Bài toán dirichlet cho phương trình monge ampère elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGƠ THANH HUYỀN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THANH HUYỀN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS.HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1.2 Một số tính chất phương trình Monge-Ampère elliptic 1.2 Phương pháp liên tục toán Dirichlet 1.2.1 Đặt toán Dirichlet 1.2.2 Không gian Hoălder C k, () 1.2.3 Nội dung phương pháp liên tục 1.3 Đánh giá nghiệm tốn Dirichlet khơng gian C2 Ω 1.3.1 Bước Đánh giá |u| Ω 1.3.2 Bước Đánh giá |∇u| Ω 1.3.3 Bước Đánh giá D2 u ∂Ω 1.3.4 Bước Đánh giá D2 u Ω 4 7 10 11 11 12 18 Đánh giá đạo hàm cấp hai nghiệm tốn Dirichlet khơng gian Hoălder 2.1 ỏnh giỏ chun Hoălder i vi nghim ca phương trình elliptic tuyến tính đạo hàm cấp 2.1.1 Bất đẳng thức Harnack 2.1.2 ỏnh giỏ chun Hoălder i vi nghim 2.1.3 Đánh giá chuẩn Hoălder trờn biờn i vi o hm cp mt theo pháp tuyến nghiệm 2.2 Đánh giá đạo hàm cấp hai bên miền 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai toàn miền Kết luận Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 20 20 21 21 23 27 31 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Luận văn nghiên cứu tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình Monge-Ampèra elliptic miền Ω bị chặn lồi chặt Rn Đây phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hồn tồn, việc nghiên cứu phức tạp so với phương trình elliptic tuyến tính tuyến tính Để tiếp cận toán trên, người ta dùng phương pháp liên tục, đưa vào tốn tham số t ∈ [0, 1] cho t = tốn ln có nghiệm trường hợp t = tương ứng với toán Phương pháp đòi hỏi phải tiến hành đánh giá tiên nghiệm ¯ nghiệm toán Do đó, tồn phần cịn lại C 2,α Ω Luận văn dành cho việc trình bày đánh giá Luận văn gồm hai chương Trong chương I mô tả phương trình MongeAmpere elliptic, phát biểu tốn Dirichlet cho phương trình tiến ¯ nghiệm toán hành đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn C Ω bốn bước Phần đầu chương II trình bày đánh giá tiên nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Sau áp dụng kết để đánh giá theo chuẩn C α đạo hàm cấp hai bên miền Ω biên ∂Ω Các kết với đánh giá nhận ¯ nghiệm Từ chương I kết thúc việc đánh giá theo chuẩn C 2,α Ω đó, dựa vào phương pháp liên tục, suy tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampère elliptic Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic Trong chương này, trình bày phương pháp liên tục để nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình MongeAmpère Phương pháp đòi hỏi phải đánh giá nghiệm ¯ Trong Mục 1.3 đưa tốn khơng gian C 2,α Ω đánh giá cho nghiệm đạo hàm đến cấp hai theo chuẩn khơng gian C Ω 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω trơn Phương trình Monge-Ampère có dạng det (uij ) = f (x) , x ∈ Ω, (1.1) x = (x1 , x2 , , xn ), f (x) hàm số cho trước Ω, u = u (x) ẩn hàm, uij (x) = uxi xj (x) đạo hàm cấp hai ẩn hàm Phương trình (1.1) gọi phương trình Monge-Ampère elliptic f (x) > 0, ẩn hàm u(x) hàm lồi ma trận [uij (x)] xác định dương điểm x ∈ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.1.2 Một số tính chất phương trình Monge-Ampère elliptic Toán tử Monge-Ampère M xác định M (u) = det (uij ), u ∈ C (Ω) Rõ ràng, M (u) ≥ u(x) lồi, M (u) > u lồi ngặt Đối với hàm u lồi ngặt, ta đưa vào toán tử F D2 u ≡ log det (uij ) Định lý 1.1 Ta có cơng thức sau Fij ≡ Fij,kl ≡ ∂F ∂uij ∂2F ∂uij ∂ukl = uij , = −uik ujl , uij ma trận nghịch đảo ma trận Hessian (uij ) Chứng minh Chúng ta kí hiệu A = Aij ma trận phần bù đại số ma trận H = [uij ], tức A = (det H) H −1 Với i = 1, n, khai triển định thức theo hàng thứ i det D2 u = Ail uil + + Ain uin Sau dễ dàng thấy ∂F ∂uij = ij det D2 u A = uij Tiếp theo, cố định i, j = 1, , n, có theo định nghĩa 1, i = j 0, i = j uik ujk = δji = Lấy đạo hàm đẳng thức upq , có uik upq ujk + uik (ujk )upq = Nhân hai vế với ujl lấy tổng theo j , có uil upq = uik upq ujk ujl = −uik ujl (ujk )upq = −uiq upl , Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ∂uij ∂ukl = −uil ukj Vì có ∂2F ∂uij ∂ukl = ∂uij ∂ukl = −uil ukj Ở đây, biểu thức có số lặp ta quy định lấy tổng theo số lặp Định lý 1.2 Hàm F hàm lõm đối số nó, ma trận xác định dương D2 u = (uij ) Điều có nghĩa ∂2F ∂uij ∂ukl mij mkl ≤ 0, ma trận xác định dương M = (mij ) Chứng minh Chúng ta chéo hóa ma trận (uij ) Sau uij trở thành ma trận đường chéo diag λ1 , ., λn với λi > 0, i = 1, , n Do đó, có ∂2F ∂uij ∂ukl mij mkl = −uil ukj mij mkl = −λi λj m2ij ≤ Trước nghiên cứu phương trình Monge-Ampère, nêu kết đơn giản ma trận dương, mà cần thiết sau Nếu H = (uij ) ma trận dương, ta có |uij | ≤ 12 (uii + ujj ) Điều dễ dàng nhìn thấy sau: H dương, ma trận đường chéo × xác định dương Điều suy u2ij ≤ uii ujj Bất đẳng thức Cauchy cho ta kết bên Bây quay trở lại phương trình Monge-Ampège det (uij ) = f Chúng ta viết lại sau Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ F D2 u = log det (uij ) = log f , cho u lồi ngặt Giả sử ∂ đạo hàm theo hướng tùy ý Rn Áp toán tử ∂ vào hai vế phương trình trên, có uij ∂uij = ∂ log f Điều dẫn đến toán tử vi phân L ≡ uij ∂ ij , ∂ij u = ∂uij Khi u lồi ngặt, L elliptic Chúng ta nhận L (∂u) = ∂ log f Lấy đạo hàm lần Chúng ta có L ∂ u − uil ukj ∂uij ∂ukl = ∂ log f , L ∂ u = uil ukj ∂uij ∂ukl + ∂ log f Số hạng bên phải dương, u lồi ngặt Khi có L ∂ u ≥ ∂ log f 1.2 Phương pháp liên tục toán Dirichlet 1.2.1 Đặt toán Dirichlet Chúng ta xét toán Dirichlet sau det uij = f (x) Ω, (1.2) u = ϕ ∂Ω, f ∈ C ∞ Ω , f > 0, Ω ϕ ∈ C ∞ (∂Ω) hàm số cho trước Số hóa Trung tâm Hoùc lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 Khụng gian Hă older C k, (Ω) ¯ không gian hàm liên tục Ω ¯ với chuẩn C0 Ω u ¯) C (Ω = max |u (x)| ¯ Ω ¯ =C Ω ¯ Người ta thường viết C Ω Định nghĩa ¯ = u (x) ∈ C Ω ¯ ; Dβ u ∈ C Ω ¯ , ∀ |β| ≤ k , Ck Ω với chuẩn u ¯) C k (Ω Dβ u = |β|≤k ¯ ) C (Ω Ở ta dùng kí hiệu sau β = {β1 , β2 , , βn } , βj ∈ N, |β| = β1 + β2 + + βn , D = (D1 , D2 , , Dn ) , Dj = ∂ ∂xj , Dβ = D1β1 D2β2 Dnβn Cho ≤ α ≤ 1, định nghĩa [u]α,Ω = sup ¯ x,y∈Ω |u(x)−u(y)| α |x−y| x=y Khi ¯ = u∈C Ω ¯ ; [u] < +∞ , Cα Ω α,Ω với chuẩn u ¯) C α (Ω = u ¯) C (Ω + [u]α,Ω Với k số tự nhiên, ta định nghĩa ¯ = u ∈ Ck Ω ¯ ; [Dα u] < +∞, ∀ |α| = k , C k,α Ω α,Ω với chuẩn u k+α,Ω = u ¯) C k,α (Ω = u ¯) C k (Ω + |α|=k [D α u]α,Ω , ¯ C k,α Ω ¯ không gian Banach không gian C k Ω Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ osc D2 u = max osc uij , C > α ∈ (0, 1) số phụ 1≤i,j≤n BR thuộc vào n, λ, Λ Chứng minh Cho γ véc tơ đơn vị tùy ý Rn ta lấy đạo hàm hai lần (2.13) theo hướng γ Như có Fij Dijγ u = Dγ f , Fij Dijγγ u + Fij,kl Dijγ uDklγ u = Dγγ f Kết quả, hàm ω = uγγ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân Fij Dij ω ≥ Dγγ f (2.14) Chúng ta áp dụng bất đẳng thức Harnack yếu Giả sử BR , B2R hình cầu đồng tâm Ω bán kính B , 2R tương ứng, với s = 1, ta đặt Ms = sup ω ; ms = inf ω BsR BsR Đối với hàm số M2 − ω có Rn p BR (M2 − ω) p ≤ C M2 − M1 + R2 D2 f ≤ C (M2 − m2 ) − (M1 − m1 ) + R2 D2 f (2.15) Để có đánh giá Holder cho đạo hàm ω từ (2.15), cần bất đẳng thức tương ứng cho ω Mà có cách xem xét (2.13) mối quan hệ hàm số đạo hàm bậc hai u Để bắt đầu, cách sử dụng tính lõm F lần nữa, có với x, y ∈ Ω Fij D2 u (y) (Dij u (x) − Dij u (y)) ≥ F D2 u (x) − F D2 u (y) = f (x) − f (y) Áp dụng Bổ đề 2.4 cho ma trận (Fij ), có βk (ωk (y) − ωk (x)) ≤ f (y) − f (x) , ωk = Dγk γk u βk = βk (y) thỏa mãn 29 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.16) < λ∗ ≤ βk ≤ Λ∗ , véc tơ γ1 , , γN λ∗ , Λ∗ phụ thuộc vào n, λ, Λ Đặt Mk (sR) = sup ωk mk (sR) = inf ωk , BsR BsR ωk (sR) = Mk (sR) − mk (sR), s = 1, 2; k = 1, 2, , N Mỗi hàm số ωk thỏa mãn (2.15), Rn p p (Mk (2R) − ωk ) ≤ C ωk (2R) − ωk (R) + R2 D2 f BR 0;Ω (2.17) Với giá trị l cố định cộng theo k = l, nhận p Rn BR (Mk (2R) − ωk ) p (Mk (2R) − ωk (R)) + R2 D2 f ≤C k=l k=l ≤ C (ω (2R) − ω (R)) + R2 D2 f , s = 1, N ω (sR) = N (Mk (2R) − mk (2R)) osc ωk = k=1 BsR k=1 Từ (2.16), có x ∈ B2R ; y ∈ BR βl [ωl (y) − ωl (x)] ≤ f (y) − f (x) + βk (ωk (x) − ωk (y)), k=l ωl (y) − ml (2R) ≤ λ∗ 3R|Df |0,Ω + Λ∗ (Mk (2R) − ωk ) k=l Suy Rn p (ωl − ml (2R)) BR p ≤ C ω (2R) − ω (R) + R|Df |0 + R2 D2 f (2.18) C lần phụ thuộc vào n, λ, Λ Trong (2.17) lấy k = l và cộng vào (2.18) ta có 30 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ , Ml (2R) − ml (2R) ≤ C ω (2R) − ω (R) + R|Df |0 + R2 D2 f Cộng bất đẳng thức theo l, ta có ω (2R) ≤ C ω (2R) − ω (R) + R|Df |0 + R2 D2 f , ta có ω (R) ≤ δω (2R) + R|Df |0 + R2 D2 f , với δ = − C1 ∈ (0, 1) Từ suy đánh giỏ khụng gian Hoălder cho hm s k , k = 1, , N Khi với hình cầu BR0 ⊂ Ω R ≤ R0 , ω (R) ≤ C R R0 α ω (R0 ) + R0 |Df |0 + R2 D2 f , C > α ∈ (0, 1) số dương phụ thuộc n, λ, Λ Bằng cách sử dụng khẳng định cuối Bổ đề 2.4, có đánh giá cho D2 u bên miền 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai toàn miền Trong phần này, lấy đưa đánh giá chung cho đạo hàm bậc hai Cho Ω miền bị chặn Rn với ∂Ω trơn Chúng ta xét toán Dirichlet F D2 u = f (x) u=ϕ Ω, ∂Ω, cho hàm f Ω ϕ ∂Ω Với phần trước, giả thiết F : S → R hàm C không gian ma trận đối xứng n × n u hàm C hàm xác định Ω ∈ Rn Chúng ta giả thiết (i) F elliptic đều, tức tồn số dương λ, Λ,sao cho λ|ξ|2 ≤ Fij D2 u ξi ξj ≤ Λ|ξ|2 cho ξ ∈ Rn ; (ii) F hàm lõm D2 u, tức Fij,kl D2 u mij mkl ≤ 0, cho M = (mij ) ∈ S 31 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.5 Cho u ∈ C Ω nghiệm phương trình Dirichlet F D2 u = f (x) u=ϕ Ω, ∂Ω, (2.19) giả thiết thỏa mãn (i) (ii) Nếu u thỏa mãn Ω |u|2 ≤ K (2.20) Khi tồn số dương α < cho |u|2+α ≤ C, (2.21) α C phụ thuộc K ,|f |2 , |ϕ|3 , F, Ω Chứng minh Chứng minh (2.23) chia làm số bước Theo đó, C số chung phụ thuộc vào K ,|f |2 , |ϕ|3 , F, Ω Bước 1: Chúng ta đánh giá chuẩn C β D2 u |∂Ω , với β ∈ (0, 1) Chúng ta chứng minh D2 u (x1 ) − D2 u (x0 ) ≤ C1 |x1 − x0 |β cho x0 , x1 ∈ ∂Ω (2.22) Cho x0 ∈ ∂Ω cố định, nắn phẳng biên ∂Ω gần x0 , tức xét x = χ (y) ; y = χ−1 (χ) = η (x) , x ∈ Ω, y ∈ A = η (Ω), η (x0 ) = 0, η (U ∩ ∂Ω) = Γ4 = y = (y , , yn ) ∈ Rn−1 × R; |y , | < 4, yn = , U lân cận x0 mà chứa tâm hình cầu x0 với bán kính chung Chúng ta đồng thời có η C (Ω) v χ C (A) bị chặn số chung Chúng ta xem xét hàm số v (y) ≡ u (χ (y)) − ϕ (χ (y)) = u (x) − ϕ (x), y ∈ A, 32 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ mà khơng ∂A thỏa mãn phương trình  ηik χ (y) ηjl (χ (y)) vkl + F    ηijk (χ (y)) vk + ϕij (χ (y)) −f (χ (y)) = 0, k,l k ij (2.23) η = η , , η n Do G D2 u, Dv, y = A, (2.24) G (M, p, y) =  ηik χ (y) ηjl (χ (y)) mkl + F k,l ηijk (χ (y)) pk + ϕij (χ (y)) k  −f (χ (y)) ij (2.25) Đánh giá (2.24) chứng minh D2 v (y) − D2 v (0) ≤ C|y|β cho y ∈ Γ1 , (2.26) Γ1 = {y = (y , , yn ) ; |y , | < 1, yn = 0} Chú ý ∂G ∂mnn = Fij ηin ηjn ≥ Cλ > Theo định lý hàm ẩn, từ (2.24) viết sau vnn = H (vkl )1≤k≤n−1,1≤l≤n , Dv, y (2.27) Từ tính Elliptic suy (2.24) tương đương với (2.27) Bằng quy tắc dây chuyền, có ˜ , p, y DH M ˜ ≤ (Cλ)−1 |DG| ≤ C + |p| + M , ˜ biểu thị (Mkl ) M 1≤k≤n−1,1≤l≤n Từ (2.22), biết Dv L∞ (A) + D2v L∞ (A) ≤ K Do (2.27) suy 33 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ |vnn (y) − vnn (0)| ≤ C |vkl (y) − vkl (0)| + |y| sup 1≤k≤n−1,1≤l≤n Từ bất đẳng thức này, với vkl |Γ1 ≡ ≤ k, l ≤ n − (Gọi lại v|Γ1 ≡ 0), suy để chứng minh (2.26), cần đưa |vpn (y) − vpn (0)| ≤ C|y|β cho y ∈ Γ1 , ≤ p ≤ n − (2.28) Để chứng minh (2.28), đạo hàm (2.23) yp lấy Fij ηik ηjl vklp + Fij vkl ∂p ηik ηjl + Fij ∂p ηijk vk + ϕij − ∂p f = 0, k,l k ηik , ηijk , f đánh giá χ (y) Phương trình viết dạng ˜ p = f˜ (y) A, Lv n ˜= L akl (y) ∂kl , k,l=1 akl (y) = Fij (χ (y)) ηik (χ (y)) ηil (χ (y)), ˜ elliptic với số elliptic C −1 λ CΛ (với số L chung C ≥ 1) Do χ C (A) ; η C (A) ; ϕ C (A) ; Dv L∞ (A) ; D2 v ∞ L bị chặn, nhận f˜ L∞ (A) ≤ C, với C chung Do đó, có với k = 1, , n − 1, ˜ k = f˜ (y) Lv B4+ , vk = Γ+ 4, ˜ elliptic L vk L∞ (B4+ ) + Dvk L∞ (B4+ ) + f˜ L∞ (B4+ ) ≤ K∗ Từ Định lý 2.3, đạo hàm ∂n vk dọc theo Γ1 thuộc lớp C β , tức 34 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (A) ∂n vk C β (Γ1 ) ≤ C, cho y, y , ∈ Γ1 |∂nk v (y) − ∂nk v (y , )| ≤ C|y − y , |β , cho số chung β ∈ (0, 1) C > Từ suy (2.28) Chú ý khơng sử dụng tính lõm bước Bước Chúng ta chứng minh D2 u (x) − D2 u (x0 ) ≤ C2 |x − x0 |β cho x ∈ Ω ; x0 ∈ ∂Ω (2.29) Chúng ta cần theo bổ đề Bổ đề 2.5 Giả sử F elliptic Khi với M1 , M2 ∈ S ta có M2 − M1 ≤ Λ+λ λ + sup (et (M2 − M1 ) e) + λ1 [F (M1 ) − F (M2 )] |e|=1 Chứng minh Sử dụng M2 − M1 ≤ (M2 − M1 )+ + (M2 − M1 )− , có F (M2 ) − F (M1 ) = d dt F (M1 + t (M2 − M1 )) dt = Fij (tM2 + (1 − t) M1 ) dt.(M2 − M1 )ij ≤ Λ (M2 − M1 )+ − λ (M2 − M1 )− ≤ (λ + Λ) (M2 − M1 )+ − λ (M2 − M1 ) Kết thúc chứng minh Chúng ta bắt đầu chứng minh (2.29) Cho véc tơ đơn vị γ ∈ Rn , có Luγγ ≥ fγγ ≥ −C , C = D2 f 0,Ω Chú ý tốn tử tuyến tính L = Fij ∂ij thỏa mãn λE ≤ (Fij ) ≤ ΛE Cố định x0 ∈ ∂Ω xét ω = uγγ + C nλ |x − x0 |2 35 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi ta có Lω = Luγγ + C nλ Fii ≥ Từ (2.22), có ω (x) − ω (x0 ) ≤ C|x − x0 |β cho x ∈ ∂Ω Chúng ta có β ω (x) − ω (x0 ) ≤ C|x − x0 | cho x ∈ Ω (2.30) Suy β uγγ (x) − uγγ (x0 ) ≤ C∗ |x − x0 | cho x ∈ ∂Ω Chú ý cho đơn vị véc tơ tùy ý γ ∈ Rn Từ Bổ đề 2.5, có λ D2 u (x) − D2 u (x0 ) ≤ sup (uγγ (x) − uγγ (x0 )) + f (x) − f (x0 ) |γ|=1 β ≤ C|x − x0 | + |x − x0 | |Df |0,Ω Do (2.29) chứng minh Để chứng minh (2.30) biến đổi biên ∂Ω gần x0 thành parabol Lấy x0 = ∈ ∂Ω giả định ω (x0 ) = ω (0) = x = χ (y) ; y = χ−1 (y) = η (x) ; x ∈ Ω; y ∈ A = η (Ω), η (x0 ) = 0, η (U ∩ ∂Ω) = y ∈ Rn ; |y|2 = 2yn ; ≤ yn ≤ a , η (U ∩ Ω) = y ∈ Rn ; |y|2 < 2yn ; ≤ yn ≤ a = Pa , a số (0, 1) U lân cận chứa tâm hình cầu x0 với bán kính chung Chúng ta có η C (A) χ C (Ω) bị chặn số chung Hơn việc viết η = η , , η n , giả thiết |Dη n (χ (y))| ≥ C cho y ∈ Pα , với số chung C > Chúng ta xét hàm số v (y) = ω (χ (y)) = ω (x) với y ∈ A 36 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi v(0) = 0, định nghĩa |v(y)| β y∈∂A |y| K = sup Chú ý v thỏa mãn phương trình ˜ v ≡ Fij (χ (y)) η k (χ (y)) vkl + Fij (χ (y)) η k (χ (y)) vk = 0, L i ij ˜ elliptic L Để đơn giản biểu thị ψ = ω|∂Ω Chúng ta chứng minh ψ ∈ C β (∂Ω) Bước Có β β v (y) ≤ K|y|β = 2 Kyn2 cho y ∈ ∂A ∩ ∂Pa , v (y) ≤ |ψ|0 = |ψ|0 β a2 β yn cho y ∈ ∂A ∩ ∂Pa Do ∂Pa , có β v (y) ≤ C∗ yn2 , C∗ = C0 |ψ|β,∂Ω , với C0 số chung Một tính tốn trực tiếp β Lyn = β β β β Fij ηin ηjn − yn = β2 yn2 − − β β (χ (x)) + β 2 yn Fij ηijn (χ (y)) Fij ηin ηjn (χ (x)) + yn Fij ηijn (χ (y)) ≤ 0, a nhỏ Vì có β Lv ≥ L C∗ yn2 pa , β v ≤ C∗ yn2 ∂Pa Bằng Nguyên lý cực đại có y ∈ Pa β β v (y) ≤ C∗ y ≤ C∗ |y| Chuyển đổi trở lại x nhớ lại định nghĩa C∗ , có β ω (x) − ω (x0 ) ≤ C∗ |ψ|β,Ω |x − x0 | , 37 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ cho x Br (x0 ) ∩ Ω, r chung Điều cho x ∈ Ω cách tăng C Vậy (2.30) chứng minh Bước Lấy α nhỏ α Định lý 2.4 β/2 Bước 2, chứng minh D2 u (x) − D2 u (y) ≤ C|x − y|α cho x.y ∈ Ω (2.31) Trước tiên nhớ lại Định lý 2.4, đánh giá bên miền, với BR (x0 ) ⊂ Ω, với x, y ∈ BR/2 (x0 ) bất đẳng thức sau D2 u (x) − D2 u (y) R ≤C |x − y|α α D2u L∞ (BR ) + R|Df |L∞ + R2 D2 f L∞ (2.32) Với x, y ∈ Ω, đặt dx = dist (x, Ω) dy = dist (y, Ω) Giả sử dy ≤ dx Lấy x0 , y0 ∈ ∂Ω cho |x − x0 | = dx |y − y0 | = dy Giả thiết |x − y| ≤ dx /2 Khi có y ∈ B dx /2 (x) ⊂ Bdx (x) ⊂ Ω Xét ω = u − u (x0 ) − Du (x0 ) (x − x0 ) − 12 (x − x0 )t Du2 (x − x0 ) Khi ω thỏa mãn G D2 ω = f (x) Ω, G (M ) = F M + D2 u (x0 ) Rõ ràng, G elliptic lõm với hàm số elliptic giống F Chúng ta áp dụng đánh giá miền cho ω Bdx (x) từ (2.32) suy dαx C D2 u − D2 u (x0 ) |D2 u(x)−D2 u(y)| |x−y| L∞ (Bdx (x)) α ≤ + dx |Df |L∞ + d2x D2 f L∞ Từ (2.29) có D2 u − D2 u (x0 ) L∞ (Bdx (x)) ≤ C2 dαx Do có D2 u (x) − D2 u (y) ≤ C|x − y|α C2 + |Df |L∞ + D2 f C|x − y|α L∞ 38 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ≡ Bây giả thiết dy ≤ dx ≤ |x − y| Khi từ (2.29) lần có D2 u (x) − D2 u (y) ≤ D2 u (x) − D2 u (x0 ) + D2 u (x0 ) − D2 u (y0 ) + D2 u (y0 ) − D2 u (y) ≤ C dαx + |x0 − y0 |α + dαy ≤ C|x − y|α Từ |x0 − y0 ≤ dx + |x − y| + dy | ≤ |x − y| |x0 − y0 ≤ dx + |x − y| + dy | ≤ |x − y| Do (2.31) chứng minh Định lí 2.5 chứng minh 39 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 40 Kết luận Luận văn Bài tốn Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trình bày vấn đề sau: -Phương pháp liên tục giải tốn Dirichlet cho phương trình MongeAmpère elliptic Để áp dụng phương pháp địi hỏi phải có đánh ¯ nghiệm toán giá tiờn nghim theo chun Hoălder C 2, = C2 Ω ¯ -Trong Mục 1.3 trình bày đánh giá theo chuẩn C 2,α Ω nghiệm tốn -Trong chương trình bày đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn ¯ đạo hàm cấp hai nghiệm tốn Từ việc đánh Cα Ω ¯ hoàn tất giá tiên nghiệm theo chuẩn C 2,α Ω Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 41 Tài liệu tham khảo [1] Q Han (2007), Drichlet problem of Monge-Ampère equation, Special Lecture Series, Peking University, preprint [2] Gilbarg, D.,(2001) Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3nd ed., Springer-Verlag, Berlin [3] Han, Q.,Lin, (2000) F-H., Elliptic partial Differential Equation, Amer Math Soc., Rhode Island Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... Phương trình Monge- Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge- Ampère elliptic 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge- Ampère elliptic 1.1.2 Một số tính chất phương trình Monge- Ampère. .. Kết luận Luận văn Bài tốn Dirichlet cho phương trình Monge- Ampere trình bày vấn đề sau: -Phương pháp liên tục giải tốn Dirichlet cho phương trình MongeAmpère elliptic Để áp dụng phương pháp đòi... elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge- Ampère elliptic Trong chương này, trình bày phương pháp liên tục để nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình MongeAmpère Phương pháp đòi hỏi