Bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯƠNG BÀI TỐN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯƠNG BÀI TỐN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HỒN TỒN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu Luận văn hoàn toàn trung thực, chưa công bố công trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy PGS TS Hà Tiến Ngoạn, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tơi suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, bạn học viên tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tơi suốt q trình học cao học viết Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU 1 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HỒN TỒN 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.2 Nguyên lý so sánh nguyên lý cực đại 1.2.1 Nguyên lý so sánh 1.2.2 Nguyên lý cực đại 1.2.3 Nguyên lý so sánh tổng quát 1.3 Nguyên lý liên tục 1.3.1 Nội dung Nguyên lý liên tục 1.3.2 Ứng dụng vào tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 2.1.1 Khụng gian Hăolder C k, () 2.1.2 Không gian Sobolev W k,p (Ω) 2.1.3 Đánh giá cho hàm số 2.1.4 Các tính chất nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 6 10 10 10 12 14 14 14 15 16 16 ii 2.1.5 2.2 2.3 2.4 Các tính chất nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai Bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến độc lập (n = 2) Bài toán Dirichlet cho trường hợp phương trình elliptic với n > 2.3.1 ỏnh giỏ Hăolder cho đạo hàm cấp hai trường hợp n > 2.3.2 Bài toán Dirichlet cho trường hợp phương trình elliptic Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère 2.4.1 Đánh giá đạo hàm cấp hai cho phương trình kiểu Monge-Ampère 2.4.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu MongeAmpère 18 19 22 22 31 36 36 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn Luận văn Cho đến lớp phương trình elliptic cấp hai tuyến tính tuyến tính nghiên cứu kỹ lưỡng tính chất định tính nghiệm tính giải toán biên Song việc nghiên cứu lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn vấn đề khó Lý thuyết lớp phương trình chưa phát triển chưa hệ thống Do Luận văn chọn đề tài tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Luận văn sử dụng Nguyên lý liên tục đưa đến đánh giá tiên nghim chun Hăolder cho nghim ca phng trỡnh elliptic cp hai phi tuyến hồn tồn Mục đích luận văn Nội dung Luận văn nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hồn tồn Đây lớp phương trình rộng, xuất nhiều vấn đề lý thuyết ứng dụng Trường hợp hai biến độc lập, k thut ỏnh giỏ chun Hăolder v kt qu l đặc thù, nên tách trình bày riêng Trong trường hợp số chiều n > 2, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đòi hỏi giả thiết mạnh phương pháp khác nên trình bày sau, việc sử dụng phương pháp liên tục đưa đến kết luận tính giải tốn Dirichlet Lớp phương trình Monge-Ampère đề cập Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Giới thiệu khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn, sau trình bày tính chất định tính nghiệm như: Nguyên lý cực đại Nguyên lý so sánh Tiếp theo giới thiệu phương pháp liên tục nhằm áp dụng vào tính giải toán Dirichlet Chương Giới thiệu toán Dirichlet cho trường hợp hai biến nhiều biến độc lập, trường hợp phương trình elliptic trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère Trên sở áp dụng Nguyên lý liên tục (Định lý 1.3.3), nội dung ca chng li l nghiờn cu ỏnh giỏ Hăolder cho đạo hàm cấp hai nghiệm Các định lý tính giải tốn Dirichlet phát biểu chứng minh Nội dung Luận văn trình bày dựa theo chương 17 tài liệu [1] Một số kiến thức tham khảo tài liệu [2] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HỒN TỒN 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn miền Ω Rn phương trình có dạng: F [u] = F (x, u, Du, D2 u) = 0, (1.1) F hàm thực tập Γ = Ω × R × Rn × Rn×n , Rn×n không gian n(n+1) chiều ma trận thực đối xứng cấp n × n Giả sử điểm Γ có dạng γ = (x, z, p, r) x ∈ Ω, z ∈ R, p ∈ Rn , r ∈ Rn×n Nếu F = F (x, z, p, r) hàm afin r = [rij ] phương trình (1.1) gọi tuyến tính Ngược lại, F gọi phi tuyến hồn tồn Tốn tử F gọi elliptic tập U Γ ma trận [Fij (γ )] cho bởi: ∂F Fij (γ) = (γ), i, j = 1, , n, ∂rij Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định dương với γ = (x, z, p, r) ∈ U , kí hiệu λ(γ), Λ(γ) giá trị nhỏ lớn giá trị riêng ma trận [Fij (γ)] F elliptic (elliptic ngặt) U Λλ ( λ1 ) bị chặn U Nếu F elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) tồn tập Γ F elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) Ω Nếu u ∈ C (Ω) F elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) miền xác định ánh xạ x → (x, u(x), Du(x), D2 u(x)) ta nói F elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) u 1.1.2 Ví dụ (i) Phương trình Monge-Ampère: Phương trình Monge-Ampère có dạng F [u] = det D2 u − f (x) = 0, (1.2) Fij (γ ) phần phụ đại số rij = uxi xj F elliptic r ma trận khơng âm Vì phương trình (1.2) elliptic hàm u ∈ C (Ω) hàm lồi điểm Ω f > (ii) Phương trình độ cong Gauss cho trước: Cho u ∈ C (Ω) giả sử u có độ cong Gauss K(x) cho trước điểm (x, u(x)), x ∈ Ω Khi u thỏa mãn phương trình độ cong Gauss sau đây: F [u] = det D2 u − K(x)(1 + |Du|2 ) n+2 = (1.3) Phương trình (1.3) elliptic hàm lồi u ∈ C (Ω) Các ví dụ (i) (ii) loại phương trình Monge-Ampère: F [u] = det D2 (u) − f (x, u, Du) = 0, (1.4) f hàm nhận giá trị dương Ω × R × R2 (iii) Phương trình Pucci’s: Cho < α ≤ n1 Kí hiệu tập Lα tốn tử tuyến tính elliptic có dạng: Lu = aij (x)Dij u với hệ số aij thỏa mãn: n ij aii = a ξi ξj ≥ α|ξ| , i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 4,n u ∈ Wloc (Ω) thỏa mãn cho chứng minh Để bù đắp thiếu hụt đánh giá toàn cục C 2,α (Ω), ta làm trơn hàm F gần biên ∂Ω sau Cho {ηn } dãy hàm C02 (Ω) thỏa mãn ≤ η ≤ Ω ηm (x) = d(x, ∂Ω) ≥ m1 thay F toán tử Fm cho Fm [u] = ηm F [u] + (1 − ηm )∆u (2.32) Nếu F thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.2 Fm với cấu trúc khơng đổi phụ thuộc vào ηm Do ta thu đánh giá phần C 2,α cho nghiệm phương trình, Fm [u] = 0, dạng cho Định lý 2.3.2 Nhưng gần ∂Ω, Fm [u] = ∆u để với biên trơn, đánh giá C 2,α gần biên ∂Ω suy từ lý thuyết Schauder Sử dụng phương pháp ta có kết sau tính giải toán Dirichlet Định lý 2.3.4 Cho Ω miền bị chặn Rn thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngồi, tức với điểm ξ ∈ ∂Ω, tồn hình cầu B = BR (y) thỏa mãn B ∩ Ω = ξ , giả sử F ∈ C (Ω) hàm lõm (hoặc lồi) z, p, r, không tăng z thỏa mãn điều kiện < λ|ξ|2 ≤ Fij (x, z, p, r)ξi ξj ≤ Λ|ξ|2 (2.33) |Fp |, |Fz |, |Frx |, |Fpx |, |Fzx | ≤ µλ, |Fx |, |Fxx | ≤ µλ(1 + |p| + |r|) Khi lớp tốn Dirichlet, F [u] = Ω, u = φ ∂Ω có nghiệm C (Ω) ∩ C (Ω) với φ ∈ C (∂Ω) Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp biên trơn, cụ thể ∂Ω ∈ C 2,β , φ ∈ C 2,β (Ω) với < β < Theo lý luận định lý trước đó, ta xét toán Dirichlet xấp xỉ sau: Fm [u] = 0, u = φ ∂Ω (2.34) Fm cho (2.32) Để áp dụng Nguyên lý liên tục (Định lý 1.3.3), trước hết ta đánh giá tiên nghiệm biên C 2,α (Ω) với α > cho nghiệm toán: Fm [u] − tFm [φ] = 0, u = φ ∂Ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ≤ t ≤ http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.35) 34 Ta thấy phương trình (2.35) thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3.2, t, ta có với nghiệm u ∈ C 2,β (Ω) Ω ⊂⊂ Ω, đánh giá |u|2,α;Ω ≤ C, α phụ thuộc vào n, λ(M ), Λ(M ), C phụ thuộc thêm vào µ(M ), Ω, Ω , φ, ηm M = |u|0;Ω Vì vậy, Fm [u] = ∆u gần ∂Ω kéo theo đánh giá toàn cục tương ứng Ω = Ω C phụ thuộc thêm vào ∂Ω β Tiếp theo ta ý điều kiện, Fz ≤ với (2.33) kéo theo (1.11), với µ1 = µ2 = µ(0) Theo Định lý 1.2.4 có M = |u|0;Ω bị chặn theo t m Do đó, theo Định lý 1.3.3 ta thu tồn nghiệm u = um ∈ C 2,β (Ω) tốn Dirichlet (2.34) Vì Fm [u] = F [u] với dist (x, ∂Ω) ≥ m1 Từ đánh giá bên miền, dãy {um } (cùng với đạo hàm cấp cấp hai tập compact Ω) hội tụ tới nghiệm u ∈ C 2,β (Ω) phương trình F [u] = Ω Theo biểu diễn (1.10), ta u ∈ C 0,1 (Ω) u = φ ∂Ω Mở rộng cho φ liên tục miền Ω thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngồi tương tự Bằng phép xấp xỉ, điều kiện F ∈ C (Γ) làm yếu giả thiết Định lý 2.3.4 cho đạo hàm xuất điều kiện (2.33) tồn theo nghĩa yếu Bằng việc mở rộng lập luận, ta nghiên cứu phương trình Bellman Việc mở rộng minh họa sau Cho F , , F m toán tử dạng (1.1) G ∈ C (Rm ) hàm lõm mà đạo hàm thỏa mãn: m 1≤ Dν G ≤ K (2.36) ν=1 với số K Ta định nghĩa toán tử F F [u] = G(F [u], , F m [u]) Khi đó, u ∈ C (Ω) F , , F m thỏa mãn điều kiện (i)’ (ii)’ Định lý 2.3.2, lấy đạo hàm vế phương trình (2.20) ta phương trình m Dν GDγ F ν = 0, ν=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 m m ν Dντ GDγ F ν Dγ F τ = 0, Dν GDγγ F + ν=1 ν,τ =1 từ tính chất hàm lõm G ta có m Dν GDγγ F ν ≥ ν=1 Trong phần 2.3.1 ta thay đạo hàm DF , D2 F tương ứng m ν=1 Dν GDF ν , m Dν GD2 F ν Sử dụng (2.36) ta có đánh giá Định ν=1 lý 2.3.2 việc thay toán tử F Fν với ν = 1, , m Λ, µ thay KΛ Kµ tương ứng Kết Định lý 2.3.4 mở rộng tương tự Loại phương trình Bellman-Pucci xét đến phép xấp xỉ Cụ thể, cho y ∈ Rm , G0 (y) = inf ν=1, ,m yν với h > 0, Gh hàm xấp xỉ trơn G0 cho Gh (y) = h−n ρ y − y¯ G0 (¯ y )d¯ y, h Rm ρ hệ số làm trơn Rm Vì G0 hàm lõm nên Gh hàm lõm Hơn nữa, ta có: m Dν Gh = ν=1 Vì (2.36) ngặt với K = Nếu F , , F m , Ω, φ thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.4 lớp tốn Dirichlet, F [u] = Gh (F [u], , F m [u]) = 0, u = φ ∂Ω có nghiệm u = uh Bằng phép xấp xỉ, kết mở rộng đến trường hợp h = trường hợp họ tốn tử đếm Từ đó, đánh giá độc lập với m có mở rộng Định lý 2.3.4 Định lý 2.3.5 ([1]) Cho Ω miền bị chặn Rn thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngồi điểm biên giả sử F , F , ∈ C (Γ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 hàm lõm z, p, r, không tăng z, thỏa mãn điều kiện (2.33) Khi lớp tốn Dirichlet F [u] = inf{F [u], F [u], } = Ω, u = φ ∂Ω (2.37) có nghiệm C (Ω) ∩ C (Ω) với φ ∈ C (∂Ω) Ta ý phương trình Bellman-Pucci (1.8) Định lý 2.3.5 có tập số V tập đếm toán tử Lν fν thỏa mãn điều kiện: i aij ν , bν , cν , fν ∈ C (Ω) λ|ξ|2 ≤ aij ν ξi ξj ≤ Λ|ξ| (2.38) i |aij ν |2;Ω , |bν |2;Ω , |cν |2;Ω , |fν |2;Ω ≤ µλ cν ≤ với ξ ∈ Rn , ν ∈ V , λ, Λ µ số dương Hơn nữa, hiển nhiên ta cho tập V khơng đếm Ví dụ ta tách khơng gian ma trận mà ánh xạ: ν → i aij ν (x), bν (x), cν (x), fν (x) liên tục x ∈ Ω Đặc biệt, phương trình Pucci (1.6) bị phủ f ∈ C (Ω) ∩ L∞ (Ω) 2.4 Bài tốn Dirichlet cho phương trình kiểu MongeAmpère 2.4.1 Đánh giá đạo hàm cấp hai cho phương trình kiểu MongeAmpère Xét phương trình có dạng det D2 u = f (x, u, Du) (2.39) Dễ thấy phương trình (2.39) elliptic ma trận Hessian D2 u xác định dương (hoặc âm) Trong phần này, ta tập trung tới nghiệm lồi u hàm dương f Viết phương trình (2.39) dạng: F (D2 u) = log det D2 u = g(x, u, Du), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.40) 37 g = log f , tính tốn ta có Fij = uij (2.41) Fij,kl = −uik ujl = −Fik Fjl , [uij ] nghịch đảo D2 u Tuy nhiên hàm F hàm lõm nón ma trận khơng âm Rn×n phương trình (2.40) elliptic tập compact Ω, nghiệm lồi C (Ω) Nếu g ∈ C (Ω × R × Rn ), ta áp dụng kết ca phn 2.3.1 cú c ỏnh giỏ Hăolder bờn miền cho đạo hàm cấp hai nghiệm Qua Bổ đề 2.3.3 cho ta đánh giá cao g hàm trơn Tiếp theo ta xét vấn đề đánh giá bên miền toàn cục cho đạo hàm cấp hai nghiệm Với phương pháp tiếp cận đánh giá gradient cho phương trình elliptic phi tuyến Trước hết, xét đạo hàm túy cấp hai Dγγ u nghiệm (2.40) phương trình (2.20), thỏa mãn phương trình Fij Dijγγ u = Fik Fjl Dijγ uDklγ u + Dγγ g, (2.42) u hàm lồi nên Dγγ u > Để có đánh giá Dγγ u trên, ta lấy hàm dương η ∈ C (Ω), h ∈ C (Rn ) đặt w = ηh(Du)Dγγ u Vì Di w Di η Diγγ u = + (log h)pk Dik u + , w η Dγγ u Dij w Di wDj w Dij η Di ηDj η = + − w w2 η η2 + (log h)pk pl Dik uDjl u + (log h)pk Dijk u Dijγγ u Diγγ uDjγγ u + − Dγγ u (Dγγ u)2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Kết hợp với (2.42) ta được: (ηh)−1 Fij Dij w ≥ Dγγ u Fij Dij η Fij Di ηDj η − η η2 (2.43) + (log h)pk pl Fij Dik uDjl u + (logh)pk Fij Dijk u + Fik Fjl Dijγ uDklγ u − Dγγ u Fij Diγγ uDjγγ u + Dγγ g Khi hàm h cho bởi: h(p) = e β|p|2 , β > Từ (log h)pk = βpk , (log h)pk pl = βδkl , (log h)pk pl Fij Dik uDjl u = βFij Dik uDjk u = β∆u (2.41) Tiếp theo, giả sử biên |Dg(x, u, Du)|, |D2 g(x, u, Du)| ≤ µ, (2.44) ta có Dγγ u(log h)pk Fij Dijk u + Dγγ g = βDk uDγγ u(gxk + gz Dk u + gpt Dik u) + gγγ + 2gγz Dγ u + 2gγpt Diγ u + gzz (Dγ u)2 + 2gzpt Dγ uDiγ u + gpt pj Dik uDjk u + gz Dγγ u + gpt Diγγ u Di w Di η − Dγγ u − C{1 + |D2 u|2 + β(1 + |D2 u|)} ≥ gpt w η C phụ thuộc vào µ, sup |Du| Ω Để sử dụng số hạng lại (2.43), ta coi w = w(x, γ) hàm Ω × ∂B1 (0) giả sử w đạt giá trị lớn điểm y ∈ Ω theo phương γ Đạo hàm Dγγ u(y) giá trị riêng lớn ma trận Hessian D2 u(y) phép thay đổi tọa độ, ta giả sử D2 u(y) ma trận dạng đường chéo với phương tọa độ γ Để đánh giá tồn cục, ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 lấy η ≡ để số hạng nâng lên lũy thừa η khơng có mặt (2.43) Từ (2.41) có Fij Diγγ uDjγγ u ≤ Fik Fjl Dijγ uDklγ u Dγγ u điểm y Chọn β đủ lớn, ta thu đánh giá cho Dγγ u(y) số hạng n, µ |Du|0;Ω Trường hợp đánh giá bên miền khó hàm cắt cụt η khơng thể chọn cách tùy ý (do có mặt số hạng Fij Dij η ) Trong trường hợp này, ta giả sử u liên tục triệt tiêu ∂Ω chọn η = −u để η > Ω Fij Dij η = −Fij Dij u = −n Hơn nữa, Dw(y) = 0, ta có Fii |Di η|2 η2 Diγγ u |Dγ u|2 + Fii + Di uDii u = u Dγγ u i=γ Dγγ u Fij Di ηDj η = η2 |Dγ u|2 ≤ + u Dγγ u Diγγ u Dγγ u Fii i=γ 2 2β|Du|2 − u điểm y Bây Dγγ u Fii (Diγγ u)2 + Fij Diγγ uDjγγ u i=γ n = Fγγ Fii (Diγγ u)2 Fγγ Fii (Diγγ u) + i=1 i=γ n Fii Fjj (Dijγ u)2 ≤ i,j=1 = Fik Fjl Dijγ uDklγ u y , phối hợp cách chọn Kết hợp đánh giá với bất đẳng thức vi phân (2.43), ta Dγγ u(y) ≤ C − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên u(y) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 C = C(n, µ, |Du|0;Ω ), sup w ≤ C, (2.45) Ω C = C(n, µ, |u|1;Ω ) Cuối cùng, để đánh giá η = −u, tính lồi u, ta có u(x) inf u ≤ (2.46) dist(x, ∂Ω) diam Ω với x ∈ Ω Ta đánh giá cho đạo hàm cấp hai sau Định lý 2.4.1 ([1]) Cho u ∈ C (Ω) nghiệm lồi (2.39) miền Ω, f ∈ C (Ω × R × Rn ) dương Ω g = log f thỏa mãn (2.44) Khi u ∈ C (Ω), ta có sup |D2 u| ≤ C, (2.47) Ω C phụ thuộc vào n, µ, |u|1;Ω sup |D2 u| Nếu u ∈ C 0,1 (Ω) u ∂Ω số ∂Ω, với Ω ⊂⊂ Ω, ta có sup |D2 u| ≤ Ω C dΩ (2.48) C phụ thuộc vào n, µ, |u|1;Ω , đường kính Ω, dΩ = dist (Ω , ∂Ω) Khi hàm f n lồi p, đánh giá (2.47) suy đơn giản Hơn nữa, kết mở rộng đến hàm F nghiệm khơng thiết phải lồi Đánh giá đạo hàm cấp hai nghiệm phương trình (2.40) biên ∂Ω suy từ phương trình (2.4) Nếu giả sử Ω lồi đều, ∂Ω ∈ C u = φ ∂Ω, φ ∈ C (Ω), số hạng vế phải (2.4) trở thành 2Fij Di ∂xl ∂xl Djl u = 2δil Di ∂yk ∂yk ∂xi = 2Di ∂yk (2.49) (do (2.41)) Đánh giá cho đạo hàm cấp hai Dyn yn u(x0 ) với x0 ∈ Ω suy từ Định lý 2.1.7 hay Hệ 2.1.8 Đạo hàm cấp hai cịn lại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Dyn yn u(x0 ) đánh giá từ phương trình (2.40) Đối với hệ tọa độ x0 ta có (φ ≡ 0) n−1 n−2 det D u = |Dn u| n−1 Ki |Dn u|Dnn u − i=1 i=1 (Din u)2 Ki (2.50) K1 , , Kn−1 độ cong x0 Sử dụng (2.46), ta có giới hạn Dnn u(x0 ) Vì ta có đánh giá tồn cục cho đạo hàm cấp sau Định lý 2.4.2 ([1]) Cho u ∈ C (Ω) nghiệm lồi phương trình (2.40) Ω, f ∈ C (Ω × R × Rn ) dương ∂Ω ∈ C lồi Khi sup |D2 u| ≤ C (2.51) Ω C phụ thuộc vào n, |u|1;Ω , f, ∂Ω, u = ∂Ω Chú ý: Định lý 2.4.2 mở rộng trường hợp hàm F với nghiệm u không lồi 2.4.2 Bài tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère Ở phần trước cung cấp tính giải tốn Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère để thiết lập đánh giá lớp C Đối với phương trình hai biến, ta sử dụng trực tiếp Nguyên lý liên tc ỏnh giỏ ton cc Hăolder cho o hm cấp hai (Định lý 2.2.2) Đối với số chiều lớn hơn, ta sử dụng phương pháp phản chứng để thấy đánh giá bên miền đạo hàm cấp hai phức tạp so với phương pháp làm việc trường hợp elliptic phần 2.3.1 Sự hạn chế lên độ tăng hàm f (2.39) xuất ta xét đánh giá gradient Cho u nghiệm lồi miền Ω, ta có: sup |Du| = sup |Du| Ω (2.52) ∂Ω Đánh giá gradient nghiệm lồi (2.39) quy đánh giá biên Ta giả sử có điều kiện: ≤ f (x, z, p) ≤ µ(|z|)dβx |p|γ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.53) 42 với x lân cận N ∂Ω, z ∈ R, |p| ≥ µ(|z|), dx = dist(x, ∂Ω), µ khơng giảm β = γ − n − ≥ Khi ta có đánh giá gradient sau: Định lý 2.4.3 Cho u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), φ ∈ C (Ω) ∩ C 0,1 (Ω) hàm lồi miền lồi Ω, thỏa mãn det D2 u = f (x, u, Du) Ω, u = φ ∂Ω (2.54) Khi đó, ta có sup |Du| ≤ C, (2.55) Ω C phụ thuộc vào n, µ, β , N , Ω, |u|0;Ω |φ|1;Ω Chứng minh Cho B = BR (y) hình cầu đóng miền Ω điểm x0 ∈ ∂Ω đặt: w = φ − ψ(d), d(x) = dist (x, ∂B) ψ cho ψ(d) = ν1 log (1 + kd), k > 0, với ν k xác định Sử dụng hệ tọa độ gốc cho ∂B x0 , ta có đánh giá: det D2 w ≥ det (−D2 ψ) = −ψ ≥ −ψ ψ |x − y| n−1 ψ R n−1 Kết hợp với (2.53) ta có f (x, u(x), Dw) ≤ 2γ µ(M )dβ (ψ )γ = 2γ µ(M )(ψ )n+1 (dψ )β thoả mãn x ∈ N , ψ (d) ≥ µ(M ) + |Dφ|, M = |u|0;Ω Chọn ν = + 2γ Rn−1 µ cho dψ ≤ chọn k a thỏa mãn k ≥ µνeνM , ka = eνM − (Với µ thay µ + |Dφ|) cho {x ∈ Ω/d < a} ⊂ N , ta thấy hàm lồi w hàm u bị chặn x0 thỏa mãn (2.39) Theo Nguyên lý so sánh (Định lý 1.2.2) ta có u(x) − u(x0 ) ≥ −C |x − x0 | Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 cho d ≤ a, C phụ thuộc vào n, β , µ, |Dφ|0;Ω , M , N R Sử dụng tính chất lồi u, ta có u(x) − u(x0 ) ≤ |Dφ|0;Ω , |x − x0 | với x ∈ Ω, x0 ∈ ∂Ω có đánh giá (2.55) Chú ý phương trình kiểu Monge-Ampère thỏa mãn Định lý 2.4.3 với f bị chặn Trong phương trình với độ cong Gauss cho trước thỏa mãn độ cong K triệt tiêu, liên tục Lipschitz ∂Ω Kết hợp Định lý 1.2.5, 1.3.3, 2.2.2, 2.4.2 2.4.3 ta thu tồn định lý cho phương trình kiểu Monge-Ampère loại hai biến Định lý 2.4.4 Cho Ω miền lồi R2 với biên ∂Ω ∈ C Giả sử f hàm dương C (Ω × R × Rn ) thỏa mãn fz ≥ 0, điều kiện (1.13), (1.14) (2.53) cho n = 2, β = Khi đó, lớp toán Dirichlet det D2 u = f (x, u, Du) Ω, u = ∂Ω, (2.56) giải với nghiệm u ∈ C 2,α (Ω) với α < Chứng minh Theo Định lý 1.3.3 không gian C 2,α (Ω), với α > 0, ta có đánh giá nghiệm toán Dirichlet: det D2 u F [u] = − = σF [φ], f (x, u, Du) u = ∂Ω, ≤ σ ≤ 1, φ ∈ C (Ω) lồi triệt tiêu ∂Ω Khi đại lượng g∞ Định lý 1.2.5 vô cùng, từ Định lý 1.2.5, 2.2.2, 2.4.2, 2.4.3 đánh giá thỏa mãn Mặt khác ta chọn φ cho F [φ] ≤ ( ví dụ thay φ với nghiệm tốn Dirichlet, det D2 u = inf f , u = ∂Ω) Đối với phương trình kiểu Monge-Ampère có số chiều lớn Ta có đánh giá tương tự Định lý 2.4.4 Định lý 2.4.5 ([1]) Cho Ω hàm lồi Rn với biên ∂Ω ∈ C Giả sử f hàm lồi dương C (Ω × R × Rn ) thỏa mãn fz ≥ với điều kiện (1.13), (1.14) (2.53) cho β = Khi lớp toán Dirichlet (2.56) giải với nghiệm u ∈ C 3,α (Ω), với α < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Ở ta ý Định lý 2.4.2, 2.4.4, 2.4.5 mở rộng trường hợp giá trị biên φ ∈ C (Ω) Sử dụng đánh giá bên miền đạo hàm cấp hai Định lý 2.4.2, định lý tồn cho phép mở rộng hàm f tổng quát Định lý 2.4.6 Cho Ω miền lồi Rn giả sử f hàm dương C (Ω× R × Rn ) thỏa mãn fz ≥ với điều kiện (1.13), (1.14) (2.53) Khi lớp toán Dirichlet (2.56) giải với nghiệm u ∈ C 3,α (Ω) ∩ C 0,1 (Ω), với α < Chứng minh Cho {fm } dãy hàm bị chặn C (Ω × R × Rn ) thỏa mãn < fm ≤ f, fz ≥ fm = f với |z| + |p| ≤ m cho {Ωl } dãy tăng miền lồi C Ω thỏa mãn Ωl ⊂⊂ Ω, ∪Ωl = Ω Theo Định lý 2.4.4 2.4.5, với m, tồn dãy {uml } dãy nghiệm lồi toán Dirichlet det D2 uml = fm (x, uml , Duml ) Ω, uml = ∂Ωl Trên biên sử dụng Định lý 1.2.5, 2.4.3 đánh giá bên miền, Định lý 2.3.2, 2.4.1, ta có dãy với đạo hàm cấp cấp hai tập compact Ω, hội tụ đến nghiệm um toán Dirichlet det D2 um = fm (x, um , Dum ) Ωl , um = ∂Ω Sử dụng Định lý 1.2.5, 2.4.3, ta với m đủ lớn um = u nghiệm (2.56) Trong trường hợp, phương trình có độ cong Gauss F [u] = detD2 u − K(x)(1 + |Du|2 ) n+2 = 0, ta có hệ sau: Hệ 2.4.7 ([1]) Cho Ω miền lồi Rn K hàm dương C (Ω) ∩ C 0,1 (Ω), thỏa mãn: K = ∂Ω K < ωn , Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.57) 45 ωn diện tích mặt cầu đơn vị Rn Khi tồn hàm lồi u ∈ C (Ω) ∩ C 0,1 (Ω) cho u = ∂Ω đồ thị có độ cong Gauss K(x) cho trước điểm x ∈ Ω Cả hai điều kiện (2.57) Hệ 2.4.7 cần thiết Thực tế, giả sử phương trình Monge-Ampère tổng quát (1.4), hàm f thỏa mãn: h(x) f (x, z, p) ≥ ∀(x, z, p) ∈ Ω × R × Rn , g(p) h g tương ứng hàm dương L1 (Ω), L1loc (Rn ) Khi đó, u ∈ C (Ω) nghiệm lồi (1.4) miền Ω ánh xạ chuẩn tắc χ trùng với Du song ánh Lấy tích phân hai vế, ta có g(Du)detD2 g(p)dp = Ω χ(Ω) ≥ h, Ω điều kiện h ≤ g∞ = g(p)dp Rn Ω điều kiện cần thiết cho tồn nghiệm lồi u Hơn nữa, bất đẳng thức ngặt h < g∞ Ω cần thiết cho tồn nghiệm u mà ánh xạ pháp tuyến khơng trùng với Rn , chẳng hạn nghiệm u ∈ C 0,1 (Ω) Liên quan đến điều kiện khác (2.57), ta nhận xét rằng, mở rộng đánh giá phần (Định lý 2.4.1), hàm φ ∈ C (Ω) Hệ 2.4.7 nhận giá trị khác khơng biên K = ∂Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn: Các tính chất định tính nghiệm như: Nguyên lý cực đại, Nguyên lý so sánh Nguyên lý liên tục tồn nghiệm toán Dirichlet Đánh giỏ Hăolder cho o hm cp hai ca nghim ca tốn Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn trường hợp số chiều n = n ≥ 3 Phát biểu chứng minh định lý tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Tài liệu tham khảo [1] D Gilbarg - N Trudinger, (2001), Elliptic Partial Differential Equations, Spinger-Verlag, New York [2] J Jost, (2002), Partial Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics, 214, Springer-Verlag, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HỒN TỒN 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn. .. 1.3.2 Ứng dụng vào tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 2.1 Một số kiến thức bổ... http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HỒN TỒN Trong chương Luận văn nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hồn tồn