Bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến với điều kiện landesman – lazer

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ ĐINH THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN LANDESMAN - LAZER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Thừa Thiên Huế, Năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn cơng trình nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Đinh Thị Phương Thảo ii LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung, cảm ơn lời động viên, nhắc nhở Thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho Thầy giúp vượt qua khó khăn để hồn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q Thầy - Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa 24 trường ĐHSP Huế tồn thể thầy khoa Tốn trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Sau Đại học trường ĐHSP Huế tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Sobolev W01,p (Ω) 1.2 Một số vấn đề phương pháp biến phân Chương 10 Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến với điều kiện Landesman-Lazer 14 2.1 Giới thiệu toán 14 2.2 Trường hợp f hàm bị chặn 17 2.3 Trường hợp f hàm không bị chặn 31 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Như biết, số mơ hình tốn độc lập thời gian ngành khoa học kĩ thuật khác dẫn đến toán biên elliptic phương trình đạo hàm riêng (xem [9]) Trong năm gần đây, có nhiều phương pháp nhà toán học đưa để nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên elliptic phi tuyến, phương pháp bậc tơ pơ, phương pháp nghiệm - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động, phương pháp biến phân, Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng áp dụng cho lớp toán cụ thể Trong số phương pháp để nghiên cứu toán biên elliptic phi tuyến, đặc biệt quan tâm đến phương pháp biến phân Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm yếu tốn biên elliptic, ta quy tìm điểm tới hạn phiếm hàm khơng gian hàm thích hợp Phiếm hàm thỏa mãn số điều kiện để khả vi áp dụng kết biến phân nhằm thu nghiệm tốn Ngồi việc sử dụng ngun lí cực tiểu, công cụ quan trọng phương pháp biến phân định lí qua núi (xem [4]) Nếu nguyên lí cực tiểu áp dụng cho tốn có phiếm hàm lượng liên kết với bị chặn định lí qua núi áp dụng cho toán mà phiếm hàm lượng không bị chặn Tuy nhiên, địi hỏi tốn dùng định lí qua núi biểu thức phi tuyến f phải thỏa mãn điều kiện kiểu Ambrosetti-Rabinowitz Từ điều kiện suy tính chất (p − 1)trên tuyến tính hàm f , tức f (x, t) = +∞ |t|→+∞ |t|p−2 t lim Trong trường hợp f (x, t) = λ ∈ (0, +∞), |t|→+∞ |t|p−2 t người ta thường gọi toán (p − 1)- tiệm cận tuyến tính Đặc biệt, λ lim giá trị riêng tốn tử elliptic xuất phương trình người ta gọi toán cộng hưởng Những tốn hiểu nhiễu toán giá trị riêng Với điều kiện đặc biệt áp đặt lên vế phải, Landesman Lazer [10] nghiên cứu lớp toán khơng gian Sobolev Từ đó, tốn thu hút số lượng lớn nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Nội dung luận văn dựa việc tham khảo kết nghiên cứu công bố hai báo [3, 6] tài liệu liên quan Thông qua việc tìm hiểu kết đạt được, nắm bắt kĩ thuật biến phân liên quan đến điều kiện Landesman-Lazer, đề tài phát triển xa tốn biên elliptic miền khơng bị chặn Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức bổ trợ Chương dành để trình bày kiến thức liên quan dùng luận văn lí thuyết độ đo, khơng gian Sobolev W01,p (Ω), khái niệm khả vi Fréchet, nguyên lí cực tiểu, định lí điểm yên ngựa số kết biến phân khác Chương Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến với điều kiện Landesman-Lazer Trong chương này, chúng tơi giới thiệu tốn biên Dirichlet phương trình elliptic phi tuyến dạng sau   −∆p u = −div(|∇u|p−2 ∇u) = λ1 |u|p−2 u + f (x, u) − h(x), x ∈ Ω,  u = 0, (1) x ∈ ∂Ω, Ω miền bị chặn có biên ∂Ω trơn không gian Rd , d ≥ 1, p ∈ (1, +∞), f : Ω × R → R hàm Carathéodory h ∈ Lp (Ω), p = p p−2 , λ1 giá trị riêng thứ toán tử −∆p (.) = −div(|∇(.)| ∇(.)) p−1 cho công thức λ1 = inf 1,p u∈W0 (Ω)\{0} p Ω |∇u| dx p Ω |u| dx >0 với hàm riêng ϕ1 > có chuẩn khơng gian W01,p (Ω) Bài toán (1) lần đầu nghiên cứu Landesman Lazer [10] phương pháp bậc tô pô trường hợp p = f hàm Carathéodory bị chặn, với hầu khắp nơi x ∈ Ω, tồn giới hạn lim f (x, s) = f +∞ (x) lim f (x, s) = f−∞ (x), s→−∞ s→+∞ thỏa mãn điều kiện f−∞ (x)ϕ1 (x) dx < Ω f +∞ (x)ϕ1 (x) dx h(x)ϕ1 (x) dx < Ω (2) Ω Trong [3], toán (1) nghiên cứu cho trường hợp p ∈ (1, +∞) f hàm Carathéodory bị chặn Cùng với điều kiện (2), Arcoya Orsina đề cập đến điều kiện f +∞ (x)ϕ1 (x) dx < Ω h(x)ϕ1 (x) dx < Ω f−∞ (x)ϕ1 (x) dx (3) Ω Các điều kiện (2) (3) gọi điều kiện kiểu Landesman-Lazer Kết nghiên cứu Arcoya Orsina mở rộng Bouchala Drábek [6] cho trường hợp f hàm Carathéodory khơng bị chặn Mục đích Chương trình bày chi tiết số kết hai báo [3] [6] Chúng nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn (1) cách sử dụng ngun lí cực tiểu định lí điểm n ngựa trình bày Chương Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho nghiên cứu phương pháp biến phân phương trình elliptic khơng tuyến tính Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Sobolev W01,p (Ω) Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Lebesgue Lp (Ω) không gian Sobolev W01,p (Ω) sử dụng luận văn Những kết tham khảo từ tài liệu [1, 2, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15] Giả sử d ∈ N∗ Kí hiệu Rd := {x = (x1 , x2 , , xd ) : xj ∈ R, j = 1, 2, , d}, Ω miền (mở liên thông) Rd Định nghĩa 1.1.1 Với hàm u xác định miền Ω ⊂ Rd , kí hiệu supp (u) := {x ∈ Ω : u(x) = 0} gọi giá hàm u Ω Không gian C0∞ (Ω) bao gồm hàm khả vi vơ hạn có giá tập compact chứa Ω Không gian thường gọi không gian hàm thử Với p ∈ [1, +∞), kí hiệu Lp (Ω) khơng gian hàm đo Lebesgue u : Ω → R thỏa mãn điều kiện p |u| dx < +∞ Ω Khi đó, Lp (Ω) không gian Banach với chuẩn xác định  1/p u Lp (Ω) p := |u|p =  |u| dx Ω , u ∈ Lp (Ω) Không gian L∞ (Ω) gồm hàm đo Lebesgue u : Ω → R bị chặn Ω không gian Banach với chuẩn u L∞ (Ω) := |u|∞ = ess sup |u (x)| x∈Ω Không gian Lploc (Ω), p ∈ [1, +∞] bao gồm hàm u ∈ Lp (Ω ) với tập compact Ω ⊂⊂ Ω Như ta ln có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) với ≤ p ≤ +∞ Hơn nữa, Ω miền bị chặn ≤ p1 < p2 < +∞ Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) Nếu ≤ p < +∞ khơng gian Lp (Ω) khơng gian Banach tách Không gian C0∞ (Ω) trù mật khắp nơi không gian Lp (Ω) với ≤ p < +∞ Ngoài ra, với < p < +∞, không gian Lp (Ω) không gian Banach phản xạ Liên quan đến không gian Lp (Ω) cịn có số kết sau (xem [1, 7, 11]) Mnh 1.1.2 (Hăolder) Gi s u Lp (Ω) , v ∈ Lp (Ω) với ≤ p, p ≤ +∞ 1 cặp số mũ liên hợp, tức + = Khi đó, uv ∈ L1 (Ω) ta có p p uvdx ≤ |u|p |v|p Ω Mệnh đề 1.1.3 Giả sử ≤ p < +∞ {un } dãy Lp (Ω) hội tụ mạnh hàm u ∈ Lp (Ω) Khi đó, tồn dãy {unk } dãy {un } hàm f ∈ Lp (Ω) cho (i) unk (x) → u (x) hầu khắp nơi Ω (ii) |unk (x)| ≤ f (x) hầu khắp nơi Ω với k ∈ N∗ Mệnh đề 1.1.4 (Fatou) Giả sử {un } dãy hàm đo không âm tập đo Ω ⊂ Rd Khi ta có lim un dx ≤ lim n→∞ un dx n→∞ Ω Ω Mệnh đề 1.1.5 (Lebesgue) Giả sử {un } dãy hàm đo hội tụ hầu khắp nơi đến hàm đo u tập đo Ω ⊂ Rd thỏa mãn |un (x)| ≤ f (x) hầu khắp nơi Ω với n ∈ N∗ , f hàm khả tích Khi ta có lim un dx = n→∞ Ω u dx Ω Mệnh đề 1.1.6 (Egorov) Giả sử Ω ⊂ Rd tập đo với độ đo µ (Ω) < +∞ {un } dãy hàm đo hội tụ hầu khắp nơi đến hàm đo u Ω Khi đó, với ε > 0, tồn tập hợp V ⊂ Ω đo cho µ(Ω\V ) < ε {un } hội tụ đến u V Mệnh đề 1.1.7 Giả sử X không gian Banach phản xạ {un } dãy bị chặn X Khi đó, tồn dãy {un } hội tụ yếu đến u X Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (X, ) không gian định chuẩn Ta nói X khơng gian lồi với ε ∈ (0, 2], tồn δ > cho với x+y ≤ − δ x, y ∈ X thỏa mãn x = y = x − y ≥ ε ta có Tính chất lồi khơng gian quan trọng Không gian Hilbert, không gian Lp (Ω) với < p < +∞ không gian lồi Người ta chứng minh không gian Banach lồi không gian phản xạ Kết sau thường dùng để chứng minh hội tụ mạnh không gian Banach Mệnh đề 1.1.9 Giả sử (X, ) không gian Banach lồi {un } dãy hội tụ yếu đến u X, đồng thời un → u n → ∞ Khi ta có {un } hội tụ mạnh đến u X Tiếp theo, nói đạo hàm yếu khơng gian Sobolev W01,p (Ω) Đây khái niệm dùng phổ biến lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, xem [1, 2, 7] Định nghĩa 1.1.10 Giả sử u ∈ L1loc (Ω) đa số p = (p1 , p2 , , pd ), d pj Ta nói hàm v ∈ L1loc (Ω) đạo pj ∈ N, j = 1, 2, , d với môđun |p| = j=1 từ un → ∞, suy {x ∈ V : ϕ1 (x) > η (δ) un (x) K} = ∅ n đủ lớn Do với n ≥ n0 đủ lớn, µ {x ∈ V : ϕ1 (x) > η (δ) un (x) K} < δ Từ suy (2.58) Từ (2.56), ta có |AK,n | |F (un )| · |un | dx un C (K).K.µ(Ω) →0 un {x∈Ω: |un (x)| K} Tiếp theo, từ (2.55), (2.58), ta có BK,n cε dx {x∈Ω: un (x)>K}   dx −  = cε  Ω  dx → cε ϕ1 dx Ω {x∈Ω: un (x) K} CK,n dx → dε {x∈Ω: un (x) 0, tồn rε > phụ thuộc ε cho với |t| > rε ta có |f (t)| rε Vì f hàm liên tục R nên liên tục [−rε , rε ], ta có |f (t)| < max|t|≤rε |f (t)| + ε|t|p−1 , ∀t ∈ R Lấy tích phân hai vế ta ε |F (t)| < Cε |t| + |t|p , p ∀t ∈ R, t f (s) ds Cε = max|t|≤rε |f (t)| Suy ra, với u ∈ Z, F (t) = ta có F (u) dx ≤ Ω Cε |u| dx + ε p p |u| dx Ω Ω  p1  ε p p |u| dx (µ (Ω)) p + ≤ Cε  Ω Ω  p1  ≤ Cε  p |u| dx λ p |∇u| dx (µ (Ω)) p + ε pλ Ω p |∇u| dx, Ω µ(Ω) độ đo Ω Ta có  p1  p |u| dx |h|p hu dx =  Ω Ω  p1  ≤ λ p |∇u| dx |h|p Ω với u ∈ Z Kết hợp với (2.63) suy λ1 1− p λ J(u) − ε pλ p |∇u| dx Ω  p1  − λ p p Cε (µ (Ω)) p + |h|p  |∇u| dx Ω λ1 1− p λ − ε pλ 43 u p − λ p Cε (µ (Ω)) p + |h|p u với u ∈ Z Chọn < ε < λ − λ1 , suy J(u) → +∞ u → +∞ Vì vậy, J thỏa mãn điều kiện không gian Z Hơn nữa, BZ = J(u) > −∞ (2.64) u∈Z Trong phần tiếp theo, chứng minh J(αϕ1 ) = −∞ |α| → +∞, ϕ1 > hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ1 Giả thiết phản chứng ngược lại, tồn dãy {αn } ⊂ R cho |αn | → +∞ J(αn ϕ1 ) ≥ c với n ∈ N c ∈ R số thực Xét trường hợp αn → +∞ Khi ta có lim inf n→∞ J (αn ϕ1 ) αn (2.65) Mặt khác, từ cách xác định giá trị riêng λ1 hàm riêng ϕ1 , với {αn } ⊂ R trên, ta có p p |∇αn ϕ1 | dx − λ1 Ω |αn ϕ1 | dx = 0, Ω suy J (αn ϕ1 ) =− αn F (αn ϕ1 ) dx + αn Ω hϕ1 dx (2.66) Ω Giả sử ε > tùy ý K > số thực xác định (2.55) Vì − F (τ ) τp = F (τ ) τp cε = τp − cε · p−1 p−1 τ , ∀ τ > K, lấy tích phân [t, s], với K < t < s ta có s s F (τ ) − p τ t − dτ cε · p−1 p−1 τ dτ t hay F (t) F (s) − p s cε 1 − , p − tp−1 sp−1 44 ∀ s > t > K (2.67) Từ giả thiết (2.37), suy F (s) → s → +∞ Do đó, (2.67), sp cho s → +∞, ta F (t) t cε , p−1 Vì ε > tùy ý, nên cho ε ∀ t > K suy lim inf n→∞ F (t) t F (+∞) p−1 (2.68) Từ (2.65),(2.66), (2.68), áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta có J (αn ϕ1 ) J (αn ϕ1 ) lim sup n→∞ α αn n→∞   n F (αn ϕ1 ) dx + hϕ1 dx = lim sup − αn n→∞  Ω Ω F (αn ϕ1 )  = lim sup − dx + hϕ1 dx αn n→∞ Ω Ω  F (αn ϕ1 )  = − lim inf  dx + hϕ1 dx n→∞ αn lim inf Ω − Ω F (αn ϕ1 ) ϕ1 dx + αn ϕ1 lim inf n→∞ Ω − hϕ1 dx Ω F (+∞) p−1 ϕ1 dx + Ω hϕ1 dx, Ω suy (p − 1) F (+∞) h(x)ϕ1 (x) dx Ω ϕ1 (x) dx Ω Điều mâu thuẫn với (2.39) Xét trường hợp αn → −∞ Khi lim sup n→∞ J (αn ϕ1 ) ≤ αn (2.69) Giả sử ε > tùy ý K > số thực xác định (2.55) Vì − F (τ ) τp = F (τ ) τp dε = τp − 45 dε · p−1 p−1 τ , ∀ τ < −K, lấy tích phân [t, s], với t < s < −K ta có s s F (τ ) − p τ − dτ t dε · p−1 p−1 τ dτ t hay F (t) F (s) dε − − (2.70) sp p − tp−1 sp−1 F (t) Từ giả thiết (2.37), suy p → t → −∞ Do đó, (2.70), t cho t → −∞, ta F (s) s dε , p−1 Vì ε > tùy ý, nên cho ε ∀ s < −K suy lim sup t→−∞ F (t) F (−∞) ≤ t p−1 Từ (2.66),(2.69), (2.71), áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta có J (αn ϕ1 ) J (αn ϕ1 ) lim sup lim inf n→∞ α αn n→∞  n  F (αn ϕ1 ) = lim inf − dx + hϕ1 dx n→∞ αn  Ω  Ω F (αn ϕ1 )  = lim inf  − dx + hϕ1 dx n→∞ αn Ω Ω lim inf − n→∞ F (αn ϕ1 ) dx + αn Ω hϕ1 dx Ω =− lim sup n→∞ F (αn ϕ1 ) ϕ1 dx + α n ϕ1 Ω hϕ1 dx Ω − F (−∞) p−1 ϕ1 dx + Ω hϕ1 dx Ω Hay (p − 1) h(x)ϕ1 (x) dx ≤ F (−∞) Ω ϕ1 (x) dx Ω Điều mâu thuẫn với (2.39) Do đó, J (αϕ1 ) → −∞ |α| → +∞ 46 (2.71) Vậy, tồn δ < ρ > cho, |t| = ρ, ta có J(αϕ1 ) δ < BZ J(u), ∀u ∈ Z Tóm lại phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 1.2.10 nên J có điểm tới hạn khơng gian W01,p (Ω) Do đó, tốn (2.36) có nghiệm yếu W01,p (Ω) Định lí 2.3.5 Cho f : R → R hàm liên tục thỏa mãn điều kiện p (2.37), (2.40) h ∈ Lp (Ω), p = Khi đó, tốn (2.36) có p−1 nghiệm yếu W01,p (Ω) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh phiếm hàm J thỏa điều kiện bức, J (u) = +∞ Giả sử ngược lại, tồn dãy {un } cho un un → +∞ J(un ) ≤ C9 với n ∈ N∗ Đặt = , n = 1, 2, , un {vn } bị chặn W01,p (Ω) từ đó, {vn } có dãy hội tụ yếu đến v tức lim u →+∞ W01,p (Ω) hội tụ mạnh đến v Lp (Ω) Từ (2.49), (2.50) tính chất nửa liên tục yếu chuẩn ta có C9 J (un ) lim sup p u un p n→∞ n→∞   n λ1 F (un ) un p p |∇vn | dx − |vn | dx − dx + h dx = lim sup  p p p p u u n→∞ n n Ω Ω  Ω  Ω λ1 p p = lim sup  |∇vn | dx − |vn | dx p p n→∞ Ω Ω   λ1 p p |∇vn | dx − |vn | dx 0, lim inf  n→∞ p p = lim sup Ω Ω suy p p |∇vn | dx − λ1 Ω |vn | dx → Ω Từ đó, theo chứng minh Định lí 2.2.4 ta có v = ±ϕ1 , ϕ1 > hàm riêng tương ứng với giá trị riêng thứ λ1 47 Từ (2.40) F (−∞) > −∞ F (+∞) < +∞ Cho tùy ý, ε > 0, ta có   F (−∞) − ε F (−∞) ∈ R, cε =  1 F (−∞) = +∞, ε   F (+∞) + ε F (+∞) ∈ R, dε =  − F (+∞) = −∞ ε Khi đó, với ε > tùy ý, tồn K > 0, cho: F (t) cε với t < −K F (t) dε với t > K Với lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.3.4 ta cε , p−1 dε , p−1 F (t) t F (t) t ∀ t < −K, (2.72) ∀ t > K, suy F (t) t t→+∞ F (t) lim inf t→−∞ t F (+∞), p−1 F (−∞) p−1 lim sup (2.73) Xét trường hợp v = ϕ1 > Từ (2.2) (2.41), J (un ) un F (un ) dx + un − Ω hun dx, un Ω kết hợp với {vn } hội tụ yếu đến ϕ1 Lp (Ω) (vì hội tụ mạnh) h ∈ Lp (Ω) ta có h lim n→∞ un dx = lim n→∞ un Ω h(x)ϕ1 (x) dx hvn dx = Ω Ω Do   F (un )  dx + un lim sup − n→∞ Ω h(x)ϕ1 (x) dx Ω 48 lim sup n→∞ J (un ) un lim sup n→∞ C9 = 0, un suy h(x)ϕ1 (x) dx F (un ) dx un lim inf n→∞ Ω F (un ) dx un lim sup n→∞ Ω (2.74) Ω Ta có F (un ) dx = un Ω F (un ) dx + un {x∈Ω: |un (x)| K} F (un ) dx un {x∈Ω: un (x)K} → +∞, suy un (x) = Lại có, từ (2.72) un un (x) → +∞, lim µ({x ∈ Ω : un (x) < −K}) = n→∞ F (un ) dx un maxs∈[−K,K] |f (s)|.K.µ(Ω) → 0, un {x∈Ω: |un (x)| K} F (un ) dx un cε p−1 un (x) dx → un {x∈Ω: un (x)K} lim sup n→∞ dε p−1 dx = dε p−1 Ω {x∈Ω: un (x)>K} Suy h (x) ϕ1 (x) dx F (+∞) p−1 Ω ϕ1 (x) dx Ω mâu thuẫn với (2.40) 49 ϕ1 (x) dx Xét trường hợp v = −ϕ1 < 0, ta có lim un dx = lim n→∞ un h n→∞ Ω hvn dx = − Ω h(x)ϕ1 (x) dx, Ω suy   F (un )  dx − un lim sup− n→∞ Ω h(x)ϕ1 (x) dx Ω lim sup n→∞ J (un ) un lim sup n→∞ C9 =0 un hay − h(x)ϕ1 (x) dx F (un ) dx un lim inf n→∞ Ω Ω → +∞, suy un (x) = Lại có, từ (2.72) un un (x) → −∞, lim µ({x ∈ Ω : un (x) > K}) = n→∞ F (un ) dx un maxs∈[−K,K] |f (s)|.K.µ(Ω) → 0, un {x∈Ω: |un (x)| K} F (un ) dx un dε p−1 {x∈Ω: un (x)>K} un (x) dx → un {x∈Ω: un (x)>K} Do đó, từ (2.72) (2.75), − h(x)ϕ1 (x) dx F (un ) dx un lim inf n→∞ Ω F (un ) dx un lim inf n→∞ Ω {x∈Ω: un (x)