BÁO CÁO THỰC TẬP-PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN MINH THUYẾT Đại học Kinh Tế Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Trang 3 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo của thầy trong suốt quá trình làm luận văn. Qua đó tôi đã học được từ thầy nhiều điều bổ ích. Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã tạo điều kiện cho tôi tham gia nhóm học thuật, đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn Thạc só đã dành thời giờ quý báu để đọc và góp ý cho luận văn của tôi. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô thuộc Khoa Toán - Tin Trường, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại Học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn tất khóa học. Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn đã rất nhiệt tình, động viên, quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Xin cảm ơn các bạn lớp cao học giải tích khóa 18 đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt khóa học. Lời thân thương nhất xin được gởi đến gia đình tôi và người bạn gái, nơi đã động viên, lo lắng, tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của quý Thầy - Cô và những đóng góp của các bạn đồng môn. Trân trọng và chân thành cảm ơn. Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 3 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2010 Tác giả Lê Hữu Kỳ Sơn MỤC LỤC Lời nói đầu 7 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Không gian hàm L p (0, T; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Phân bố có trò vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Đạo hàm trong L p (0, T; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Bổ đề về tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Đònh lý Ascoli-Arzela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Đònh lý Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT 20 5 Trang 6 Luận văn toán học 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ HAI 33 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU THEO BA THAM SỐ BÉ (λ, λ 0 , λ 1 ) 42 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 58 Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 6 Lời nói đầu Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến u tt − u xx + λ|u| γ−2 u = f(x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T, (1)        u x (0, t) − u t (0, t) − λ 0 |u(0, t)| α−2 u(0, t) = 0, u x (1, t) + u t (1, t) + λ 1 |u(1, t)| β−2 u(1, t) = 0, (2) u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u 1 (x), (3) trong đó α, β, γ > 1, λ, λ 0 , λ 1 > 0 các hằng số, u 0 , u 1 , f là các hàm cho trước các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Bài toán (1) - (3) có nhiều ý nghóa trong Cơ học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây [1], [2], [5] - [14]. Trong [5], Nguyễn Thành Long và Alain Phạm Ngọc Đònh đã nghiên cứu bài toán                  u tt − u xx + f (u, u t ) = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) − hu (0, t) = g (t) , u (1, t) = 0, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (4) trong đó h > 0 là một hằng số cho trước và f, g, ˜u 0 , ˜u 1 là các hàm cho trước. 7 Trang 8 Luận văn toán học Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu bài toán                              u tt − u xx + λu t + Ku = F (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) = g(t) + K 1 u(0, t) −  t 0 k (t − s) u (0, s) ds, u(1, t) = 0, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (5) trong đó K ≥ 0, λ ≥ 0, K 1 > 0,là các hằng số cho trước, g(t), k(t), ˜u 0 (x), ˜u 1 (x), là các hàm cho trước. Trong trường hợp này, bài toán (5), là mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng. Trong [2], Bergounioux, Nguyễn Thành Long và Alain Phạm Ngọc Đònh đã nghiên cứu bài toán (5) 1,2,4 với điều kiện biên tại x = 1 là u x (1, t) + K 1 u(1, t) + λ 1 u t (1, t) = 0, (6) trong đó K 1 ≥ 0, λ 1 > 0 là các hằng số cho trước. Trong [7], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Đònh, Trần Ngọc Diễm đã thu được sự tồn tại duy nhất, tính trơn và khai triển tiệm cận của bài toán u tt − µ(t)u xx + K |u| p−2 u + λ |u t | q−2 u t = F (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T, (7) với các điều kiện biên và điều kiện đầu (3), (5) 2 , (6) trong đó K, λ ≥ 0, p, q ≥ 2 và (˜u 0 , ˜u 1 ) ∈ H 2 × H 1 . Trong [8], các tác giả Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết đã xem xét bài toán phương trình sóng phi tuyến                  u tt − u xx + f (u, u t ) = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) = P (t) , u (1, t) = 0, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (8) Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 8 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Trang 9 trong đó u 0 , u 1 , f là các hàm cho trước, hàm ẩn u(x, t) và hàm giá trò biên chưa biết P (t) thỏa mãn phương trình tích phân phi tuyến sau P (t) = g (t) + H (u (0, t)) −  t 0 k (t − s) u (0, s) ds, với g, H, k là các hàm cho trước. Các tác giả cũng đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán và tính ổn đònh của nghiệm (u, P) ứng với các hàm g, H và k. Trong [12], Lê Thò Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long đã xét bài toán                                u tt − ∂ ∂x (µ(x, t)u x ) + λu t + F (u) = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T, µ(t)u x (0, t) = g 0 (t) +  t 0 k 0 (t − s) u (0, s) ds, −µ(t)u x (1, t) = g 1 (t) +  t 0 k 1 (t − s) u (1, s) ds, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (9) trong đó µ(x, t), g 0 (t), g 1 (t), k 0 (t), k 1 (t), F là các hàm cho trước và λ > 0 là một hằng số cho trước. Trong [9], Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm và Nguyễn Thò Thảo Trúc đã xem xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến                  u tt − u xx = f (x, t, u, u x , u t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) − h 0 u (0, t) = g 0 (t) , u (1, t) = g 1 (t) , u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (10) trong đó h 0 > 0 là một hằng số cho trước và f, g 0 , g 1 , ˜u 0 , ˜u 1 là các hàm cho trước. Các tác giả đã sử dụng một thuật giải xấp xỉ tuyến tính mà trong đó sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đòa phương được chứng minh bằng phương pháp compact. Đặc biệt, nếu g 0 , g 1 ∈ C 3 (R + ) , f ∈ C N+1  [0, 1] × R + × R 3  , f 1 ∈ C N  [0, 1] × R + × R 3  , các tác giả cũng chỉ ra được rằng nghiệm yếu u ε (x, t) của phương trình u tt − u xx = f (x, t, u, u x , u t ) + εf 1 (x, t, u, u x , u t ) với Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 9 Trang 10 Luận văn toán học các điều kiện biên và điều kiện đầu (10) 2,3 có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo ε, với ε đủ nhỏ. Trong [13], các tác giả Lê Thò Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành Long đã xét bài toán                  u tt − ∂ ∂x (µ (u) u x ) = f (x, t, u, u x , u t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) = g (t) , u (1, t) = 0, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x), (11) với ˜u 0 , ˜u 1 , µ, f, g là các hàm cho trước. Các tác giả đã liên kết bài toán với một thuật giải lặp tuyến tính mà trong đó sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đòa phương đã được chứng minh bằng cách áp dụng phương pháp Faedo - Galerkin và phương pháp compact yếu. Trong trường hợp, µ ∈ C N+2 (R) , µ 1 ∈ C N+1 (R) , µ (z) ≥ µ 0 > 0, µ 1 (z) ≥ 0, với mọi z ∈ R và g ∈ C 3 (R + ) , f ∈ C N+1  [0, 1] × R + × R 3  , f 1 ∈ C N  [0, 1] × R + × R 3  thì nghiệm yếu u ε 1 ,ε 2 (x, t) của bài toán                        u tt − ∂ ∂x ([µ (u) + ε 1 µ 1 (u)] u x ) = f (x, t, u, u x , u t ) +ε 2 f 1 (x, t, u, u x , u t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) = g (t) , u (1, t) = 0, u(x, 0) = ˜u 0 (x), u t (x, 0) = ˜u 1 (x). (12) Luận văn ngoài phần mở đầu, luận văn gồm 04 chương như sau: CHƯƠNG 1. Trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. CHƯƠNG 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) - (3) ứng với (u 0 , u 1 ) ∈ H 1 (0, 1) × L 2 (0, 1) cùng với một số điều kiện phụ. CHƯƠNG 3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) - (3) ứng với (u 0 , u 1 ) ∈ H 2 (0, 1) × H 1 (0, 1) cùng với một số điều kiện phụ. Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 10 [...]... C2 f (s)ds với hầu hết t ∈ [0, T ], trong đó C1 , C2 là các hằng số không âm 0 C2 t Khi đó f (t) ≤ C1 e , với hầu hết t ∈ [0, T ] t f (s)ds, với hầu hết t ∈ [0, T ], thì f (t) = 0 với hầu hết t ∈ [0, T ] Đặc biệt, nếu f (t) ≤ C1 0 1.8 Đònh lý Ascoli-Arzela Đònh lý 1.13 Cho A là một tập con của C([0, T ]; Rm ) Khi đó, A là một tập compact trong C([0, T ]; Rm ) nếu và chỉ nếu A thỏa các điều kiện sau i)... không gian các lớp tương đương các hàm thực đo T được u : (0, T ) → X, sao cho 0 ||u(t)||p dt < ∞, với 1 ≤ p < ∞ hay ∃M > 0 sao cho X ||u(t)||X ≤ M , a.e t ∈ (0, T ) với p = ∞, ở đây ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên (0, T ) Ta trang bò trên Lp (0, T ; X) bởi chuẩn ||u||Lp (0,T ;X) , với 1 p T ||u||Lp (0,T ;X) = 0 ||u||L∞ (0,T ;X) ||u(t)||p dt X , với 1 ≤ p < ∞, (1.23) = ess sup ||u(t)||X... Ta cũng ký hiệu ·, · H ,H để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa một phi m hàm tuyến tính liên tục 12 Trang 13 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích trên không gian Hilbert với một phần tử thuộc không gian đó Ta đònh nghóa các không gian Hilbert H 1 , H 2 lần lượt là H1 = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 }, (1.3) H2 = {v ∈ L2 : vx , vxx ∈ L2 }, (1.4) với tích vô hướng được đònh nghóa tương ứng là ·, · H1 và ·,... cho (D(0, T )) hoặc Cc (0, T ) để chỉ không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0, T ) Đònh nghóa 1.6 Cho X là một không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(0, T ) vào X gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trò trong X Tập các phân bố có giá trò trong X ký hiệu là D (0, T ; X) = f : D(0, T ) → X : tuyến tính liên tục Đònh nghóa 1.7 Cho f ∈ D (0, T ; X) Ta... văn toán học Bổ đề 1.9 [4, Lions] Nếu f, df ∈ Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞ thì f bằng hầu hết với một hàm dt liên tục từ [0, T ] vào X 1.5 Bổ đề về tính compact Cho B0 , B, B1 là các không gian Banach với B0 ⊂ B ⊂ B1 với các phép nhúng liên tục, sao cho (i) B0 , B1 là phản xạ, (ii) phép nhúng B0 → B là compact Với 0 < T < ∞, 1 ≤ pi ≤ +∞, i = 0, 1, ta đặt W (0, T ) = v ∈ Lp0 (0, T ; B0 ) : v ∈ Lp1 (0,... Đồng nhất L2 với không gian đối ngẫu (L2 ) của nó Khi đó ta có H 1 → L2 ≡ (L2 ) → (H 1 ) với các phép nhúng liên tục và trù mật Chứng minh Dễ thấy H 1 nhúng liên tục và trù mật trong L2 theo (1.3) Ta chứng minh L2 nhúng liên tục trong (H 1 ) bằng ánh xạ T nào đó và T (L2 ) trù mật trong (H 1 ) Đầu tiên, với mỗi ω ∈ L2 ta dễ dàng thấy ánh xạ Tω : H 1 −→ R 1 v −→ Tω (v) = ω(x)v(x)dx (1.15) 0 tuyến tính... trong C Khi đó, T có điểm bất động Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 19 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT Trong chương này, chúng tôi trình bày đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài toán:   u − u + λ|u|γ−2 u = f (x, t) , 0 < x < 1 , 0 < t < T ,  tt xx      u (0, t) − u (0, t) − λ |u(0, t)|α−2... (2.49) 0 với M3 = √ 2 max{||u1 (1, )||H 1 (0,T ) , ||u2 (1, )||H 1 (0,T ) } Từ (2.42)-(2.49), ta có t H(t) ≤ (D1 + D2 + D3 ) H(s)ds 0 Vậy áp dụng đònh lý Gronwall u = 0, hay u1 = u2 (2.50) Tính duy nhất nghiệm của bài toán đã được chứng minh Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 32 CHƯƠNG 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ... ánh, tuyến tính, (T2 ) T liên tục trên L2 , (T3 ) T (L2 ) trù mật trong (H 1 ) Chứng minh (T1 ) Dễ thấy T tuyến tính trên L2 Giả sử T (ω) = Tω = 0, suy ra Tω , v (H 1 ) ,H 1 = ω, v = 0, ∀v ∈ H 1 (1.17) Mặt khác, H 1 trù mật trong L2 nên ta viết lại (1.17) rằng ω, v = 0, ∀v ∈ L2 (1.18) Từ (1.18), suy ra ω = 0 Vậy T là đơn ánh, tức T là một phép nhúng từ L2 vào (H 1 ) Chứng minh (T2 ) Do T tuyến. .. Trang 22 Luận văn toán học Xét wj là một cơ sở trực chuẩn của H 1 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1) dưới dạng m um (t) = cmj (t)wj , (2.3) j=1 trong đó, các hàm hệ số cmj thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến sau đây   u (t), w + u (t), w + λ |u (t)|γ−2 u (t), w  m j mx jx m m j       +{um (1, t) + λ1 |um (1, t)|β−2 um (1, t)}wj (1)   +{um (0, t) + λ0 |um (0, t)|α−2 um (0, t)}wj (0) . GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN. GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN. VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT 20 5 Trang 6 Luận văn toán học 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ HAI 33 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN