Luận văn thạc sĩ phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

Bài toán ngược của bài toán sai sổ...29 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.... sử dụng phổ biến nhất.Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa b

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG

Chuyền ngành: Toán Giải tích

Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015

hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người

đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN 3

1.1 Sai phân 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tỉnh chất của sai phân 5

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Nghiệm 9

1.3 Tuyến tính hoá 21

1.4 Sai s ố 25

1.4.1 Định nghĩa 25

1.4.2 Quy tắc làm tròn 26

1.4.3 Sai số tỉnh toán 27

1.4.4 Bài toán ngược của bài toán sai sổ 29

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31

2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic 31

2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31

2.1.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoả bài toán biên Dirichlet 31

2.2 Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic 46

2.2.1 Bài toán biên của phương trình Parabolic 46

2.2.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoả bài toán (2.45), (2.46) ! 47

2.3 Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic 57

! ! 58

CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH 61

Ví du 3.1 Giải bài toán: 61•

Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet 64

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 68

Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic: 69

Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 72

Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

sử dụng phổ biến nhất.

Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng

Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy và học toán Và một trong những công cụ hữu hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple

Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐỦNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiền cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Các kiến thức cơ bản về sai phân

- ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàmriêng

4 Đổi tượng và phạm vi nghiền cứu

Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiền cứu

Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm riêng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN 1.1 Sai phân

Xét dãy số {xn}; dạng khai triển của nó là:

{ *0, X 1 > x 2> ■■■ > x n> ■■■ }•

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là N có dạng

dãy số nguyên dương z + có dạng {n} = {1,2, , n , }; dãy số điều hoà

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai

phân hữu hạn cấp k là sai phân cấp k, còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn, và nói chung, sai phân cấp k của hàm x nlầ sai phân của sai phân cấp k — 1 của hàm số đó.

Như yậy, sai phân cấp 2 của hàm x n là

Nói chung, sai phân cấp k của hàm x n là

Akxn = A(Ak~1x n') = Ak~1x n+1 - Ak~1x n =

1.1.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của

í - ư c lk x n + k + l - i + Ỵ j í ~ Ư C lk ~ 1 x n + k + l - i + ( - l ) k + 1 * n

Ak+Ixn = Y

+ í - l ) k+1xn = k

As+1n m = A(Asn m) = As (n + l ) m - Asn m = APm_s(n) = Pm_s_i(n)

2 Khi k = m, theo chứng minh trên ta có

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến

tính giữa sai phân các cấp:

trong đó, x n hiểu là sai phân cấp 0 của hàm x n; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.

Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây tương đương với định nghĩal.2.1, nhưng thuận tiện hơn

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x n là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x n tại các điểm khác nhau:

( 1.2)

trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm x n, xác định trên lưới có bước lưới h; aũtal t ,a k với a 0 ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của 71, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm

số của 71, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì

để tính được tất cả các giá trị x n, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của x n, rồi tính các giá trị còn lại của x n theo công thức truy hồi.

Định nghĩa 1.2.3 Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân

Hàm số x n phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng

quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu X Q, x l t ,x k_1 , ta đều xác định được duy nhất các tham số C1, c2, , c k để nghiệm x n trở thành nghiệm

riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn X Q = X q , ^ = x l t , x k_1 = x k_1.

Định lí 1.2.1 Nghiệm tổng quát x n của (1.2) bằng tổng x n và Xn, với Xn

là một nghiệm riêng bất kì của (1.2)

Chứng minh Thật yậy, giả sử xn và Xn là 2 nghiệm của (1.2), tức là

(1.3), tức là từ hệ thức

^1^-nl c2x n2 + ■■■ + Cikx nk = 0

suy ra c± = c2 = ••• = ck = 0, thì nghiệm tổng quát xn của (1.3) có dạng

x n = Clxnl T" C2Xn2 + ••• + Cík xnk,

trong âỏc1,c2, ,ck là các hằng số tuỳ ý

Chứng minh Theo tính chất tuyến tính của Lh, ta có

Lhx n Lh ^ ' Cị x nị ^ ' Cị Lhx ni

0

vì theo giả thiết x ni là nghiệm, tức là Lhx ni = 0.

Vậy xn là nghiệm của (1.3).

Giả sử, x 0, x lt ,xk_1 là các giá trị ban đầu tuỳ ý Ta chứng minh rằng,

x n = CĂn vào (1.3) và ước lược cho CĂn ^ 0 ta được

L ị ị À — CL q À + CLXÀ + ••• + CLk — 0 (1.4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta

cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)) Nghiệm x n của (1.3) và Xn

của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4)

I.2.2.I Nghiệm tổng quát xn

Định lý 1.2.3 Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là Ai,¿2, ,Ẫk thì nghiệm tổng quát x n của (1.3) có dạng

k

x n = CXẰ1 + C2Ằ 2 + — f clk 4 = ^

i=1 trong đó Cị, i = 1, , k là các hằng số tuỳ ý

Neu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm thực Ăj bội s, thì ngoài

nghiệm Xj, ta lấy thêm các vectơ bổ sung n X j,n 2Xj, ,n s~1Ăj, cũng là các

nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó

có các nghiệm Ảị = 2 (kép) và /l2 = 3 Đối với Ạ]_ = 2 (kép) ngoài nghiệm

XI = 2n, ta bổ sung thêm nghiệm nXf = n2n và được nghiệm tổng quát là

x n = (Cỉ + c ịn ) 2 n + c 2 3n trong đó c \, c ị, c2 là các hằng số tuỳ ý.

Neu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm phức

Ăị = CL + bi = r(cos<p + isimp) ,

trong ầỏ r = \Ảị \ = Va2 + b2, (Ọ = acgumenĂị, có nghĩa \ầtg<p = — , thì (1.4) cũng có nghiệm liên hợp phức Ăt = CL — bi = r(cos<p — isin(p) Khi đó

ta có Ăỹ = r n (cosn(p + isinnq)); Ă™ = r n (cosn(p — isinnạ}) là các nghiệm

của (1.3)

Ta lấy x\ \j = - [Xị + Ăj n) = r ncosn<p

r ncosn<p, Ăj1 — r n sinnq) ta cần lấy thêm 2n — 2 vectơ nghiệm bổ sung

Ăj2 = r nncosnq),Ăj3 = r nn 2cosn(p, .,Ảjs = r nn s~1cosn<p

Ăj 2 = r nnsinrưp,Ăj3 = r nn 2sinnự), ,ẢjS = r un s~1sinn(p

trong đó Ci,A 1,A 2, ,A s ,B 1,B 2, ,B s là các hằng số tuỳý.

Ví dụ: Phương trình sai phân

Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng Xn của phương trình sai phân

tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm đơn giản hơn và

nhanh hơn Các dạng đặc biệt này của x*n là chuyển tương ứng từ các dạng

đặc biệt của phương trình vi phân thường Để xác định các tham số trong các

dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là phương pháp chọn).

a Trường hợp f n là đa thức bậc m của n; m e N

fn = Pm (rO' m e N

1 Nếu các nghiệm Ấy,Ẳ 2 , —,Ảk là các nghiệm thực khác 1 của phương

trình đặc trưng (1.4), thì

x n = Qm(.n)> m e N Qm(n) là đa thức cùng bậc m với f n.

2 Nếu có nghiệm /1 = 1 bội s, thì

x n = n s Qm(n)> m e N trong đó Qm (n) là đa thức của 71 cùng bậc m với f n.

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng Xn của các phương trình sai phân:

Đe xác định a và b, ta thay Xn vào phương trình sai phân rồi so sánh các

hệ số của các luỹ thừa của 71 ở 2 vế:

a(n + 3) + b — 1 [a(n + 2) + b] + 16[a(n + 1) + b] — 12 (an + b)

với hệ số tự do ta có

5a 2Ồ = 1 => ồ =

-4Vậy

* í = ĩ B 4

-2 Phương trình đặc trưng /l4 — /l3 — 3/ỉ2 + 5/1—2 = 0, có các nghiệm

Ảy = 1 (bội 3) và Àz = - 2 , nên do f n = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm nghiệm Xn = n 3 a.

Thay X* vào phương trình sai phân, ta được

a(n + 4 )3 - a(n + 3)3 - 3a(n + 2)3 + 5a(n + l ) 3 - 2an 3 = 1.

Vì 2 đa thức bằng nhau, khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối số,

nên cho n = 0, ta được 18a = 1 => a = Yg Vậy x*n = ĩg •

b Trường hợp fn = Pm (n)Pn, trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n;

m e N.

1 Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm

thực khác /?, thì Xn có dạng

* ; = Qm (n)/?n, trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc với f n.

2 Nếu (1.4) có nghiệm Ả = (ỉ bội s, thì tìm Xn dưới dạng

Xn = n sQm (n )p n, trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc với f n.

Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không

thuần nhất sau đây:

7

c Trường hợp f n = acosnx + Ịỉsinnx với a, p là hằng sổ

Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng

Xn = acosnx + bsinnx

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:

Thay X* vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được

[(2 - ypĩ)a — 2b]cos — + + [2a + (2 - V2)b]sin — =

d Trường hợp fn = fn l + fn 2 + - +

fns-Trong trường họp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni,i =

1,2, Nghiệm riêng Xn ứng với hàm f n sẽ là Xn = Xni + x *2 + +

X n s , do tính tuyến tính của phương trình sai phân

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:

X.n+4 ^ x n+3 4" 3x ■ n+2 3x n + 1 +2xn

Thay vào phương trình sai phân ứng với

sau khi thu gọn ta được

Do /L2 = 2, nên nghiệm riêng * * 2 ứng với f n2 có dạng

z*2 = an 2n.

Thay vào phương trình sai phân ứng với f n2:

%n+ 4 ^^n+3 4" 3^n+2 3xn+ị +2xn 10 2sau khi ước lược cho 2n > 0 ta được

Trong công thức lặp x n = (p(xn_1,x n_2, ,xn_k') để giải phương trình

f { x ) = 0 Các giá trị ban đầu X 1 = al t x 2 = a2, ,x k = a k thuộc đoạn ta

xét Giả sử rằng phương trình sai phân x n = (p(xn_1,x n_2, , x n_k) là tuyến tính hoá được, khi đó điều kiện cần là tồn tại các số alt a2, , ak để

là dạng tuyến tính hoá của x n = (p{xn_1, xn_2, , x n_k).

Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp

Giả sử công thức đúng với n = k, tức là x k = A:Xk_1 — x k_2.

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là

Thậy vậy, từ hệ thức đã cho ta có

- Đại lượng A= \a — a* I được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung ta không biết a* nên không biết A Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dưong Aa > 0 sao cho

- Số Aa nhỏ nhất thoả mãn điều kiện \a — a*\ < Aa gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

\a — a* \ < Aa

chữ số Nếu s = +00, a là số thập phân vô hạn.

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải trong biểu diễn của a

để được một số ã ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.

Nếu ỊẲ = 0.5 X 10J thì ßj = ßj nếu ßj là chẵn và ßj = ß j+1 nếu ßj lẻ

Ví dụ: Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y = f { x lf x 2, , x n).

Giả sử x*ị, y* (i = 1, n ) là các giá trị gần đúngcủa các đối số và hàm số

và chữ số chắc cuối cùng của x m ở hàng thứ k, nghĩa là ầ x m = 10k Ta có

ầ y > ầxm = 10k, vì yậy khi làm phép toán cộng đại số khi ta thu gọn Xị nên giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k.

Trường họp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là ly I « 1 thì

1,

do đó kết quả tính không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì nên lấy các

số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

b Sai số của các phép tỉnh nhân chia

suy ra

n

i=1 ổXị

l<i<n

ta thấy ổy > do đó ỵy < /c Vì yậy khi làm các phép tính trung gian để

tính y, chỉ cần lấy k + 1, k + 2 chữ số là đủ.

c Sai số của các phép luỹ thừa, khai căn, nghịch đảo

Cho y = Xa, khi đó Sy = I ^ -ln y lA z = \a\Sx

- Nếu a > 1 ta có phép luỹ thừa, khi đó Sy > Sx, do đó độ chính xác

1.4.4 Bài toán ngược của bài toán sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y = f { x 1, , x m) Yêu cầu đặt ra là cần tính ầXị như thế nào để A y < £, với £ là số cho trước.

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có

Kết luận: Nếu các biến Xị có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy

£

khi đó ầ y < £.

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic

2.1.1 Bài toán biền Dirichlet

Cho toán tử vi phân tuyến tính cấp hai đối với hàm u(x, y)

Giả thiết 2) là để cho toán tử L thuộc loại ellip; giả thiết 3) đảm bảo tính

duy nhất cho nghiệm của bài toán Dirichlet dưới đây

Ta xét bài toán biên Dirichlet: Tìm hàm u ( x , y ) thoả mãn trên G phương

trình:

với điều kiện biên:

u (x ,y ) = q)(x,y ), ( x ,y ) trên r (2.3)

ta giả thiết f { x , y ) liên tục theo x , y trên G Với những giả thiết như trên về

a, b, c, d, g, f và r bài toán bờ (2.2), (2.3) có nghiệm duy nhất và liên tục trên

Õ.

2.1.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán bỉênDỉrỉchlet

a R ờ i rạ c h oá m iền G

Ta định trước những độ dài khá bé h và l và kẻ trên Ổ những đường thẳng xm = m h ,y n = n l; m và n là những số nguyên nào đó Các đường

thẳng ấy tạo nên một lưới chữ nhật đều Các giao điểm của các đường thẳng

ấy gọi là những điểm lưới Điểm lưới do các đường thẳng X = mh, y = nỉ tạo nên gọi là điểm mn Ta gọi các điểm m + 1, n và m, n + 1 là những điểm kề của điểm mn Ta chỉ xét các điểm lưới thuộc G và kí hiệu tập điểm ấy là ổfl Trên Ổh ta phân biệt những điểm trong, là những điểm mà cả bốn điểm kề đều thuộc Gh và những điểm biên, là những điểm của Gh mà không phải là điểm trong Ta ký hiệu tập điểm trong Gnh tập điểm biên là r h, (Gh u rh = Gh).

Công việc làm vừa kể trên gọi là

việc rời rạc hoá miền õ Nó tạo ra trên

G tập điểm rời rạc Gh Hình 2.1 cho

thấy miền Ổ đã được rời rạc hoá; các

điểm biên được đánh dấu bằng chữ in

hoa, các điểm trong bằng dấu X

' I

Dùng phương pháp sai phân, ta sẽ không tìm nghiệm u của bài toán (2.2), (2.3) trên khắp miền G, mà sẽ chỉ tìm một cách gần đúng, giá trị của u ở những điểm của Gh Ta ký hiệu nghiệm gần đúng ấy là ơ; giá trị của u , u ở điểm mn là umn, u mn Ta cũng thường dùng chữ p để chỉ một điểm trong, chữ Ọ để chỉ một điểm biên, và chỉ giá trị của u , u ở các điểm p, Q là U(P),u(P),U(Q),u(Q).

/ / \ / \ / \A

b Sai phân hoá các điều kiện biên

Đối với mỗi điểm biên Q ta căn cứ vào các điều kiện biên (2.3) mà định

u(Ọ) Nếu Ọ ở trên r, thì ta cho ngay:

Trường họp ấy thường xảy ra khi Ổ là miền chữ nhật có cạnh song song với hai trục, vì khi ấy ta dễ chọn h, l để cho các điểm biên đều ở trên r

Trường họp ấy cũng xảy ra cho các điểm A,B,C ở hình 2.1.

Nếu Ọ không ở trên r, thì ta chọn trên r điểm Q' gần nhất (hoặc khá gần)

với ọ, và lấy:

Vì nghiệm u liên tục trên G cho nên lí (ọ ) = u (Ọ ')+ ơ (h + 1), thành thử

cách lấy í/(ọ ) theo (2.5) mắc sai số:

Việc định giá trị của u trên rh, như vừa làm ở trên, gọi là sự sai phân hoá các điều kiện biên

c Lập hệ phương trình sai phân

Ta xét một điểm trong mn Theo (2.2) ở điểm ấy, u(jc,y) thoả mãn

Ta sẽ lập cho u một phương trình tương tự với (2.7) Việc ấy có thể làm

bằng nhiều cách; dưới đây là một cách thường dùng

Ta giả thiết u ( x , y) có đạo hàm liên tục theo X, y đến cấp bốn Từ các khai triển Taylor:

các đạo hàm trong Lumn bằng các vế trái tương ứng của (2.8)-(2.11) Ta gọi

biểu thức thu được như vậy là toán tử sai phân tương ứng với toán tử vi phân

L, và kí hiệu nó là Lh Ta có: