Luận văn sư phạm Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ************** Phan th chi n Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Gi i tích Ng i h ng d n khoa h c: Ts Nguy n v n hùng Hà n i - 2008 Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t L ic m n hồn thành khóa lu n này, em nh n đ c s giúp đ t n tình, t m c a Th y giáo- Ti n s Nguy n V n Hùng c ng nh th y, cô t gi i tích khoa Tốn, Tr ng i h c S Ph m Hà N i Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành sâu s c nh t đ n Th y Nguy n V n Hùng, ng trình làm khóa lu n i tr c ti p h ng d n ch b o em su t ng th i em xin chân thành c m n th y, cô giáo khoa d y d em su t b n n m qua đ em hồn thành khóa lu n B ng s n l c h t s c c a b n thân, khóa lu n đ c hồn thành Song khn kh th i gian có h n n ng l c b n thân nhi u h n ch nên khóa lu n khó tránh kh i thi u sót Em r t mong đ cs đóng góp ý ki n c a quý th y, cô b n sinh viên đ b n thân có th ti p t c hoàn thi n h n n a trình h c t p gi ng d y Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 04 n m 2008 Sinh viên: Phan Th Chi n Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t L i cam đoan Quá trình nghiên c u khóa lu n v i đ tài: “Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t’’ ®· giúp em hi u sâu s c h n v b mơn gi i tích hi n đ i, đ c bi t v ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Qua c ng b c đ u giúp em làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Bên c nh em c ng nh n đ giáo khoa, đ c bi t s h c s quan tâm, t o u ki n c a th y ng d n nghiêm kh c, t n tình c a th y Nguy n V n Hùng Vì v y, em xin cam đoan k t qu c a đ tài: “Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t’’ khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác Em r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y, b n sinh viên đĨ khóa lu n hoàn thi n h n Hà N i, tháng 04 n m 2008 Sinh viên: Phan Th Chi n Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t M cl c L ic m n L i cam đoan M cl c L im đ u Ch ng 1: Khái ni m m đ u ki n th c c s Khái ni m m đ u 1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 1.2 Nghi m c a ph 1.3 Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình đ o hàm riêng 1.4 Bài toán Cauchy Các ki n th c c s 2.1 Ph ng trình vi phân 2.2 Ph ng trình vi phân c p m t 2.3 H ph Ch ng trình vi phân 12 ng 2: Ph Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình đ o hàm riêng n tính c p m t 16 1.1 Ph ng trình đ o hàm riêng n tính thu n nh t c p m t 17 1.2 Ph ng trình đ o hàm riêng n tính khơng thu n nh t c p m t 26 Ph ng trình phi n c p m t 37 2.1 H hai ph ng trình phi n c p m t 37 2.2 Ph ng trình Pfap 40 2.3 Ph ng pháp Lagrang – Sacpi 42 Ch ng 3: Bài t p v n d ng Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t L i nói đ u C ng nh môn khoa h c khác, ph ng trình đ o hàm riêng xu t hi n c s phát tri n c a khoa h c k thu t nh ng yêu c u đòi h i c a th c t Ph n l n tốn ph ng trình vi phân đ o hàm riêng đ v n đ th c ti n nên ph c rút t ng trình vi phân đ o hàm riêng đ c coi chi c c u n i gi a toán h c ng d ng Th c t cho th y có r t nhi u d ng ph khác không t n t i m t ph ph ng trình i v i ph ng trình vi phân đ o hàm riêng ng pháp chung đ gi i t t c ng trình đ o hàm riêng nãi chung, ph trình đ o hàm riêng phi n nói riêng ch ch ng minh đ ng cs t n t i nghi m cịn vi c tìm cơng th c nghi m h i khó Tuy nhiên đ i v i ph ng trình đ o hàm riêng c p m t vi c tìm cơng th c nghi m th tn theo m t s ph ng pháp nh t đ nh Chính th em ch n đ tài: Ph tr nh đ o hàm ri ng c p m t v i mong mu n đ ph ng pháp N i dung khóa lu n g m ba ch ng ng c hi u rõ h n v ng: Ch ng 1: Khái ni m m đ u ki n th c c s Ch ng 2: Ph Ch ng 3: Bài t p v n d ng ng trình đ o hàm riêng c p m t N i dung tài li u dùng theo tài li u [1] [2] ph n tài li u tham kh o Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Ch ng Khái ni m m đ u ki n th c c s Khái ni m m đ u 1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 1.1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng nh ngh a 1.1 M t ph ng trình liên h gi a n hàm u(x1, x2,…,xn) bi n đ c l p x1, x2, …,xn đ o hàm riêng c a đ c g i ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Nó có d ng    F  x1, x2 , , xn , u,  u  ku , , k , = x1 x xnk  (1) F m t hàm c a đ i s c a C p cao nh t c a đ o hàm riêng u, có m t ph c p c a ph ng trình Ch ng h n ph  F  x, y, u,  ph ng trình đ c g i ng trình u u  , = x y  ng trình đ o hàm riêng c p m t c a hàm hai bi n 1.1.2 Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t nh ngh a 1.2 T đ nh ngh a 1.1 ta có th suy đ trình đ o hàm riêng c p m t ph  F  x1, xn , u,  ng ng trình có d ng u u u  , , , = x1 x2 xn  1.2 Nghi m c a ph Gi s có ph c r ng: Ph (1.1) ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình đ o hàm riêng c p m t (1.1) gi s mi n F xác đ nh mi n G c a không gian 2n + chi u Hàm u = u(x1, x2, …, xn) liên Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t t c v i đ o hàm riêng c p m t c a mi n D c a khơng gian n chi u đ c g i nghi m c a ph ng trình (1.1) D n u: i) V i m i (x1,x2,…,xn)  D  u u  , ,  x1, , xn ; u x1, , xn ;   G x x   n     ii) Khi thay u = u( x1, x2, …,xn) vào (1.1) ta đ c đ ng nh t th c D Thơng th ng ta tích phân ph ng trình đ o hàm riêng ta tìm đ h nghi m ph thu c vào nh ng hàm s b t kì Gi s ph c ng trình (1), u hàm bi n (n = 2): u = u(x1, x2) Khi nghi m u = u(x1, x2) s t ng ng v i m t m t cong không gian ba chi u ( x1, x2, u) M t cong g i m t cong tích phân Ch ng h n đ i v i ph x ng trình z z =0 y x y hàm z = x2 + y2 s nghi m xác đ nh v i m i x, y Nghi m đ c bi u di n b i m t paraboloit (là m t cong parabol z = y2, m t ph ng (y, z) t o lên quay quanh tr c oz) Hàm Z = F(x2 + y2) v i F kh vi liên t c b t kì c ng nghi m c a ph ng trình 1.3 Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng nh ngh a 1.3 i) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i n tính n u n u nh n tính v i n hàm t t c đ o hàm riêng c a ii) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i phi n tính n u khơng n tính iii) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i t a n tính (hay n tính) n u nh n tính đ i v i t t c hàm cao nh t c a hàm ph i tìm Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Ví d 1.1 a Ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p m t u u    x1, x2 , , xn , u    x x u  n  x1 , x2 , , xn , u   R  x1, x2 , , xn , u  xn X1  x1 , x2 , , xn , u  b Ph (1.2) ng trình đ o hàm riêng phi n c p m t P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 1.4 Bài tốn Cauchy: Tìm nghi m u =  (x1, x2, …, xn) c a ph ng trình (1.2) cho x1  x10 u =  (x1, x2, …,xn)  m t hàm cho tr c Ta có th thay vai trò x1 b ng m t bi n l i Các ki n th c c s 2.1 Ph ng trình vi phân nh ngh a ph 2.1.1 nh ngh a 2.1.1 Ph ng trình vi phân ng trình vi phân ph ng trình liên h gi a bi n đ c l p, hàm ph i tìm đ o hàm c a hàm ph i tìm Ph ng trình vi phân có d ng F(x, y, y’,…, y(n)) = (2.1) Trong x bi n đ c l p, y = y(x) đ o hàm c a hàm ph i tìm Ví d 2.1 dt  3tx   dx Ví d 2.2 y’’’ + 2x5y’’ + 4xy – = Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p 2.1.2 C p c a ph Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình vi phân nh ngh a 2.1.2 C p c a ph ng trình vi phân c p cao nh t c a đ o hàm c a hàm ph i tìm có m t ph Ví d 2.3 Ph ng trình ng trình vi phân ví d 2.2 ph ng trình vi phân c p ba 2.1.3 Nghi m c a ph ng trình vi phân nh ngh a2.1.3 Nghi m c a ph ph ng trình vi phân m i hàm th a mãn ng trình t c m i hàm kh vi cho thay vào ph ng trình tr thành đ ng nh t th c Ví d 2.4 Ph dy  y có nghi m hàm y = ce2x xác đ nh dx ng trình kho ng  ,   ( c h ng s tùy ý) ng trình vi phân c p m t 2.2.Ph 2.2.1 nh ngh a ph nh ngh a 2.2.1 Ph ng trình vi phân c p m t ng trình vi phân c p m t ph ng trình có d ng t ng quát F(x, y, y’) = (2.2) Trong hàm F xác đ nh mi n D  R3 N u mi n D, t ph ng trình (2.2) ta có th gi i đ c y’ y’ = f(x, y) ta đ c ph Trong ph (2.3) ng trình vi phân c p m t gi i đ o hàm ng trình (2.3) f m t hàm bi n, hàm xác đ nh mi n D c a không gian hai chi u nh ngh a 2.2.2 Hàm y =  (x) xác đ nh kh vi kho ng I = (a,b) đ c g i nghi m c a ph ng trình (2.2) n u a) (x,  (x),  ’(x))  D v i m i x  I b) F(x,  (x),  ’(x))  I Phan Th Chi n K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ví d 2.5 Gi i ph Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình: dy  2sin x, y(0)  dx Gi i: Ph ng trình t ng đ ng v i dy = 2sinxdx L y nguyên hàm hai v ta đ c  dy   2sin xdx  y =  2sin xdx  c  y = - 2cos x  c M t khác, ta l i có y(0) = nên suy y  2cos x  V y nghi m c a ph ng trình đ u y  2cos x  2.2.2 Bài tốn Cauchy Tìm nghi m y = y(x) c a ph ng trình (2.3) cho x = x0 y = y0 Trong x0, y0 giá tr tùy ý cho tr c mà ta g i giá tr ban đ u i u ki n nghi m ph i tìm y = y(x) nh n giá tr y = y0 x = x0 g i u ki n ban đ u kí hi u là: y(x0) = y0 ho c y x = y0 Ví d 2.6 :Xét ví d 2.5 ta th y u ki n ban đ u c a toán là: x0 = y0 = 2.2.3 nh lý v s t n t i nh t nghi m c a toán Cauchy nh lý 2.2.3 Xét ph ng trình (2.3) giá tr ban đ u (x0, y0) Gi s hàm f(x, y) f’y(x, y) xác đ nh liên t c mi n D Khi t i lân c n c a m x0 ph ng trình (2.3) t n t i nh t m t nghi m y = y(x) c a tốn Cauchy có ngh a nghi m th a mãn ph ng trình dy  f ( x, y) y(x0) = y0 dx Phan Th Chi n 10 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph  c '  y  2  c  y  ng trình đ o hàm riêng c p m t c  y y c y2 V y z  1 c   nghi m c a ph 3 x  y  2.3 Ph ng pháp Lagrang-Sacpi Xét ph ng trình (2.10) ng trình phi n F(x, y, z, p, q) = (2.12) Trong z = z(x, y) hàm ph i tìm; p  M t h nghi m c a (2.12) đ c cho d z z , q  , F hàm cho tr x y c i d ng V(x, y, z, a, b) = ho c z =  (x, y, a, b) Trong a, b h ng s b t kì, đ ph c g i tích phân đ y đ c a ng trình (2.12) Kh a b t h  V x, y, z, a , b    V V  p0   x z  V V  y  z q       x , y , a ,b    q   y    p  x  Ho c t h Phan Th Chi n z 44 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ta nh n đ Ph c ph ng trình t trình tích phân đ y đ ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng đ ng v i ph ng trình (2.12) b ng ph ng trình (2.12) Quá ng pháp Lagrang-Sacpi nh sau: B c 1: L p h ph ng trình vi phân th ng d ng đ i x ng t dx dy dz dp dq     P Q Pp  Qq   X  zp   Y  zq  ng ng: (2.13) Trong đó: P  F p' , Q  Fq' , X  Fx' ,Y  F y' , Z  Fz' B c 2: Tìm tích phân đ y đ c a h (2.13), ch ng h n  (x, y, z, p, q) = a T h ph ng trình F      x , y , z , p ,q    x , y , z , p ,q   a Ta gi i p, q  x , y , z ,a   x , y , z ,a  p  A   q  B  B (2.14) c 3: Tích phân h (2.14) ta đ c tích phân đ y đ c a h (2.12) Ví d 2.4 Tìm tích phân đ y đ c a ph  ng trình  z2  p  q  R2 (R = const) b ng ph (2.15) ng pháp Lagrang-Sacpi H ph ng trình vi phân th ng t ng ng v i ph ng trình có d ng dx dy dz dp dq   2   2z p 2z q 2z p  q  2 z  p  q  p  2 z  p  q  q         Ta có m t tích phân đ u c a h Phan Th Chi n 45 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t p a q K t h p v i (2.15) ta có h    z2  p  q  R2   p  a  q Gi i h ph ng trình đ i v i p, q ta đ c  a R2  z2 p  z  a 1   R2  z2 q   z a 1  Tích phân h ta đ R2  z2  c a a 1 x a 1 yb  tích phân đ y đ c a h (2.15) Ch ng Bài t p v n d ng Bài Tích phân ph Phan Th Chi n ng trình n tính thu n nh t sau đây: 46 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p 1)  mx  ny 2) x Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t u u u   nx  lz   ly  mx  x y z   u u u  y  z  x2  y2  z2 0 x y z  3) x3  3xy2  ux  y u u  y2 z  y z Bài gi i: 1)  mx  ny H ph u u u   nx  lz   ly  mx  x y z ng trình đ i x ng t ng ng v i ph (1.1) ng trình (1.1) có d ng dx dy dz   mz  ny nx  lz ly  mx Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p   lx  my  nz   x2  y2  z2 Do bi u th c  u   lx  my  nz, x2  y2  z2 nghi m t ng quát c a ph  ng trình xét  hàm hai bi n kh vi liên t c b t kì 2) x   u u u  y  z  x2  y2  z2 0 x y z H ph ng trình đ i x ng t ng ng v i ph (1.2) ng trình (1.2) có d ng dx  dy  dz x y z  x2  y2  z2 Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p y x   x  x2  y2  z2 1  Phan Th Chi n 47 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Do bi u th c   u    y , x  x2  y2  z2  x  tích phân t ng quát c a ph ng trình xét v i  hàm hai bi n kh vi liên t c b t kì  3) x3  3xy2 H ph  ux  y uy  y z uz  ng trình đ i x ng t ng ng v i ph (1.3) ng trình (1.3) có d ng dx dy dz  3 2 x  3xy y y z Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p 1  z y 2  y  y2 x z y3  Do bi u th c u    , y   nghi m t ng quát c a ph x  y (1.3) ng trình  hàm kh vi liên t c b t kì Bài Tìm nghi m c a tốn Cauchy sau: 1)  z  y  2)  x2 3) y u u u  z  y  ; u = 2y( y – z ) x = x y z  xz  xy yz  ; z = y x = u u  z  ; y  ln z  x = x z y Bài gi i: 1)  z  y u u u  z  y  ; u = 2y( y – z ) x = x y z Phan Th Chi n 48 (2.1) K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p H ph Ph ng trình đ i x ng t ng trình đ o hàm riêng c p m t ng ng v i ph ng trình (1.2) có d ng: dx dy dz    z  y z y Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p   y2  z2   x   z  y 2 V y bi u th c u    y2  z2 ,2 x   z  y  nghi m t ng quát c a  ph ng trình (2.1)   hàm kh vi liên t c b t kì Thay x = vào tích phân đ u đ c l p c a h ta đ c   y2  z2    z  y Gi i đ i v i y, z ta đ c: z 1   2 2 y 1   2 2 2 2 Cho nên nghi m th a mãn u ki n ban đ u u   Hay u = 2[ x + y( y – z)]  2)  x2 H ph  xz  xy yz  ; z = y ng trình đ i x ng t x = ng ng v i ph (2.2) ng trình (2.2) có d ng dx  dy 1 x xy Phan Th Chi n 49 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph Tích phân h ta đ ng trình đ o hàm riêng c p m t c m t tích phân đ u đ c l p y  1 x  y2  nghi m t ng quát c a ph 2   1 x  V y bi u th c z  F  ng trình (2.2) F hàm kh vi liên t c b t kì Thay x = vào tích phân đ u đ c l p c a h ta có   y2 Suy y   V y nghi m th a mãn u ki n là: u  hay u  3) y y2  x2 u u  z  ; y  ln z  x = x z y H ph ng trình đ i x ng t ng ng v i ph (2.3) ng trình (2.3) có d ng dx dz  y z Tích phân h ta đ   ln z  c m t tích phân đ u đ c l p x y  x V y bi u th c z  F  ln z   nghi m t ng quát c a ph y  (2.2) ng trình F hàm kh vi liên t c b t kì Thay x = vào tích phân đ u đ c l p c a h ta có   ln z  y V y nghi m th a mãn u ki n u  hay u  ln z  Phan Th Chi n 50 x y K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph Bài Tích phân ph 1) y ng trình n tính thu n nh t sau z z  x  x y x y 2)  z  y 3) xy 4) y ng trình đ o hàm riêng c p m t z z   x  z  x  y  x y z z x  yz x y z z y  z   x y x Bài gi i: 1) y z z  x  x y x y H ph (3.1) ng trình đ i x ng t ng ng v i ph ng trình (3.1) có d ng dx dy dz   y x x y Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p 1  x  y 2  x  y z   V y bi u th c F x2  y2 , x  y  z  nghi m t ng quát c a ph trình (3.1) F hàm kh vi liên t c b t kì 2)  z  y H ph ng z z   x  z  x  y  x y ng trình đ i x ng t ng ng v i ph (3.2) ng trình (3.1) có d ng dx dy dz   z y x z y x Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p 1  x  y  z   x2  y2  z2 Phan Th Chi n 51 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t   V y bi u th c F x  y  z, x2  y2  z2  nghi m t ng quát c a ph ng trình (3.2) 3) xy F hàm kh vi liên t c b t kì z z x  yz x y H ph (3.4) ng trình đ i x ng t ng ng v i ph ng trình (3.3) có d ng dx dy dz   xy x2 yz Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p 1  x  y 2  z x  z V y bi u th c F  x2  y2 ,   nghi m t ng quát c a ph x  (3.3)  ng trình F hàm kh vi liên t c b t kì 4) y z z y z  0 x y x H ph (3.4) ng trình đ i x ng t ng ng v i ph ng trình (3.4) có d ng dx dy dz   y y z x Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p   z  ln x   x z 1  y2   V y bi u th c F z  ln x ,2 x  z 1  y2  nghi m t ng quát c a ph ng trình (3.4) F hàm kh vi liên t c b t kì Bài Tìm nghi m c a toán Cauchy sau x z z  y  z  xy ; z = y2+ x= x y Phan Th Chi n 52 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Bài gi i: Xét x z z  y  z  xy x y Ta có ph x H ph (4.1) ng trình đ o hàm riêng n tính thu n nh t c a (4.1) u u u  y   z  xy  x y z ng trình đ i x ng t (4.1’) ng ng v i ph ng trình (4.1’) có d ng dx dy dz   x y z  xy Tích phân h ta đ c tích phân đ u đ c l p 1  y x   z  xy x  y z  xy  nghi m t ng quát c a ph V y bi u th c z  F  , x  x (4.1’) ng trình F hàm kh vi liên t c b t kì Cho x = ta đ c 1  y   z  2y Gi i h hai tích phân ta đ c y  21 z  2  41 Do nghi m c a tốn Cauchy đ c xác đ nh t h th c 2  4  4 12  Thay bi u th c  1, ta có z  xy y y2   1 x x x Phan Th Chi n 53 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Gi i ta đ Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t c 2x(z – xy)= (x – 2y)2 c ng nghi m ph i tìm Bài Ch ng minh r ng h ph ng trình sau kh tích hồn tồn tích phân h  dz z    dx x   dz  z  dy y (5.1) Ta c ng nh n th y h hai ph ki n t ng trình phi n (5.1) th a mãn u ng thích (2) toàn m t ph ng (x, y) Do ta có th tích phân h (5.1) Tr c h t, ta tích phân ph ng trình th nh t c a h (5.1) c đ nh y T dz z dz dx    dx x z x dz dx   c z x  ln z  ln x  ln c   z  c  y x Thay z vào ph c '  y x  ng trình th hai c a h ta đ c 2c  y x y  yc '  y x  2c  y x  yc '  y  2c  y Gi i ta đ c C(y) = Cy2 v i C h ng s Phan Th Chi n 54 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p V y nghi m c a ph Bài Xét ph Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t ng trình z = Cxy2 ng trình Pfap:  x  y  x  y  x  y dz  dx  dy  z z z2 (6.1) Ta coi  x  y  P  x, y, z z  x  y  Q  x, y, z z x  y    R  x, y, z  z2 Xét  R  Q P   P R  Q     R       Q   z x   y z   x y   x  y   x  y  x  y   x  y   x  y   x  y    x  y 2  2            z  z  z2 z2  z2 z2   z   z z  P   0 Ta th y (6.1) th a mãn u ki n kh tích nên hồn tồn tích phân đ T vi c gi i ph  z  x     z   y Tích phân ph  ng trình (6.1) quy v vi c gi i h ph ng trình 2z x y 2z x y (6.1’) ng trình th nh t c a h (6.1’) ta đ c dz 2dx   c( y) z x y  ln z  2ln x  y  c  y   z  c  y  (x  y )2 Thay z  c  y ( x  y)2 vào ph Phan Th Chi n c ng trình (2) c a h (6.1’) ta có 55 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p c '  y ( x  Ph y)2  2c ng trình đ o hàm riêng c p m t 2c  y ( x  y)2  y ( x  y)  x  y  c '  y ( x  y)2   c '  y   c(y) = C = const V y nghi m c a ph Phan Th Chi n ng trình (2.10) z = C(x+ y)2 56 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t K t lu n Trong lu n v n em nghiên c u m t s v n đ c b n sau đây: Ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p m t, ph phi n c p m t v i m t s t p ph ng trình đ o hàm riêng ng pháp gi i chúng M c dù n l c h t s c nh ng khoá lu n v n nhi u thi u sót Em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp c a th y b n bè quan tâm Hi v ng m t d p khác, em s có u ki n nghiên c u sâu h n v ph ng trình đ o hàm riêng nói chung, ph ng trình đ o hàm riêng c p m t nói riêng M t l n n a, em xin đ c g i l i c m n chân thành sâu s c nh t t i th y giáo-Ti n s Nguy n V n Hùng h t lịng giúp đ em hồn thành khố lu n Phan Th Chi n 57 K 30 E Toán Lu n v n t t nghi p Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t Tài li u tham kh o [1] Nguy n Th Hoàn – Tr n V n Nhung (1979), Bài t p ph ng trình vi phân, Hà N i, NXB N THCN [2] Nguy n Th Hoàn – Ph m Phu (2003), C s ph ng trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Giáo d c [3] Nguy n ình Trí (Ch biên) – T V n nh – Nguy n H Qu nh (1979), Toán h c cao c p t p 3, NXB Giáo d c [4] V Tu n – Phan c Thành – Ngơ Xn S n (1997), Gi i tích tốn h c t p 3, NXB Giáo d c [5] Tr n c Vân (2000), Ph ng trình đ o hàm riêng t p 1, NXB ih c Qu c Gia Hà N i Phan Th Chi n 58 K 30 E Toán ... ph ng trình 1.3 Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng nh ngh a 1.3 i) Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i n tính n u n u nh n tính v i n hàm t t c đ o hàm riêng c a ii) Ph ng trình đ o hàm riêng. .. ng trình đ o hàm riêng ph ng trình đ o hàm riêng c p m t 1.1.1 Khái ni m ph ng trình đ o hàm riêng nh ngh a 1.1 M t ph ng trình liên h gi a n hàm u(x1, x2,…,xn) bi n đ c l p x1, x2, …,xn đ o hàm. .. c p c a ph ng trình Ch ng h n ph  F  x, y, u,  ph ng trình đ c g i ng trình u u  , = x y  ng trình đ o hàm riêng c p m t c a hàm hai bi n 1.1.2 Ph ng trình đ o hàm riêng c p m t nh