Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic với hệ số biến thiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i    ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN HUY HOÀN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN – 2014 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii    LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, Luận văn cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Trong trình nghiên cứu đề tài Luận văn, tơi kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Trần Huy Hồn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii    LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Tốn học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp cao học khóa (2012-2014) mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt cho khóa học Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Trần Huy Hồn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv    Mục lục Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN DIRICHLET 1.1 Nghiệm yếu tốn Dirichlet nửa hình cầu 1.2 Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm yếu 1.3 Các đánh giá tiên nghiệm 1.3.1 Hệ toán tử biên chuẩn tắc 1.3.2 Biến đổi Fourier số không gian hàm 11 1.3.3 Đánh giá tiên nghiệm 14 1.4 Trường hợp hình cầu có bán kính đủ nhỏ 18 CHƯƠNG II TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM YẾU 21 2.1 Các toán tử compact 21 2.2 Phép nhúng compact 24 2.3 Một số bổ đề 30 2.4 Độ trơn nghiệm yếu 35 2.5 Sự tồn nghiệm trơn vô hạn 40 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1    MỞ ĐẦU Lý thuyết tốn biên elliptic cho phương trình elliptic đắn nghiên cứu, trường hợp cấp phương trình chẵn, số nghiệm đặc trưng với phần ảo dương phần ảo âm số điều kiện biên nửa số cấp phương trình, đồng thời điều kiện Shapiro-Lopatinski toàn phần biên miền thỏa mãn Luận văn nghiên cứu tốn Dirichlet nửa hình cầu cho phương trình elliptic đắn, số điều kiện biên nửa số cấp phương trình, điều kiện biên cho phần mặt phẳng qua tâm hình cầu phần biên mặt cầu khơng có điều kiện biên Luận văn gồm chương: Chương I trình bày khái niệm nghiệm yếu toán Dirichlet, phát biểu chứng minh định lý điều kiện cần đủ vế phải phương trình để tồn nghiệm yếu Đó điều kiện mà vế phải phương trình phải thỏa mãn số hữu hạn điều kiện trực giao Luận văn nửa hình cầu có bán kính đủ nhỏ, điều kiện cần thỏa mãn ln tồn nghiệm yếu tốn Chương II nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu Kết chương II phát biểu hệ số vế phải phương trình hàm đủ trơn nghiệm yếu tốn có độ trơn tương ứng nghiệm cổ điển phương trình Tài liệu tham khảo luận văn chương tài liệu [1] Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2    NỘI DUNG CHƯƠNG NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN DIRICHLET 1.1 Nghiệm yếu tốn Dirichlet nửa hình cầu Trước hết ta nhắc lại ký hiệu x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ n {( x, t ) ∈ σR = n +1 ,t ∈ } ; x + t < R2 , t > ∂0σ R = σ R ∩{t = 0} ∂1σ R = {( x, t ) ∈ n +1 } ; x + t = R2 , t > ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ n ; z ∈ ; (ξ , z ) ∈ µ = ( µ1 , µ2 , , µn ) ∈ n n ì , = à1 + à2 + + µn ξ µ = ξ1µ ξ 2µ ξ nµ n ( ) Dx = Dx1 , Dx2 , , Dxn ; Dx j = −i ∂ ∂ ; Dt = −i ∂x j ∂t D = ( Dx , Dt ) Dxµ = Dxµ11 Dxµ22 Dxµnn P ( x, t , D ) = P( x, t , Dx , Dt ) = P ( x, t , ξ , z ) = + k ≤m aµ k ( x, t ) Dxµ Dtk ∑ µ aµ k ( x, t ) ξ µ z k ∑ µ aµ k ( x, t ) ξ µ z k + k ≤m Pm ( x, t , ξ , z ) = ∑ µ + k =m Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3    Trong miền σR xét toán tử sau: P( x, t , D) = ∑ µ + k ≤m aµ ,k ( x, t ) Dxµ Dtk , (1.1) hệ số giả thiết thuộc C ∞ (σ R ) Trong miền σR ta xét toán Dirichlet sau đây: P ( x , t , D )u ( x , t ) = f ( x , t ), Dtk u ( x,0) = 0, ( x, t ) ∈σ R (1.2) x < R ; ≤ k < r (1.3) Toán tử gọi elliptic đắn σ R m = 2r ∀ ( x, t ) ∈σ R , ∀ξ ∈ n \ {0} phương trình z sau có r nghiệm với phần ảo dương r nghiệm với phần ảo âm: P2r ( x, t , ξ , z ) = Với f ∈ C ∞ (σ R ) ta hy vọng ta tìm lời giải C m (σ R ) Chúng ta thấy chí với toán đơn giản yêu cầu có phương pháp giải định Trước hết ta phân tích để đưa khái niệm nghiệm yếu Giả sử u ( x, t ) ∈ C m (σ R ) nghiệm cổ điển Bài toán (1.2), (1.3) Giả sử ∂0σ R phần biên của σR nằm siêu phẳng t = giả sử ∂1σ R phần lại biên, tức phần nằm mặt phẳng x + t = R2 , t > Giả sử ϕ ∈ C m (σ R ) hàm số C m (σ R ) triệt tiêu lân cận ∂1σ R Nhân hai vế phương trình (1.2) với hàm ϕ ( x, t ) lấy tích phân phần, ta có: (P ( x, t, D ) u,ϕ ) = ∑ µ + k ≤m (aµ ,k Dxµ Dtk u,ϕ ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4    = ∑ µ + k ≤m ( Dtk u, Dxµ [a µ ,kϕ ]) m = ∑ ( Dtk u , ϕ k ), k =0 ϕk = ∑ µ ≤ m− k [Dxµ [a µ ,kϕ ], ( h ( x, t ) , k ( x, t ) ) = ∫ h ( x, t )k ( x, t )dxdt σR tích vơ hướng L2 (σ R ) Ta có: m k (P ( x, t, D ) u,ϕ ) = (u, P '( x, t, D)ϕ ) − i ∑∑ ∫σ k =1 j =1 ∂0 m = (u, P '( x, t , D)ϕ ) − i ∑ ∫ j =1 ∂ 0σ R Dt j −1uDtk − jϕk dx R m Dt j −1u ∑ Dtk − jϕk dx, k= j tốn tử P' ( x, t, D ) định nghĩa công thức sau: P '( x, t , D )ϕ = ∑ µ + k ≤m Dxµ D tk [a µ ,kϕ ] toán tử liên hợp P(x,t, D) Theo đó, ta có: m ( P( x, t , D)u,ϕ ) = (u, P '( x, t , D)ϕ ) − i ∑ ∫σ j =1 ∂0 Dt j −1 N jϕdx, (1.4) R m− j N jϕ = ∑ k =0 ∑ µ ≤m− j −k Dxµ Dtk [a µ , j + kϕ ] ≤ j ≤ m (1.5) Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện Dtkϕ ( x,0) = x 2ε ∫∫ε D t >2 µ 2 vε dxdt = ∫∫ D µ v dxdt Ω J ε vε k ,s ≤ v k ,s Vậy Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.8 Cho s số nguyên, cho k số nguyên dương lớn s Nếu v ∈ H s−1,1 ( Ω) v, Dtkϕ ≤ K ϕ k −s ,0 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN ϕ ∈ C0∞ ( Ω) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.18) 35    v ∈ H s,0 ( Ω) Chứng minh Bằng mở rộng (2.18) thỏa mãn ϕ ∈ H0k ( Ω) Giả sử ψ hàm số C0∞ ( n+1 ) Nếu L cho phương trình Lu ( x, t ) = u ( x, t ) m +1 = ∑ λk u ( x, − kt ) t > 0, x ∈ n t < 0, x ∈ n k =1 với m = k, ta có k +1 ( Lv, D ψ ) = ∫∫ v ( x, t ) D ψ ( x, t )dxdt +∑ λ ∫∫ v ( x, − jt ) D ψ ( x, t ) dxdt k t k t j =1 Ω k t j t 0, tồn số K cho + K v 0,s thỏa mãn s v ∈ H k +1,s ( Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36    2.4 Độ trơn nghiệm yếu Định lý 2.6 Cho P(x,t,D) toán tử elliptic đắn với hệ số khả vi vô hạn σ R Giả sử ( ) R1 ≥ R > 0, f ∈ C ∞ σ R , u ∈ H R ( P( x, t, D)u, P( x, t, D)v) = ( f , v ) , v ∈ DR Khi tồn R' > (2.19) cho ta có nghiệm yếu u ∈ C ∞ (σ R ) Chúng minh Đầu tiên, cần ý phương trình (2.19) thỏa mãn v ∈ C0∞ (σ R ) Vậy ta có: ( u, P ( x, t, D) P ( x, t, D) v ) = ( f , v) v ∈ C0∞ (σ R ) ' Ta dễ dàng kiểm tra toán tử P' ( x, t, D ) P ( x, t, D ) toán tử elliptic Vì vậy, u ∈ C ∞ (σ R ) sau điều chỉnh tập hợp có độ đo Vì vậy, ta phải u khả vi vô hạn đến tận biên t = Để kết thúc, giả sử ζ hàm số có giá trị thực C ∞ (σ R ) , bị triệt tiêu miền ∂1σ R tương tự σ R−ε vài giá trị ε dương Chúng ta đặt: [u, v] = ( P ( x, t, D ) u, P ( x, t, D) v ) Ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.10 Tồn số K cho: ⎡⎣δ ih ( Dxµζ u), v ⎤⎦ − ⎡⎣u, Dxµζδ i− h v ⎤⎦ ≤ K v m,0 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN ∑µ D u v≤ v x m ,0 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.20) 37    thỏa mãn h đủ nhỏ, toán tử sai phân δ ih định nghĩa (2.14’) Chứng minh Chứng minh Bổ đề sơ khai phức tạp Cơ sở dựa kết đơn giản sau: Nếu w bị triệt tiêu miền ∂1σ R h đủ nhỏ, δ w ( x, t ) dxdt = ∫∫ σ h i R δ ih D µ = D µδ ih δ ih [ w( x )v( x )] = w( x )δ ih v( x ) + v ( xih )δ ih w( x ) Nếu w,ν bị triệt tiêu miền ∂1σ R và h đủ nhỏ, (δ Nếu A − B h i w, v ) = ( w, δi− hv ) bị giới hạn phía bên phải theo (2.20), viết A ~ B Để chứng minh bổ đề này, ta phải ra: ( aD δ ρ h i Dxµζ u, Dσ v ) ∼ ( aDρ u, Dσ Dxµζδi−hv ) Đối với h nhỏ, với a ( x , t ) ∈ C ∞ (σ R ) ρ , σ ≤ m Từ mục nêu trên, ta có: ( aD δ ρ h i ( Dxµζ u, D σ v ) = D σ Dxµζ u, δ i− h aD σ v ( ) = Dxµ D ρ ζ u, aδ i− h Dσ v + Dσ v ( xi− h ) δ i− h a ) ∼ (δ ih aDxµ D ρ ζ u, Dσ v ) ∼ (δ ihζ aDxµ D ρ u, Dσ v ) ∼ (δ ihζ Dxµ aD ρ u, Dσ v ) = ( Dxµ aD ρ u, ζδ i− h Dσ v ) ∼ ( Dxµ aD ρ u, Dσ ζδ i− h v ) = ( aD ρ u, Dσ Dxµζδ i− h v ) Ở sử dụng Bổ đề 2.6 Vậy Bổ đề chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38    Bây chứng minh Định lý 2.6 việc tiến tới giới hạn đẳng thức (2.19) thỏa mãn tất v ∈ H R Theo Bổ đề (2.10) ta có: ⎡⎣δ ih (ζ u ) , v ⎤⎦ ≤ ( f , ζδ v ) + K u −h i m ,0 v m ,0 (ta lấy µ = ) Bây ta dễ dàng kiểm tra δih (ζ u) H R h đủ nhỏ Trên thực tế {u k } dãy hàm số C ∞ (σ R ) thỏa mãn điều kiện (1.6) uk − u m,0 → , δih (ζ uk ) nằm DR δ ih (ζ uk ) − δ ih (ζ u ) m ,0 → vậy, ta lấy P ( x, t , D ) δ ih (ζ u ) ≤ const δ ih (ζ u ) m ,0 Ta có: Ta giả sử R đủ nhỏ cho Định lý 1.4 thỏa mãn Vì ta có: δ ih (ζ u ) m ,0 ( ≤ const δ ih (ζ u ) m ,0 + δ ih (ζ u ) ) đó, số const khơng phụ thuộc vào h Vì δih (ζ u ) ≤ Di (ζ u ) , theo Bổ đề 2.6, ta có: δ ih (ζ u ) m ,0 ≤ const với số độc lập với h Vì δih (ζ u ) hội tụ tới Di (ζ ) L2 theo Bổ đề 2.6 Định lý Banach-Saks nghĩa Di (ζ u ) nằm H m ( Ω) Điều với i ≤ n Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.10 µ = Giả sử ε >0 cho trước giả sử R1 thỏa mãn R − ε < R1 < R Giả sử ζ ∈ C ∞ (σ R ) để triệt tiêu bên ngồi σ R hàm khác σ R−ε Do đó, với i, j ≤ n , ta có: n ⎡⎣δ ih D j (ζ u ) v ⎤⎦ ≤ (δ ihζ D j f , v ) + K v m ,0 ∑ D j u m ,0 j =1 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39    Vế phải xác định D j u nằm H m ( Ω) với j ≤ n Như trước ta lưu ý δih D j (ζ u ) nằm H h đủ nhỏ Vì vậy, ta lấy v = δih D j (ζ u) Từ ta có: P ( x, t , D ) δ ih D j (ζ u ) ≤ C δ ih D j (ζ u ) m ,0 Ta kết luận: δ ih D j (ζ u ) m ,0 ≤ const Trong đó, số const độc lập với h Vì δih D j (ζ u ) hội tụ tới Di D j (ζ u ) L2, ta thấy hàm số sau thuộc H m ( Ω) i, j ≤ n với m ξ mô tả Tiếp tục theo cách thấy Dxµ (ξ u ) nằm H ( Ω )với µ ξ Chúng ta chứng minh gần xong Ta có u ∈ C ∞ (σ R ) thỏa mãn P' ( x, t, D ) P ( x, t, D ) u = f Đây phương trình dạng elliptic có cấp 2m Nếu a(x,t) hệ số Dt2m phương trình này, thấy a(x,t) khác σ R Giả sử ε >0 cho trước giả sử ζ ∈ C ∝ (σ R ) triệt tiêu miền σ1σ R σ R−ε Đặt w = aζ u , ta có Dt2 m w = ζ f + m −1 ∑D Bu k =0 k t k Bk tốn tử đạo hàm riêng với biến xk , có hệ số đôi khác σ R triệt tiêu miền σ1σ R Do với µ, ta có: Dt2 m Dxµ w = Dxµζ f + m −1 ∑ D Dµ B u k =0 k t x (2.21) k Bây giờ, ta biết Dxµ w ∈ H m ( Ω) với µ Thêm vào đó, theo phương trình (2.21) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40    (D µ x w, Dt2 mϕ ) ≤ const ϕ ϕ ∈ C ∝ (σ R ) m −1,0 Điều suy từ Dxµ Bk u ∈ H m ( Ω) với k µ Vì Dtj Dxµ Bk u nằm L2 (σ R ) với t ≤ m Hơn nữa, với k > m ta có: (D D j t µ x Bk u , ϕ ) = ( Dtm D x Bk u , Dtk − mϕ ) ≤ Dtm Dx Bk u Dtk −mϕ ≤ const ϕ m−1,0 Dxµ w ∈ H m ( Ω) với µ, điều có nghĩa Dxµ w ∈ H m,s ( Ω) s Điều (2.6) cho phép ta áp dụng Bổ đề 2.8 để kết luận Dxµ w ∈ H m+1 ( Ω) Vì Dxµ (ξ u) nằm H m+1 ( Ω) µ ζ Nhưng phương trình (2.21) cho phép ta kết luận rằng: (D µ x w, Dt2 mϕ ) ≤ const ϕ m − 2,0 ϕ ∈ C0∞ (σ R ) Một ứng dụng khác Bổ đề 2.8 Dxµ (ζ u ) nằm H2m+1( Ω ) với µ ζ Do Dxµ (ζ u ) ∈ H m−2 (Ω) với µ Tiếp tục theo cách nhận Dxµ (ζ u) ∈ H m (Ω) µ ζ Tiếp tục xa phân biệt phương trình (2.21) với t nghiêm ngặt Do đó: Dt2 m −1 Dxµ w = Dt Dxµ ζ f + m −1 ∑D k =0 k +1 t Dxµ Bk u Mỗi giới hạn phía bên phải thuộc L2 (σ R ) Vì vậy, Dxµ (ζ u ) thuộc H 2m+1(Ω) µ ζ Tiếp tục làm theo bước này, ta có ζ u k ,s < ∞ k, s ζ, nghĩa ζ u ∈ C ∞ (Ω) Vì với ε >0 ta tìm ζ loại mà giá trị σ R−ε Ta có u ∈ C ∞ (σ R −ε ) Vậy Định lý chứng minh 2.5 Sự tồn nghiệm trơn vơ hạn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41    Định lý 2.7 Nếu f ∈ C ∞ (σ R ) f ⊥ N R' , tồn R' > cho Bài tốn (1.2) (1.3) có nghiệm u ∈ C ∞ (σ R ) Chứng minh Cho M tập hợp tất v ∈ H R cho v ⊥ N R' Ta dễ dàng kiểm tra M không gian đóng H R vậy, không gian Hilbert Lấy R đủ nhỏ để (1.24) thỏa mãn, đặt ( ( u, v ) ) = ( P '( x, t, D)u, P( x, t, D)v ) u, v ∈ H R Ta thấy từ (1.16) (1.25) ( ( u, v ) ) có tất tính chất tích vơ hướng M, M khơng gian Hilbert với tính chất tích vơ hướng Tiếp theo, ta xét hàm số: Fv = ( v, f ) M Rõ ràng hàm số tuyến tính Nó bị chặn, vì: ( v, f ) ≤ v f ≤ f P '( x, t, D)v v∈M (theo (1.24)) Theo Định lý Fre’chet-Riesz, có hàm số w ∈ M cho: Fv = ( ( u, v ) ) v∈M Vì ( P '( x, t, D)w, P '( x, t, D)v ) = ( f , v ) v∈M Phương trình không không đổi tất v ∈ M mà cho tất v ∈ H R Thật v hàm số H R , có v = v1 + v2 , v1 ∈ M v2 ∈ N R' (ở N R' có số chiều hữu hạn) Vì P ' ( x, t, D) v2 = ( f , v2 ) = nên ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42    ( P ' ( x, t, D) w, P ' ( x, t, D) v ) = ( P ' ( x, t, D) w, P ' ( x, t, D) v ) = ( f , v ) = ( f , v ) 1 Lưu ý P ' ( x, t, D ) thỏa mãn tất giả thiết P ( x, t, D) Vì vậy, áp dụng Định lý 2.6 để kết luận w ∈ C ∞ (σ R ) vài R' > Đặt u = P ' ( x, t, D) w u ∈ C ∞ (σ R ) nghiệm yếu Bài tốn (1.2) (1.3) Vì vậy, theo Định lý 1.1, nghiệm thực Vậy Định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43    KẾT LUẬN - Luận văn nghiên cứu toán Dirichlet cho phương trình elliptic đắn nửa hình cầu, cấp phương trình chẵn đáy hình cầu cho số điều kiện biên nửa số cấp phương trình, cịn phần biên mặt cầu không xét điều kiện biên - Luận văn trình bày khái niệm nghiệm yếu toán, phát biểu chứng minh điều kiện cần đủ để tồn yếu chứng minh tồn nghiệm yếu trường hợp hình cầu có bán kính đủ nhỏ - Luận văn hệ số vế phải phương trình hàm đủ trơn nghiệm yếu tốn có độ trơn tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44    TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] MARTIN SCHECHTER, (1977), Modern Methods in Partial Differential Equations, Mc Graw-Hill Inc Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... thuyết toán biên elliptic cho phương trình elliptic đắn nghiên cứu, trường hợp cấp phương trình chẵn, số nghiệm đặc trưng với phần ảo dương phần ảo âm số điều kiện biên nửa số cấp phương trình, ... KHOA HỌC - TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... D) toán tử đạo hàm riêng với hệ số ( ) C ∞ σ R Ta gọi tập toán tử chuẩn tắc mặt t = cấp mj m đôi khác hệ số Dt Q j ( x,0, D ) hàm số khác không j x ≤ R Một hệ chuẩn tắc gồm r toán tử gọi hệ Dirichlet