Hướng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Hải Lý, giảng viên khoa Toán - Lý - Tin trường đại học Tây Bắc đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới phòng KHCN và QHQT, các thầy cô trong khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán - Ly đã động viên, đóng góp ý kiến và đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi làm khóa luận này

Vì thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Phạm Thị Thu Phương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn khóa luận 1

2 Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 2

4.2 Phương pháp điều tra quan sát 2

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 2

5 Cấu trúc của khóa luận 3

CHƯƠNG 1: SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Quan niệm về bài toán 4

1.2 Vị trí chức năng của bài tập toán 4

1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán 5

1.4 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán 8

1.5 Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 10

1.6 Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS 12

1.7 Thực trạng dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS 12

CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 15

2.1 Bài toán chuyển động 15

2.2 Bài toán về tìm số và chữ số 24

2.3 Bài toán về năng suất lao động 27

2.4 Bài toán có nội dung hình học 36

2.5 Một số dạng toán khác 40

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 44

3.1 Mục đích thực nghiệm 44

3.2 Phương pháp thực nghiệm 44

3.3 Nội dung thực nghiệm 44

3.4 Tổ chức thực nghiệm 44

3.5 Kết quả thực nghiệm 45

3.6 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 47

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn khóa luận

Trong chương trình đại số lớp 8, lớp9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách

lậpphướng trình và hệ phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa học…

Trong nhiều bài toán lại có nhiều dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng

để dẫn đến lập phương trình, rồi lập hệ phương trình

Mặt khác loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế Chính vì thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát li với thực tế dẫn đến quên điều kiện của

ẩn, hặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc học sinh không khai thác tất cả các mối liên hệ ràng buộc của thực tế Mặt khác kĩ năng phân tích tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu Với những lí do đó mà học sinh rất sợ và ngại loại toán này Mặt khác cũng có thể do quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng Chính vì thế giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học Vì vậy, nhằm góp phần giúp học sinh định hướng cụ thể từng dạng toán cơ bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

nên tôi quyết định chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”

2 Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh trung học cơ sở giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận như:

+ Nghiên cứu các kiến thức về phương trình và hệ phương trình

+ Nghiên cứu vị trí và vai trò của việc giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS

- Tìm hiểu thực trạng kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở một số trường THCS

- Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán ở THCS bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để có được kết luận ban đầu cho việc nghiêm cứu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các bài toán THCS có thể giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến việc giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS

4.2 Phương pháp điều tra quan sát

Dùng phiếu điều tra kết hợp với phỏng vấn giáo viên ở một số trường THCS

về khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và kết luận khóa luận gồm 3 chương với những nội dung sau:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quan niệm về bài toán

Ta có thể hiểu bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở người giải tại thời điểm tình huống đó được đưa ra

1.2 Vị trí chức năng của bài tập toán

Ở trường THCS, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán là dạy hoạt động toán học Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh, các bài toán ở trường THCS là một phương tiênh rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiến Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhân dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện:

Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường THCS là

giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thế là:

- Hình thành, củng có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiến

- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bối dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tâp toán học là giá mang

hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thể hiện những mục tiêu dạy học khác nhau

Những bài tập toán học còn là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang

hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở thực hiện mục tiếu dạy học khác Nghiên cứu sâu lời giải tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ trức cho học sinh học tập trong hoạt động và tự giác, tích cực, chủ động và sang tạo được thực hiện độc lập và trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý nghĩa khác nhau về phương pháp dạy học Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương diện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thế bao hàm những ý đồ nhiều mặt

Để dạy học bài tập, ta cần chú ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:

+ Bài tập tương tự với bài tập SGK dành cho học sinh trung bình

+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thúc

+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong SGK là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

- Thực hiện các bước tìm lòi giải

- Tiến hành tổ chức, hướng dãn học sinh giải bài tâp theo quy trình bốn bước của G.Pôlya

1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Điều đó là ảo tưởng Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có

trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya

về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì?

Sau đó, cần phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát biểu

đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có thể dùng công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh, khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời lời cho

đề toán

Bước 2: Tìm cách giải

Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài toán Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành công, càng giải được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành những “kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan

Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lí nhất cho bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải

Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau Việc trình bày lời giải là văn bản để đánh giá kết quả hoạt động giải toán

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà ta đã trình bày trước đó

Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bao gồm một số việc như sau:

+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng

+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Kết luận: Phương pháp chung để giải bài tón không phải là thuật giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong chương trình Học phương pháp chung để giải toán là học những kinh nghiệm giải toán mang tính tìm chất tìm tòi, phát hiện

Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:

- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dựng 4 bước này trong quá trình giải toán

- Cũng thông qua việc giải nhưngc bài toán cụ thể, cần đặt ra cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dựng câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏi này lúc đầu do giáo viện nêu ra để hỗ trợ học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của chính học sin, được học sinh nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

Như vậy trong quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến tri thức tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi đến các cách giải cụ thể bài toán còn là một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có yếu tố sáng tạo: “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (theo Pôlya)

1.4 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải bài toán Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Cụ thể là:

i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ…thỏa mãn các yêu cầu đặt ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứ những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức…

2i) Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Lập luận phải nhất quán

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp logic

3i) Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là: Lời giải phải không được bỏ xót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là phương trình không đươc thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào

4i) Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học cũng phải tuân thử yêu cầu này

5i) Trình bày rõ rang, đảm bảo tính mĩ thuật

Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời văn

6i) Tìm ra nhiều cách giải chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các cách giải đã tìm được

Trong quá trình dạy học, cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích - tìm lời giải, so sánh để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất

7i) Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản: 5i) là các yêu cầu về mặt trình bày: 6i) 7i) là yêu cầu đề cao

1.5 Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phướng trình và hệ phương trình gồm các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

+) Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn ta có hai cách chọn ẩn là chọn ẩn trực tiếp và chọn ẩn gián tiếp (chú ý ghi rõ đơn vị của ẩn)

+) Biểu thị các số liện chưa biết qua ẩn

+) Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình)

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

sự so sánh (bằng, lớn hơn, nhỏ hơn, gấp mấy lần…)

+) Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kĩ năng giải các dạng phương trình đã học để tìm nghiệm của phương trình

+) Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trinh) với điều kiện của bài toán và với thực tế để trả lời

+) Phân tích - tìm lời giải, biện luận các cách giải, thay đổi các số liệu của bài toán để tạo thành những bài toán khác nhằm giúp học sinh khá giỏi phát huy tốt tư duy toán học

Ví dụ: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 tuổi Năm

nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con Hỏi tuổi mẹ và tuổi con hiện nay

Phân tích - Tìm lời giải

Đây là bài toán tính tuổi, liên quan đến hai thời điểm là thời điểm trước đây và thời điểm hiện nay và bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai người mẹ và con, biết mối liên hệ giữa tuổi mẹ và tuổi con hơn kém nhau một số lần nên ta có thể chọn ẩn

là tuổi mẹ hoặc con và biểu diễn tuổi của người còn lại

Lời giải

Gọi tuổi con năm nay là x  tuổi mẹ năm nay là 3x ( x*,x7 )

Trước đây 7 năm tuổi con là x7

Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x7

Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương trình:

Vậy năm nay con 12 tuổi và mẹ 36 tuổi

Nghiên cứu sâu lời giải

Ngoài việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình như sau:

Gọi tuổi mẹ hiện nay là x điều kiện x0, xN

Gọi tuổi con hiện nay là y điều kiện y>0, yN

Vậy hiện nay tuổi con là 12, tuổi mẹ là 36

1.6 Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS

Trong chương trình THCS việc dạy và học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình được trình bày ở lớp 8 và lớp 9 trong đó:

- Lớp 8: Học sinh được học giải bài toán bằng cách lập phương trình trong 4 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập

- Lớp 9: Học sinh được học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình (bậc hai một ẩn) trong 6 tiết gồm 3 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập

1.7 Thực trạng dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS

- Ta nhận thấy việc dạy và học phương pháp giải bài toán bằng cách lập trình

và hệ phương trình còn hạn chế về thời gian và thời lượng phương giảng dạy nên học sinh không nắm bắt được cách phân tích - tìm lời giải và phương pháp giải một

số bài toán khó

- Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học môn toán ở trường THCS, chúng tôi đã tiến hành điều tra trên hai đối tượng: Giáo viên và học sinh Tuy nhiên việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh ở hai chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình còn nhiều hạn chế Qua điều tra chúng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng1 Bảng điều tra giáo viên trường: THCS Tân Sơn- Phú Thọ

Hệ đào tạo Chất lượng

Cao đẳng

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy đa số giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề,

chưa có kinh nghiệm, chưa hình thành phương pháp và kĩ năng giải toán cho học sinh

Về trình độ đào tạo có 2 giáo viên đạt trình độ đại học và hai giáo viên đạt trình độ cao đẳng

Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi, tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy

Bảng 2 Bảng điều tra học sinh lớp

STT Lớp Giới tính Dân tộc Xếp loại học tập (môn toán)

Nhận xét: Về phía học sinh, qua điều tra và quan sát tôi có một số nhận định

như sau: Đa số các em là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập, đa số các em còn phải vừa học vừa giúp đỡ gia đình Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên khả năng làm một số bài toán có lời văn nhất là những bài toán có những dữ liệu phức tạp còn nhiều hạn chế Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là cần thiết và

phù hợp với thực tiễn

CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương trình THCS “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh Đặc trưng của các bài toán lập phương trình và hệ phương trình là đề bài cho dưới dạng lời văn có sự đan xen của nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ vật lí Trong quá trình dạy học ta thường gặp một số bài toán liên quan đến chuyển động, bài toán liên quan đến năng suất lao động, bài toán tìm số

và chữ số, bài toán có nội dung hình học

2.1 Bài toán chuyển động

Để giải được những bài toán chuyển động ta có một số công thức sau:

- Quãng đường = vận tốc X thời gian (sv t )

- Vận tốc = quãng đường : thời gian v s

v là vận tốc thường được đo bằng đơn vị m/phút hoặc km/giờ

t là thời gian thường được đo bằng đơn vị phút hoặc giờ

+ Nếu chuyển động cùng chiều trên một quãng đường đến khi gặp nhau thì: quãng đường xe thứ nhất đi = quãng đường xe thứ hai đi hay ( s1s2 )

+ Nếu hai xe cùng xuất phát mà xe thứ nhất đến trước xe thứ hai t giờ thì: thời gian xe thứ hai - thời gian xe thứ nhất = t hay (t2  t1 t )

+ Nếu hai xe chuyển động ngược chiều trên cùng quãng đường thì: quãng đường xe thứ nhất đi + quãng đường xe thứ hai đi = cả quãng đường hay s1 s2 s + Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì: quãng đường xe thứ nhất đi = quãng đường xe thứ hai đi hay s1s2

+ Chuyển động trên dòng sông:

Vận tốc xuôi dòng= vận tốc của vật + vận tốc dòng

Vận tốc ngược dòng = vận tốc của vật – vận tốc dòng

Vận tốc dòng = (vận tốc xuôi – vận tốc ngược):2

Vận tốc của vật = (vận tốc xuôi – vận tốc ngược):2

Bài 1: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’ Nhưng mỗi giờ ôtô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10 km nên mãi đến 11h20’ xe mới đến Hải Phòng Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng

Nghiên cứu sâu lời giải

Bài tập tương tự: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng dự kiến đến Thanh

Hóa với vận tốc 40 km/h Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh Hóa chiếc ô tô đó lại quay ra

Hà Nội với vận tốc 30 km/h Tổng thời gian đi và nghỉ lại Thanh Hóa và về mất

10h45’ Tính quãng đường từ Hà Nội đến Thanh Hóa

Bài 2: Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe

chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán có một chuyển động tham gia, yêu cầu ta phải tính quãng đường và thời gian dự định đi Để tính được quãng đường và thời gian ta phải sử

dụng công thức: t s

v



Ta đã biết vận tốc của xe vậy để tính quãng đường và thời gian dự định đi ta

sẽ biểu diễn hai đại lượng chưa biết thông qua quãng đường

Lời giải

Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x0

Gọi y là độ dài quãng đường AB, điều kiện y0

Theo đầu bài ta có:

Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được

Giải hệ phương trình (I) 35 70 8

Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ

Nghiên cứu sâu lời giải

Như vậy trong lời giải của ví dụ trên ta thấy:

a Chúng ta lựa chọn hai ẩn ,x y tương ứng cho hai giá trị cần tìm là độ dài

quãng đường AB và thời gian dự kiên đi

b Việc thiết lập các phương trình (1) (2) dựa trên phép so sánh thời gian tới đích và thời gian dự kiến Tuy nhiên, cũng có thể lập luận theo cách khác cụ thể là: + Nếu xe chạy với vận tộc 35km/h thì đến chậm 2 giờ, tức là số thời gian chạy bằng x2 , do đó

35(x2) y (vận tốc.thời gian =quãng đường )

+ Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến sớm 1 giờ, tức lá số thời gain chạy bằng x1 , do đó

50(x 1) y (vận tốc.thời gian=quãng đường)

Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian

nhất định nào đó Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên phải dừng lại để sửa chữa mất 10 phút Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng tốc thêm 6km/h tính vận tốc ban đầu của ô tô

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán chuyển động, để đảm bảo việc đi từ A đến B đúng thời gian như dự định ta cần thiết lập được phương trình cân bằng giữa thời gian dự định đi

từ A đến B với thời gian thực tế

Lời giải:

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x x0,km

Thời gian ô tô đi theo dự định là 120 

h

Sau 1giờ xe chạy được 1.xx km 

Quãng đường còn lại là 120x km 

Vận tốc mới của ô tô là x6

Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là: 120

6

x x



 Theo đầu bài ta có phương trình:

x

x x

Nghiên cứu sâu lời giải

Với cách giải như trê ta cũng có thể làm được bài tập sau:

Một người đi từ A về B rồi trở lại A Lúc về đi được 30 km người đó nghỉ 20 phút Sau khi nghỉ xong, người đó đi với vận tốc nhanh hơn trước 6 km/h Tính vận tốc lúc đi Biết quãng đường AB dà 90 km và thời gian đi bằng thời gian về kể cả lúc nghỉ

Bài 4: Một người đi xe đạp từ nhà ra thành phố với vận tốc trung bình là

12km/h Sau khi đi được 1

3 quãng đường với vận tốc đó thì xe bị hỏng do đó phải chờ ôtô mất 20 phút Quãng đường còn lại người đó đi bằng ôtô với vận tốc 36km/h

vì vậy đến sớm hơn 1 giờ 20 phút so với dự định Tính quãng đường người đó đi

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán chuyển động trên một quãng đường AB có hai đại lượng tham gia vào quá trình chuyển động là chuyển động của xe đạp và chuyển động của ôtô Bài toán cho ta biết vận tốc của hai chuyển động và yêu cầu ta tính quãng đường

người đó đi Để tính được quãng đường ta chọn thêm một đại lượng nữa làm ẩn ở đây ta sẽ chọn thời gian dự định làm ẩn thứ hai

Gọi x là thời gian dự định, điều kiện x0

Gọi y là độ dài quãng đường, điều kiên y0

Với giả thiết

- Xe đạp đi với vận tốc trung bình là 12km/h ta được 12x y (1)

- Sau khi đi được 1

Nghiên cứu sâu lời giải

Ngoài việc thiết lập hệ phương trình hai ẩn, bài toán trên ta có thể giải bằng cách lập phương trình một ẩn

Giả sử quãng đường người đó đi là AB và điểm hỏng của xe là C Gọi quãng

đường AB là x , điều kiện x0

Suy ra thời gian dự định là

Vậy quãng đường người đo phải đi là 45km

Bài 5: Hai địa điểm A, B cách nhau 360km Cùng một lúc, một xe tải khởi

hành tưt A chạy về B và 1 xe con chạy từ B về A Sau khi gặp nhau xe tải chạy tiếp 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy 3 giờ 12 phút nữa thì tới A tính vận tốc của mỗi xe

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán chuyển động trên cùng một quãng đường, có hai đại lương tham gia vào quá trình chuyển động và hai chuyển động này ngược chiều nhau Để

làm bài toán trên ta phải chú ý: tổng quãng đường hai xe đi bằng quãng đường ban đầu và thời gian hai xe đi đến khi gặp nhau là bằng nhau Từ đó ta thiết lập được

mối liên hệ giữa các đại lượng có trong đề bài

Lời giải

Gọi vận tốc của xe tải là x km/h x0

Gọi vận tốc của xe con là y km/h y0

Quãng đường xe tải chạy trong 5 giờ là: 5x

Quãng đường xe con chạy trong 16

Vậy vận tốc của xe con là 40 km/h, vận tốc của xe tải là 50 km/h

Nghiên cứu sâu lời giải

Với cách giải như trên ta cũng có thể làm được bài toán sau:

Một chiếc xe máy đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 189km Sau khi xe tải xuất phát được 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ thành phố Cần Thơ về thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 45 phút Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km

Bài 6: Hai bến sông A và B cách nhau 140 km Một ca nô xuôi từ A đến B rồi

quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút Khi ca nô đó khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước

và gặp ca nô đó trên đường trở về tại một điểm cách A 8 km Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước

Phân tích – tìm lời giải

Đây là bài toán chuyển động của ca nô trên dòng sông Đê giải bài toán trên ta phải xác định đúng vận tốc của ca nô khi xuôi dòng bằng tổng vận tốc của ca nô và của dòng nươc, vận tốc của ca nô khi ngược dòng bằng hiệu vận tốc của ca nô và dòng nước Ngoài ra ta chú ý thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng bằng thời gian tấm gỗ trôi đến khi gặp nhau

Lời giải

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h điều kiện x0,xN

Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y km/h điều kiện y0,yN

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x y (km/h)

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x y(km/h)

Theo đầu bài cả đi cả về mất 2 giừo 15 phút = 9

4 giờ nên ta có phương trình

369

Vậy vận tốc của ca nô là 36 km/h, vận tốc của dòng nước là 4 km/h

Nghiên cứu sâu lời giải

Bài tập tương tự

Một ca nô đi xuôi từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h sau đó đi ngược lại từ B về A Tính quãng đường AB biết thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút và vận tốc của dong nước là 3 km/h

2.2 Bài toán về tìm số và chữ số

Để giải được những bài toán về số và chữ số ta có 1 số chú ý sau

Với số có 2 chữ số ab10ab

Với số có 3 chữ số abc100a10bc100abc

Bài 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết thêm

chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 360 đơn vị

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán tìm số có hai chữ số Ta biết rằng khi viết thêm chữ số vào giữa hai chữ số đã cho thì số đó trở thành số có 3 chữ số Trong đó chữ số hàng chục ban đầu trở thành chữ số hàng trăm của số mới còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ số hàng đơn vị của chữ số mới

Lời giải

Gọi chữ số hàng đơn vị là x x ,x 7  chữ số hàng chục là 7x Chữ số ban dầu là 7x x 10 7 x x 70 9 x

Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số của số đã cho thì số mới là

Nghiên cứu sâu lời giải

Ngoài cách giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể lập hệ phương trình để tìm số có hai chữ số trên

Gọi chữ số hàng chục là x điều kiện 0 x 7

Gọi chữ số hàng đơn vị là y điều kiện y0

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

Bài tập tương tự: Tìm số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai

lần chữ số hạng chục Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được số một số mới lớn hơn số ban đầu là 370 đơn vị Tìm số ban đầu

Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chứ số Biết rằng tổng các chữ số hàng chục và

hàng đơn vị bằng 16 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số

đã cho là 18 đơn vị

Phân tích - tìm lời giải

Đây là bài toán tìm số có hai chữ số Ở bài toán trên ta thấy nếu ta đổi chỗ vị trí các chữ số cho nhau thì giá trị mỗi chữ số có sự thay đổi

Lời giải

Gọi chữ số hàng chục là x điều kiện 0 x 9,xN

Gọi chữ số hàng đơn vị là y điều kiện ( 0 y 9,xN)

Theo giải thiết ta có

Tổng các chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 16 ta có phương trình:

x y 16 (1)

Khi đổi chỗ hai chữ số ban đầu (xy10x y ) cho nhau ta được số mới

yx10yx lớn hơn số đã cho 18 đơn vị ta có phương trình:

Nghiên cứu sâu lời giải

- Ta có thể thay dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị Khi đó ta cũng có cách giải tương tự

- Ngoài cách giải như trên ta có thể giải bài toán bằng cách lập phương trình một ẩn

Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là x (0 x 9,xN )

Vậy số phải tìm là 79

Bài 3: Tìm hai số, biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là 157