Sóng mặt rayleigh với điều kiện biên trở kháng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Quỳnh Xuân SÓNG MẶT RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Quỳnh Xuân Sóng mặt Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2017 Mục lục PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 1.1 Phương trình 1.2 Phương trình đặc trưng 1.3 Điều kiện biên trở kháng 10 1.4 Phương trình tán sắc 10 CƠNG THỨC VẬN TỐC SĨNG 13 2.1 Điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp 13 2.2 Điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất pháp 25 2.3 Sự tồn sóng Rayleigh 32 Kết luận 34 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo dạy dỗ em suốt năm học đại học sau đại học, đặc biệt thầy, cô môn Cơ học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm semina ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Cao học Nguyễn Quỳnh Xuân LỜI MỞ ĐẦU Trong phần lớn nghiên cứu sóng Rayleigh, bán khơng gian đàn hồi giả thiết tự ứng suất, tức ứng suất khơng mặt biên Sóng mặt tương ứng gọi "Sóng Rayleigh tự ứng suất" Mặc dù vậy, nhiều toán thực tế âm học, điện từ học, , điều kiện biên trở kháng (impedance boundary conditions), liên hệ tuyến tính hàm cần tìm đạo hàm chúng biên, xuất thường xuyên, tham khảo chẳng hạn báo [4]-[16] lĩnh vực âm học, [17]-[8] lĩnh vực điện-từ học, tài liệu tham khảo Mặt khác, nghiên cứu sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng, tác giả thường thay (một cách gần đúng) toàn ảnh hưởng lớp mỏng lên bán không gian điều kiện biên phân chia chúng, gọi "các điều kiện biên hiệu dụng" (effective boundary conditions), tham khảo chẳng hạn [1]-[24] Các điều kiện biên hiệu dụng có dạng điều kiện biên trở kháng Sau đó, sóng Rayleigh xem xét truyền bán không gian đàn hồi, không bị phủ (lớp mỏng), chịu điều kiện biên trở kháng Sóng mặt tương ứng gọi sóng Rayleigh với (chịu) điều kiện biên trở kháng Ngày nay, cấu trúc lớp mỏng gắn với lớp dày, mô hình hóa bán khơng gian phủ lớp mỏng, sử dụng rộng rãi công nghệ đại, nhấn mạnh tài liệu tham khảo [9, 14] Do vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng đòi hỏi thực tế Bài tốn truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng Godoy cộng [7] nghiên cứu gần Các tác giả tìm phương trình tán sắc chứng minh tồn sóng Mặc dù vậy, cơng thức vận tốc sóng chưa tìm Đối với sóng mặt Rayleigh, vận tốc đại lượng vật lý bản, nhà nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác quan tâm Nó nói đến hầu hết sách chun khảo sóng mơi trường đàn hồi Nó liên quan đến hàm Green nhiều tốn động lực học bán không gian, công cụ tiện lợi để đánh giá không phá hủy đặc trưng học kết cấu trước chịu tải Do vậy, công thức giải tích vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn Mục đích luận văn tìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng Để tìm cơng thức này, phương pháp hàm biến phức sử dụng Nội dung luận văn trình bầy hai chương: • Chương 1: Phương trình tán sắc sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Trình bày tổng quan sóng mặt Rayleigh: phương trình bản, phương trình đặc trưng Điều kiện biên trở kháng, trình tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng Cách rút phương trình trình bày vắn tắt nghiên cứu Godoy cơng [7] • Chương 2: Cơng thức vận tóc sóng Rayleigh 2.1 Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp 2.2 Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất pháp Những kết chương 2.1 đăng tạp chí European Journal of MechanicsA/Solids Link: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0997753816302595 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 1.1 Phương trình Xét bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén x2 ≥ (Hình 1.1) Giả sử bán không gian đàn hồi chịu trạng thái biến dạng phẳng: Hình 1.1 ui = ui ( x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0, (1.1) ui thành phần chuyển dịch vecto chuyển dịch, t thời gian Các thành phần ứng suất σij liên hệ với thành phần chuyển dịch hệ thức: σ11 = (λ + 2µ)u1,1 + λu2,2 , σ22 = λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 , (1.2) σ12 = µ(u1,2 + u2,1 ) , dấu phẩy đạo hàm theo biến khơng gian xk , λ, µ số Lame Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển ng cú dng [2]: 11,1 + 12,2 = uă , 12,1 + 22,2 = uă , (1.3) du chấm đạo hàm theo biến thời gian t, ρ mật độ khối lượng Quy ước: Trong phần tiếp theo, dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian, dấu chấm (trên) đạo hàm theo biến thời gian Thay (1.2) vào (1.3) ta có:   ⇔ ⇔                (λ + 2µ)u1,11 + àu1,22 + ( + à)u2,12 = uă , (λ + µ)u1,12 + µu2,11 + (λ + 2µ)u2,22 = uă , + 2à +à u1,11 + u1,22 + u2,12 = uă , λ+µ µ λ + 2µ u1,12 + u2,11 + u2,22 = uă , + 2à µ λ + 2µ µ u1,11 + u1,22 + − u2,12 = uă , + 2µ µ µ λ + 2µ − u1,12 + u2,11 + u2,22 = uă , ρ (1.4) hay: c2L u1,11 + c2T u1,22 + (c2L c2T )u2,12 = uă , (c2L c2T )u1,12 + c2L u2,22 + c2T u2,11 = uă , (1.5) (λ + 2µ)/ρ c T = µ/ρ tương ứng vận tốc sóng dọc, sóng ngang Cùng với phương trình chuyển động (1.5) điều kiện biên trở kháng (xem Chương 2), điều kiện tắt dần vô phải thỏa mãn, tức là: ui = (i = 1, 2) x2 → +∞ (1.6) đó: c L = Thay công thức (2.29) vào (2.30) ta kết sau: Fa (z) = B2 z2 + B1 z + B0 + O(z−1 ), đó:     B2    B1       B0 = 9−8 (2.31) √ − γ + δ1 = −6 + √ + δ1 2−γ 4( γ − 1)2 = 1+ −1 (2 − γ)3/2 Thay khai triển Laurent (2.25), (2.31) vào (2.20) dẫn đến: (2.32) Pa2 (z) = Fa (z) e−Γ(z) a1 a2 + + O(z−3 )) z z = B2 z + ( B1 + a1 B2 )z + ( B0 + a1 B1 + a2 B2 ) = ( B2 z2 + B1 z + B0 + O(z−1 ))(1 + Từ (2.16) (2.28) suy : (2.33) A2 = B2 , A1 = ( B1 + a1 B2 ) = B1 + I0 B2 , hệ số B2 , B1 , I0 xác định (2.32), (2.28) Đó biểu thức cần tìm A1 A2 Ta có định lý sau: Định lý 1: Nếu sóng Rayleigh tồn vận tốc khơng thứ ngun xr xác định công thức sau: + z2 x ar = , 2z2  √ + (δ1 − 6) − γ  √ z2 = − 8(2 − γ) − (9 + δ1 ) − γ 2π  θ a1 (t)dt + L1 θ a2 (t)dt + L2 (2.34) θki (t), i = 1, xác định (2.23), (2.24) Chứng minh: Từ (2.32), (2.33) ta có: √ + (δ1 − 6) − γ A1 √ z2 = − +1 = − I0 + (2.35) A2 8(2 − γ) − (9 + δ1 ) − γ Theo (2.19), x ar biểu diễn qua z2 công thức thứ (2.34) Định lý chứng minh 24 δ1 γ z2 x ar từ công thức (2.34) f a ( x ) = giải trực tiếp từ (2.1) 1/2 -6,8065 0,4265 0,426501 1/2 1/4 5/3 4/5 4/5 2/3 -1,2187 0,0897 0,0897197 1/3 -1,1048 0,0474 0,047407 -1 1/2 1,2516 0,8995 0,899497 -1/2 1/4 1,2217 0,9093 0,909267 -2 2/3 1,1715 0,9268 0,926806 -5 1/16 1,0282 0,9863 0,986277 Bảng 2.1: Kết số 2.2 Điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất pháp Phương trình tán sắc tổng quát (1.17) chịu điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất pháp (δ2 = 0, δ1 = 0) : √ f b ( x ) = ( x − 2)2 − − x √ − γx + δ2 x x − γx = (2.36) Bằng phép đổi biến: w+1 ↔w= , |w| > 1, 2w 2x − phương trình (2.36) trở thành: x= Fb (w) = 0, |w| > 1, (2.37) (2.38) đó: √ Fb (w) := (1 − 3w)2 − 8w w − √ (2 − γ)w − γ + δ2 (w + 1) w + (2 − γ)w − γ (2.39) Chú ý rằng, phép đổi biến (2.37) ánh xạ 1-1 hai miền < x < |w| > Phương trình (2.39) phương trình thực Xét phương trình phức có dạng: √ √ Fb (z) := (1 − 3z)2 − 8z z − (2 − γ)z − γ + δ2 (z + 1) z + (2 − γ)z − γ, z ∈ C, (2.40) 25 bậc hai phức giá trị Khi z ∈ R, |z| > (2.40) trở thành phương trình (2.38) Do phương trình (2.40) dạng phức phương trình tán sắc (2.38) Để tìm vận tốc sóng khơng thứ nguyên x ta tìm w nghiệm thực phương trình (2.38) thỏa mãn |w| > Muốn vậy, ta tìm nghiệm phương trình phức (2.40) Tương tự phần (2.1 Điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp) ta thu tính chất hàm F(z) γ γ Ký hiệu L = L1 ∪ L2 , L1 = −1, , L2 = , , S = {z ∈ C, z ∈ / L } 2−γ 2−γ N (z0 ) = {z ∈ S : |z − z0 | < ε}, ε số dương đủ nhỏ, z0 điểm thuộc mặt phẳng phức C Nếu ϕ(z) hàm chỉnh hình miền Ω ⊂ C viết ϕ(z) ∈ H (Ω) Từ (2.40) hàm Fb (z) có tính chất sau: Mệnh đề 8: ( f ) Fb (−1) = ( f ) Fb (z) ∈ H (S) ( f ) Fb (z) bị chặn N(-1) N(1) ( f ) Fb (z) = O (z2 ) |z| → ∞ ( f ) Fb (z) liên tục từ bên từ bên L (xem [13]) với giá trị Fb+ (t) (giá trị biên Fb (z)), Fb− (t) (giá trị biên Fb (z)) xác định sau: Fb± (t) = ± Fb1 (t), t ∈ L1 ± (t), t ∈ L2 Fb2 (2.41) với: √ + Fb1 (t) = (1 − 3t)2 + 8t − t √ − Fb1 (t) = (1 − 3t)2 + 8t − t √ γ − (2 − γ)t + iδ2 (t + 1) t + √ γ − (2 − γ)t − iδ2 (t + 1) t + γ − (2 − γ)t, γ − (2 − γ)t (2.42) √ + Fb2 (t) = (1 − 3t)2 + δ2 (t + 1) t + √ − Fb2 (t) = (1 − 3t)2 + δ2 (t + 1) t + √ (2 − γ)t − γ − 8it − t √ (2 − γ)t − γ + 8it − t (2 − γ ) t − γ ), (2 − γ ) t − γ ) (2.43) 26 Các tính chất hàm Γ(z) Đưa vào hàm g(t) xác định L sau:  + Fb1 (t)     − , t ∈ L1 Fb1 (t) gb ( t ) = + Fb2 (t)     − , t ∈ L2 Fb2 (t) (2.44) Từ (2.16), (2.28) ta có : Fb+ (t) = g(t) Fb− (t), t ∈ L (2.45) Xét hàm Γ(z) (tích phân dạng Cauchy) xác định sau: Γ(z) = 2πi L log g(t) dt, z ∈ C t−z (2.46) Mệnh đề 9: (γ1 ) Γ(z) ∈ H (S) (γ2 ) Γ(∞) = (γ3 ) Γ(z) = Ω0 (z) với z ∈ N (−1) ( N (1)), Ω0 (z) hàm bị chặn N(-1) (N(1)) có giá trị hữu hạn z=-1 (z= 1) Các tính chất hàm Φ(z) Xét hàm Φ(z) xác định sau: Φ(z) = eΓ(z) , z ∈ C (2.47) Mệnh đề 10: (φ1 ) Φ(z) ∈ H (S) (φ2 ) Φ(z) = O(1) |z| → ∞ (φ3 ) Φ(z) bị chặn N (−1) N (1) có giá trị hữu hạn điểm z = −1 z = (φ4 ) Φ+ (t) = gb (t)Φ− (t), t ∈ L (φ5 ) Φ(z) = với z ∈ S Các tính chất hàm Y(z) Xét hàm Y(z) xác định qua F (z) Φ(z) sau: Yb (z) = Fb (z)/Φ(z) 27 (2.48) Ta có mệnh đề sau tính chất hàm Y(z): Mệnh đề 11: (y1 ) Yb (z) ∈ H (S) (y2 ) Yb (z) = O(z2 ) |z| → ∞ (y3 ) Yb (z) bị chặn N(-1) N(1) (y4 ) Yb+ (t) = Yb− (t), t ∈ L Mệnh đề 12: Yb (z) đa thức bậc hai: Yb (z) = Pb2 (z) = E2 z2 + E1 z + E0 (2.49) Thật vậy, tính chất (y1 ) (y4 ) (mệnh đề 11) Yb (z) hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C, ngoại trừ điểm z=-1 z=1 Nhưng từ (y3 ) (mệnh đề 11) suy điểm điểm kì dị khử Do vậy, hàm Yb (z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C Theo định lý Liouville mở rộng [12], Yb (z) đa thức, (y2 ) (mệnh đề 11) nên Yb (z) đa thức bậc hai z Tính tương đương đại số phương trình Fb (z) = Mệnh đề 13: Fb (z) = ⇔ Pb2 (z) = miền S ∪ {−1} ∪ {1} (2.50) Thật vậy, từ (2.48) (2.49) ta có: Fb (z) = Φ(z) Pb2 (z) (2.51) Từ (φ5 ) (mệnh đề 10) suy Φ(z) = với z ∈ S Từ (γ3 ) (mệnh đề 9) suy Φ(z) có giá trị khác không z = z = −1 Do Φ(z) = với z ∈ S ∪ {−1} ∪ {1} Cho nên từ (2.51) suy khẳng định (2.50) Chú ý 2: (i) Phương trình Fb (z) = khơng có nghiệm khoảng (−1, 1) tính gián đoạn hàm Fb (z) khoảng (do ( f ) mệnh đề 8) (ii) Từ mệnh đề 6, để tìm nghiệm phương trình siêu việt Fb (z) = miền S ∪ {−1} ∪ {1}, ta tìm nghiệm phương trình bậc hai Pb2 (z) = 28 Mệnh đề 14: Phương trình Fb (z) = có hai nghiệm là: z1 = −1 z2 = − E1 /E2 , E1 E2 hệ số đa thức bậc hai Pb2 (z) Thật vậy, từ ( f ) (mệnh đề 8) mệnh đề 13 suy P(−1) = Theo định lý Vi-et, nghiệm thứ hai phương trình bậc hai Pb2 (z) = z2 = − E1 /E2 Lại theo mệnh đề 13, suy z2 nghiệm phương trình Fb (z) = Do Pb2 (z) = có hai nghiệm, nên theo mệnh đề 13, phương trình Fb (z) = có hai nghiệm z1 = −1 z2 = − E1 /E2 Cơng thức vận tốc sóng Theo mệnh đề 14, phương trình Fb (z) = có nghiệm: z1 = −1, z2 = − E1 /E2 Theo trên, nghiệm (thực) phương trình Fb (z) = tương ứng với sóng Rayleigh phải có giá trị tuyệt đối lớn Cho nên, sóng Rayleigh tồn nghiệm z1 khơng tương ứng với sóng Rayleigh Tức vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ ngun xbr = c2 /c2T tính theo cơng thức: xbr = + z2 2z2 (2.52) Để thu cơng thức vận tốc sóng ta cần tìm biểu thức E1 E2 Biểu thức E1 E2 : Từ (2.47) (2.51) ta có: Pb2 (z) = Fb (z)e−Γ(z) (2.53) Từ (2.53), để xác định hệ số đa thức bậc hai Pb2 (z) ta cần khai triển Laurent hàm Fb (z), e−Γ(z) z = ∞ Từ (2.41) -(2.45) suy ra: loggb (t) = iθb (t), θb (t) := Arg gb (t), (2.54) đó: θb (t) = Vì đoạn L2 = θb1 (t), t ∈ L1 θb2 (t), t ∈ L2 (2.55) γ , , t dương nên ta xác định Argumen 2−γ sau: Xét hai trường hợp: 29 Trường hợp 1: δ2 > 0: √ (1 − 3t)2 + 8t − t γ − (2 − γ)t , √ δ2 (t + 1) t + γ − (2 − γ)t √ 8t − t (2 − γ)t − γ) √ (1 − 3t)2 + δ2 (t + 1) t + (2 − γ)t − γ (2.56) √ (1 − 3t)2 + 8t − t γ − (2 − γ)t , √ δ2 (t + 1) t + γ − (2 − γ)t √ (1 − 3t)2 + δ2 (t + 1) t + (2 − γ)t − γ √ 8t − t (2 − γ)t − γ) (2.57) π θb1 (t) = − tan−1 θb2 (t) = tan−1 Trường hợp 2: δ2 < 0: π θb1 (t) = − − tan−1 θb2 (t) = − π − tan−1 Để khai triển Laurent hàm Fb (z) (xác định (2.40)) z = ∞ biến đổi F(z) dạng sau: Fb (z) = 9z2 − 6z + − 8z2 + δ2 (z + 1)z 1+ z 1− z 1− γ (2 − γ ) z γ 1− (2 − γ ) z 2−γ (2.58) − γ Ta có: 1− 1− = z γ = (2 − γ ) z 1+ = z 1 − + O ( z −3 ) , 2z 8z γ γ2 1− − + O ( z −3 ) , (2 − γ ) z (2 − γ )2 z2 1− 1+ (2.59) 1 − + O ( z −3 ) 2z 8z Thay công thức (2.58) vào (2.59) ta kết sau: Fa (z) = D2 z2 + D1 z + D0 + O(z−1 ), đó:  √ 2−γ+8 δ ( − 2γ ) −   D1 = √ 2−γ √   D = − − γ + δ √2 − γ 2 30 (2.60) (2.61) Thay khai triển Laurent (2.25), (2.60) vào (2.53) dẫn đến: Pb2 (z) = Fb (z) e−Γ(z) a1 a2 + + O(z−3 )) z z = D2 z + ( D1 + a1 D2 )z + ( D0 + a1 D1 + a2 D2 ) = ( D2 z2 + D1 z + D0 + O(z−1 ))(1 + Từ (2.16) (2.28) suy : E2 = D2 , E1 = ( D1 + a1 D2 ) = D1 + I0 D2 , (2.62) hệ số D2 , D1 , I0 xác định (2.61), (2.28) Đó biểu thức cần tìm E1 E2 Ta có định lý sau: Định lý 2: Nếu sóng Rayleigh tồn vận tốc khơng thứ ngun xr xác định cơng thức sau: + z2 , 2z2 D E z2 = − + = − − I0 + 1, E2 D2 θb1 dt + θb2 dt I0 = π xbr = L1 (2.63) L2 θbi (t), i = 1, xác định (2.56), (2.57), D1 , D2 xác định (2.61) Chứng minh: Theo (2.52), xbr biểu diễn qua z2 công thức thứ (2.63) Định lý chứng minh Kết số: 31 δ2 γ w xbr từ công thức (2.63) f b ( x ) = giải trực tiếp (2.36) 1/2 -1,5393 0,1752 0,1752 2/3 -1,0353 0,017 0,017 10 1/4 -1,0456 0,0218 0,0218 1/4 1/4 -1,6667 0,8 0,8 -1/2 1/2 1,2008 0,9164 0,9164 -1/3 1/2 1,3339 0,8748 0,8748 -1/5 1/8 1,1526 0,9338 0,9338 -1/2 1/4 1,0775 0,964 0,964 -1/3 1/16 1,0876 0,9597 0,9597 2.3 Sự tồn sóng Rayleigh Định lý 3: Sóng Rayleigh ln tồn với điều kiện trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp Chứng minh: • Sự tồn - Theo mệnh đề 7, phương trình Fa (z) = có hai nghiệm z1 , z2 Vì z1 = −1 (tương ứng với x ar = 0) không dẫn đến tồn sóng Rayleigh nên: Điều kiện cần đủ để sóng Rayleigh tồn là: z2 ∈ / [−1, 1] (⇔ < x ar < 1) - Theo ( f ) (mệnh đề 1), Fa (z) gián đoạn khoảng (−1, 1) nên phương trình Fa (z) = khơng có nghiệm khoảng (−1, 1), suy z2 ∈ / (−1, 1) Mặt khác, F(1) = = nên z2 = Như z2 ∈ / (−1, 1] - Ta chứng minh z2 = −1 Thật vây, z2 = −1, từ mệnh đề Fa (z) 6, (2.18) (γ3 ) (mệnh đề 2) ta có: lim = m, m z→−1 ( z + 1)2 f a (x) = n, n số hữu hạn số hữu hạn Suy ra: lim x →0 x Nhưng điều khơng đúng, từ (2.1) dễ ràng chứng minh rằng: f (x) lim ax2 = ∞ Vậy z2 ∈ / (−1, 1] z2 = −1 nên z2 ∈ / [−1, 1] Suy sóng x →0 Rayleigh (ln) tồn • Sự 32 - Giả sử tồn hai sóng Rayleigh tương ứng với vận tốc x (1) , x (2) x (1) = x (2) Khi x (1) , x (2) hai nghiệm khác (1.17) theo (1.18): < x (1) , x (2) < Suy phương trình Fa (z) = có hai nghiệm khác (do ánh xạ (2.2) ánh xạ 1-1 ): z1 = z2 = 2x (2) −1 2x (1) −1 và thỏa mãn điều kiện: |zk | > Do vậy, từ ( f ) suy phương trình Fa (z) = có ba nghiệm phân biệt - Theo mệnh đề phương trình Pa2 (z) = có ba nghiệm khác Điều vơ lý Pa2 (z) đa thức bậc hai nên có tối đa hai nghiệm khác Định lý chứng minh 33 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát truyền sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén chịu điều kiện biên trở kháng Áp dụng phương pháp hàm biến phức, công thức giải tích xác vận tốc sóng Rayleigh tìm với hai trường hợp sóng Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp pháp Sự tồn sóng Rayleigh với điều kiện trở kháng ảnh hướng đến ứng suất tiếp chứng minh Chứng minh đơn giản nhiều so với chứng minh Godoy cộng [7] Hướng nghiên cứu tiếp theo: Mở rộng cho trường hợp điều kiện trở kháng ảnh hưởng cho ứng suất pháp tiếp Tìm cơng thức vận tốc sóng mơi trường đàn hồi trực hướng chịu điều kiện biên trở kháng Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận văn [1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Quỳnh Xuân (2015)Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng: công thức vận tốc sóng, tồn Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015 [2] Vinh, P C , Xuan, N Q (2016) Rayleigh waves with impedance boundary condition: Formula for the velocity, existence and uniqueness, European Journal of Mechanics-A/Solids,61,180–185(SCI) 35 Tài liệu tham khảo [1] Achenbach, J D and Keshava, S P (1967), "Free waves in a plate supported by a semi-infinite continuum", Journal of Applied Mechanics, 34, pp 397-404 [2] Achenbach, J D (1973), "Wave propagation in Elastic Solids", NorthHolland, Amsterdam [3] Asghar, S., Zahid, G H (1986), "Field in an open-ended waveguide satisfying impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 37, pp 194-205 [4] Antipov, Y A (2002), "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impednance boundary condition", SIAM Journal on Applied Mathematics, 62, pp 1122-1152 [5] Bovik, P (1996), "A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers", Journal of Applied Mechanics, 63, pp 162-167 [6] Castro, L P., Kapanadze, D (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip", J Math Anal Appl, 337, pp 1031-1040 [7] Godoy, E., Durán, M., Nédélec, J-C (2012), "On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions", Wave Motion, 49, pp 585-594 [8] Hiptmair, R., Lopez-Fernandez, M., Paganini, A (2014), "Fast convolution quadrature based impedance boundary conditions", Journal of Computational and Applied Mathematics, 263, pp.500-517 36 [9] Makarov, S., Chilla, E and Frohlich,E J (1995), "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of di R erent surface acoustic wave modes", Journal of Applied Physics, 78, pp 5028-5034 [10] Malischewsky, P G (1987), "Surface Waves and Discontinuities", Elsevier, Amsterdam [11] Mathews, I C., Jeans, R A (2007), "An acoustic boundary integral formulation for open shells allowing different impedance conditions, top and bottom surfaces", Journal of Sound and Vibration, 300, pp 580-588 [12] Muskhelishvili, N I (1963), "Some Basic problems of mathematical theory of elasticity", Noordhoff, Netherland [13] N I Muskhelishvili, N I (1953) "Singular intergral equation", NoordhoffGroningen [14] Niklasson, A J., Datta, S K and Dunn,M L (2000), "On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coatings by means of effective boundary conditions", J Acout Soc Am, 108, pp 924-933 [15] Nkemzi, D (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves", Wave motion, 26, pp 199-205 [16] Qin, H-H., Colton, D (2012), "The inverse scattering problem for cavities with impedance boundary condition" , Adv Comput Math, 36, pp 157174 [17] Senior, T B A (1960), "Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces", Applied Scientific Research, Section B8, pp 418-436 [18] Steigmann, D J., Ogden, R W (2007), "Surface waves supported by thinfilm/substrate interactions", IMA Journal Applied Mathematics, 72, pp.730747 [19] Stupfel, B., Poget, D (2011), "Sufficient uniqueness conditions for the solution of the time harmonic Maxwell’s equations associated with surface impedance boundary conditions", Journal of Computational Physics, 230, pp 4571-4587 37 [20] Tiersten, H.F (1969), "Elastic surface waves guided by thin films" ,Journal of Applied Physics, 46, pp 770-789 [21] Vinh, P C (2013), "Scholte-wave velocity formulae", Wave Motion, 50, pp 180-190 [22] Vinh, P C., Anh, V T N (2014), "Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer with smooth contact", Internatinal Journal of Engineering Science, 75, pp 154-164 [23] Vinh, P C., Anh, V T N (2014), "An approximate secular equation of Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated with a thin isotropic elastic layer", Acta Mechanica, In press, DOI 10.1007/s00707-0141090-8 [24] Vinh, P C., Anh, V T N., Thanh, V P (2014), "Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated by a thin isotropic elastic layer with smooth contact", Wave Motion, 51, pp 496-504 [25] Vinh, P C., Khanh Linh, N T (2012), "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer", Wave Motion, 49, pp 681-689 [26] Vinh, P C., Khanh Linh, N T (2013), "An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves in pre-stressed com-pressible elastic solids", International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, pp 91-96 [27] Yla-Oijala, P., Jarvenppa, S (2006), "Iterative solution of high-order boundary element method for castro, L P., Kapanadze, D (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip", J Math Anal Appl, 337, pp 1031-1040 [28] Zakharov, D D (2006), "Surface and internal waves in a stratified layer of liquid and an analysis of the impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 70, pp 573-581 38 ... sắc sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Trình bày tổng quan sóng mặt Rayleigh: phương trình bản, phương trình đặc trưng Điều kiện biên trở kháng, trình tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh. .. không bị phủ (lớp mỏng), chịu điều kiện biên trở kháng Sóng mặt tương ứng gọi sóng Rayleigh với (chịu) điều kiện biên trở kháng Ngày nay, cấu trúc lớp mỏng gắn với lớp dày, mơ hình hóa bán khơng... Do vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng đòi hỏi thực tế Bài tốn truyền sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng Godoy cộng [7] nghiên