Bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Dịp BÀI TỐN BIÊN KHƠNG ĐỊAPHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Dịp BÀI TỐN BIÊN KHƠNG ĐỊAPHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI KỲ DỊ Chuyên ngành :Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOAHỌC: PGS.TS.NGUYỄNANHTUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016     LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ Toán Học với đề tài “Bài toán biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị’’ thực với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn khơng chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại cách chi tiết kết nhà toán học A Lomtatidze L Malaguti từ tài liệu tham khảo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn thạc sĩ Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 09 năm 2016 Học viên thực Nguyễn Dịp     LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM dành nhiều thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học quý Thầy Cô giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành khóa học Và để có kết ngày hơm nay, tơi có giúp đỡ tận tình Ban Giám Hiệu, tổ Tốn Trường THPT Bến Cát, nhận lời động viên, đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệpTrường THPT Bến Cát bạn bè người thân Đặc biệt, xin dành tặng kết cho ba mẹ gia đình thân yêu mình, người tạo điều kiện, hỗ trợ động viên tơi vượt qua khó khăn bước đường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, trình viết luận văn này, thời gian tầm hiểu biết có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Tp.HCM, tháng 09 năm 2016 Nguyễn Dịp     MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương BÀI TOÁN BIÊN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI 1.1.Giới thiệu toán định nghĩa 1.2 Định lí tồn nghiệm tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai .4 Chương BÀI TỐN BIÊN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI KỲ DỊ 29 2.1 Giới thiệu toán định nghĩa .29 2.2 Định lí tồn nghiệm tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị .30 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60     DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU   tập số thực      0,      a, b  ;   không gian ánh xạ liên tục u :  a, b    đoạn  a, b  với chuẩn: u     max u  t  : a  t  b      a , b  ;    u    a , b  ;   : u  a   u  b    1  a, b  ;   không gian ánh xạ khả vi, liên tục u :  a, b    với chuẩn: u 1  u   u     10  a, b ;    u  1  a, b ;   : u  a   u  b       a, b  ;   không gian hàm liên tục tuyệt đối đoạn  a, b  với  đạo hàm cấp liên tục tuyệt đối, hàm u :  a, b    với chuẩn: b u     u  a    u   s  ds a    I , D   I   a, b  , D    tập ánh xạ u : I  D liên tục tuyệt đối  loc    I , D  với tập compact I  I I cho u   0    a, b  ,   không hàm p : ( a; b)   khả tích Lebesgue đoạn  a, b  với chuẩn: b f    f  s  ds a loc  (a, b)  không gian hàm p : ( a; b )   khả tích Lebesgue đoạn  a   , b    với     đủ nhỏ     a , b  ,     f     a , b  ,   : f  t   0, a  t  b       p   a, b  ,   , p  không gian hàm f :  a , b    , f p     a, b  ,    với chuẩn: 1/ p f   p b  p    f  s  ds    a   K  a, b   R n , R n tập Carathéodory nghĩa tập hợp ánh xạ f :  a, b   R n  R n ;  t , x   f  t , x  thỏa mãn điều kiện :  f liên tục theo biến x với mỗi t cố định thuộc  a, b   Với x  Rn hàm f  t , x  hàm đo  a, b  thỏa mãn: r  , qr  t   L  a , b  : sup     f  t , x  : x  r  qr  t  hầu khắp nơi  a, b   K  a, b   R n , D , n  N , D  R tập hợp ánh xạ f : (a, b)  R n  D thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương nghĩa là:  f (, x) :  a, b   D đo với x  R n  sup  f  , x  , x  D0   L   a, b  , R  với tập compact D0  R n  f  t ,  : R n  D liên tục hầu khắp nơi với t   a, b   K0   a, b   R  tập hợp hàm g :  a, b   R  R cho ánh xạ t  g  t , x1  t  , x2  t   hàm đo được, xi :  a, b   R, i  1, hàm liên tục   : loc  (a, b)   loc  (a, b)  toán tử định nghĩa sau:  t   ( p)(t )  exp   p( s)d ( s)   ( a  b)/2     Nếu  ( p )    a, b  ,    a, b  ,    a, b  thì:   ( p )(t )  t  p ( s ) ds  ( p )(t )      t   ( p )(t )   p ( s )ds  ( p )(t )      p( s)ds t u ( s  ), u ( s  ) giới hạn bên phải giới hạn bên trái hàm u s  [ p (t )]  1 p (t )  p (t )  , [ p (t )]   p (t )  p (t )   2  Hàm  gọi có biến phân bị chặn (kí hiệu   BV )  a, b  đại lượng sau hữu hạn: b n a i 1  : sup    ti     ti 1  sup lấy tập phân hoạch  a, b  : a  t0  t1   tn  b, n  N  Hàm  gọi liên tục tuyệt đối (kí hiệu   AV )  a, b  với số dương  ta tìm số   cho bất đẳng thức: n    bi        i 1 cho họ  , bi  : i  1, n khoảng khơng giao có tổng độ dài nhỏ   Hàm  gọi hàm không giảm đoạn  a, b  x, y   a, b  thỏa mãn x  y ta có:   x     y   Hàm  gọi hàm không tăng đoạn  a, b  x, y   a, b  thỏa mãn x  y ta có:   x     y    MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết tốn biên cho phương trình vi phân đời từ kỉ thứ 18,tuy đến cịn phát triển mạnh ứng dụng nhiều vật lí,cơ học,kĩ thuật,kinh tế nơng nghiệp Một mục đích việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm,đối số lệch,hay phương trình vi phân khơng quy.Bài tốn biên cho phương trình vi phân khơng quy nghiên cứu nhiều nhà tốn học đến từ: Cộng hịa Grugia, Cộng hịa Séc I.Kiguradze,A.Lomtatidze,B.Puza… Tính giải toán với điều kiện biên khác nhau, hay với điều kiện hàm khác vấn đề cần xem xét.Trong luận văn xem xét số vấn đề tính giải tốn biên khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng tuyến tính Mục tiêu nghiên cứu Trình bày lại cách chi tiết hai báo tác giả: A Lomtatidze “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Linear Ordinary Differential Equations” Journal of Mathematical Analysis And Applications 193, 889-908 (1995) A Lomtatidze and L Malaguti “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Nonlinear Singular Differential Equations” Georgian Mathematical Journal Volume (2000), Number 1, 133-154 Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này,tác giả chủ yếu thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, đọc hiểu Từ tác giả tổng hợp trình bày số định nghĩa, bổ đề, định lí, chứng số vấn đề tính giải tốn biên khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng tuyến tính Cuối trình bày số hệ thu từ định lí Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương:   Chương Bài toán biên khơng địa phương cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Chương Bài tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị Ý nghĩa thực tiễn đề tài nghiên cứu Là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học người quan tâm đến tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị 47   Theo bổ đề 2.13 từ (2.56) ta có:  b  v  t   r2 1    ab p*  s  g  s  ds   a    b  b *     p  s  ds   H  t , s  g  s   p1  s  ds  t1  t  b,   t t1      đó: r2  không phụ thuộc vào u Vậy với (2.55) ta có (2.56) Bổ đề chứng minh □ Bổ đề 2.16: Trên tập  a, b   R cho điều kiện: f  t , x, y   p1  t  x  p2  t  y  g  t , x, y  , g  t , x, y   g *  t  , thỏa mãn,  p1, p2   U    a, b   ,  ab  p2  g *  L  a, b  hàm g :  a, b   R  R thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương Khi tốn (2.1.), (2.2) có nghiệm Chứng minh:   Kí hiệu C  a, b ; R tập phiếm hàm véctơ liên tục  a, b  lấy   giá trị R , với véctơ x  C  a, b , R ta có chuẩn:   x  max x1  t   x2  t  : a  t  b Giả sử G1 hàm Green toán (2.20), (2.2) G2  t ,    ab  p2    G1  t ,  t Từ nhận xét 2.7, ta thấy toán tử F   F1, F2  định nghĩa công thức:  x2  s   Fi  x1 , x2  t    Gi  t , s  g  s , x1  s  ,  ds , p s     ab   a b   i  1, 2, ánh xạ liên tục từ không gian C  a, b ; R vào tập compat 48    Vì thế, theo định lí điểm bất động Schauder tồn hàm  x1, x2   C  a, b ; R  cho: b  x2  s   xi  t    Gi  t , s  g  s , x1  s  ,  ds  p s    ab   a a  t  b, i  1, Từ ta thấy x2  t   x1  t   ab  p2  t  hàm u  t   x1  t  a  t  b nghiệm toán (2.1), (2.2) Vậy bổ đề chứng minh.□ Chứng minh định lí 2.3: Giả sử r , r2 , H , H1 H số hàm tương ứng có bổ đề 2.14 2.15 Đặt b  i  t   r  H i  t , s  p  s  ds a  t  b, i  0,1, a  b  a      t   r2 1    ab p*  s  p  s  ds   b b      p*  s  ds   H  t , s  p  s   p1  s  ds  t  t1       t1  t  b, 1 x  i  t   x 1  i  t , x   2  i  t   x  i  t   1, i  0,1, pi  t    0 x  i  t     ba ba     t , x  1  t , y  t   a  4k , b  4k     , (2.57)  k  t , x, y      b a b a     0 t   a, a  ,b   b   4k   4k   k  1, 2, f k  t , x, y    k  t , x, y   f  t , x, y   p1  t  x  p12  t  y  a  t  b, x, y  R , k  1, 2, (2.58) 49     f k*    sup f k  , x, y  :  x, y   R  L  a, b Nhận xét (*):  i  t , x     k  t , x, y   Theo bổ đề 2.16 với số tự nhiên k toán: b u   p1  t  u  p12  t  u   f k  t , x, y  , u  a    0, u  b     u  s  d   s  a có nghiệm uk Theo (2.58), uk nghiệm phương trình u  p1  t  u  g  t  u  g  t  , (2.59) đó: g  t   p12  t    k  t , uk  t  , uk  t       p2 t , uk  t  , uk  t   p12  t     a  t  b (2.60) g  t    k  t , uk  t  , uk  t     f  t , uk  t  , uk  t    p1  t  uk  t   p2  t , uk  t  , uk  t   uk  t   a  t  b (2.61) Theo (2.8), (2.9), (2.11), (2.57) (2.58) bất đẳng thức sau thỏa mãn p12  t   g  t   p22  t  g  t   a  t  b, (2.62) g  t   g  t  sgn uk  t   p  t    g  t   p  t  a  t  b, t1  t  b (2.64) Thật ta kiểm tra (2.62) Từ (2.9) nhận xét (*) ta có    k  t , uk  t  , uk  t    p2 t , uk  t  , uk  t   p12  t    0,  (2.63)  suy ra: g  t   p12  t    p12 (t) a  t  b Mặt khác, từ (2.9) nhận xét (*) ta lại có    k  t , uk  t  , uk  t    p2  t , uk  t  , uk  t    p12  t    p2 t , uk  t  , uk  t   p12  t  50   suy ra:   p2  t , uk  t  , uk  t    p22 (t)  g  t   p12  t    p2 t , uk  t  , uk  t   p12  t     a  t  b Vậy p12  t   g  t   p22  t  a  t  b Bất đẳng thức (2.63) hiển nhiên Ta kiểm tra (2.64) Từ (2.11) nhận xét (*) ta có:  g (t )   k t , uk  t  , uk  t    f  t , uk  t  , uk  t    p1  t  uk  t   p2  t , uk  t  , uk  t   uk  t   f  t , uk  t  , uk  t    p1  t  uk  t   p2  t , uk  t  , uk  t   uk  t   p(t ) t1  t  b Theo bổ đề 2.14và 2.15 điều kiện (2.10), (2.62)-(2.64) ta có đánh giá: uk   t   i  t  i a  t  b, i  0,1, (2.65) b uk  t    uk  s  d   s     t  t1  t  b (2.66) a Trong điều (2.57), (2.58), (2.60), (2.61) (2.65), từ (2.59) ta thấy ba ba thu hẹp uk  a  nghiệm phương trình (2.1) Dễ ,b  k k     thấy dãy  u k k 1  u k k 1 bị chặn đồng liên tục  a, b  Vì vậy, khơng làm tính tổng qt ta giả sử chúng hội tụ  a, b  Hiển nhiên lim uk  t   u  t  k  atb nghiệm phương trình (2.1) Mặt khác, từ 0  a      b    0, kết hợp (2.65),(2.66) u thỏa mãn điều kiện biên (2.2) Định lí chứng minh.□ 51   Trong nhận xét 2.4, cho điều kiện (2.4)-(2.6) thỏa mãn cho  p1, p12 , p22  V   a, b   Khi tồn hàm đo p2 :  a, b   R thỏa (2.7)  p1, p2   U    a, b   Giả sử g1 hàm cho bổ đề 2.11 cho u0  nghiệm tốn (2.21), (2.2) Khi đóhàm f (t , x, y )  g1(t ) x  p2  t  y  u0  t  thỏa điều kiện (2.8), (2.11) Mặt khác, ta thấy (xem [8], định lí 1) phương trình: u  g1  t  u  p2  t  u  u0  t  khơng có nghiệm thỏa điều kiện biên (2.2) Ví dụ: Xét tốn (2.1), (2.2)  hàm đơn điệu tăng,   b     a   f  t , x, y   p0  t   p1  t  x  p2  t  y  p3  t  x 2n 1 y , k pi  Lloc   a, b   , i  0,3, n, k số nguyên Giả sử :   0,    1, p1  t   0, p3  t   0, p2  t      t a   bt a  t  b, b   s  a  b  s  pi  s  ds   i  0,1, a p3  t   lận cân điểm b Như nói định lí 1.2 [8], ta có từ định lí 2.3 trường hợp tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Ta thấy từ ví dụ hàm f khơng khả tích t  a , t  b Hệ 2.17: Trên tập  a, b   R cho bất đẳng thức: 52   f  t , x, y  sgn x  p1  t  x  p2  t  y  p  t  (2.67) thỏa mãn,  p1,  p2 , p2   V   a, b      ab  1 p2 p  L  a, b  i  1, i (2.68) Hơn nữa, cho t1   a, b  cho: f  t , x, y   p1  t  x  p2  t  y  p  t  t1  t  b, x  R, y  R (2.69) Khi tốn (2.1),(2.2) có nghiệm Chứng minh: Đặt p2 (t )  p22 (t )   p12 (t ),  p2 (t )sgn ( xy ) x  a  t  b, p2 (t , x, y )   x   p2 (t ) p (t , x, y )  p2 (t ) t1  t  b , x  R, y  R Khi giả thiết định lí 2.3 thỏa mãn Thật vậy, ta thấy (2.67) (2.69) thỏa mãn (2.8) (2.12) thỏa mãn Trường hợp 1: x  p2 (t ,0, y )  p2 (t ) a  t  b, y  R p (t ,0, y )  p2 (t ) t1  t  b, y  R (2.67) trở thành: p2 (t ) y  p (t )  a  t  b, y  R (2.8) trở thành: p(t )  a  t  b, y  R (2.69) trở thành: f (t ,0, y )  p (t ,0, y ) y  p(t ) t1  t  b, y  R (2.12) trở thành: f (t ,0, y )  p (t ,0, y ) y  p (t ) Vậy trường hợp thỏa mãn t1  t  b, y  R 53   Trường hợp 2: x  Ta có (2.8) trở thành:  f  t , x, y   p1  t  x  p2 (t )sgn ( xy )  sgn x   p  t   f (t , x, y )sgn x  p1 (t ) x  p2 (t ) y   p(t )  f (t , x, y )sgn x  p1 (t ) x  p2 (t ) y  p(t ) a  t  b, y  R Do (2.67) thỏa mãn (2.8) thỏa mãn Do nhận xét 2.5 nên (2.69) thỏa mãn (2.12) thỏa mãn Vậy giả thiết định lí 2.3 thỏa mãn nên tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Hệ chứng minh □ Hệ 2.18: Giả sử tồn số: i   0,1 , li   0,   ,  i   0,   , i  1, 2, c   a, b  hàm p :  a, b    0;   cho:   ds l1  l2 s  s 2 l 1  c  a  ,   1 sds  1  l2 s  s 2 l ds  1  l2 s  s  1  b  c    2    ln  *  b    *  a  , (2.70) (2.71) hàm t   t  a  b  t  p  t  khả tích  a, b  tập  a, b   R bất đẳng thức (2.67) thỏa mãn, đó:  l  t  a 21  p1  t    2 l1  b  t  at c ct b  l  t  a 1    t  a 1  p2  t     2 1  2  b  t  l2  b  t  khi (2.72) atc ct b (2.73) Hơn nữa, cho (2.69) thỏa mãn với t1   a, b  Khi tốn (2.1), (2.2) có nghiệm 54   Chứng minh hệ 2.18: Xem định lí [8] hệ 2.16 Định lí 2.19 ([14]): Trên tập  a, b   R cho bất đẳng thức:  f  t , x, y   f  t , x , y   sgn  x  x   p1  t  x  x , (2.74) p12  t  y  y   f  t , x, y   f  t , x, y   sgn  y  y   p22  t  y  y (2.75) thỏa mãn,  p1, p12 , p22   V   a, b   b    pi   t  f  t , 0,  dt  , i  1, a Hơn nữa, tồn t1   a, b  hàm dương p  Lloc   a, b   cho   ab  pi  p  L  a, b  , i  1, (2.12) thỏa mãn, p  K0  a, b   R p12  t   p  t , x, y   p22  t   t , x, y    t1, b   R Khi tốn (2.1), (2.2) có nghiệm o Để chứng minh định lí trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.20: Giả sử điều kiện (2.14) thỏa mãn Khi tồn      0, ba   cho:  p1, p2  U    a   , b        0,   Chứng minh: Ta chọn:    ba  , i  1,        i :  i   0,  Khi    0,   ta ln có  a   i , b   i    a   , b      a   , b      a, b  , i=1,2  55   Vì theo bổ đề 2.8 ta có  p1, p2   U    a   , b     với    0,   Vậy bổ đề chứng minh □ Nhận xét 2.21: Giả sử điều kiện (2.14) thỏa mãn cho  số tìm bổ đề 2.20 Cho    0,   gọi u nghiệm phương trình (2.20) thỏa mãn điều kiện: u  a     1    , u b     b   u  s d   s      a  Giả sử rằng:  i       0, i  1, Khi ta có:   max u  t  : a    t  b      Chứng minh định lí 2.19: Đặt p  t   f  t ,0,0  a  t  b,  f  t ,0, y   f  t ,0,0   p2  t , x, y    y  p t   12 y0 y0  Trước tiên ta kiểm tra giả thiết định lí 2.3 Từ bất đẳng thức (2.74) ta có bất đẳng thức (2.8) Thật vậy: Trường hợp 1: y  đó: p2 (t , x, y )  p2 (t , x,0)  p12 (t ) a  t  b Khi ta có (2.74) trở thành:  f (t , x, y )  f (t , x ,0) sgn( x  x )  p1 (t ) x  x cho x  thì:  f (t , x, y )  f (t ,0, 0) sgn( x)  p1 (t ) x   f (t , x, y )  p1 (t ) x  sgn( x)   p (t ) từ y  (2.8) trở thành: a  t  b 56    f (t , x, y )  p1 (t ) x  sgn( x)   p(t ) Vậy trường hợp y  bất đẳng thức (28) thỏa mãn Trường hợp 2: y  đó: p2 (t , x, y )  f (t ,0, y )  f (t ,0,0) y a  t  b, cho x  (2.74) trở thành:  f (t , x, y )  f (t ,0, y ) sgn x  p1 (t ) x , ta có (2.8) trở thành:  f (t , x, y )  p1 (t ) x  f (t ,0, y )  f (t ,0,0) sgn x   p(t )   f (t , x, y )  f (t ,0, y )  sgn x  p1 (t ) x Vậy (2.74) thỏa mãn (2.8) thỏa mãn Từ bất đẳng thức (2.75) ta có bất đẳng thức (2.9) Thật vậy: Trường hợp 1: y  p12 (t )  p22 (t ) Trường hợp 2: y  Cho x  y  (2.75) trở thành: p12 (t ) y   f (t ,0, y )  f (t ,0,0)  sgn y  p22 (t ) y , (2.9) trở thành: p12 (t )  f (t ,0, y )  f (t ,0,0)  p22 (t ) y  p12 (t ) y   f (t ,0, y )  f (t ,0,0)  sgn y  p22 (t ) y Vậy (2.75) thỏa mãn (2.9) thỏa mãn Vì vậy, theo định lí 2.3 nhận xét 2.5, tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Bây ta chứng minh tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Giả sử trái lại tốn cho có hai nghiệm u1 , u2 u1  u2 Đặt w1  t   u1  t   u2  t  , Dễ thấy với i 1,2 w2  t    w1  t  a  t  b 57   wi  t   a  t  b, (2.76) tồn t1   a, b  , t2   t1 , b  cho với j  i w j t   w j  t1    0, w j  t2   (2.77) t1  t  t2 , Trước tiên ta giả sử (2.76) thỏa mãn Khơng làm tính tổng quát ta giả sử i  Khi theo (2.74) (2.75) ta có: w  p1  t  w  p2  t  w  h  t  a  t  b, đó:  f  t , u2  t  , u1  t    f  t , u2  t  , u2  t    p2  t    u1  t   u2  t  p t  12   u1  t   u2  t  u2  t   u2  t  a  t  b h  t   w  t   p1  t  w  t   p2  t  w  t  , nữa, ta có p2 thỏa bất đẳng thức (2.7), h hàm không âm Giả sử  số có bổ đề 2.20 Cho    0,   , gọi u nghiệm phương trình (2.20) thỏa mãn điều kiện : u  a     w1  a    , u  b     b   u  s  d   s   w  b     a  b   w  s  d   s  a  Từ bổ đề 2.6, 2.13, 2.20 nhận xét 2.21 ta có : w  t   u  t   b   G  t , s  h  s  ds  u  t  a   t  b , a  G hàm Green tốn : u   p1  t  u  p2  t  u ; u  a     0, u b     b   u sd s a   w  t   lim u  t    0 a  t  b 58   Mâu thuẫn chứng tỏ (2.76) xảy Tương tự (2.77) không xảy Vậy ta có điều phải chứng minh □ Hệ quả2.22: Trên tập  a, b   R cho bất đẳng thức:  f  t , x, y   f  t , x , y   sgn  x  x   p1  t  x  x  p2  t  y  y (2.78) thỏa mãn,  p1,  p2 , p2   V   a, b   b   ab   1 a i  p2  t  f  t , 0,  dt   , i  1, Hơn nữa, tồn t1   a, b  hàm dương p  Lloc   a, b   cho điều kiện (2.68) (2.69) thỏa mãn Khi tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Chứng minh: Đặt p  t   f  t ,0,0  a  t  b, p2 (t )  p22 (t )   p12 (t ),  p (t )sgn ( xy ) x  p2 (t , x, y )   a  t  b, x   p2 (t ) p (t , x, y )  p2 (t ) t1  t  b , x  R, y  R Khi ta có: Từ (2.78) cho x  y   f (t , x, y )  f (t ,0, 0) sgn x  p1 (t ) x  p2 (t ) y  f (t , x, y )sgn x  p1 (t ) x  p2 (t ) y  p(t ) Vậy (2.78) thỏa mãn (2.67) thỏa mãn Khi theo hệ 2.17 định lí 2.19 tốn (2.1), (2.2) có nghiệm Hệ chứng minh □ Hệ 2.23: Giả sử tồn số: i  0,1 , li   0,   ,  i   0,   , i  1, 2, c   a, b  , t1   a, b  59   hàm p :  a, b    0,   cho điều kiện (2.69) - (2.71) (2.78) thỏa mãn, p1, p2 hàm định nghĩa công thức (2.72) (2.73) Hơn nữa, giả sử: b b a a   t  a  b  t  f  t , 0,  dt  ,   t  a  b  t  p  t  dt   Khi tốn (2.1),(2.2) có nghiệm Chứng minh: Xem định lí [8] hệ 2.22 □ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Nội dung luận văn nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân cấp hai khơng quy với điều kiện biên khác Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ tồn nghiệm tốn biên (1.1), (1.2) Các kết chương định lí (1.4), (1.7), (1.10), (1.21) (1.25) Nội dung chương trình bày lại kết tác giả A Lomtatidze báo “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Linear Ordinary Differential Equations” Journal of Mathematical Analysis And Applications 193, 889-908 (1995) Trong chương ta nghiên cứu tồn nghiệm cho phương trình vi phân cấp hai khơng quy phi tuyến (2.1), (2.2) Mục đích chương trình bày lại kết hai tác giả A Lomtatidze L Malaguti báo “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Nonlinear Singular Differential Equations” Georgian Mathematical Journal Volume (2000), Number 1, 133-154 Các kết chương định lí (2.3) định lí (2.19) Qua luận văn này, câu hỏi tự nhiên đặt là: kết có cịn cho phương trình vi phân cấp n-tuyến tính vi phân phi tuyến với kỳ dị Các vấn đề nêu mở, chưa giải cặn kẽ Chính vậy, thơng qua kết thu từ luận văn này, mong muốn tiếp tục nghiên cứu mở rộng kết vừa nêu 60   Cuối cùng, trình viết luận văn này, thời gian tầm hiểu biết cóhạn nên khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy Cô bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh   TÀI LIỆU THAM KHẢO B P Demidovich (1967), Lectures in Mathematical theory of Stability (Russian) Nakuka, Moscow D M Dovletov (1989), On the nonlocal boundary value of the first kind in differential and difference interpretation, Differentsial’nye Uravneniya 25, No 8, 1321-1332 [In Russian] I T Kiguradze and A.G Lomtatidze (1984), On certain boundary-value problems for second-order linear ordinary differential equationswith singularities J Math Anal Appl 101, 325-347 I T Kiguradze and B.L Shekhter (1987), Singular boundary value problems for second-order differential equations (Russian) Current Problems in Math- ematics, Newest Results 3, 3-103, Itogi Nauki i Tekhniki, Akad Nauk SSSR, Vsesoyuzn Inst Nauchn i Tekhn Inform, Moscow A G Lomtatidze (1986), On one singular three-point boundary value problems (Russian) Tbilis Gos Univ Inst Prikl Mat Trudy 17, 122-133 A G Lomtatidze (1986), On one boundary value problem for linear ordinary differen-tial equations of second order with singularities (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 22, No.3, 416-426 A G Lomtatidze (1987), To the question on solvability of singular boundary value problems for ordinary differential equations of second order (Russian) Tbilis Gos Univ Inst Prikl Mat Trudy 22, 135-149 61   A G Lomtatidze (1995), Nonlocal boundary value problem for linear ordinary differen -tial equations of second order (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 31, No 3, 446-455 A G Lomtatidze (1995), On a nonlocal boundary value problem for second order linear ordinary differential equations J Math Anal Appl 193, 889-908 10 A G Lomtatidze (1983), On a boundary value problem for second –order linear differential equtions with nonintegrable singularities, Proc I Vekua Inst Appl Math 14.136-144 (In Russian) 11 A G Lomtatidze (1984), On a singular boundary value problem for second order linear differential equations in “Boundary value Problems”pp 46 - 50, Perm 12 A G Lomtatidze (1985), On oscillatory properties of solutions of second order linear differential equatins, in “Referats of the Seminar of I Vekua Institute of Applied Mathematics,’’Vol 19, pp 39-53, [In Russian] 13 A Lomtatidze “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Linear Ordinary Differential Equations” Journal of Mathematical Analysis And Applications 193, 889-908 (1995) 14 A Lomtatidze and L Malaguti “On a Nonlocal Boundary Value Problem for Second Order Nonlinear Singular Differential Equations” Georgian Mathematical Journal Volume (2000), Number 1, 133-154 15 M P Sapagovas and R.I Chegis (1987), Onsome boundary value problems with non-local conditions, Differentsial’nye Uravneniya 23, No 7, 1268-1274 [In Russian] ... cho sinh vi? ?n, học vi? ?n cao học người quan tâm đến tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị 3   Chương BÀI TOÁN BIÊN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI. .. Chương Bài tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Chương Bài tốn biên khơng địa phương cho phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với kỳ dị Ý nghĩa thực tiễn đề tài... đích vi? ??c nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm,đối số lệch,hay phương trình vi phân khơng quy .Bài tốn biên cho phương trình vi phân