Toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục trong không gian hilbert và ứng dụng vào phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH - Trương Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 64 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh − 2006 MỤC LỤC Trang Mở đầu: Kiến thức chuẩn bị Chương 1: Toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục không gian Hilbert Chương 2: Áp dụng toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục vào toán biên 21 Bài toán Sturm – Liouville 21 Bổ đề 2.1 (định lý Rayleigh – Ritz Minization) 25 Bài toán Mix Boundary 27 Bổ đề 2.2 30 Bổ đề 2.3 31 Baøi toán Newmann 31 Bài toaùn Periodic 35 Bài toán Borh 38 Chương : Độ khả vi nghiệm toán biên kỳ dị 41 Định lý 3.1 41 Định lý 3.2 44 Định lý 3.3 56 Kết luận 61 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân lónh vực nhiều nhà khoa học nghiên cứu nhiều sách trình bày lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có ứng dụng to lớn khoa học thực tiễn Trong luận văn đề cập tới hai vấn đề chính: Thứ nhất: Hệ thống lại lý thuyết kết toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, bị chặn A từ không gian D(A) vào không gian Hilbert H, kết tốt trình bày định lý 1.9 1.10 Trong đưa tập giá trị riêng trực giao λ i ( i ∈ ) A không gian riêng trực giao tương ứng H λ Áp dụng lý thuyết vào phương trình vi i phân cấp hai: Ly = − ( py ') ' = λy pq hệ số p, q hàm số thoả mãn điều kiện • Sturm – Liouville (S – L) ⎧⎪−αy ( ) + β lim p ( t ) y ' ( t ) = t →0 ⎨ p (t ) y '(t ) = ⎪⎩ ay (1) + b lim t →1 α > 0, β ≥ + a, b ≥ 0; a + b ≠ − • Newmann (N) lim p(t ) y '(t ) = lim p(t ) y '(t ) = t →0+ t →1− • Biên hỗn hợp ⎧⎪lim p ( t ) y ' ( t ) = t →0 ⎨ p ( t ) y '( t ) = ⎪⎩ay (1) + b lim t →1 + a > 0; b ≥ − ⎧⎪y(0) = y(1) ⎨lim p (t ) y '(t ) = lim p (t ) y '(t ) ⎪⎩ t →0 t →1 • Periodic (tuần hoàn) + • Borh (B) − lim p ( t ) y ' ( t ) ∫ − t →1 ds − y (1) = p(s) Tất toán thoả mãn lý thuyết toán tử nên nghiệm phương trình tính qua nghiệm trực giao dạng: ∞ f = ∑ f , φi φi , ∀f ∈ L2ω [ 0,1] i =1 Phần trình bày chương Thứ hai: Áp dụng giá trị riêng toán vào việc đánh giá độ khả vi nghiệm toán biên kỳ dị: < t ⎪−αy ( ) + βy ' ( ) = ⎨ a + b2 > ⎪ ay (1) + by ' (1) = ⎪α, β, a, b ≥ vaø α + a > ⎩ f(t,y) hàm liên tục từ [ 0,1] × ( 0, ∞ ) → ( 0, ∞ ) với điều kiện nhóm giả thiết : ⎧⎪αy ( ) − β y ' ( ) = ⎨ ⎪⎩ay (1) + by ' (1) = có khả vi cấp hai hay không? Luận văn bao gồm: ¾ Mở đầu, giới thiệu chung đề luận văn kiến thức chuẩn bị ¾ Chương 1, trình bày kết toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục A ¾ Chương 2, trình bày áp dụng chương vào toán biên (S – L), (N), (B), ¾ Chương 3, trình bày độ khả vi nghiệm toán biên kỳ dị ¾ Phần kết luận nêu kết đặt vấn đề mở rộng cho toán giá trị biên kỳ dị với điều kiện không nhất, hay điều kiện (B) Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, người thầy giảng dạy hướng dẫn suốt trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM tham gia giảng dạy suốt khoá học này, thầy cô phòng sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi, Anh Trần Văn Toàn anh chị lớp giúp đỡ trình đánh máy luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Tấn, TS Phan Dân, thầy cô, bạn đồng nghiệp trường ĐH Giao thông Vận tải Tp.HCM động viên tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN Các khái niệm bản: 1.1 Định nghóa Cho X , Y không gian Hilbert ( X ⊂ Y ) , tích vô hướng , 1.1.1 Toán tử liên tục A : X → Y gọi compact A(X) chứa tập compact Y 1.1.2 Toán tử liên tục A : X → Y gọi hoàn toàn liên tục ảnh tập bị chặn chứa tập compact Y 1.1 Toán tử tuyến tính A gọi đối xứng neáu Au , v = u , Av , ∀u , v ∈ X 1.1.4 Toán tử tuyến tính A đối xứng gọi bị chặn (trên) tồn số thực C1 , C2 ( C1 , C2 ∈ ) cho: Au , u ≥ C1 u , ∀u ∈ X ; 1.1.5 ( Au, u ≤ C2 u ) X không gian Hilbert M không gian đóng X, phần tử x∈ X , ta phân tích cách dạng: x = x* + x** với x* ∈ M x** ∈ M ⊥ M ⊥ = { y ∈ X / y, z = 0, ∀z ∈ M } vaø x = x* + x** 2 Lúc toán tử PM : X → M xác định PM(x) = x* gọi phép chiếu lên M Phép chiếu lên M toán tử tuyến tính bị chặn M tức PM ≤ đối xứng có tính luỹ linh sau: +/ PM x1 , x2 = x1 , PM x2 ∀x1 , x2 ∈ X + / PM2 ( x ) = PM ( PM ( x ) ) = PM ( x ) ∀x ∈ X 1.1.6 Haøm f gọi liên tục tuyệt đối [a,b] với ε > 0, ∃δ > cho: n ∑b −a i =1 i i n < δ ∑ f ( bi ) − f ( ) < ε, với họ i =1 {( a , b ) ; i = 1, n} i i khoảng không giao Ký hiệu: AC(a,b) 1.1.7 C ( 0,1) = { f : ( 0,1) → , liên tục ( 0,1)} C [ 0,1] = { f : [ 0,1] → , lieân tục [ 0,1]} C1 ( 0,1) = { f : ( 0,1) → , f ' liên tục ( 0,1)} C ( 0,1) = { f : ( 0,1) → , f '' liên tục ( 0,1)} ⎧ L [ 0,1] = ⎨ f : [ 0,1] → ⎩ ⎫ / u = ∫ ω ( t ) f ( t ) dt < ∞ ⎬ ⎭ ⎧ L [ 0,1] = ⎨ f : [ 0,1] → ⎩ ⎫ / u = ∫ ω ( t ) f ( t ) dt < ∞ ⎬ ⎭ 1 ω = pq maø p ∈ C [ 0,1] ∩ C [ 0,1] vaø q ∈ C [ 0,1] tích vô hướng xác định L2 [ 0,1] laø f , g = ∫ ω ( t ) f ( t ) g ( t )dt 1.2 Định nghóa 1.2.1 Giả sử hệ hàm y1 ( x ) , y2 ( x ) , , yn ( x ) khaû vi n-1 lần (a,b) định thức Wronski xác định sau: W ( y1 , y2 , , yn ) = W ( x ) = y1 ( x ) y ( x ) yn ( x ) y '1 ( x ) y '2 ( x ) y 'n ( x ) y1( n-1) ( x ) y2( n-1) ( x ) yn( n-1) ( x ) Neáu W ( x ) ≠ điểm x ∈ ( a, b ) hệ hàm độc lập tuyến tính Neáu W ( x ) = 0, ∀x ∈ ( a, b ) hệ hàm phụ thuộc tuyến tính 1.2.2 Hai hàm y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính, khả vi [0,1] hàm Green xác định sau: ⎧ y1 ( s ) y2 ( t ) , ⎪ W s ( ) ⎪ G (t, s ) = ⎨ ⎪ y1 ( t ) y2 ( s ) , ⎪ W (s) ⎩ 0 thoả mãn n ∑ i =1 1 + = thì: p q n n p p q q xi yi ≤ ⎛⎜ ∑ xi ⎞⎟ ⎛⎜ ∑ yi ⎞⎟ , ∀xi, yi ∈ / ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ 2.2.2 Daïng tích phân: Cho x, y : [ a,b] → hàm số khả tích p p p ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ∫ x ( t ) + y ( t ) dt ⎟ ≤ ⎜ ∫ x ( t ) dt ⎟ + ⎜ ∫ y ( t ) ⎟ ⎠ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ⎝a b p b p b p 2.3 Bất đẳng thức Schwartz E không gian Euclide, đó: ∀u , v ∈ E u, v ≤ u v Dấu xẩy x,y phụ thuộc tuyến tính 2.4 Bất đẳng thức hình bình hành: E không gian Euclide, đó: ∀u , v ∈ E x − y ≤ x+ y ≤ x − y Chương 1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương đề cập tới toán tử tuyến tính đối xứng, hoàn toàn liên tục A từ D(A) vào H, H không gian Hilbert D(A) không gian trù mật H, Nghiên cứu giá trị riêng λ A, véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ ,và H λ không gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ Tiếp sau thêm tính chất cho toán tử A ta thu dãy giá trị riêng λ i ( i = 1, 2, ) , tương ứng ta thu tương ứng không gian riêng H λ hình ảnh H λ i ( i = 1,2, ) i ( i = 1,2, ) Cuoái ta không gian trực giao với tương ứng với λ i ( i = 1, 2, ) khác nhau, sở H λ i ( i = 1,2, ) vectơ riêng xác định chúng Định lý 1.1 Giả sử A: D ( A ) → H toán tử tuyến tính đối xứng thì: i/ Au , u giá trị thực ∀u ∈ D ( A ) ii / Tất giá trị riêng A giá trị thực iii/ Những vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng khác trực giao Chứng minh i/ Từ xác định tích vô hướng, đối xứng toán tử A ta có: ∀u ∈ D ( A ) Au , u = u , Au = Au , u ∈ ii/ Giả sử u vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ toán tử A Au = λu ⇒ Au , u = λu , u = λ u , u = λ u ⇒ λ = Au , u u ∈ Hơn ta có λ = Au , u u = Au , u ∀u ≠ θ iii/ Giả sử A có hai giá trị riêng khác λ1 ≠ λ vaø Au1 = λ1u1 vaø Au2 = λ u2 Au1 , u2 − Au2 , u1 = ⇔ λ1 u1 , u2 − λ u2 , u1 = ( λ1 − λ ) u1 , u2 Xét mà (λ − λ2 ) ≠ ⇒ u1 , u2 = Định lý 1.2 Giả sử A : D ( A ) → H toán tử tuyến tính đối xứng, D ( A ) không gian trù mật H thì: i/ Nếu A bị chặn tồn u ∈ D ( A ) , với LE ( A ) = inf Av, v v∈D A ( ) đạt LE(A) giá trị riêng A u vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng LE(A) Hơn LE(A) giá trị riêng nhỏ A ii/ Nếu A bị chặn ∃u ∈ D ( A ) , với UE ( A ) = sup Av, v v∈D ( A ) đạt UE(A) giá trị riêng A u vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng UE(A) Hơn UE(A) giá trị riêng lớn A Chứng minh i/ Từ ký hiệu soá Rayleigh-Ritz R ( u ) = Au , u u giá trị riêng nhỏ Thật vậy: *Nếu cho v0 ∈ D ( A ) cho số ε ∈ R ( u + εv0 ) ≥ R ( u ) = LE ( A ) Thật từ R ( u + εv0 ) = A ( u + εv0 ) , u + εv0 u + εv0 , u + εv0 ta coù: 49 { } Q1 y + Q2 ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ + Q3 ≤ 2Q4 η η η Như vậy: 2 1⎛ A⎞ a ⎛ A⎞ α⎛ A⎞ − ⎟ y ' + ⎜1 − ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎜1 − ⎟ ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ ≤ Q4 ⎜ 2⎝ μ ⎠ 2b ⎝ μ ⎠ 2β ⎝ μ ⎠ (3.15) Nghóa tồn số M1 độc lập với λ , cho: y ' ≤ M , y ( ) ≤ M , y (1) ≤ M Thay vaøo (4.14) ⇒ ≤ y ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,1] Vaäy y (t ) hàm dương bị chặn n Khả β = 0; a > 0; b > α = 0; a ≠ Cơ ta phân tích giống khả 1, cho ta: ⎛ A⎞ a⎛ A⎞ r +1 1−γ ⎜1 − μ ⎟ y ' + b ⎜1 − μ ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ ≤ ( B + D ) y + C y + A y + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a + A + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ − y ( ) y ' ( ) b a Bây ta chứng minh − y ( ) y ' ( ) ≤ ⎡⎣1 + y (1) ⎤⎦ b ( 3.16 ) (3.17) Ta nhận thấy b = bất đẳng thức (3.17) α = từ y'(0) = giả thiết β = 0; a > 0; b > ta y(0) = , kết hợp n với y'' < 0, suy ra: a ⎡ 1⎤ y ' ( ) > y ' (1) ⇒ − y ( ) y ' ( ) ≤ − y ' (1) = ⎢ y (1) − ⎥ n bn ⎣ n⎦ Lúc thay (3.17) vào (3.16) ta có bất đẳng thức sau: ⎛ A⎞ a⎛ A⎞ 1−γ ⎜1 − μ ⎟ y ' + b ⎜1 − μ ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ ≤ ( B + D ) y + C y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r +1 + 2A y + A + + a 2a ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + b b 50 Áp dụng bất đẳng thức tích phân Holder vào bất dẳng thức sau, ta coù: ⎫ y ( t ) ≤ y (1) + ∫ y dt ≤ y (1) + y , ∀t ∈ [ 0,1]⎪ ⎬⇒ 2 Mặt khác y ≤ y (1) + y ≤ y (1) + y ⎪ ⎭ ( ) ( ⇒ y ( t ) ≤ y (1) + y ) ( 3.18) Cũng lập luận khả 1, tồn soá Q5 cho: 1⎛ A⎞ a ⎛ A⎞ − + − y ' y ⎡ ⎤ ( ) ⎦ ≤ Q5 ⎝⎜ μ ⎠⎟ 2b ⎝⎜ μ ⎠⎟ ⎣ Nghóa tồn số M1 độc lập với λ , cho: ⎧⎪ y ' ≤ M , Thay vaøo (3.18) ⎨ y M ≤ ( ) ⎪⎩ suy ≤ y ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [ 0,1] Vậy y (t ) hàm dương bị chặn n Khả b = 0; α > 0; β > hoaëc a = 0; (cũng α = 0) Khả tương tự khả 1, Khả b =β=0 Từ bất đẳng thức (3.13) ta dạng: ⎛ A⎞ 1−γ ⎜1 − μ ⎟ y ' ≤ ( B + D ) y + C y ⎝ ⎠ Cũng từ y ( ) = y (1) = r +1 + 2A y + A + y '(1) y '(0) − n n , ∃ γ ∈ ( 0,1) cho : n y '( γ ) = ⎫ ⎬ ⇒ y ' ≥ treân ( 0, γ ) y ' < ( γ,1) mà y '' < ⎭ Trong trường hợp riêng y ' ( ) ≥ y ' (1) ≤ ta có: ⎛ A⎞ 1−γ ⎜1 − μ ⎟ y ' ≤ ( B + D ) y + C y ⎝ ⎠ r +1 + Aμ y + Aμ Cùng với (3.18) y ( t ) ≤ + y ' , ∀t ∈ [ 0,1] , vaø y ≤ (1 + y ) ≤ + y' 51 theo phân tích tương tự khả ta có (3.11) thoả mãn Trường hợp γ >1 Trong trường hợp ta chia khả sau Khả naêng α > 0, β > 0, a > 0, b > Kết hợp (3.7) (3.8) cho ta: − y γ y '' ≤ B + D + Cy γ+ r + y γ+1 Ta laáy tích phân hai vế từ tới ta có: γ+1 γ+1 a α ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ + γ y γ ≤ B + D + C ∫ y γ+1dt + b β γ γ a α + A∫ y γ+1dt + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ bn βn Sử dụng thêm bất đẳng thức tích phân ∫y γ+ r ⎡ ⎤ dt ≤ ⎢ ∫ y γ+1dt ⎥ ⎣0 ⎦ r +γ γ+1 , thay vào bất đẳng thức kết hợp với kết định lý 3.1 ta có: ⎛ A ( γ + 1) ⎞ γ−1 A ( γ + 1) ⎞ A ( γ + 1) ⎞ γ+1 a⎛ α⎛ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎜1 + ⎜γ − ⎟ ∫ y ( y ') dt + ⎜1 − ⎟ ⎟≤ ⎜ ⎟0 b 2 μ μ μ β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ≤ B + D + C ⎜ ∫ y γ+1dt ⎟ ⎝0 ⎠ r +γ γ+1 ⎛ ⎞ + A ( γ + 1) ⎜ ∫ y γ+1dt ⎟ ⎝0 ⎠ γ γ+1 + γ γ a α ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ (3.19) b β γ +1 γ +1 γ + t γ 2−1 ⎧ 2 ⎪⎪ ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ = [ y (0) ] + ∫0 y y ' dt từ ⎨ γ −1 γ +1 γ +1 ⎪ ⎡ y ( t ) ⎤ = [ y (1) ] − γ + y y ' dt ⎦ ⎪⎩ ⎣ ∫t ⇒ ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ γ +1 γ +1 γ +1 1⎛ γ + 1 γ 2−1 ⎞ 2 y y ' dt ≤ ⎜ [ y (0) ] + [ y (1) ] ⎟ + 2⎝ ∫0 ⎠ vaø từ ta có: ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ γ +1 γ +1 γ +1 γ +1 (γ + 1) ⎡ ⎤ = ⎢ ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ ⎥ ≤ y ( ) + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎣ ⎦ ≤ y (0) γ +1 + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ γ +1 (γ + 1) + ∫y γ −1 y' dt γ ∫ y ( y' ) −1 dt ( 3.20 ) 52 ⇒ ∫ y dt ≤ ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ γ +1 γ +1 + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ γ +1 (γ + 1) + γ ∫ y ( y' ) −1 dt thay vào (3.19) ta có: ⎛ A ( γ + 1)2 ⎞ γ −1 γ +1 a ⎛ A ( γ + 1) ⎞ ⎜γ ⎟ ∫ y ( y' ) dt + ⎜ 1⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎜ ⎟0 ⎟ b ⎜⎝ 4μ 2μ ⎝ ⎠ ⎠ γ +1 ω ω α ⎛ A ( γ + 1) ⎞ + ⎜ 1⎟ ⎣⎡ y ( ) ⎦⎤ ≤ L0 ⎣⎡ y ( ) ⎦⎤ + L1 ⎣⎡ y (1) ⎦⎤ + ⎟ 2μ β ⎜⎝ ⎠ θ ⎡1 ⎤ + L2 ⎢ ∫ y γ −1 ( y' ) dt ⎥ + L3 ⎣0 ⎦ L0, L1, L2, L3 số θ = ( 3.21) γ+r ; ω=r +γ γ +1 Lúc tồn số L4 , cho: ⎛ A ( γ + 1) ⎜γ ⎜⎝ 4μ 2 ⎞ γ+1 γ+1 a ⎛ A ( γ + 1) ⎞ α ⎛ A ( γ + 1) ⎞ ⎟ y γ + ⎜1 ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎜1 ⎟ ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ ≤ L4 ⎟ ⎟ ⎟ β ⎜⎝ 2b ⎜⎝ 2μ 2μ ⎠ ⎠ ⎠ Do tồn số M1 độc lập với λ thoả mãn: ∫ y ( y ') γ−1 dt ≤ M ⇒ y ( ) ≤ M , y (1) ≤ M Thay vào bất đẳng thức (3.20) cho ta kết (3.11) Khả β = 0, a > 0, b > hoaëc α = Tương tự phân tích khả 1, ta coù: ⎛ A ( γ + 1) ⎞ γ−1 A ( γ + 1) ⎞ γ+1 a⎛ ⎜⎜ γ − ⎟⎟ ∫ y ( y ') dt + ⎜1 − ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ ≤ B + D + 4μ ⎠ b⎝ 2μ ⎠ ⎝ r +γ γ γ γ a ⎛1 ⎞ γ+1 ⎛1 ⎞ γ+1 + C ⎜ ∫ y γ+1dt ⎟ + A ( γ + 1) ⎜ ∫ y γ+1dt ⎟ + + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + y ' ( ) ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ b ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ Cũng kết có từ bất đẳng thức (3.17) cho ta: − y ' ( ) ⎡⎣ y ( ) ⎤⎦ ≤ γ Thay vào (3.22) ta được: a ⎡1 + y (1) ⎤⎦ b⎣ ( 3.22 ) 53 ⎛ A ( γ + 1) ⎞ γ−1 ⎜⎜ γ − ⎟⎟ ∫ y ( y ') dt + 4μ ⎝ ⎠0 A ( γ + 1) ⎞ γ+1 a⎛ ⎜1 − ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ ≤ B + D b⎝ 2μ ⎠ r+γ γ γ a ⎛1 ⎞ γ +1 ⎛1 ⎞ γ +1 a +C ⎜ ∫ y γ +1dt ⎟ + A ( γ + 1) ⎜ ∫ y γ +1dt ⎟ + ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ + ⎡⎣1 + y (1) ⎤⎦ b b ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ γ−1 γ+1 γ+1 γ +1 Mặt khác ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ = ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ − ∫ y y ' dt seõ cho ta: ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ γ+1 ≤ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ γ+1 + ( γ + 1) 2 ∫ y ( y ') γ−1 ( 3.23) (3.24) dt Do ta có kết sau tồn số L5 sau A ( γ + 1) 1⎛ ⎜⎜ γ − 2⎝ 4μ ⎞ γ−1 A ( γ + 1) ⎞ γ+1 a⎛ ⎟⎟ ∫ y ( y ' ) dt + ⎜1 − ⎟ ⎡⎣ y (1) ⎤⎦ ≤ L5 b⎝ 2μ ⎠ ⎠0 Cũng từ tồn số M1 độc lập với λ thoả mãn: γ −1 ∫ y ( y ') dt ≤ M a > 0, b > ta chọn y (1) ≤ M Còn lại trường hợp khác β = 0, a > 0, b > 0, vaø α = 0, b > 0, a= b = từ bất đẳng thức ( 3.24 ) cho ta kết ( 3.11) Khả b = 0, α > 0, β > hoaëc a = Khả tương tự khả ta có kết cần chứng minh Khả β=b=0 Ta có y(0) = y(1) = ; y ' ( ) ≥ 0; y '(1) ≤ nên từ (3.19), ta có: n r +γ γ ⎛ A ( γ + 1) ⎞ ⎛ γ+1 ⎞ γ+1 ⎛ γ+1 ⎞ γ +1 ⎜⎜ γ − ⎟⎟ y γ ≤ B + D + C ⎜ ∫ y dt ⎟ + A ( γ + 1) ⎜ ∫ y dt ⎟ 4μ ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝ Ngoài từ bất đẳng thức (3.24) ta coù: ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦ γ+1 ( γ + 1) ≤2+ A ( γ + 1) 1⎛ tồn số L6 cho: ⎜ γ − ⎜⎝ 4μ 2 ∫ y ( y ' ) γ−1 ⎞ γ−1 ⎟⎟ ∫ y ( y ' ) dt ≤ L6 ⎠0 dt 54 Như ta có kết cần chứng minh bất đẳng thức (3.11) là: ≤ y ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [0,1]; ∀n ∈ n * trường hợp γ Kế tiếp có bất đẳng thức khác nhờ vào ∃ số M2 độc lập với λ thoả mãn: ⎡1 ⎤ y '' ≤ sup f ( t , u ) := M , M2 supremum [ 0,1] × ⎢ , M ⎥ ⎣n ⎦ • Cuối ta phải chứng minh tồn số M3 độc lập với λ cho: sup y ' ( t ) ≤ M (3.25) [0,1] Luùc có hai trường hợp xảy β sau: Trường hợp y '( 0) = β ≠ α⎡ 1⎤ y ( ) − ⎥ ; với ý y ' ( ) = α = có : ⎢ β⎣ n⎦ y ' ( t ) ≤ y ' ( ) + ∫ y '' ( s ) ds ≤ Khi đặt M = α [1 + M ] + M , ∀t ∈ [0,1] β α [1 + M ] + M có (3.25) β β = y ( ) = , có khả b xảy n Trường hợp Khả b = Nếu b = y (1) = ∃ v ∈ ( 0,1) cho y'(v) = ñoù n y '(t ) ≤ t 0 ∫ y '' ( s ) ds ≤ ∫ y '' ( t ) ds ≤ M Tức (3.25) thoả mãn Khả b≠0 , ∀t ∈ ( 0,1) 55 Nếu b ≠ y ' (1) = a ⎡1 ⎤ − y (1) ⎥ có: ⎢ b ⎣n ⎦ y ' ( t ) ≤ y ' (1) + ∫ y '' ( s ) ds ≤ a [1 + M ] + M := M b Vậy (3.25) thoả mãn Tóm lại 1/ bất đẳng thức (3.11) là: 2/ bất đẳng thức (3.25) là: ≤ y ( t ) ≤ M , ∀t ∈ [0,1]; ∀n ∈ n * sup y ' ( t ) ≤ M [0,1] 3/ kết hợp với mệnh đề sau: Nếu có (3.1) tồn số M độc lập với λ thoả maõn: { } max sup y ( t ) ,sup p ( t ) y ' ( t ) = max { y , py ' } = y ≤ M [0,1] (0,1) phương trình: ⎧1 ⎪ p ( py ') ' = qf ( t , y, py ' ) ⎪⎪ p (t ) y '(t ) = c ⎨αy ( ) + β lim t →0 ⎪ p (t ) y '(t ) = d ⎪ay (1) + b lim t →1 ⎪⎩ + − < t 0, β ≥ a, b ≥ 0, a + b > 0; c, d = const có nghieäm y ∈ C [ 0,1] ∩ C [ 0,1] với py ' ∈ C [ 0,1] Khi phương trình ( 3.9 )λ=1 : n ⎧ * ⎪ y ''+ λf ( t , y ) = 0, ⎪ α ⎪ ⎨α y ( ) − β y ' ( ) = n ⎪ a ⎪ ay by ' , + = ( ) ( ) ⎪⎩ n < t < 1, < λ < ∀n ∈ có nghiệm y với n xác định, mà từ giả thiết y ≥ phương trình ( 3.10 ) n tức phương trình ( 3.6 ) sau: n * [0,1] n 56 ⎧ ⎪ y ''+ λf ( t , y ) = ⎪ α ⎪ ⎨α y ( ) − β y ' ( ) = n ⎪ a ⎪ ⎪⎩ay (1) + by ' (1) = n có nghiệm y ∈ C ( 0,1) , với n ∈ < t ( 3.8) : ⎨ Ngoaøi thoả mãn thêm điều kiện: số M > thoả f ( t , u ) ≥ ϕ ( t ) [ 0,1] × ( 0, M ) Khi ∃ nghiệm phương trình ( 3.1) thuộc C [ 0,1] ∩ C ( 0,1) trường hợp sau: ⎧0 ≤ γ ≤ 4μω1 4μγ ; Trường hợp : γ > 1, A < , A< Trường hợp 1: ⎨ γ +1 ( γ + 1) ⎩A < μ ⎧0 α = b = a = β = hoaëc b = β = Trong ω1 = ⎨ ⎩1 trường hợp lại μ giá trị riêng phương trình: ⎧ω''+λω = 0 < t < ⎪ ⎨−αω ( ) + βω ' ( ) = ⎪ ⎩ aω (1) + bω ' (1) = Chứng minh: Áp dụng định lý 3.1 cho phương trình ( 3.9 ) , với n n 57 có nghiệm yn, định lý ta tiếp tục xem xét tính chất trường hợp ≤ γ ≤ γ > Trường hợp 1: ≤ γ ≤ Từ định lý 3.2, tồn số M0, M1 độc lập với n, cho: sup yn ( t ) ≤ M , y 'n ≤ M [0,1] Áp dụng bất đẳng thức Holder [0,1] cho dãy hàm {yn} suy dãy hàm bị chặn liên tục Do ta tiếp tục áp dụng định lý Azela Ascoli dãy hàm có dãy dạng { yn ' }n ' hội tụ hàm y ∈ C [ 0,1] [ 0,1] Trường hợp 2: γ >1 Cũng từ định lý 3.2, tồn số M0, M1 độc lập với n cho: ⎧sup yn ( t ) ≤ M ⎪ [0,1] ⎨ γ−1 ⎪ ∫ yn ( y ') dt ≤ M ⎩0 ∀n ∈ * ⎧ γ+1 ⎫ Do sử dụng bất đẳng thức tích phân cho dãy hàm ⎨ yn ⎬ [0,1], ⎩ ⎭n dãy bị chặn liên tục Áp dụng định lý Azela -Ascoli ⎧ γ+21 ⎫ tồn dãy ⎨ yn ' ⎬ hội tụ hàm Iy ∈C [ 0,1] [ 0,1] , với I ⎩ ⎭n ' ánh xạ đồng nhất, Kết hợp với tồn J −1 hàm tuyến tính { I ( yn ' )} dãy bị chặn ứng với dãy hàm {yn'} liên tục [0,1] hàm y ∈ C [ 0,1] Bây từ yn ' ≥ [ 0,1] treân [ 0,1] ⇒ { yn ' } ⎯⎯→ y, y ≥ [ 0,1] , n' thực tế y > (0,1) Điều với tồn M0 58 độc lập với n' cho ta tồn hàm Ψ ( t ) độc lập với n' cho: f ( t , yn ' ( t ) ) ≥ Ψ ( t ) Áp dụng hàm Green quy tắc Cramer ta dễ dàng chứng minh t t rằng: yn ( t ) ≥ (1 − t ) ∫ s.ψ ( s ) ds + t ∫ (1 − s ) ψ ( s ) ds + ⎡ ( a + b)β ⎤ βb 1 s s ds s s ds + ⎢ + − ψ + ψ ( ) ( ) ( ) ∫0 ∫ ⎥ (1 − t ) δ δ ⎣n' ⎦ a + b)β ⎡ βb ⎤ ( s s ds s s ds + ⎢ + − ψ + ψ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫0 ⎥ t δ ⎣n' δ ⎦ δ = aα + aβ + bα ( 3.27 ) Như y > (0,1), ý có khả sau: Khả 1: b = 0, α > 0, β > hoaëc α = 0, b = Theo ta có y > treân ( 0,1) ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ y (1) = vaø yn ' (1) = ⎪ n' ⎭ y n' thoả mãn đẳng thức tích phaân y n' ( t ) = yn ' ( ) + t α⎡ 1⎤ − − y t n' ( ) ∫ ( t − s ) f ( s, yn ' ( s ) ) ds n ' ⎥⎦ β ⎢⎣ (Vì f toán tử liên tục tập Compact [ 0,1] × [ 0, M ] ) t α Do ta cho n ' → ∞ : y ( t ) = y ( ) + y ( ) t − ∫ ( t − s ) f ( t , y ( s ) ) ds β Áp dụng bất đẳng thức tích phân ta có: y ∈ C [ 0,1] ⎧⎪ y '' = − f ( t , y ) , ∀t ∈ ( 0,1) với ⎨ ⎪⎩αy ( ) − βy ' ( ) = Khả 2: β = 0, a > 0, b > hoaëc a = β = Trong trường hợp y > 0, y(0) = 0, ta có yn' thoả mãn đẳng thức tích phân ta có: 59 a⎡ 1⎤ yn ' ( t ) = yn ' ( ) + ⎢ yn ' (1) − ⎥ (1 − t ) − ∫ ( s − t ) f ( s, yn ' ( s ) ) ds b⎣ n'⎦ t Cũng áp dụng bất đẳng thức tích phân ta có kết trường hợp Khả 3: b = β = Từ y > treân ( 0,1) ⎫⎪ ⎬ ⇒ ta có yn ' thoả mãn đẳng thức tích phân vaø y ( ) = y (1) = ⎪⎭ ⎛1⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ t y n' ( t ) = yn ' ⎜ ⎟ + y 'n ' ⎜ ⎟⎜ t − ⎟ + ∫ ( s − t ) f ( s, yn ' ( s ) ) ds ⎝2⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎧ ⎛ ⎞⎫ ( Ta có bị chặn dãy ⎨ y 'n ' ⎜ ⎟ ⎬ hội tụ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭n ' φ ( t ) ≤ yn ' ( t ) ≤ M ∀t ∈ ( 0,1) ) φ ( t ) hàm vế phải bất đẳng thức (3.27)) ⎧ ⎛ ⎞⎫ • Với b = β = ta có dãy ⎨ y 'n ⎜ ⎟ ⎬ có dãy hội tụ là: ⎩ ⎝ ⎠ ⎭n ⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎨ y 'n ' ⎜ ⎟ ⎬ , hội tụ tới số thực q ( Thực ⎨ y 'n ' ⎜ ⎟ ⎬ dãy Cauchy ⎩ ⎝ ⎠ ⎭n ' ⎩ ⎝ ⎠ ⎭n ' bị chặn trên.) Cho t ∈ ( 0,1) , vaø n ' → ∞, q ∈ ta có : ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ t y ( t ) = y ⎜ ⎟ + q ⎜ t − ⎟ + ∫ ( s − t ) f ( s, y ( s ) ) ds ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ Từ liên tục f tập compact ⎡ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ , t ⎟ ,max ⎜ , t ⎟ ⎥ × [ 0, M ] Lúc ta có kết trường hợp ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ Khả 4: a = 0, β > Ta có y > [0,1], ta có yn' thoả mãn đẳng thức tích phân sau: 60 ( β + αt ) β+α 1t + t yn ' ( t ) = ∫ ( β + αs ) f ( s, yn ' ( s ) ) ds + f ( s, yn ' ( s ) ) ds + ∫ α0 α αn ' n ' t cho n ' → ∞ ta coù : y (t ) = ( β + αt ) 1t β + α + , s f s y s ds ( ) ( ) ( n' ) ∫ ∫t f ( s, yn ' ( s ) ) ds α0 α Từ đẳng thức tích phân ta có y ∈ C ( 0,1) < t 0, b > Khi y > [0,1], có yn' thoả mãn đẳng thức tích phân sau: ( b + a − at ) b 11 ( b + a − as ) f ( s, yn ' ( s ) ) ds − + t ∫ ∫ a at an ' n ' Áp dụng bất đẳng thức tích phân ta có kết trường hợp yn ' ( t ) = t f ( s, yn ' ( s ) ) ds + Khả 6: α > 0, β > 0, a > 0, b > Khi y > [0,1], ta có đẳng thức tích phân sau: yn ' ( t ) = ( b + a − at ) t ∫ (β + αs ) f ( s, y ( s ) ) ds + aα + αb + β a n' + ( β + αt ) ∫ ( b + a − as ) f ( s, y ( s ) ) ds + n ' aα + α b + β a n' t cuối ta có kết trường hợp Tóm lại ta chứng minh khả vi toán biên kỳ dị (3.1) chứng minh trường hợp xảy số toán 61 KẾT LUẬN Trong luận văn ứng dụng kết toán tử tuyến tính, đối xứng hoàn toàn liên tục vào toán biên SturmLiouville, Mix Boundary, Newmann, Periodic, Borh để tính nghiệm toán thông qua nghiệm riêng độc lập tuyến tính trực giao toán Sau nghiên cứu độ khả vi nghiệm toán biên kỳ dị trường hợp hệ số Cũng với cách chứng minh định lý 3.3, ta thấy giả thiết (3.26) không cần thiết Ngoài mở rộng theo hai toán sau: Bài toán 1: Bài toán giá trị biên không sau: ⎧ ⎪ y ''+ f (t, y ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎪αy (0) − βy ' (0) = A0 , A0 ≥ ⎪ ⎪ ⎪ ay (1) + by ' (1) = A1, A1 ≥ ⎪ ⎪ ⎩ Với ý toán mở rộng có giả thiết toán định lý 3.3, min{A0, A1} > giả thiết (3.26) không cần thiết Bài toán 2: Xét toán giá trị biên chương ⎧ ⎪ ⎪ (py ') '+ qf (t, y ) = 0, < t < ⎪ p ⎪ ⎪ ⎪−αy (0) + β lim p (t ) y ' (t ) = ⎨ t →0 ⎪⎪ ⎪⎪ay ' (1) + b lim p (t )y ' (t ) = 0, α + a > t →1 ⎪⎪ ⎩ + − Ta nghiên cứu ta nghiệm toán với giả thiết sau: 62 ⎧⎪ 1 ⎪ 0,1 0,1 , 0,1 , p ∈ C ∩ C p > treâ n ds < ∞ [ ] ( ) ( ) ∫ ⎪⎪ ( ) p s ⎨ ⎪ ⎪⎪⎩⎪q ∈ C (0,1), q > (0,1) q ∈ Lp [ 0,1] Trong luận văn trình bày số kiến thức hạn chế không tránh khỏi sai sót mong góp ý quý thầy cô bạn đọc luận văn nay, xin chân thành cảm ơn Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt PGS TS Lê Hoàn Hoá, ĐH Sp Tp HCM, “Phép tính vi phân không gian Banach” Nguyễn Đình Phư, Phương Trình Vi Phân, NXB ĐH QG Tp HCM PGS TS Bùi Tường Trí, ĐH Sp Tp HCM, “ Đại số tuyến tính” Tiếng anh Donal O’ Regan, Theory of Singular Boundary Value Problems, University College Galway Ireland J.E.Calvert and W.D.Royalty, Some Existence for Singular Boundary Value Problems, L.E.Bobisud ... TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương đề cập tới toán tử tuyến tính đối xứng, hoàn toàn liên tục A từ D(A) vào H, H không gian Hilbert D(A) không gian trù mật... Chương 1: Toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục không gian Hilbert Chương 2: Áp dụng toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục vào toán biên 21 Bài toán Sturm – Liouville ... Chương 2: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC VÀO BÀI TOÁN BIÊN Trong chương áp dụng kết chương cho giá trị riêng không Cụ thể áp dụng vào phương trình vi phân tuyến tính cấp