi thiếu sót, mong thầy bạn đọc đóng góp cho ý kiến để tiểu luận hoàn thiện I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: Trong mục này, ta nhắc lại số kiến thức sau: 1.1 Định nghĩa : Cho - không gian vec tơ Một chuẩn hàm từ thỏa mãn điều kiện sau với , Một không gian định chuẩn không gian vectơ với chuẩn Nếu khơng gian định chuẩn cơng thức với xác định Metric , ta gọi metric metric sinh chuẩn 1.2 Định nghĩa : Giả sử khơng gian định chuẩn trường Kí hiệu L khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ L không gian vec tơ củakhông gian vec tơ L tất ánh xạ tuyến tính từ Với L , đặt: 1.3.Định lý: Với L Hàm chuẩn L 1.4 Định lý: Nếu F không gian Banach khơng gian L (E,F) khơng gian Banach 1.5 Định lý: (Định lý Hahn – Banach): Giả sử E không gian vectơ phức, p nửa chuẩn E Nếu f phiếm hàm tuyến tính khơng gian F E cho f(x) ≤ p(x) với x thuộc F tồn phiếm hàm tuyến tính g xác định E cho = f g(x) ≤ p(x) với x thuộc E 1.6 Hệ quả: ( Hệ Định lý Hahn – Banach ) Giả sử F là không gian vectơ không gian định chuẩn E vectơ v thuộc E\F cho d(v, F) = inf x –v = δ > Khi đó, tồn phiếm hàm tuyển tính liên tục f : E → K cho = f(x) = δ 1.7 Hệ quả: (Hệ Định lý Hahn – Banach ) Với vectơ v không gian định chuẩn E, v ≠ 0, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f E cho f = f(x) = v 1.8 Định lý: ( Định lý ánh xạ mở ) Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ khơng gian Banach E lên không gian Banach F mở, tức với mợi tập mở U E, f(U) tập mở F 1.9 Hệ quả: ( Định lý Banach ) Nếu f song ánh tuyến tính từ khơng gian Banach E lên không gian Banach F F liên tục F đồng phơi 1.10 Định nghĩa: Cặp (E,), E khơng gian tuyến tính, tích vơ hướng E, đuọc gọi khơng gian tiền Hilbert Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ E gọi không gian Hilbert 1.11.Định lý : ( định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert ) Giả sử E khơng gian Hilbert Khi : (i) Với tương ứng ↦ xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục E với chuẩn a (ii) Ngược lại f phiếm hàm tuyến tính liên tục E, tồn để f (x) = II.Tốn tử liên hợp: Ta biết rằng, khơng gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn sinh tích vơ hướng ta xem xét tốn tử liên hợp theo định nghĩa thơng thường không gian định chuẩn nhiên nhờ định lý 3.21 ( Riesz) ta có cách tiếp cận khác với tốn tử liên hợp khơng gian hirbert cách thuận lợi Trong phần đề cập tới số kết toán tử liên hợp tốn tử tuyến tính từ khơng gian Hilbert vào Định nghĩa: Giả sử không gian Hilbert, Với phần tử cố định xét hàm số Xác định với Dễ dàng chứng minh phiến hàm tuyến tính Ngồi , Với Kéo theo phiến hàm tuyến tính giới nội khơng gian Hilbert (1) Theo định lý 3.21 ( Riesz), tồn phần tử cho (2) Đặt ta ánh xạ Dễ dàng chứng minh ánh xạ tuyến tính Từ định lý 3.21 ( Riesz), kết hợp với bất đẳng thức (1) ta có Với Vậy tốn tử tuyến tính giới nội Toán tử xác định gọi toán tử liên hợp toán tử tuyến tính liên tục Tốn tử liên hợp tốn tử gọi toán tử liên hợp thứ hai Kí hiệu Từ định nghĩa tốn tử , suy xác định đẳng thức Định lý 3.25 Giả sử X không gian Hilbert Khi Chứng minh Theo định nghĩa tốn tử liên hợp,ta có: Với Do , kéo theo Như ta biết, suy Định lý chứng minh Ví dụ: Giả sử tốn tử tuyến tính Ta biết liên tục xác định ma trận ), Giả sử toán tử liên hợp xác định ma trận Khi với ), Ta biết Và Từ kết hợp với (3) (4) ta có Như tốn tử liên hợp xác định ma trận ( , Định lý 3.26: Cho A, B B (X) toán tử liên tục từ khơng gian Hilbert X vào λ K Khi đó, ta có 1, = + 2, 3, 4, Chứng minh Việc chứng minh định lý đơn giản, dựa theo định nghĩa Chẳng hạn, ta chứng minh khẳng định (3) Với , ta có: = = Suy với kéo theo Các khẳng định sau chứng minh tương tự Định lý 3.27 : Cho khơng gian Hilbert B (X) Khi đồng phôi đồng phôi Chứng minh Giả sử đồng phơi, đó: Theo định lý 3.26 ta có Nên phép đồng phôi Ngược lại, phép đồng phôi theo chứng minh phép đồng phơi Do nên cúng phép đồng phôi Định lý 3.28: Nếu hkông gian Hilbert B (X) Trong đó, ⊗ ký hiệu tổng trực giao Chứng minh Chú ý hai không gian đóng nên để chứng minh ta cần chứng minh Thâtk vậy, với Điiiều naý kéo theo với Do Nên với tức Từ tính chất liên tục tích vơ hướng ta suy Tức Ngược lại, , suy , kéo theo với Do nên với Điều xảy , tức Như vậy, , nên ta có đẳng thức thứ Đẳng thức lại định lý nhận từ đẳng thức chứng minh cách thay với ý III Toán tử tự liên hợp: Chỉ Còn phần liên Định lí 3.32 Giả sử X khơng gian Hilbert, dạng song tuyến tính giới nội Hermite Khi tồn tốn tử tự liên hợp cho: với Chứng minh: Với phần tử cố định , đặt Khi phiếm hàm tuyến tính Ngồi ra, với , nên phiếm hàm giới nội fy £ K y Theo định lí Riesz, tồn phần tử cho với Xét toán tử , xác định với , z xác định Hiển nhiên với Dễ dàng chứng minh A tốn tử tuyến tính Ngồi ra, với nên A giới nội Tiếp theo ta chứng minh A toán tử tự liên hợp Với , Vậy A thỏa mãn đẳng thức , với Và từ đẳng thức suy tính A Định lý chứng minh Nhận xét: Cho dạng song tuyến tính giới nội Hermite Khi phiếm hàm k xác định khơng gian Hilbert X xác định công thức với Chỉ nhận giá trị thực, gọi dạng toàn phương Hermite ứng với dạng song tuyến tính gới nội Hermite h Ngoài với IV Bài tập liên quan: Bài 1: Giả sử ma trận vô hạn, số phức thỏa mãn điều kiện Với phần tử , đặt : ,với 1) 2) Chứng minh tốn tử tuyến tính liên tục từ vào Xác định toán tử liên hợp Với điều kiện toán tử liên hợp Giải: 1) Từ : đưa đến: Vậy toán tử tuyến tính liên tục từ vào Theo câu (1) tốn tử xác định ma trận vơ hạn Nhờ tác động vào 2) vectơ sở ), với vị trí thứ , theo cơng thức … thấy xác định ma trận nhận từ ma trận phép chuyển vị lấy liên hợp Để tự liên hợp, nghĩa , cần đủ () Bài : Chứng minh toán tử Xác định tuyến tính liên tục tìm tốn tử tự liên hợp Chứng minh : +) Chứng minh tuyến tính, liên tục : Dễ thấy tuyến tính : (1) liên tục, : Từ : (2) Từ (1) (2) tuyến tính , liên tục +) Toán tử liên hợp : Từ đẳng thức phương pháp tích phân phần ta thấy: Bài 3: Giả sử u,v hai phần tử cố định không gian Hilbert X A: X → X toán tử xác định bởi: Ax = , với Tím tốn tử liên hợp A Giải: Giả sử A*: X → X  Ta có , tốn tử tuyến tính liên tục : ta có :  Tính A*: Giả sử A* tốn tử liên hợp A Khi ta có: ⟹ A*: X → X y ↦ A*y = Bài : Giả sử toán tử xác định Chứng minh toán tử tự liên hợp Chứng minh Xét Vậy Do Vậy tự liên hợp Bài 5: Giả sử khơng gian Hilbert tốn tử liên hợp Chứng minh Chứng minh Với tốn tử tuyến tính liên tụ, ta có: (1) Ngược lại, với , , ta có Từ : (2) Từ (1) (2) , ta có: Bài 6: Cholà tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert Chứng minh tự liên hợp Chứng minh +) Vì liên hợp nên Suy , với , tức Do : +) Ngược lại, Do đó, Vậy tự liên hợp  ... Giả sử không gian Hilbert, Với phần tử cố định xét hàm số Xác định với Dễ dàng chứng minh phiến hàm tuyến tính Ngồi , Với Kéo theo phiến hàm tuyến tính giới nội khơng gian Hilbert (1) Theo... = δ > Khi đó, tồn phiếm hàm tuyển tính liên tục f : E → K cho = f(x) = δ 1.7 Hệ quả: (Hệ Định lý Hahn – Banach ) Với vectơ v không gian định chuẩn E, v ≠ 0, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục... gian tuyến tính, tích vơ hướng E, đuọc gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ E gọi khơng gian Hilbert 1.11.Định lý : ( định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên