Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số : 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác Những kết viết chung với cán hướng dẫn đồng ý đưa vào luận án Nghiên cứu sinh i LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy cơng việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Đặc biệt, từ tận đáy lịng, tơi xin cảm ơn PGS TS Đặng Quang Á Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn kiên trì dìu dắt tơi từ học viên cịn non nớt cơng việc nghiên cứu khoa học hồn thành luận án Chính nhờ quan tâm động viên Thầy giúp cảm thấy tự tin hơn, vượt qua khó khăn, vất vả suốt q trình nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy cán nghiên cứu Viện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT tạo cho môi trường làm việc thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp thực tốt công việc nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Viện Tốn góp ý nhiệt tình bảo, cho tơi tham dự buổi Seminar khoa học Hội thảo Toán học giúp tơi bổ sung kiến thức Tốn học cần thiết cho luận án q trình nghiên cứu ii Tơi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái nguyên động viên tạo điều kiện mặt thời gian công việc giúp tập trung vào công việc nghiên cứu Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến tất đồng nghiệp bạn bè chia sẻ buồn, vui kinh nghiệm quí báu sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Luận án cơng việc cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, anh chị em người thân gia đình với tất lịng biết ơn sâu sắc Xin chân thành cảm ơn iii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu DDM Phương pháp chia miền BAM Phương pháp xấp xỉ biên SFBIM Phương pháp tích phân biên LPIS Giá đỡ thẳng bên Rn Không gian Euclide n chiều Ω Miền giới nội không gian Rn ∂Ω Biên miền Ω ∆ Toán tử Laplace ∇ Toán tử Gradient C k (Ω) Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục L2 (Ω) Khơng gian hàm đo bình phương khả tích H s (Ω) Khơng gian Sobolev với số s V Chuẩn xác định không gian V (., )V Tích vơ hướng xác định khơng gian V I Tốn tử đơn vị Dα u Đạo hàm riêng u cấp |α| HA Không gian lượng tốn tử A iv Danh sách hình vẽ 1.1 Các véc tơ pháp tuyến tiếp tuyến điểm P 16 1.2 Miền Ω ký hiệu biên tương ứng 22 2.1 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 36 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5 48 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3 49 2.4 Miền hình học dạng L với miền Ω1 Ω2 49 2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ miền dạng L 50 2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ 51 2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tốn mơi trường lớp không đồng 52 2.8 Miền Ω với miền phần biên tương ứng 55 2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với hàm: a) Hàm u1 ; b) Hàm u2 ; c) Hàm u3 65 2.10 Hình miền điều kiện biên toán Motz 65 2.11 Nghiệm xấp xỉ toán Motz 66 2.12 Dáng điệu đạo hàm điểm kỳ dị 66 3.1 Miền Ω phần biên 72 3.2 Miền Ω với điều kiện biên hỗn hợp 73 3.3 Miền Ω miền 80 3.4 Bài toán vết nứt 84 v 3.5 Đồ thị nghiệm toán vết nứt 85 3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) theo SFBIM (bên phải) 85 3.7 Bản với giá đỡ bên 86 3.8 Bản với hai giá đỡ bên 86 3.9 Bài tốn có LPIS với điều kiện biên tương ứng xét 1/4 87 3.10 Bài tốn có hai LPIS với điều kiện biên tương ứng xét 1/4 87 3.11 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 91 3.12 Mặt võng 1/4 với giá đỡ có độ dài khác 96 3.13 Độ dốc theo hướng x y dọc theo giá đỡ 96 3.14 Mặt võng tồn có LPIS 96 3.15 Đường đồng mức độ võng trường hợp e/π = 0.1 97 3.16 Đường đồng mức độ võng trường hợp e/π = 0.3 97 3.17 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 , Ω3 98 3.18 Độ dốc theo hướng x dọc theo LPIS 101 3.19 Độ dốc theo hướng y xét điểm LPIS 101 3.20 Mặt võng 1/4 với hai LPIS 101 3.21 Mặt võng toàn có hai LPIS 101 3.22 Độ dốc theo hướng x với LPIS đặt vị trí tùy ý 102 3.23 Độ dốc theo hướng y xét điểm LPIS 102 3.24 Mặt võng 1/4 với giá đỡ đặt vị trí tùy ý 102 3.25 Đường đồng mức độ võng trường hợp e1 /π = 0.1, e2 /π = 0.2 103 vi 3.26 Đường đồng mức độ võng trường hợp e1 /π = 0.2, e2 /π = 0.4 103 vii Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ trình lặp với r = 0.5 48 2.2 Sự hội tụ trình lặp với r = 0.3 48 2.3 Sự hội tụ q trình lặp giải tốn miền dạng L 50 3.1 Sự hội tụ trình lặp với hàm u1 , u2 , u3 82 3.2 Sự hội tụ trình lặp Ví dụ 3.2.5 83 3.3 Sự hội tụ trình lặp giải tốn vết nứt 84 3.4 Sự hội tụ trình lặp với hàm u1 , u2 , u3 93 3.5 Sự hội tụ trình lặp trường hợp trước nghiệm 94 3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn tọa độ tương ứng với LPIS 97 3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn tọa độ tương ứng với LPIS 103 viii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iv Danh sách hình vẽ iv Danh sách bảng vii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Một số ký hiệu định nghĩa 1.1.2 Không gian Sobolev 10 1.1.3 Công thức Green bất đẳng thức Poincare 12 1.2 Bài tốn biên phương trình elliptic cấp hai phương trình song điều hịa 13 1.2.1 Bài tốn biên phương trình elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp, không 13 1.2.2 Bài toán biên phương trình song điều hịa 15 1.3 Các vấn đề phương pháp lặp 19 1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 19 1.3.2 Định lý hội tụ sơ đồ lặp 20 ix song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Các kết chứng minh chặt chẽ mặt lý thuyết kiểm tra nhiều thực nghiệm tính tốn Đặc biệt, hiệu phương pháp khẳng định qua kết giải toán: - Bài toán vết nứt - Bài toán độ uốn mỏng có hai giá đỡ bên Đặc biệt, kết toán với hai giá đỡ bên hoàn toàn mới, q trình in xuất tạp chí Journal of Engineering Mathematics (SCI) Các thử nghiệm tính tốn thực nhiều ví dụ so sánh với phương pháp khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp phương trình chuỗi cặp, ) chứng tỏ tính hiệu phương pháp đề xuất (4) Xây dựng thư viện chương trình giải số tốn biên hỗn hợp yếu phương trình elliptic với hệ số miền chữ nhật với điều kiện biên khác dựa thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn Samarskij-Nikolaev Thư viện chương trình cơng cụ quan trọng để giải số tốn phức tạp nghiên cứu luận án Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu biện pháp làm tăng tốc độ hội tụ phương pháp lặp sở phương pháp ngoại suy tham số • Phát triển phương pháp lặp đề xuất miền hình học phức tạp điều kiện biên phức tạp • Ứng dụng phương pháp số mơ hình tốn khác 107 học vật lý • Nghiên cứu phương pháp lặp dựa chia miền dạng phương trình hyperbolic parabolic 108 Danh mục cơng trình cơng bố (1) Dang Q A, Trương H H, Vu V Q, Domain Decomposition Method for Elliptic Interface Problems, Vietnam Journal of Math Vol 39, No 4, 485-499, 2011 (2) Dang Q A, Truong H H, Vu V Q, Iterative method for a biharmonic problem with crack, Applied Mathematical Sciences Vol 6, No 62, 3095 - 3108, 2012 (3) Dang Q A, Trương H H, Simple Iterative Method for Solving Problems for Plates with Partial Internal Supports, Journal of Engineering Mathematics (SCI), DOI:10.1007/s10665-013-9652-7 (in press) (4) Đặng Quang Á, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp song song giải tốn biên hỗn hợp mạnh phương trình elliptic, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT", NXB KH KT, 370-382, 2010 (5) Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Tiếp cận chia miền tới toán mặt phân cách, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT", NXB KH KT, 311-320, 2011 (6) Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng 109 chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số số Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, 7(69), 63-70, 2010 (7) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải Kết cải tiến sơ đồ chia miền tốn song điều hịa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, 1(75), 38-47, 2008 (8) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mơ hình tính tốn song song giải toán biên hỗn hợp mạnh dựa chia miền Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, (50), 52-57, 2009 110 Tài liệu tham khảo [1] Aubin J P Approximation of elliptic boundary-value problems, WileyInterscience, 1971 [2] Adams, R.A Sobolev spaces Academic Press, New York 1975 [3] Abramov A A and Ulijanova V I., A method for solving biharmonictype equations with a singularly occurring small parameter, J of Comp Math and Math Phys., v 32, No 4, 481-487, 1992 [4] Andrea Toselli, Olof Widlund, Domain Decomposition Methods: Algorithms and Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 [5] Bosko S Jovanovie and Lubin G Vulkov, Finite Difference Approximation of an Elliptic Interface Problem with Variable Coefficients, Numerical Analysis and Its Applications, Lecture Notes in Computer Science, Vol 3401/2005, 46-55, 2005 [6] Bialecki B., Karageorghis A., A Legendre Special Galerkin Method for the Biharmonic Dirichlet Problem, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol 22, Issue 5, 1549-1569, 2000 [7] Cioranescu D and Patrizia D., An Introduction to Homogenization, Oxford Press, 1999 111 [8] Cakoni F., Hsiao G C and Wendland W L., On the Boundary Integral Equation Method for a Mixed Boundary Value Problem of the Biharmonic Equation, Complex Variables, Theory and Application, Vol 50, 681-696, 2005 [9] Ciarlet P G., The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978 [10] Dang Q A, Approximate method for solving an elliptic problem with discontinuous coefficients, Journal of Comput and Applied Math.,51, 193-203, 1994 [11] Dang Q A, Parametric extrapolation as a parallel method in mathematical physics., Tạp chí Tin học Điều khiển học , No 1, 1-9, 2001 [12] Dang Q A, V V Quang, Domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319, 2006 [13] Dang Q A, Vu V Q., A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book H.G Bock et al (eds): Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Springer, 65-76, 2012 [14] Dang Q A, Boundary operator method for approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math Vol 22, No 1-2, 114-120, 1994 112 [15] Dang Q A, Mixed boundary-domain operator method in approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math Vol 26, No 3, 243-252, 1998 [16] Dang Q A, Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation, Journal of Comput and Applied Math., Vol 196, No 2, 634-643, 2006 [17] Dang Q A and Le T S, Iterative methods for Solving a Problem with Mixed Boundary Conditions for Biharmonic Equations, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, Vol 1, No 5, 1-16, 2009 [18] Dang Q A, Trương H H, Vu V Q, Domain Decomposition Method for Elliptic Interface Problems, Vietnam Journal of Math Vol 39, No 4, 485-499, 2011 [19] Dang Q A, Truong H H, Vu V Q, Iterative method for a biharmonic problem with crack, Applied Mathematical Sciences Vol 6, No 62, 3095 - 3108, 2012 [20] Dang Q A, Trương H H, Simple Iterative Method for Solving Problems for Plates with Partial Internal Supports, Journal of Engineering Mathematics (SCI), DOI:10.1007/s10665-013-9652-7 (in press) [21] Đặng Quang Á, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp song song giải toán biên hỗn hợp mạnh phương trình elliptic, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT", NXB KH KT, 370-382, 2010 113 [22] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Tiếp cận chia miền tới toán mặt phân cách, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT", NXB KH KT, 311-320, 2011 [23] Ewing R E , Z Li, T Lin, and Y Lin, The immersed finite volume element methods for the elliptic interface problems, Mathematics and Computers in Simulation 50, no 1–4, 63–76, 1999 [24] Elliotis M., Georgiou G and Xenophontos C., Solution of the stickslip problem with the singular function boundary integral method, 5th GRACM International Congress on Computational Mechanics, Limassol, 29 June, 2005 [25] Elliotis M., Georgiou G and Xenophontos C., The singular function boundary intergral method for biharmonic problems with crack singularities, Eng Anal Bound Elem 31, 209-215, 2007 [26] Elliotis M., Georgiou G and Xenophontos C., Solution of planar Newtonian stick-slip problem with the singular function boundary integral method, Int J Numer Mech Fluids, 48: 1001-1021, 2005 [27] Grisvard P., Elliptic problems in nonsmooth domains, Pitman Publishing, Boston 1985 [28] Glowinski R and Pironneau O., Numerical methods for the first biharmonic equation and for the two-dimensional Stokes problem, SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol 21, No 2, 167212, 1979 [29] Gilbarg D., N S Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, Berlin,1977 114 [30] Guminiak M, Sygulski R., The analysis of internally supported thin plates by the boundary element method Part Static analysis Foundation of Civil and Environmental Engineering, 9: 17-41, 2007 [31] Guminiak M, Sygulski R., The analysis of internally supported thin plates by the boundary element method Part Free vibration analysis Foundation of Civil and Environmental Engineering, 9: 43-74, 2007 [32] Herrera I., Unified Theory of Domain Decomposition Methods, 14th Int Conf on Domain Decomposition Methods, Editors: Ismael Herrera, David E Keyes, Olof B Widlund, Robert Yates, www.DDM.org, 243-248 2003 [33] He X M , T Linand Y Lin, A Bilinear Immersed Finite Volume Element Method for the Diffusion Equation with Discontinuous Coefficient, Commun Comput Phys., 6, 185-202, 2009 [34] Hou L.S and Jangwoon Lee, A Robin-Robin non-overlapping domain decomposition method for an elliptic boundary control problem, International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Volume 8, Number 3, 443–465, 2011 [35] Jeon Y., Scalar boundary integral equation formulas for the biharmonic equation-numerical experiments, Journal of Comp and App Math (JCAM) 115, 269-282, 2000 [36] Jeon Y., New indirect scalar boundary intergral equation formulas for the biharmonic equation, JCAM 135, 313-324, 2001 115 [37] Katsikadelis J T and Kallivokas L F., Clamped Plates on PasternakType Elastic Foundation by The Boundary Element Method , J Appl Mech ASME, 53, 909-917, 1986 [38] Katsikadelis J T and Kallivokas L F., Plates on Biparametric Elastic Foundation by BDIE Method, J Engrg Mech., 114, 847-875, 1998 [39] Li Z, An overview of the immersed interface method and its applications, Taiwanese Journal of Mathematics, v 7, no 1, 1-49, 2003 [40] Li Z and K Ito, The Immersed Interface Method: Numerical Solutions of PDEs Involving Interfaces and Irregular Domains, SIAM, Philadelphia, 2006 [41] Liang Chern, Yu-Chen Shu, A coupling interface method for elliptic interface problems, Journal of Computational Physics, 225, 2138–2174, 2007 [42] Lions J L and E Magenes, Problemes aux Limites Non Homogens et Application, Vol 1, Dunod, Paris, 1968 [43] Lions P L., On the Schwarz alternating methods III: a variant for nonoverlapping subdomains, in Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, T F Chan, R Glowinski, J Periaux, and O B Wildlund, eds., SIAM, Philadelphia, PA, 202-231, 1990 [44] Li Z C and T T Lu, Singularities and Treatments of Elliptic Boundary Value Problems, Mathematical and Computer Modeling, 31, 97-45, 2000 116 [45] Li Z C, Lu T T, Hu H Y, The collocation Trefftz method for biharmonic equations with crack singularities, Eng Anal Bound Elem.; 28, 79-96, 2004 [46] Lurie A I., Theory of Elasticity, published by Springer, 2005 [47] Le Tallec P et al., Domain decomposition methods for large linearly elliptic three dimensional problems, Rapprts de Recherche, No 1182, INRIA, France, 1990 [48] Li Z C., Y L Chan, G C Georgiov, C Xenophontos, Special Boundary Approcimation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Application to Motz problem, J Computers and Mathematics with Applications 51, 115-142, 2006 [49] Lube G., Mă uller L and Mă uller H., A new non-overlapping domain decomposition method for stabilized finite element methods applied to the non-stationary Navier-Stokes equations Numer Linear Algebra Appl., 7: 449–472, 2000 [50] Meller N A and Dorodnisyn A A., Some approaches to solving stationary Navier–Stokes equations, Zh Vychisl Mat Mat Fiz., 8:2, 393–402, 1968 [51] Motz H, The treatment of singularities in relaxation methods, Quart Appl Math 4, 371-377, 1946 [52] Mandal B.N and N Mandal, Advances in Dual Integral Equations Research Notes in Mathematics, Chapman and Hall-CRC, New York, 1999 117 [53] Mandrik P.A., The method of the dual integral equation for analysis of heat transfer processes, Mathematical Modeling and Analysis, 6:280288, 2001 [54] Meleshko V V., Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, Applied Mechanics Reviews, vol 56, issue 1, 3385, 2003 [55] Pawlak Z., Guminiak M., The application of fundamental solutions in static analysis of thin plates resting on the internal elastic support, Foundation of Civil and Environmental Engineering, No 11: 67-96, 2008 [56] Pollikkas A., Karageorghis A., Georgiou G., Methods of fundamental solutions for harmonic and biharmonic boundary value problems, Computational Mechanics 21, 416-423, 1998 [57] Popov G.I, Rostovtsev N A., Contact and Mixed Problems of Elasticity, Proceedings of Symposium on Theoretical and Applied Mechanics, Moscow, No 3, 235-252, 1966 [58] Palsev B V., On the expansion of the Dirichlet problem and a mixed problem for biharmonic equation into series of decomposed problems, J of Comp and Math Phys., Vol 6, No 1, 43-51, 1966 (Russian) [59] Quarteroni A., Valli A, Numerical approximation of partial differential equations, Springer-Verlag Berlin Heidelburg, 1994 [60] Quarteroni A and Valli A., Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Oxford Science Publications, Oxford 1999 118 [61] Quarteroni A., Numerical Models for Differential Problems, Vol 2, Springer-Verlag Italia, Milan 2009 [62] Rectorys K., Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, Boston, 1980 [63] Samarskii A A., The Theory of Difference Schemes, New York, Marcel Dekker, 2001 [64] Samarskii A., and Nicolaev E., Numerical methods for grid equations, vol 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel, 1989 [65] Shen J., Effcient spectral-Galerkin method II Direct solvers of secondand fourth-order equations using Chebyshev polynomials, SIAM J Sci Comput, 16, 74-87, 1995 [66] Saito N , H Fujita, Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, 63-70, 2001 [67] Szilard R., Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall, 1974 [68] Sompornjaroensuk Y and Kiattikomol K., Dual-series equations formulation for static deformation of plates with a partial internal line support, Theoret Appl Mech, Vol 34, No.3, 221-248, Belgrade, 2007 [69] Sompornjaroensuk Y., and Kiattikomol K., Exact analytical solutions for bending of rectangular plates with a partial internal line support, Journal of Engineering Mathematics, Vol 62, No 3, 261-276, 2008 [70] Seyidmamedo Z M., E Ozbilge, A mathematical model and numerical solution of interface problems for steady state heat conduction, Math119 ematical Problems in Engineering, Volume 2006, Artice ID 20898, 18 papes, DOI: 10.1155/MPE/2006/20898 [71] Timoshenko S P and Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1970 [72] Tikhonov A N., and Samarskii A A., Homogeneous difference schemes, USSR Comput Math and Math Phys., Vol 1, No 1, 5-67, 1962 [73] Tikhonov A N and Arsenin V Y., Solutions of ill posed problems, Nauka, 1979 [74] Truong Ha Hai, Vu Vinh Quang, Do Diep Anh, The result of constructing two domain decomposition methods for solving biharmonic problem, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, (30): 12-20, 2009 [75] Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số số Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, 7(69), 63-70, 2010 [76] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải Kết cải tiến sơ đồ chia miền tốn song điều hịa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái ngun, 1(75), 38-47, 2008 [77] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mơ hình tính tốn song song giải toán biên hỗn hợp mạnh dựa chia miền Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái nguyên, (50), 52-57, 2009 120 [78] Vũ Vinh Quang, Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai phương trình song điều hịa miền hình học phức tạp Luận án tiến sĩ, 2007 [79] Wei G.W., Zhao Y.B., Xiang Y Discrete singular convolution and its application to the analysis of plates with internal supports Part1: Theory and algorithm, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 55:913-946, 2002 [80] Xiang Y., Zhao Y.B., WeiG W., Discrete singular convolution and its application to the analysis of plates with internal supports Part2: Applications, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 55:947-971, 2002 [81] Xenophontos, M Elliotis, and G Georgiou, A singular function boundary integral method for Laplacian problems with boundary singularities, SIAM J Sci Comp., Vol 28, No 2, 517-532, 2006 [82] Yan Gong, Bo Li, and ZhiLin Li, Immersed-Interface Finite-Element Methods for Elliptic Interface Problems with Nonhomogeneous Jump Conditions, SIAM J Numer Anal., Vol 46, Issue 1, 472-495, 2008 [83] Yang W H., On an integral equation solution for a plate with internal support, Q J Mechanics Appl Math 21 (4): 503-515, 1968 121 ... 2.1 2.1.1 Phương pháp gần giải toán biên elliptic với hệ số gián đoạn Mơ hình tốn mặt phân cách Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) toán biên phương trình elliptic, hệ số phương trình hàm... giải tốn biên phương trình elliptic với hệ số gián đoạn - Phương pháp lặp song song giải tốn biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải toán Motz - Phương pháp kết hợp... Chương Phương pháp giải gần tốn biên phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 68 3.1 Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa x 68 3.2 Phương pháp kết hợp giải