BÁO CÁO THỰC TẬP-PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp Chuyên ngành Giải Tích PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN QUANG HUY GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : GS.TS DƯƠNG MINH ĐỨC GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN : GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2012 ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, tôi xin dành lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa Toán học đã giảng dạy cho tôi suốt bốn năm đại học. Đặc biệt là các thầy Đặng Đức Trọng, Huỳnh Quang Vũ, Nguyễn Thành Long đã dành cho tôi nhiều sự quan tâm. Và lời cảm ơn sâu sắc nhất xin được gửi đến GS. Dương Minh Đức, người thầy đã dạy tôi từ ngày học đầu tiên, đã truyền cho tôi niềm yêu Toán, hướng dẫn tôi từ những bước đầu tiên trong học và nghiên cứu Toán. Cảm ơn thầy vì đã bỏ nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành tiểu luận tốt nghiệp này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. Đặng Đức Trọng, người thầy luôn giúp đỡ, động viên tôi và đã nhận lời làm phản biện cho tiểu luận. Sau cùng, tôi muốn cảm ơn gia đình và những người bạn đã bên tôi, ủng hộ, giúp đỡ tôi mặt này, mặt khác trong học tập và cuộc sống. Thành phố Hồ Chí Minh ngày 2 tháng 7 năm 2012 Nguyễn Quang Huy. iii LỜI GIỚI THIỆU Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành đã và đang phát triển mạnh mẽ, đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Xét về mặt cấu trúc, các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đã được nghiên cứu khá kĩ lưỡng. Tuy nhiên, sự hiểu biết của chúng ta về các bài toán phi tuyến còn rất hạn chế. Đối với các phương trình phi tuyến, dựa vào đặc điểm của mỗi lớp phương trình, người ta đưa ra một phương pháp hữu hiệu đặc trưng để giải chúng. Trong số đó, phương pháp biến phân là một công cụ mạnh, đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Mục đích của tiểu luận này là trình bày về một phương pháp cụ thể trong phép tính biến phân, đó là phương pháp biến phân trực tiếp. Cụ thể, các nội dung chính của tiểu luận được bố cục như sau: • Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp: trong phần này, tác giả trình bày về ý tưởng chính của phương pháp biến phân trực tiếp: đưa một bài toán giải phương trình về một bài toán cực trị. Sau đó, đưa ra "cấu trúc biến phân" cho một lớp rộng các bài toán thường gặp và sau cùng là các ví dụ minh họa. • Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng: trong phần này, tác giả trình bày hai định lý về sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm. Sau đó, áp dụng các định lý này để giải các bài toán như sau: phương trình elliptic suy biến, bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt, bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann, bài toán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace, bài toán biên elliptic nửa tuyến tính. Nội dung chính của tiểu luận được trình bày dựa vào các tài liệu [Ev97] và [St96] đặc biệt là [St96], một quyển sách chuyên khảo nổi tiếng về phép tính biến phân của tác giả Michael Struwe. Công việc chủ yếu của tác giả tiểu luận là đọc hiểu, trình bày chi tiết một số kết quả, chứng minh trong chương 1, quyển [St96]. Qua tiểu luận này, tác giả học được một số kĩ thuật cơ bản của phương pháp biến phân trực tiếp trong phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là đưa một một phương trình về dạng biến phân, sau đó áp dụng các định lý tồn tại cực tiểu để chứng minh sự tồn tại nghiệm; iv ngoài ra còn có kĩ thuật áp đặt ràng buộc để đưa về trường hợp mẫu mực. Dù đã rất cố gắng trong quá trình đọc hiểu cũng như trong khâu trình bày nhưng tiểu luận hẳn vẫn còn những sai sót không tránh khỏi. Tác giả mong nhận được sự nhận xét, đóng góp từ các thầy và các bạn để tiểu luận này được hoàn thiên hơn. Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . 4 2 Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp 7 2.1 Ý tưởng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 8 3 Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng 11 3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Phương trình elliptic suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . 24 3.5 Một kết quả tổng quát về sự nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . 31 3.6 Bài toán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace . . . . . . . . . 36 3.7 Bài toán biên elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo 43 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng sẽ được sử dụng trong trong các phần tiếp theo của tiểu luận. 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω ⊂ R N là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞. Định nghĩa 1.1. Ta định nghĩa không gian Sobolev W 1,p (Ω) bởi W 1,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω) |u x i ∈ L p (Ω) , i = 1, , N} . (1.1) Trong đó, ta kí hiệu . p là chuẩn thông thường trong không gian L p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Định lý 1.1. W 1,p (Ω) với chuẩn u 1,p =  u p p + N  i=1 u x i  p p  1 p nếu 1 ≤ p < ∞ và u 1,∞ = max {u ∞ , u x 1  ∞ , u x 2  ∞ , , u x N  ∞ } nếu p = ∞ là không gian Banach. W 1,p (Ω) phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < ∞. Hơn nữa, W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng sau đây (u, v) 1,2 = (u, v) L 2 + N  i=1 (u x i , v x i ) L 2 . 2 1.1 Không gian Sobolev 3 (Xem Mệnh đề 9.1, [Br10]). Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử 1 ≤ p < ∞ và Ω bị chặn. Khi đó tồn tại một hằng số C = C(Ω, p) sao cho u p ≤ C∇u p , ∀u ∈ W 1,p 0 (Ω). Đặc biệt, ∇u p là một chuẩn trong W 1,p 0 (Ω) và nó tương đương với chuẩn u 1,p . (Xem Hệ quả 9.19, [Br10]). Định lý 1.3. Cho f là hàm trơn từng khúc trên R với f  ∈ L ∞ (R). Khi đó nếu u ∈ W 1,p (Ω) thì f ◦ u ∈ W 1,p (Ω). Hơn nữa, kí hiệu L là tập các điểm góc của f, ta có D(f ◦ u) =      f  (u)Du nếu u /∈ L, 0 nếu u ∈ L. (Xem Định lý 7.8, [Tru83]). Hệ quả 1.1. Cho u ∈ W 1,p (Ω) khi đó |u| ∈ W 1,p (Ω) và D(|u|) =              Du nếu u > 0, 0 nếu u = 0, −Du nếu u < 0. Định nghĩa 1.2. Ta định nghĩa (i) H 1,p (Ω) là đầy đủ hóa của {u ∈ C 1 (Ω) : u 1,p < ∞} trong W 1,p (Ω). (ii) W 1,p 0 (Ω) là đầy đủ hóa của C ∞ c (Ω) trong W 1,p (Ω). Định lý 1.4. (Meyers và Serrin) Với 1 ≤ p < ∞ thì H 1,p (Ω) = W 1,p (Ω). Do kết quả này, ta sẽ sử dụng không phân biệt H 1,p (Ω) và W 1,p (Ω) nếu 1 ≤ p < ∞. Đôi khi ta kí hiệu H 1,p 0 (Ω) thay cho W 1,p 0 (Ω). Với p = 2, ta thường kí hiệu H 1 (Ω) thay cho W 1,2 (Ω) và H 1 0 (Ω) thay cho W 1,p 0 (Ω). Định lý sau đây đóng vai trò cực kì quan trọng trong lý thuyết về không gian Sobolev cũng như trong phương trình đạo hàm riêng: 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 4 Định lý 1.5. (Rellich-Kondrakov) Giả sử Ω mở, bị chặn và thuộc lớp C 1 . Khi đó, ta có các phép nhúng compact sau: W 1,p (Ω) → L q (Ω), ∀q ∈ [1, p ∗ ), nếu p < N, (1.2) W 1,p (Ω) → L q (Ω), ∀q ∈ [p, ∞), nếu p = N, (1.3) W 1,p (Ω) → C(Ω), nếu p > N, (1.4) (1.5) trong đó 1 p ∗ = 1 p − 1 N . Đặc biệt, phép nhúng W 1,p (Ω) → L p (Ω) compact với mọi p (và mọi N). (Xem Định lý 9.16, [Br10]). 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn (Xem chương 7, [Duc05]). Trong phần này, ta qui ước (E, ,  E ), (F, . F ) là các không gian định chuẩn và D là một tập mở trong E. Định nghĩa 1.3. Cho f là ánh xạ từ D vào F , e là một vector trong E và x ∈ D. Ta nói (i) f có đạo hàm riêng theo hướng e tại x là ∂f ∂e (x) nếu và chỉ nếu lim t→0 f(x + te) − f(x) t = ∂f ∂e (x). (ii) f khả vi theo hướng tại x nếu f có đạo hàm riêng theo hướng theo mọi hướng tại x và tồn tại ánh xạ tuyến tính Df(x) từ E vào F sao cho ∂f ∂e (x) = Df(x)(e), ∀e ∈ E. (iii) f khả vi theo hướng trên D nếu f khả vi theo hướng tại mọi điểm x ∈ D. (iv) f khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại x và Df(x) liên tục. (v) f khả vi Gâteaux trên D nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ D. 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 5 (vi) f khả vi Fréchet tại x nếu có một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B(0, δ) trong E vào F sao cho B(x, δ) ⊂ D, lim h→0 φ(h) = 0 và f(x + h) − f(x) = Df(x)(h) + h φ(h), ∀h ∈ B(0, δ). (vii)f khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ D. (viii) f liên tục khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet trên D và ánh xạ x → Df(x) liên tục từ D vào L(E, F ), không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Định lý 1.6. Cho f, g là 2 ánh xạ từ D vào F và cho α ∈ R. Giả sử f và g khả vi Gâteaux (lần lượt Fréchet) tại một điểm x ∈ D. Lúc đó f + g và αf khả vi Gâteaux (lần lượt Fréchet) tại x. Hơn nữa, D(f + g)(x) = Df(x) + Dg(x) và D(αf)(x) = αDf(x). Định nghĩa 1.4. Cho f là một ánh xạ từ tập con A của E vào R và a là một điểm trong A. Ta nói (i) f đạt cực tiểu (lần lượt cực đại, cực trị) tại a nếu f(x) ≥ f(a) (lần lượt f(x) ≤ f(a), f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại a) với mọi x ∈ A. Lúc đó a được gọi là một cực tiểu (lần lượt cực đại, cực trị) của f trên A. (ii)f đạt cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương, cực trị địa phương) tại a nếu có một số thực dương r sao cho f(x) ≥ f(a) (lần lượt f(x) ≤ f(a), f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương tại a) với mọi x ∈ A ∩ B(a, r). Lúc đó a được gọi là một cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương , cực trị địa phương) của f trên A. (iii) a là một điểm tới hạn của f nếu A mở, f khả vi theo hướng tại a và Df(a)(h) = 0 với mọi h trong E. Định lý sau cho ta một điều kiện cần để một điểm là điểm cực trị. Định lý 1.7. Cho f là hàm số thực trên tập con mở D của E và đạt cực trị địa phương tại a ∈ D và cho h là một vector trong E. Khi đó nếu f khả vi theo hướng h tại a thì ∂f ∂h (a) = 0. 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 6 Định lý sau là một công cụ hữu ích trong phương trình đạo hàm riêng. Định lý 1.8. (Nhân tử Lagrange) Cho Ω là một tập mở trong không gian định chuẩn E và f, g là hai hàm số liên tục khả vi Fréchet trên Ω. Đặt M = {x ∈ Ω : g(x) = 0}. Giả sử có a ∈ M sao cho f(a) là một cực trị của f(M) và Dg(a) không đồng nhất 0. Khi đó có một số thực λ sao cho Df(a) = λDg(a). [...]...Chương 2 Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp Trong chương mở đầu này, ta trình bày một số khái niệm và ý tưởng chính của phương pháp biến phân và đặc biệt là phương pháp biến phân trực tiếp 2.1 Ý tưởng cơ bản Giả sử rằng ta đang làm việc trên một không gian Banach (E, ), M là tập con mở của E và ta muốn tìm lời giải của phương trình F (u) = 0, (2.1) trong đó F là một ánh xạ từ M vào... xét các phi m hàm có dạng sau J(w) = L(Dw(x), w(x), x)dx (2.3) Ω với w : Ω → R là hàm trơn, có giá trị trên biên được cho trước: w = g trên ∂Ω (2.4) Giả sử rằng u là một hàm trơn thỏa (2.4) và cực tiểu J trong số các hàm w thỏa (2.4) Khi đó ta sẽ chứng minh rằng u là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng phi 2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 9 tuyến mà ta gọi là phương trình Euler-Lagrange... (regular 7 2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 8 value) Như ta đã biết, nếu J đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại u0 thì DJ(u0 ) = 0, tức u0 là một nghiệm của (2.1) Như vậy, ta có thể đưa việc nghiên cứu lời giải của (2.1) về việc nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (cực đại) của phi m hàm J Đây chính là nội dung của phương pháp biến phân trực tiếp Phương pháp này hữu hiệu trong việc chứng... gian các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Nếu tồn tại một phi m hàm J khả vi theo hướng trên M sao cho DJ = F thì ta nói phương trình (2.1) có dạng biến phân và gọi (2.1) là phương trình EulerLagrange liên kết với phi m hàm J Trong trường hợp này, ta viết phương trình 2.1 lại dưới dạng DJ(u) = 0, (2.2) tức là u là nghiệm của (2.1) khi và chỉ khi u là điểm tới hạn (critical point) của phi m hàm J Ta gọi β... vì vậy phương trình Euler-Lagrange liên kết với phi m hàm N J(u) = Ω là 1 ai,j (x)uxi uxj − uf dx 2 i,j=1 N ai,j (x)(uxi )xj = f − (2.7) i,j=1 Ta thấy (2.7) là phương trình tuyến tính cấp hai dạng divergence Ví dụ 2.3 Cho một hàm trơn f : R → R, định nghĩa nguyên hàm của nó bởi F (z) = z 0 f (x)dx Khi đó, phương trình Euler-Lagrange liên kết với phi m hàm J(w) = Ω 1 | w|2 − F (w)dx 2 là phương trình. .. rằng v có giá compact trong Ω, ta thu được N − Ω (Lpj (Du, u, x)xj + Lz (Du, u, x) vdx = 0 j=1 Đẳng thức trên đúng với mọi hàm v trơn nên ta suy ra u là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng có cấu trúc divergence sau: N − (Lpj (Du, u, x)xj + Lz (Du, u, x) = 0 (2.5) j=1 Đây chính là phương trình Euler-Lagrange mà ta cần tìm Ta nêu ra một số ví dụ về phương trình dạng biến phân Trong các ví dụ sau, ta... chặn trong RN Ví dụ 2.1 (Nguyên lý Dirichlet) Xét 1 L(p, z, x) = |p|2 2 Khi đó Lpi = pi , Lz = 0, vì vậy phương trình Euler-Lagrange liên kết với phi m hàm J(w) = Ω 1 |Dw|2 dx 2 chính là phương trình Laplace: ∆u = 0 (2.6) 2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 10 Ví dụ 2.2 (Nguyên lý Dirichlet mở rộng) Cho (ai,j (x))1≤i,j≤N là ma trận thực đối xứng với mọi x ∈ Ω và f là một hàm thực trên... nghiệm "yếu" của nghiệm phương trình đạo hàm riêng, sau đó ta cần lý thuyết chính qui hóa, để nếu có thể, chứng minh nghiệm "yếu" thu được cũng là nghiệm "cổ điển" của bài toán 2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange Giả sử Ω là một miền mở, bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn Ta xét một lớp các bài toán biến phân thường gặp sau đây Cho trước hàm L : RN × R × Ω → R ta gọi L là hàm Lagrange Ta sẽ... cực tiểu và ứng dụng 3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phi m hàm Trong phần này, ta nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu địa phương của các phi m hàm và đưa ra những điều kiện đủ để một phi m hàm bị chặn dưới và đạt được cực tiểu của nó Các kết quả này không đòi hỏi đến tính khả vi của phi m hàm cũng như những điều kiện nghiêm ngặt về cấu trúc không gian nền của các hàm chấp nhận được Định lý 3.1 Cho M là một không... (x, ) là hàm lồi với mọi x ∈ Ω 3.5 Một kết quả tổng quát về sự nửa liên tục dưới Ta thấy rằng sự nửa liên tục dưới yếu của phi m hàm E đóng vai trò quan trọng để đảm bảo sự tồn tại của cực tiểu Trong phần này, ta chứng minh một định lý về sự nửa liên tục dưới yếu cho một lớp rất rộng các phi m hàm trong tính toán biến phân Định lý 3.7 Cho Ω là miền trong Rn , giả sử F : Ω × RN × RnN → R là hàm Caratheodory . giả học được một số kĩ thuật cơ bản của phương pháp biến phân trực tiếp trong phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là đưa một một phương trình về dạng biến phân, sau đó áp dụng các định lý tồn tại. của phi m hàm J. Đây chính là nội dung của phương pháp biến phân trực tiếp. Phương pháp này hữu hiệu trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm "yếu" của nghiệm phương trình đạo hàm riêng, sau. HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp Chuyên ngành Giải Tích PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN QUANG HUY GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : GS.TS