Skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình hệ phương trình'' PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trong đề thi mơn tốn vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội nhiều năm gần Dạng toán “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” thường xun có mặt chiếm khoảng 20% tổng số điểm đề thi Trong chương trình đại số lớp lớp Việc giải toán cách lập phương trình hệ phương trình mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng, học sinh thường gặp kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, kiểm tra hết học kì 2, Để giúp học sinh nắm bước giải bản, cách chọn ẩn phù hợp, xác định rõ đối tượng tham gia, đại lượng có mặt tốn, hạn chế bớt khó khăn điểm làm dạng tập suy nghĩ thực xây dựng chuyên đề cấp cụm với nội dung “Giải tập cách lập hệ phương trình - phương trình ", đồng thời qua kinh nghiệm nhiều năm ôn thi học sinh lớp thi vào lớp 10 THPT Qua trình thực chuyên đề ôn thi học sinh lớp nhận thấy khó khăn học sinh thực dạng toán bước – Lập phương trình hệ phương trình, từ tơi vào nghiên cứu rút cho em kinh nghiệm giải dạng toán Trong khuôn khổ SKKN đưa số dạng tập thường gặp Trong dạng cố gắng cho em xác định rõ đối tượng tham gia; đại lượng có mặt mối quan hệ đại lượng, đại lượng biết, nên chọn đại lượng làm ẩn, từ nhằm giúp em dễ dàng biểu thị đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết Trong dạng đưa số tập đặc trưng giúp học sinh nắm bắt dạng tập có kĩ giải tập dễ dàng Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có kỹ phân loại dạng tốn dạng toán chung “Giải toán lập phương trình hệ phương trình”; kỹ phân tích đầu để xác định đối tượng tham gia, đại lượng có mặt mối quan hệ chúng để từ đưa cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết từ hồn thành bước lập phương trình giải phương trình Giúp học sinh có nhìn tổng qt dạng tốn giải tốn cách lập phương trình, để học sinh sau học xong chương trình tốn THCS phải nắm loại toán biết cách giải chúng 1/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình'' Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng việc giải tốn cách lập phương trình Học sinh thấy mơn tốn gần gũi với môn học khác thực tiễn sống Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn Nội dung nghiên cứu - Các bước để giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình - Phân tích đầu bài, phân tích tốn thuộc dạng tốn từ xác định đối tượng tham gia, đại lượng có mặt, mối quan mối quan hệ chúng để từ đưa cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết từ hồn thành bước lập phương trình giải phương trình - Đưa số tốn cụ thể minh họa cho dạng toán Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu - ĐTNC: Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình - KTNC: Học sinh lớp trường THCS Thành phần tham gia nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Phân môn đại số tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn tốn dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” - Đối tượng điều tra khảo sát thực nghiệm: Học sinh khối lớp trường THCS Phương pháp nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy thông qua chương trình sách giáo khoa sách tham khảo, thơng qua chuyên đề bồi dưỡng giáo viên qua dự trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, thông qua chuyên đề ôn thi học sinh vào lớp 10 THPT Bản thân tơi lựa chọn phương pháp sau: - PP Phỏng vấn - PP Phân tích, tổng hợp - PP so sánh; PP thực hành - PP Điều tra; Khảo sát 2/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình'' Kế hoạch nghiên cứu TT THỜI GIAN Tháng 8; 9; 10; 11 Cuối học kỳ Cuối năm học NỘI DUNG BIỆN PHÁP - Xác định nội dung nghiên cứu; xây dựng đề cương tóm Thu thập tài liệu; tắt đề tài nghiên cứu thông tin; trao đổi - Điều tra, khảo sát, với học sinh vấn học sinh thuận giáo viên; thực lợi khó khăn giải dạng chuyên đề toán “Giải toán cách cấp trường rút lập phương trình hệ kinh nghiệm phương trình” - Trao đổi với giáo viên kinh nghiệm giảng dạy dạng toán “Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình” - Tiếp tục thực điều tra, khảo sát, giảng dạy để so sánh, Tự nghiên cứu rút kinh nghiệm Thực hoàn thành báo cáo Tự viết SKKN 3/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình hệ phương trình'' PHẦN II NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN Cơ sở lý luận Trong chương trình Giáo dục phổ thơng nước ta nhìn chung tất môn học cho tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt mơn tốn, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần toán học đại Trong có nội dung xun suốt q trình học tập em phương trình Ngay từ cắp sách đến trường em làm quen với phương trình dạng đơn giản điền số thích hợp vào trống cao tìm số chưa biết đẳng thức cao lớp 8, lớp em phải làm số toán phức tạp Các dạng tốn tạo mối quan hệ đại lượng mối quan hệ toán học, đại lượng số tập hợp em học Hàm ý phương trình viết sẵn, học sinh cần giải tìm ẩn số hồn thành nhiệm vụ Các tốn chương trình đại số giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình khơng đơn giản nữa, mà có hẳn loại tốn có lời văn Các em vào lời tốn cho phải tự thành lập lấy phương trình giải phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình mà cịn phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phương trình – hệ phương trình trả lời Cơ sở thực tiễn Việc giải tốn cách lập phương trình bậc THCS việc làm mẻ, đề toán đoạn văn mơ tả mối quan hệ đại lượng mà có đại lượng chưa biết, cần tìm, u cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết đại lượng với nhau, chuyển đổi mối quan hệ toán học Từ đề toán cho học sinh phải tự thành lập lấy phương trình để giải Những tốn dạng nội dung hầu hết gắn liền với hoạt động thực tiễn người, tự nhiên, xã hội Nên trình giải học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa thực tế Khó khăn học sinh giải tốn kỹ em cịn hạn chế, khả phân tích khái qt hố, tổng hợp em chậm, em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế toán Trong trình giảng dạy tốn trường THCS tơi thấy dạng tốn giải tốn cách lập phương trình ln ln dạng tốn Dạng tốn thường có kiểm tra học kỳ mơn tốn lớp 8, lớp 9, thi mơn tốn vào lớp 10 THPT năm gần đây, 4/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình'' thường chiếm điểm tổng 10 điểm thi Đa số học sinh bị điểm không nắm cách giải chúng, có học sinh biết cách làm không đạt điểm tối đa Qua khảo sát 60 học sinh khối năm học trước thực đề tài thấy: Các lỗi HS mắc phải Số học sinh mắc lỗi Tỉ lệ (%) Thiếu điều kiện 15 Điều kiện khơng xác 10 Thiếu đơn vị đo Không biểu diễn mqh đại lượng 26 Giải Pt, Hpt sai 13 Không đối chiếu với đk KL 25% 16,7% 11,7% 43,3% 21,7% 10% Vì vậy, nhiệm vụ người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ giải loại tập tránh sai lầm học sinh hay mắc phải Do đó, hướng dẫn học sinh giải loại toán phải dựa quy tắc chung là: Yêu cầu giải toán, quy tắc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình, phân loại tốn dựa vào q trình tham gia đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng, từ học sinh tìm lời giải cho tốn Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy trường THCS ; sau thực chuyên đề cấp cụm năm học 2019 – 2020; qua q trình ơn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT mạnh dạn viết đề tài ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách cách lập phương trình hệ phương trình'' cho học sinh lớp trường THCS Mô tả phân tích giải pháp cải tiến Giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình dạng tốn tương đối khó với học sinh Địi hỏi học sinh phải có phân tích suy luận để tìm mối quan hệ đại lượng biết chuyển từ ngôn ngữ mẹ đẻ sang ngôn ngữ toán học, chuyển từ hành văn sang phép toán Nhiều học sinh ngại làm dạng tập trình bày khơng rõ ràng kĩ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu, khơng tìm mối quan hệ liệu nên không lập phương trình lập sai Do q trình giảng dạy giáo viên phải tuân theo yêu cầu sau : Có kĩ giải phương trình - hệ phương trình - Hiểu đề phân tích kĩ tránh sai sót - Có lập luận chặt chẽ , tồn diện - Trình bày khoa học rõ ràng , phù hợp với thực tế Để đạt yêu cầu sau học sinh tuân theo bước sau : 5/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình''  Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình - Chọn đại lượng chưa biết làm ẩn ( lập phương trình ẩn ) - Chọn đại lượng chưa biết làm ẩn ( lập hệ phương trình ) - Dùng ẩn số đại lượng cho, công thức liên quan để biểu diễn đại lượng khác - Tìm mối quan hệ đại lượng để thiết lập phương trình - hệ phương trình  Bước : Giải phương trình hệ phương trình  Bước : Nhận định kết - trả lời So sánh kết tìm với điều kiện ẩn xem có thích hợp khơng ? Trả lời Trong bước bước then chốt Để làm tốt bước đòi hỏi học sinh phải đọc kĩ đề xác định dạng bài, đại lượng tham gia, tóm tắt kí hiệu đại lượng biết đại lượng phải tìm Khi tiến hành giải loại tốn cần phân loại dạng toán giải toán cách lập phương trình giai đoạn giải toán: * Phân loại toán giải cách lập phương trình: Trong số tập giải tốn cách lập phương trình ta phân loại thành dạng sau: 1/ Dạng toán chuyển động 2/ Dạng toán liên quan đến số học 3/ Dạng toán suất lao động 4/ Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng 5/ Dạng toán tỉ lệ chia phần 6/ Dạng toán có liên quan đến hình học 7/ Dạng tốn có liên quan đến vật lí, hố học * Các giai đoạn giải toán  Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề ghi giả thiết, kết luận toán  Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề liên quan để lập phương trình Tức chọn ẩn cho phù hợp, điều kiện ẩn cho thoả mãn  Giai đoạn 3: Lập phương trình Dựa vào quan hệ ẩn số đại lượng biết, dựa vào cơng thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình xây dựng phương trình dạng biết, giải 6/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình''  Giai đoạn 4: Giải phương trình hệ phương trình Vận dụng kỹ giải phương trình hệ phương trình biết để tìm nghiệm  Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phương trình hệ phương trình để xác định lời giải tốn Tức xét nghiệm phương trình hệ phương trình với điều kiện đặt tốn, với thực tiễn xem có phù hợp khơng? Sau trả lời tốn  Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải Phần thường để mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sau giải xong gợi ý học sinh biến đổi toán cho thành toán khác cách: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi yếu tố khác - Giữ nguyên kiện thay đổi yếu tố khác - Giải tốn cách khác, tìm cách giải hay  Các dạng toán minh họa  Dạng toán chuyển động: (cùng chiều, ngược chiều, đến sớm muộn, trước sau, chuyển động nước) Bài toán 1: Chuyển động cạn (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018) Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Hướng dẫn tìm lời giải: giáo viên cần lưu ý để học sinh tìm hiểu vấn đề sau: - Đối tượng tham gia: Ơ tơ xe máy (Chuyển động chiều) - Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t) - Mối quan hệ đại lượng: s = v.t GV yêu cầu học sinh lập bảng để nhìn rõ mối quan hệ đại lượng + Nếu lập phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút = h Đối tượng Ơ tơ Qng đường (km) 120 Vận tốc (km/h) x+10 Thời gian (h) 120 x  10 Xe máy 120 x 120 x Phương trình: 120 x - 120 x  10 = 7/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình hệ phương trình'' + Nếu lập hệ phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút = h Đối tượng Ơ tơ Qng đường (km) 120 Vận tốc (km/h) y Thời gian (h) 120 y Xe máy 120 x 120 x Phương trình: y – x = 10 (1) 120 x - 120 y = (2) Qua phân tích học sinh nhận xét thấy giải cách lập phương trình đơn giản Lời giải minh họa cách lập phương trình Đổi 36 phút = h Gọi vận tốc xe máy x (km/h); (x > 0) Vận tốc ô tô là: x + 10 (km/h) Thời gian xe máy hết quãng đường AB là: 120 (h) x Thời gian xe ô tô hết quãng đường AB là: 120 x  10 (h) Vì tơ đến B sớm xe máy 36 phút, nên có phương trình: 120 120       x  x  0  x x  10 Giải phương trình hai nghiệm: x1=-50; x2 = 40 Với x = x1 = -50 (Không tmđk) x = x2 = 40 (tmđk) Vậy vận tốc xe máy 40km/h; vận tốc ô tô 50km/h Chú ý: + Học sinh chọn vận tốc tơ làm ẩn có nguy đưa điều kiện sai + Cần hiểu: Ơ tơ đến B sớm xe máy 36 phút nghĩa xe máy đến B chậm 36 phút, nghĩa thời gian xe máy hết quãng đường AB nhiều thời gian ô tô hết quãng đường AB 36 phút Bài tốn 2: Chuyển động nước (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2015 - 2016) 8/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình hệ phương trình'' Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước dịng nước 2km/h Tính vận tốc tầu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi thời gian ngược Hướng dẫn tìm lời giải: Giáo viên cần khắc sâu điểm sau: - Vận tốc tàu lúc nước yên lặng  vận tốc thực tàu - Đây toán chuyển động nước có vận tốc dịng nước nên phải biểu diễn: vận tốc xuôi = vận tốc thực + vận tốc dòng nước nước vận tốc ngược = vận tốc thực - vận tốc nước - Điều kiện ẩn: vận tốc thực > vận tốc nước ( điều h/s hay quên)  Phân tích đề bài: - Đối tượng tham gia: tàu xi dịng; tàu ngược dịng - Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t) - Mối quan hệ đại lượng: sx = vx.tx; sn = vn.tn Lời giải: Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/h), x > Suy ra: Vận tốc tàu tuần tra xi dịng là: x + (km/h); vận tốc tàu tuần tra ngược x- (km/h) Thời gian tàu tuần tra xi dịng 48km là: 48 x  Thời gian tàu tuần tra ngược dòng 60km là: (h) 60 x 2 (h) Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng giờ, nên có PT: 60 x 2  48 x 2 1 + Giải PT: ta x1 = 22 (tmđk) ; x2 = - 10 ( loại) + Vậy vận tốc tàu tuần tra nước n lặng 22km/h  Dạng tốn tìm số: (Biết tổng, hiệu,tỉ số, phân số…) Bài toán 3: hai số 12 đơn vị Nếu chia số lơn cho số nhỏ cho thương thư lớn thương thứ đơn vị Tìm hai số Hướng dẫn học sinh tìm lơì giải: Hai số 12 đơn vị suy biết hiệu hai số 12 hai số phải tìm số lớn số bé 9/15 ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình'' Phân biệt thương thứ nhất: Số lớn : Thương thứ hai: Số bé : Trong học sinh lúng túng nhầm lẫn không phân biệt thương thương thương thứ thương thứ hai  lập phương trình sai Bài giải Hướng dẫn giải tốn giải cách lập hệ phương trình sau: Gọi số lớn x (x >12) số bé y (y < x) ta có phương trình x - y=12 (1) Chia số lớn cho ta được: x chia số nhỏ cho ta được: y thương thứ lớn thương thứ hai đơn vị nên có phương trình: x  y  (2) từ (1) (2) ta có hệ phương  x  y  12 trình:  x y    5 giải hệ phương trình ta  x  40   y  28 Bài tốn 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, tổng hai chữ số Nếu đổi vị trí hai chữ số cho số tự nhiên giảm 16 đơn vị Hướng dẫn học sinh giải: - Xác đinh dạng toán kiến thức liên quan: +) gọi số tự nhiên có hai chữ số ab (a,b  N, < a  ;  b  ) +) ab = 10a + b Bước 1: chọn ẩn ( ) Bước 2: lập hệ phương trình: Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Tổng Số cũ a b a+b=8 Số b a Quan hệ ab  ba  36 Nhìn vào bảng ta dễ dàng có hệ PT là: a  b    ab  ba  36 a  b    10 a  b  10 b  a  36 10/15 a  b    a  b  ''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình hệ phương trình'' Lời giải: - Gọi số tự nhiên có chữ số ab ( a,b  N, < a  ;  b  ) Vì tổng chữ số Ta có PT: a + b = (1) - Đổi chỗ chữ số cho ta có số là: ba - Theo gia ta có phương trình: ab  ba  36  a  b  (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: a  b   a  b  + Giải hệ phương trinh ta a = ; b = thoả mãn với điều kiện ẩn Vậy số phải tìm 62  Bài tốn có nội dung hình học: Bài tốn 5: (trích đề thi vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m độ dài đường chéo 10m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Hướng dẫn học sinh giải: - Phân tích tốn thấy: có hình chữ nhật, có chiều dài, chiều rộng đường chéo nên lập thành tam giác vng - Kiếm thức hình học liên quan: chu vi = ( D + R )  D2 +R2 = C2 (D: chiều dài; R: chiều rộng; C: đường chéo hình chữ nhật) Lời giải: Hướng dẫn giải cách Lập PT : - Gọi chiều dài khu vườn hình chữ nhật ban đầu x (m), 0