BÁO CÁO THỰC TẬP-PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

Xét về mặt cấutrúc, các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đã được nghiên cứu khá kĩ lưỡng.Tuy nhiên, sự hiểu biết của chúng ta về các bài toán phi tuyến còn rất hạn chế.. Mục đích củ

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN QUANG HUY

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : GS.TS DƯƠNG MINH ĐỨC GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN : GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2012

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, tôi xin dành lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa Toán học đã giảng dạy chotôi suốt bốn năm đại học Đặc biệt là các thầy Đặng Đức Trọng, Huỳnh Quang Vũ,Nguyễn Thành Long đã dành cho tôi nhiều sự quan tâm Và lời cảm ơn sâu sắc nhấtxin được gửi đến GS Dương Minh Đức, người thầy đã dạy tôi từ ngày học đầu tiên,

đã truyền cho tôi niềm yêu Toán, hướng dẫn tôi từ những bước đầu tiên trong học

và nghiên cứu Toán Cảm ơn thầy vì đã bỏ nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoànthành tiểu luận tốt nghiệp này

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS Đặng Đức Trọng, người thầy luôn giúp

đỡ, động viên tôi và đã nhận lời làm phản biện cho tiểu luận

Sau cùng, tôi muốn cảm ơn gia đình và những người bạn đã bên tôi, ủng hộ, giúp

đỡ tôi mặt này, mặt khác trong học tập và cuộc sống

Thành phố Hồ Chí Minh ngày 2 tháng 7 năm 2012

Nguyễn Quang Huy

Trang 3

LỜI GIỚI THIỆU

Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành đã và đang phát triển mạnh

mẽ, đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng Xét về mặt cấutrúc, các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đã được nghiên cứu khá kĩ lưỡng.Tuy nhiên, sự hiểu biết của chúng ta về các bài toán phi tuyến còn rất hạn chế Đốivới các phương trình phi tuyến, dựa vào đặc điểm của mỗi lớp phương trình, người

ta đưa ra một phương pháp hữu hiệu đặc trưng để giải chúng Trong số đó, phươngpháp biến phân là một công cụ mạnh, đạt được nhiều kết quả sâu sắc Mục đích củatiểu luận này là trình bày về một phương pháp cụ thể trong phép tính biến phân, đó

là phương pháp biến phân trực tiếp Cụ thể, các nội dung chính của tiểu luận được

bố cục như sau:

• Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp: trong phần này, tác giả trình bày

về ý tưởng chính của phương pháp biến phân trực tiếp: đưa một bài toán giảiphương trình về một bài toán cực trị Sau đó, đưa ra "cấu trúc biến phân" chomột lớp rộng các bài toán thường gặp và sau cùng là các ví dụ minh họa

• Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng: trong phần này, tác giả trình bàyhai định lý về sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm Sau đó, áp dụng các định lýnày để giải các bài toán như sau: phương trình elliptic suy biến, bài toán phânhoạch cực tiểu siêu mặt, bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann, bàitoán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace, bài toán biên elliptic nửatuyến tính

Nội dung chính của tiểu luận được trình bày dựa vào các tài liệu [Ev97] và [St96]đặc biệt là [St96], một quyển sách chuyên khảo nổi tiếng về phép tính biến phân củatác giả Michael Struwe Công việc chủ yếu của tác giả tiểu luận là đọc hiểu, trìnhbày chi tiết một số kết quả, chứng minh trong chương 1, quyển [St96] Qua tiểu luậnnày, tác giả học được một số kĩ thuật cơ bản của phương pháp biến phân trực tiếptrong phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là đưa một một phương trình về dạng biếnphân, sau đó áp dụng các định lý tồn tại cực tiểu để chứng minh sự tồn tại nghiệm;

Trang 4

ngoài ra còn có kĩ thuật áp đặt ràng buộc để đưa về trường hợp mẫu mực Dù đã rất

cố gắng trong quá trình đọc hiểu cũng như trong khâu trình bày nhưng tiểu luận hẳnvẫn còn những sai sót không tránh khỏi Tác giả mong nhận được sự nhận xét, đónggóp từ các thầy và các bạn để tiểu luận này được hoàn thiên hơn

Trang 5

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev 2

1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 4

2 Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp 7 2.1 Ý tưởng cơ bản 7

2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 8

3 Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng 11 3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 11

3.2 Phương trình elliptic suy biến 16

3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt 20

3.4 Bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann 24

3.5 Một kết quả tổng quát về sự nửa liên tục dưới 31

3.6 Bài toán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace 36

3.7 Bài toán biên elliptic nửa tuyến tính 38

1

Trang 6

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng sẽ được sửdụng trong trong các phần tiếp theo của tiểu luận

1.1 Không gian Sobolev

Cho Ω ⊂ RN là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞

Định nghĩa 1.1. Ta định nghĩa không gian Sobolev W1,p(Ω) bởi

W1,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω) |uxi ∈ Lp(Ω) , i = 1, , N } (1.1)Trong đó, ta kí hiệu k.kp là chuẩn thông thường trong không gian Lp(Ω) với

!1pnếu 1 ≤ p < ∞và

kuk1,∞= max {kuk∞, kux1k∞, kux2k∞, , kuxNk∞} nếu p = ∞

là không gian Banach W1,p(Ω) phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < ∞ Hơn nữa, W1,2(Ω)

là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng sau đây

Trang 7

1.1 Không gian Sobolev 3

(Xem Mệnh đề 9.1, [Br10])

Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử 1 ≤ p < ∞ và Ω bị chặn Khi đótồn tại một hằng số C = C(Ω, p) sao cho

kukp ≤ Ck∇ukp, ∀u ∈ W01,p(Ω)

Đặc biệt, k∇ukp là một chuẩn trong W01,p(Ω) và nó tương đương với chuẩn kuk1,p.(Xem Hệ quả 9.19, [Br10])

Định lý 1.3. Cho f là hàm trơn từng khúc trên R với f0 ∈ L∞

(i) H1,p(Ω) là đầy đủ hóa của {u ∈ C1(Ω) : kuk1,p < ∞} trong W1,p(Ω)

(ii) W01,p(Ω) là đầy đủ hóa của Cc∞(Ω) trong W1,p(Ω)

Định lý 1.4. (Meyers và Serrin) Với 1 ≤ p < ∞ thì H1,p(Ω) = W1,p(Ω)

Do kết quả này, ta sẽ sử dụng không phân biệt H1,p(Ω) và W1,p(Ω) nếu 1 ≤ p < ∞.Đôi khi ta kí hiệu H01,p(Ω) thay cho W01,p(Ω) Với p = 2, ta thường kí hiệu H1(Ω)thay cho W1,2(Ω) và H01(Ω) thay cho W01,p(Ω)

Định lý sau đây đóng vai trò cực kì quan trọng trong lý thuyết về không gian Sobolevcũng như trong phương trình đạo hàm riêng:

Trang 8

Định lý 1.5. (Rellich-Kondrakov) Giả sử Ω mở, bị chặn và thuộc lớp C1 Khi đó,

(Xem Định lý 9.16, [Br10])

1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn

(Xem chương 7, [Duc05])

Trong phần này, ta qui ước (E, k, kE), (F, k.kF) là các không gian định chuẩn và

D là một tập mở trong E

Định nghĩa 1.3. Cho f là ánh xạ từ D vào F , e là một vector trong E và x ∈ D

Ta nói

(i) f có đạo hàm riêng theo hướng e tại x là ∂f

∂e(x) nếu và chỉ nếu

(ii) f khả vi theo hướng tại x nếu f có đạo hàm riêng theo hướng theo mọi hướng tại

x và tồn tại ánh xạ tuyến tính Df (x) từ E vào F sao cho

∂f

∂e(x) = Df (x)(e), ∀e ∈ E

(iii) f khả vi theo hướng trên D nếu f khả vi theo hướng tại mọi điểm x ∈ D.(iv) f khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại x và Df (x) liên tục

(v) f khả vi Gâteaux trên D nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ D

Trang 9

(vi) f khả vi Fréchet tại x nếu có một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B(0, δ) trong Evào F sao cho B(x, δ) ⊂ D, limh→0φ(h) = 0 và

f (x + h) − f (x) = Df (x)(h) + khk φ(h), ∀h ∈ B(0, δ)

(vii)f khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ D

(viii) f liên tục khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet trên D và ánh xạ

x 7→ Df (x) liên tục từ D vào L(E, F ), không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ

E vào F

Định lý 1.6. Cho f, g là 2 ánh xạ từ D vào F và cho α ∈ R Giả sử f và g khả

vi Gâteaux (lần lượt Fréchet) tại một điểm x ∈ D Lúc đó f + g và αf khả vi Gâteaux(lần lượt Fréchet) tại x Hơn nữa,

D(f + g)(x) = Df (x) + Dg(x) và D(αf )(x) = αDf (x)

Định nghĩa 1.4. Cho f là một ánh xạ từ tập con A của E vào R và a là một

điểm trong A Ta nói

(i) f đạt cực tiểu (lần lượt cực đại, cực trị) tại a nếu f (x) ≥ f (a) (lần lượt f (x) ≤ f (a),

f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại a) với mọi x ∈ A Lúc đó a được gọi là một cực tiểu(lần lượt cực đại, cực trị) của f trên A

(ii)f đạt cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương, cực trị địa phương) tại anếu có một số thực dương r sao cho f (x) ≥ f (a) (lần lượt f (x) ≤ f (a), f đạt cực đạiđịa phương hoặc cực tiểu địa phương tại a) với mọi x ∈ A ∩ B(a, r) Lúc đó a đượcgọi là một cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương , cực trị địa phương) của

f trên A

(iii) a là một điểm tới hạn của f nếu A mở, f khả vi theo hướng tại a và Df (a)(h) = 0với mọi h trong E

Định lý sau cho ta một điều kiện cần để một điểm là điểm cực trị

Định lý 1.7. Cho f là hàm số thực trên tập con mở D của E và đạt cực trị địaphương tại a ∈ D và cho h là một vector trong E Khi đó nếu f khả vi theo hướng htại a thì ∂f

∂h(a) = 0.

Trang 10

Định lý sau là một công cụ hữu ích trong phương trình đạo hàm riêng

Định lý 1.8. (Nhân tử Lagrange) Cho Ω là một tập mở trong không gian địnhchuẩn E và f, g là hai hàm số liên tục khả vi Fréchet trên Ω Đặt M = {x ∈ Ω :g(x) = 0} Giả sử có a ∈ M sao cho f (a) là một cực trị của f (M ) và Dg(a) khôngđồng nhất 0 Khi đó có một số thực λ sao cho

Df (a) = λDg(a)

Trang 11

trong đó F là một ánh xạ từ M vào L(E, F ), không gian các ánh xạ tuyến tính từ

E vào F Nếu tồn tại một phiếm hàm J khả vi theo hướng trên M sao cho DJ = Fthì ta nói phương trình (2.1) có dạng biến phân và gọi (2.1) là phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm J Trong trường hợp này, ta viết phương trình 2.1lại dưới dạng

tức là u là nghiệm của (2.1) khi và chỉ khi u là điểm tới hạn (critical point) của phiếmhàm J Ta gọi β ∈ R là một giá trị tới hạn (critical value) của J nếu tồn tại u ∈ Esao cho DJ (u) = 0 và J (u) = β Ngược lại, ta nói β là một giá trị chính qui (regular

7

Trang 12

value) Như ta đã biết, nếu J đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại u0 thì DJ (u0) = 0,tức u0 là một nghiệm của (2.1) Như vậy, ta có thể đưa việc nghiên cứu lời giải của(2.1) về việc nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (cực đại) của phiếm hàm J Đây chính

là nội dung của phương pháp biến phân trực tiếp Phương pháp này hữu hiệu trongviệc chứng minh sự tồn tại nghiệm "yếu" của nghiệm phương trình đạo hàm riêng,sau đó ta cần lý thuyết chính qui hóa, để nếu có thể, chứng minh nghiệm "yếu" thuđược cũng là nghiệm "cổ điển" của bài toán

2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange

Giả sử Ω là một miền mở, bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn Ta xét một lớp các bàitoán biến phân thường gặp sau đây Cho trước hàm

Trang 13

tuyến mà ta gọi là phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm J Lấy v làmột hàm trơn bất kì, i.e, v ∈ Cc∞(Ω) Xét hàm biến số thực sau

Đẳng thức trên đúng với mọi hàm v trơn nên ta suy ra u là nghiệm của phương trìnhđạo hàm riêng có cấu trúc divergence sau:

Đây chính là phương trình Euler-Lagrange mà ta cần tìm

Ta nêu ra một số ví dụ về phương trình dạng biến phân Trong các ví dụ sau, ta giả

sử Ω là một miền mở, bị chặn trong RN

Ví dụ 2.1. (Nguyên lý Dirichlet) Xét

L(p, z, x) = 1

2|p|2.Khi đó Lp i = pi, Lz = 0, vì vậy phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm

Trang 14

Ví dụ 2.2. (Nguyên lý Dirichlet mở rộng) Cho (ai,j(x))1≤i,j≤N là ma trận thực đốixứng với mọi x ∈ Ω và f là một hàm thực trên Ω Đặt

N

X

i,j=1

ai,j(x)uxiuxj − uf dxlà

Ta thấy (2.7) là phương trình tuyến tính cấp hai dạng divergence

Ví dụ 2.3. Cho một hàm trơn f : R → R, định nghĩa nguyên hàm của nó bởi

J (w) =

Z

Ω

(1 + |Dw|2)12dxchính là diện tích của đồ thị hàm w : Ω → R Và phương trình Euler-Lagrange liênkết là

Trang 15

Chương 3

Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng

3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm

Trong phần này, ta nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu địa phương của các phiếm hàm

và đưa ra những điều kiện đủ để một phiếm hàm bị chặn dưới và đạt được cực tiểucủa nó Các kết quả này không đòi hỏi đến tính khả vi của phiếm hàm cũng nhưnhững điều kiện nghiêm ngặt về cấu trúc không gian nền của các hàm chấp nhậnđược

Định lý 3.1. Cho M là một không gian topo Hausdoff và giả sử E : M →

R ∪ {+∞} thỏa mãn:

Với mỗi α ∈ R, tập mức dưới

là tập compact

Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt được cực tiểu của nó trên M

Chú ý 3.1. Sự cần thiết của (3.1) được làm rõ bởi các ví dụ đơn giản sau: hàm

số E(x) = x2 nếu x ∈ [−1, 1] \ {0}, = 1 nếu x = 0 hay hàm E(x) = exp(x) trên R lànhững hàm bị chặn dưới nhưng không có giá trị nhỏ nhất Để ý với trường hợp thứ

11

Trang 16

3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 12

E(unk) > E(u) − 1, ∀k ≥ k0.Cho k → ∞ ta có E(u) = −∞, vô lý

2 Chứng minh E đạt min trên M

Đặt a = infME ∈ R, lấy dãy (vn) trong M sao cho

lim

n→∞E(vn) = a

Cố định một b > a thì tồn tại n0 sao cho

E(vn) ≤ b, ∀n > n0,hay vn ∈ Kb, ∀n > n0 Vì Kb compact nên (vn) có một dãy con hội tụ về một điểm vtrong Kb Với c bất kì lớn hơn a thì dãy con nói trên sẽ nằm hẳn trong Kc từ một chỉ

Trang 17

số nào đó trở đi nên v cũng là điểm dính của Kc, do đó nằm trong Kc(do Kc đóng).Vậy

(i) Nếu E thỏa mãn đều kiện (3.1) thì khi đó với mọi β, tập Kβ = {u ∈ M : E(u) > β}

mở nên E nửa liên tục dưới

(ii) Định lý 3.1 trên vẫn đúng với điều kiện giảm nhẹ hơn như sau: tồn tại β0 sao cho

Kβ 0 6= ∅ và Kβ compact ∀β ≤ β0 Thật vậy, với mọi β < α := infME thì Kβ = ∅,nên ta phải có β0 ≥ α Nếu β0 = α thì E đạt cực tiểu tại bất kì u0 ∈ Kα = Kβ0 6= ∅.Xét trường hợp β0 > α, khi đó ta có thể dùng lại chứng minh trên với K0 trong phần

1 được thay bởi Kβ0 và (3.2) được thay bởi

Trang 18

Định lý 3.2. Giả sử V là không gian Banach phản xạ với chuẩn k.k và M ⊂ V

là một tập đóng yếu trong V Giả sử E : M → R ∪ {+∞} coercive và nửa liên tụcdưới yếu (theo dãy) trên M , tức là các điều kiện sau được thỏa:

(i) E(u) → ∞ khi kuk → ∞,

(ii) Với mọi u ∈ M và dãy un+ u yếu trong V , (un) ⊂ M thì

E(u) ≤ lim inf

n→∞ E(un)

Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt cực tiểu của nó trên M

Chứng minh Ta giả thiết E không đồng nhất +∞

Vậy (un) bị chặn, mà V phản xạ nên tồn tại một dãy con (unk) sao cho unk + u ∈ V

Vì M đóng yếu nên u ∈ M Do (ii) ta có

E(u) ≤ lim inf

k→∞ E(unk) = −∞,

Do đó E(u) = −∞, mâu thuẫn với giả thiết E : M → R ∪ {+∞}

Trang 19

2 Chứng minh E đạt min trên M

Đặt a = infME và dãy (un) trong M sao cho

Vậy E(u) = a, tức là E đạt giá trị nhỏ nhất tại u

Nhận xét rằng định lý trên vẫn đúng nếu ta thay (ii) bởi điều kiện :Với mọi u ∈

M và mọi dãy (un) ⊂ M , un+ u yếu trong V thì tồn tại dãy con (unk) thỏa

E(u) ≤ lim inf

k→∞ E(unk)

Ví dụ 3.1. Một ví dụ quan trọng về hàm nửa liên tục dưới yếu là hàm chuẩn trong

V Thật vậy, nếu un + u trong V thì với mọi f ∈ V0, không gian đối ngẫu của V , tacó

|hf, uni| ≤ kf kkunk,Qua giới hạn khi n → ∞ ta suy ra

|hf, ui| ≤ kf k lim inf

Tập lồi đóng của không gian Banach là ví dụ quan trọng về tập đóng yếu

Ta trình bày một ứng dụng của Định lý 3.2 trong lý thuyết tối ưu Trước hết ta

Trang 20

Hệ quả sau cho ta đều kiện đủ để một tập là gần kề:

Hệ quả 3.1. Mọi tập lồi, đóng, khác trống trong không gian Banach phản xạ làgần kề

Chứng minh Giả sử V là không gian Banach phản xạ, K là tập lồi, đóng, khác trốngtrong V Cho x0 ∈ V , ta xét hàm E : K → R, xác định bởi

3.2 Phương trình elliptic suy biến

Định lý 3.3. Cho Ω là miền bị chặn trong Rn, p ∈ [2, ∞) và q là số mũ liênhợp của p, tức là 1

Trang 21

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây

|∇u|p−2∇u.∇φdx, ∀u, φ ∈ V

Chứng minh Cố định u ∈ W01,p(Ω), ta chứng minh h khả vi Fréchet tại u Đặt

Ω

Z 1 0

I(φ)kφkV = 0 Từ đó, ta kết luận h khả vi Fréchet tại u và Dh(u)(φ) =

T (φ)

Trang 22

Bây giờ ta chứng minh Dh liên tục trên V Thật vậy, lấy u, v, φ ∈ V với kφkV ≤ 1,

áp dụng bất đẳng thức Holder và công thức Taylor ta được

|Dh(u + v)(φ) − Dh(u)(φ)| = p

Z

Ω

|∇(u + v)|p−2∇(u + v) − |∇u|p−2∇u ∇φdx

≤ p

Z

Ω

... class="text_page_counter">Trang 23

Đặt

E(u) = 1

pZ

Vậy E(u) → ∞ kukW1,p... v)|p−2∇(u + v) − |∇u|p−2∇u

p p−1dx

trong C1, C số thích hợp, khơng phụ thuộc vào u, v

Lại áp dụng bất đẳng thức Holder

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	398,53 KB