Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp 2 trong không gian Holder

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Công thức tích phân phần 1.2 Công thức Green thứ 1.3 Công thức Green thứ hai 1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số 1.5 Lớp hàm Holder 1.6 Đánh giá Schauder vị Newton 1.7 Phương pháp liên tục 1.8 Phương pháp làm trơn hàm số Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Đánh giá Schauder nghiệm toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson 2.2 Đánh giá Schauder nghiệm toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.3 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson 2.4 Tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát 3 4 10 11 14 14 19 26 27 Kết luận 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn Luận văn Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có đặc điểm quan trọng là: vế phải hệ số phương trình hàm liên tục nghiệm cổ điển lớp C nói chung không tồn Nhà toán học Schauder có phát quan trọng vế phải hệ số phương trình thuộc lớp Holder C α nghiệm tồn lớp C 2,α Do cần phải trình bày cách hệ thống lý thuyết Schauder tính giải phương trình elliptic cấp hai không gian Holder Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng Luận văn đánh giá tiên nghiệm vị Newton sử dụng phương pháp liên tục để chuyển kết cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổng quát Mục đích Luận văn Trình bày tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết Luận văn Trước hết trình bày công thức tích phân phần, sau trình bày công thức Green thứ nhất, công thức Green thứ hai công thức tích phân phần Tiếp theo giới thiệu lớp hàm Holder, đánh giá Schauder vị Newton hai phương pháp quan trọng phương pháp liên tục phương pháp làm trơn hàm số Chương Giới thiệu đánh giá Schauder nghiệm 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson nghiệm toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Tiếp theo trình bày tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K18B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Trần Thị Thúy Mai 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Công thức tích phân phần Giả sử Ω ⊂ Rd miền bị chặn Rd với biên ∂Ω Với x ∈ ∂Ω ta ký hiệu νx = (ν1 , ν2 , , νd ) véctơ pháp tuyến đơn vị x, dσ(x) phần tử diện tích ∂Ω Với u(x), v(x) ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) ta có công thức tích phân phần sau đây: ∂u(x) v(x)dx = − ∂xk Ω 1.2 u(x) ∂v(x) dx + ∂xk Ω u(x)v(x)νk dσ(x) (1.1) ∂Ω Công thức Green thứ Bổ đề 1.2.1 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), v(x) ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), d ∆u = k=1 ∂2u ∂x2k Khi ta có công thức Green thứ ∇u(x).∇v(x)dx = v(x)∆u(x)dx + Ω ∇u = Ω ∂u ∂u ( ∂x , , ∂x ) d v(z) ∂u (z)dσ(z), ∂νz (1.2) ∂Ω , ∂u ∂νz d = k=1 ∂u ∂xk νk = (∇u, νz ) đạo hàm u theo hướng νz 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Ta có: d v(x)∆u(x)dx = Ω v(x) k=1 Ω d = − Ω k=1 = − ∂ ∂u ( )dx ∂xk ∂xk d ∂u ∂v dx + ∂xk ∂xk v(z) k=1 ∂Ω ∇u(x).∇v(x)dx + Ω v(z) ∂u(z) νk dσ(z) ∂xk ∂u (z)dσ(z) ∂νz ∂Ω Do ta có công thức (1.2) 1.3 Công thức Green thứ hai Bổ đề 1.3.1 Giả sử u(x), v(x) ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), ta có công thức Green thứ hai: ∂u ∂v − u(z) (z) dσ(z) {v(x)∆u(x) − u(x)∆v(x)}dx = v(z) ∂νz ∂νz Ω ∂Ω (1.3) Chứng minh Theo công thức Green thứ ta có: ∇u(x).∇v(x)dx = v(x)∆u(x)dx + Ω Ω v(z) ∂u (z)dσ(z) ∂νz u(z) ∂v (z)dσ(z) ∂νz ∂Ω Đổi vai trò hàm u(x) v(x) ta có: ∇v(x).∇u(x)dx = u(x)∆v(x)dx + Ω Ω ∂Ω Trừ vế hai phương trình ta có (1.3) 1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số Định lý 1.4.1 Nếu u ∈ C (Ω), ta có: ∂Γ ∂u u(y) = u(x) (x, y) − Γ(x, y) (x) do(x) + ∂νx ∂νx ∂Ω Γ(x, y)∆u(x)dx, Ω (1.4) 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Γ(x, y) = Γ(|x − y|) = 2π log |x − y| với d = 2−d với d > d(2−d)ωd |x − y| (1.5) ωd thể tích hình cầu đơn vị Rd > đủ nhỏ, tồn hình cầu tâm y bán kính Chứng minh Với B(y, ) ⊂ Ω (vì Ω mở ) Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) Ω \ B(y, ) Do Γ hàm điều hòa theo biến x Ω \ {y}, ta thu được: Γ(x, y)∆u(x)dx = Γ(x, y) ∂Γ(x, y) ∂u (x) − u(x) dσ(x) ∂νx ∂νx ∂Ω Ω\B(y, ) + Γ(x, y) ∂Γ(x, y) ∂u (x) − u(x) dσ(x) ∂νx ∂νx ∂B(y, ) (1.6) Trong tích phân thứ hai biên, ν pháp tuyến Ω \ B(y, ), pháp tuyến B(y, ) Ta lấy giới hạn tích phân công thức → Do u ∈ C (Ω), ∆u bị chặn Do Γ khả tích nên vế trái (1.6) trở thành: Γ(x, y)∆u(x)dx Ω Trên ∂B(y, ), ta có Γ(x, y) = Γ( ) Vì Γ(x, y) ∂u (x)dσ(x) ≤ dωd ∂νx d−1 → 0, Γ( ) sup |∇u| → B(y, ) ∂B(y, ) Ngoài ra, − u(x) ∂Γ(x, y) ∂ dσ(x) = Γ( ) ∂νx ∂ ∂B(y, ) u(x)dσ(x) ∂B(y, ) = dωd u(x)dσ(x) → u(y) d−1 ∂B(y, ) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (do ν pháp tuyến B(y, )) Do vậy, ta có (1.4) 1.5 Lớp hàm Holder Định nghĩa 1.5.1 Cho f : Ω → R, x0 ∈ Ω, < α < Hàm f gọi liên tục Holder x0 với số mũ α sup x∈Ω |f (x) − f (x0 )| < ∞ |x − x0 |α (1.7) Hơn f gọi liên tục Holder Ω liên tục x0 ∈ Ω (với số mũ α) Khi ta viết f ∈ C α (Ω) Nếu f liên tục Holder x0 f liên tục x0 Trong (1.7) α = f gọi liên tục Lipschitz x0 Ta định nghĩa chuẩn: |f (x) − f (y)| |x − y|α x,y∈Ω |f |C α (Ω) = sup f C α (Ω) = f C (Ω) (1.8) + |f |C α (Ω) (1.9) Không gian C α (Ω) với chuẩn (1.9) không gian Banach Ví dụ 1.5.2 Hàm f B1 (0) cho f (x) = |x|β , < β < 1, liên tục Holder với số mũ β x = liên tục Lipschitz β = Định nghĩa 1.5.3 C k,α (Ω) không gian hàm f ∈ C k (Ω) mà đạo hàm cấp k liên tục Holder với số mũ α Khi f C k,α (Ω) = f C k (Ω) |Dα f |C α (Ω) + (1.10) |α|=k Ta thường viết C α thay cho C 0,α Không gian C k,α (Ω) với chuẩn (1.10) không gian Banach Bổ đề 1.5.4 Nếu f1 , f2 ∈ C α (G) G ⊂ Rd Khi f1 f2 ∈ C α (G) và: |f1 f2 |C α (G) ≤ sup |f1 | |f2 |C α (G) + G 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên sup |f2 | |f1 |C α (G) G http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Ta có: |f1 (x)f2 (x) − f1 (y)f2 (y)| |f1 (x) − f1 (y)| ≤ |f2 (x)| |x − y|α |x − y|α |f2 (x) − f2 (y)| |f1 (x)| + |x − y|α Suy điều phải chứng minh 1.6 Đánh giá Schauder vị Newton Định nghĩa 1.6.1 Cho Ω ∈ Rd mở bị chặn Thế vị Newton f hàm số u Rn định nghĩa bởi: u(x) = Γ(x, y)f (y)dy, (1.11) Ω Γ(x, y) xác định (1.5) Định lý 1.6.2 a Nếu f ∈ L∞ (Ω) (tức sup |f (x)| < ∞), u ∈ C 1,α (Ω) và: x∈Ω u C 1,α (Ω) ≤ c1 sup |f | với α ∈ (0; 1) (1.12) b Nếu f ∈ C0α (Ω), u ∈ C 2,α (Ω) và: u C 2,α (Ω) ≤ c2 f C α (Ω) với α ∈ (0; 1), (1.13) C0α (Ω) gồm hàm thuộc C α (Ω) không lân cận biên ∂Ω Các số (1.12) (1.13) phụ thuộc vào α, d |Ω| Chứng minh a Đạo hàm cấp v i = xi − y i f (y)dy |x − y|d i v (x) = ∂u ∂xi u cho bởi: (i = 1, 2, , d) Ω Trong công thức bỏ qua thừa số mà phụ thuộc vào d Từ ta có công thức: xi2 − y i xi1 − y i − dy |x1 − y|d |x2 − y|d |v i (x1 ) − v i (x2 )| ≤ sup |f | Ω (1.14) Ω 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... http://www.lrc-tnu.edu.vn toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson nghiệm toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Tiếp theo trình bày tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson... biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 3 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson 2. 4 Tính giải toán Dirichlet cho phương. .. Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 1 Đánh giá Schauder nghiệm toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson 2. 2 Đánh giá Schauder nghiệm toán