Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ************** Phan thị chiến Phương trình đạo hàm riêng cấp Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: Ts Nguyễn văn hùng Hà nội - 2008 Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, em nhận giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ Thầy giáo- Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng thầy, cô tổ giải tích khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt trình làm khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa dạy dỗ em suốt bốn năm qua để em hoàn thành khóa luận Bằng nỗ lực thân, khóa luận hoàn thành Song khuôn khổ thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn sinh viên để thân tiếp tục hoàn thiện trình học tập giảng dạy Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2008 Sinh viên: Phan Thị Chiến Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Lời cam đoan Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài: “Phương trình đạo hàm riêng cấp một’’ ®· giúp em hiểu sâu sắc môn giải tích đại, đặc biệt phương trình vi phân đạo hàm riêng Qua bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Bên cạnh em nhận quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo khoa, đặc biệt hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình thầy Nguyễn Văn Hùng Vì vậy, em xin cam đoan kết đề tài: “Phương trình đạo hàm riêng cấp một’’ trùng lặp với kết đề tài khác Em mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn sinh viên đÓ khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 04 năm 2008 Sinh viên: Phan Thị Chiến Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời mở đầu Chương 1: Khái niệm mở đầu kiến thức sở Khái niệm mở đầu 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng phương trình đạo hàm riêng cấp 1.2 Nghiệm phương trình đạo hàm riêng cấp 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 1.4 Bài toán Cauchy Các kiến thức sở 2.1 Phương trình vi phân 2.2 Phương trình vi phân cấp 2.3 Hệ phương trình vi phân 12 Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 16 1.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 17 1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không cấp 26 Phương trình phi tuyến cấp 37 2.1 Hệ hai phương trình phi tuyến cấp 37 2.2 Phương trình Pfap 40 2.3 Phương pháp Lagrang – Sacpi 42 Chương 3: Bài tập vận dụng Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Lời nói đầu Cũng môn khoa học khác, phương trình đạo hàm riêng xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Phần lớn toán phương trình vi phân đạo hàm riêng rút từ vấn đề thực tiễn nên phương trình vi phân đạo hàm riêng coi cầu nối toán học ứng dụng Thực tế cho thấy có nhiều dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khác không tồn phương pháp chung để giải tất phương trình Đối với phương trình đạo hàm riêng nãi chung, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng chứng minh tồn nghiệm việc tìm công thức nghiệm khó Tuy nhiên phương trình đạo hàm riêng cấp việc tìm công thức nghiệm thường tuân theo số phương pháp định Chính em chọn đề tài: Phương trỡnh đạo hàm riờng cấp với mong muốn hiểu rõ phương pháp Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Khái niệm mở đầu kiến thức sở Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp Chương 3: Bài tập vận dụng Nội dung tài liệu dùng theo tài liệu [1] [2] phần tài liệu tham khảo Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Chương Khái niệm mở đầu kiến thức sở Khái niệm mở đầu 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng phương trình đạo hàm riêng cấp 1.1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1, x2,…,xn) biến độc lập x1, x2, …,xn đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Nó có dạng    F  x1, x2 , , xn , u,  u k u , , k , = x1 x xnk  (1) F hàm đối số Cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt phương trình gọi cấp phương trình Chẳng hạn phương trình  F  x, y, u,  u u  , = x y  phương trình đạo hàm riêng cấp hàm hai biến 1.1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp Định nghĩa 1.2 Từ định nghĩa 1.1 ta suy rằng: Phương trình đạo hàm riêng cấp phương trình có dạng  F  x1, xn , u,  u u u  , , , = x1 x2 xn  (1.1) 1.2 Nghiệm phương trình đạo hàm riêng cấp Giả sử có phương trình đạo hàm riêng cấp (1.1) giả sử miền F xác định miền G không gian 2n + chiều Hàm u = u(x1, x2, …, xn) liên Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp tục với đạo hàm riêng cấp miền D không gian n chiều gọi nghiệm phương trình (1.1) D nếu: i) Với (x1,x2,…,xn)  D  u u  , ,  x1, , xn ; u x1, , xn ;   G  x  x n     ii) Khi thay u = u( x1, x2, …,xn) vào (1.1) ta đồng thức D Thông thường ta tích phân phương trình đạo hàm riêng ta tìm họ nghiệm phụ thuộc vào hàm số Giả sử phương trình (1), u hàm biến (n = 2): u = u(x1, x2) Khi nghiệm u = u(x1, x2) tương ứng với mặt cong không gian ba chiều ( x1, x2, u) Mặt cong gọi mặt cong tích phân Chẳng hạn phương trình x z z =0 y x y hàm z = x2 + y2 nghiệm xác định với x, y Nghiệm biểu diễn mặt paraboloit (là mặt cong parabol z = y2, mặt phẳng (y, z) tạo lên quay quanh trục oz) Hàm Z = F(x2 + y2) với F khả vi liên tục nghiệm phương trình 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.3 i) Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với ẩn hàm tất đạo hàm riêng ii) Phương trình đạo hàm riêng gọi phi tuyến tính không tuyến tính iii) Phương trình đạo hàm riêng gọi tựa tuyến tính (hay tuyến tính) tuyến tính tất hàm cao hàm phải tìm Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Ví dụ 1.1 a Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp u u    x1, x2 , , xn , u    x x u  n  x1 , x2 , , xn , u   R  x1, x2 , , xn , u  xn X1  x1 , x2 , , xn , u  (1.2) b Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 1.4 Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u =  (x1, x2, …, xn) phương trình (1.2) cho x1  x10 u =  (x1, x2, …,xn)  hàm cho trước Ta thay vai trò x1 biến lại Các kiến thức sở 2.1 Phương trình vi phân 2.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân Định nghĩa 2.1.1 Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm hàm phải tìm Phương trình vi phân có dạng F(x, y, y’,…, y(n)) = (2.1) Trong x biến độc lập, y = y(x) đạo hàm hàm phải tìm Ví dụ 2.1 dt  3tx   dx Ví dụ 2.2 y’’’ + 2x5y’’ + 4xy – = Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp 2.1.2 Cấp phương trình vi phân Định nghĩa 2.1.2 Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm hàm phải tìm có mặt phương trình Ví dụ 2.3 Phương trình vi phân ví dụ 2.2 phương trình vi phân cấp ba 2.1.3 Nghiệm phương trình vi phân Định nghĩa2.1.3 Nghiệm phương trình vi phân hàm thỏa mãn phương trình tức hàm khả vi cho thay vào phương trình trở thành đồng thức Ví dụ 2.4 Phương trình dy  y có nghiệm hàm y = ce2x xác định dx khoảng  ,   ( c số tùy ý) 2.2.Phương trình vi phân cấp 2.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp Định nghĩa 2.2.1 Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng quát F(x, y, y’) = (2.2) Trong hàm F xác định miền D  R3 Nếu miền D, từ phương trình (2.2) ta giải y’ y’ = f(x, y) (2.3) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Trong phương trình (2.3) f hàm biến, hàm xác định miền D không gian hai chiều Định nghĩa 2.2.2 Hàm y =  (x) xác định khả vi khoảng I = (a,b) gọi nghiệm phương trình (2.2) a) (x,  (x),  ’(x))  D với x  I b) F(x,  (x),  ’(x))  I Phan Thị Chiến K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Ví dụ 2.5 Giải phương trình: dy  2sin x, y(0)  dx Giải: Phương trình tương đương với dy = 2sinxdx Lấy nguyên hàm hai vế ta  dy   2sin xdx  y =  2sin xdx  c  y = - 2cos x  c Mặt khác, ta lại có y(0) = nên suy y  2cos x  Vậy nghiệm phương trình đầu y  2cos x  2.2.2 Bài toán Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) phương trình (2.3) cho x = x0 y = y0 Trong x0, y0 giá trị tùy ý cho trước mà ta gọi giá trị ban đầu Điệu kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y = y0 x = x0 gọi điều kiện ban đầu kí hiệu là: y(x0) = y0 y x = y0 Ví dụ 2.6 :Xét ví dụ 2.5 ta thấy điều kiện ban đầu toán là: x0 = y0 = 2.2.3 Định lý tồn nghiệm toán Cauchy Định lý 2.2.3 Xét phương trình (2.3) giá trị ban đầu (x0, y0) Giả sử hàm f(x, y) f’y(x, y) xác định liên tục miền D Khi lân cận điểm x0 phương trình (2.3) tồn nghiệm y = y(x) toán Cauchy có nghĩa nghiệm thỏa mãn phương trình dy  f ( x, y ) y(x0) = y0 dx Phan Thị Chiến 10 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp  c '  y   2  c y  Vậy z  c y y c y2  1  c  nghiệm phương trình (2.10) 3 x  y  2.3 Phương pháp Lagrang-Sacpi Xét phương trình phi tuyến F(x, y, z, p, q) = (2.12) Trong z = z(x, y) hàm phải tìm; p  z z , q  , F hàm cho trước x y Một họ nghiệm (2.12) cho dạng V(x, y, z, a, b) = z =  (x, y, a, b) Trong a, b số bất kì, gọi tích phân đầy đủ phương trình (2.12) Khử a b từ hệ  V x, y, z, a, b    V V  p0   x z  V V  y  z q       x , y , a,b    q   y    p  x  Hoặc từ hệ Phan Thị Chiến z 44 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Ta nhận phương trình tương đương với phương trình (2.12) Quá trình tích phân đầy đủ phương trình (2.12) phương pháp Lagrang-Sacpi sau: Bước 1: Lập hệ phương trình vi phân thương dạng đối xứng tương ứng: dx dy dz dp dq     P Q Pp  Qq   X  z p   Y  zq  (2.13) Trong đó: P  Fp' , Q  Fq' , X  Fx' ,Y  Fy' , Z  Fz' Bước 2: Tìm tích phân đầy đủ hệ (2.13), chẳng hạn  (x, y, z, p, q) = a Từ hệ phương trình F      x , y , z , p ,q    x , y , z , p ,q   a Ta giải p, q p  A   q  B   x , y , z ,a   x , y , z ,a  (2.14) Bước 3: Tích phân hệ (2.14) ta tích phân đầy đủ hệ (2.12) Ví dụ 2.4 Tìm tích phân đầy đủ phương trình   z  p  q  R (R = const) (2.15) phương pháp Lagrang-Sacpi Hệ phương trình vi phân thường tương ứng với phương trình có dạng dx dy dz dp dq   2   2z p 2z q 2z p  q  2 z  p  q  p  2 z  p  q  q         Ta có tích phân đầu hệ Phan Thị Chiến 45 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp p a q Kết hợp với (2.15) ta có hệ    z 1 p2  q2  R2   p  a  q Giải hệ phương trình p, q ta  a R2  z p  z  a2 1   R2  z q   z a2 1  Tích phân hệ ta R2  z  a a 1 x a2 1 y b  tích phân đầy đủ hệ (2.15) Chương Bài tập vận dụng Bài Tích phân phương trình tuyến tính sau đây: Phan Thị Chiến 46 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp 1)  mx  ny  2) x Phương trình đạo hàm riêng cấp u u u   nx  lz    ly  mx   x y z   u u u  y  z  x2  y  z 0 x y z  3) x3  3xy  ux  y u u  y2 z  y z Bài giải: 1)  mx  ny  u u u   nx  lz    ly  mx   x y z (1.1) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (1.1) có dạng dx dy dz   mz  ny nx  lz ly  mx Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập   lx  my  nz   x2  y  z Do biểu thức  u   lx  my  nz, x  y  z  nghiệm tổng quát phương trình xét  hàm hai biến khả vi liên tục 2) x   u u u  y  z  x2  y  z 0 x y z (1.2) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (1.2) có dạng dx  dy  dz x y z  x2  y  z Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập y x   x  x2  y  z 1  Phan Thị Chiến 47 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Do biểu thức   u    y , x  x2  y  z  x  tích phân tổng quát phương trình xét với  hàm hai biến khả vi liên tục  3) x3  3xy  ux  y u  y z u  y z (1.3) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (1.3) có dạng dx dy dz  3 2 x  3xy 2y 2y z Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  z y 2  y  y x z y3  Do biểu thức u    , y   nghiệm tổng quát phương trình x  y (1.3)  hàm khả vi liên tục Bài Tìm nghiệm toán Cauchy sau: 1)  z  y   2)  x2 3) y u u u  z  y  ; u = 2y( y – z ) x = x y z  xz  xy yz  ; z = y x = u u  z  ; y  ln z  x = x z y Bài giải: 1)  z  y  u u u  z  y  ; u = 2y( y – z ) x = x y z Phan Thị Chiến 48 (2.1) K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (1.2) có dạng: dx dy dz    z  y z y Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  y2  z   2x   z  y  2 Vậy biểu thức u    y  z ,2 x   z  y   nghiệm tổng quát   phương trình (2.1)  hàm khả vi liên tục Thay x = vào tích phân đầu độc lập hệ ta 1  y2  z    z  y Giải y, z ta được: z 1   2 2 y 1   2 2 2 2 Cho nên nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu u   Hay u = 2[ x + y( y – z)]  2)  x2  xz  xy yz  ; z = y x = (2.2) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (2.2) có dạng dx  dy 1 x xy Phan Thị Chiến 49 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập y  1 x  y2  nghiệm tổng quát phương trình (2.2) 2   1 x  Vậy biểu thức z  F  F hàm khả vi liên tục Thay x = vào tích phân đầu độc lập hệ ta có  y2 Suy y   Vậy nghiệm thỏa mãn điều kiện là: u  hay u  3) y y2  x2 u u  z  ; y  ln z  x = x z y (2.3) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (2.3) có dạng dx dz  y z Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập   ln z  x y  x Vậy biểu thức z  F  ln z   nghiệm tổng quát phương trình y  (2.2) F hàm khả vi liên tục Thay x = vào tích phân đầu độc lập hệ ta có   ln z  y Vậy nghiệm thỏa mãn điều kiện u  hay u  ln z  Phan Thị Chiến 50 x y K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Bài Tích phân phương trình tuyến tính sau 1) y z z  x  x y x y 2)  z  y  z z   x  z  x  y  x y 3) xy z z x  yz x y 4) y z z y  z   x y x Bài giải: 1) y z z  x  x y x y (3.1) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (3.1) có dạng dx dy dz   y x x y Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  x  y 2  x  y z   Vậy biểu thức F x  y , x  y  z  nghiệm tổng quát phương trình (3.1) F hàm khả vi liên tục 2)  z  y  z z   x  z  x  y  x y (3.2) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (3.1) có dạng dx dy dz   z y xz yx Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  x  y  z   x2  y  z Phan Thị Chiến 51 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp   Vậy biểu thức F x  y  z, x  y  z  nghiệm tổng quát phương trình (3.2) F hàm khả vi liên tục 3) xy z z x  yz x y (3.4) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (3.3) có dạng dx dy dz   xy x2 yz Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  x  y 2  z x  z Vậy biểu thức F  x  y ,   nghiệm tổng quát phương trình x   (3.3) F hàm khả vi liên tục 4) y z z y z  0 x y x (3.4) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (3.4) có dạng dx dy dz   y y z x Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập   z  ln x   x  z 1  y   Vậy biểu thức F z  ln x ,2 x  z 1  y  nghiệm tổng quát phương trình (3.4) F hàm khả vi liên tục Bài Tìm nghiệm toán Cauchy sau x z z  y  z  xy ; z = y2+1 x=2 x y Phan Thị Chiến 52 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Bài giải: Xét x z z  y  z  xy x y (4.1) Ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (4.1) x u u u  y   z  xy   x y z (4.1’) Hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình (4.1’) có dạng dx dy dz   x y z  xy Tích phân hệ ta tích phân đầu độc lập 1  y x   z  xy x  y z  xy  Vậy biểu thức z  F  , nghiệm tổng quát phương trình x  x (4.1’) F hàm khả vi liên tục Cho x = ta 1  y   z  2y Giải hệ hai tích phân ta y  21 z  2  41 Do nghiệm toán Cauchy xác định từ hệ thức 2  4  4 12  Thay biểu thức  1, ta có z  xy y y2   1 x x x Phan Thị Chiến 53 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Giải ta 2x(z – xy)=(x – 2y)2 nghiệm phải tìm Bài Chứng minh hệ phương trình sau khả tích hoàn toàn tích phân hệ  dz z    dx x   dz  z  dy y (5.1) Ta nhận thấy hệ hai phương trình phi tuyến (5.1) thỏa mãn điều kiện tương thích (2) toàn mặt phẳng (x, y) Do ta tích phân hệ (5.1) Trước hết, ta tích phân phương trình thứ hệ (5.1) cố định y Từ dz z dz dx    dx x z x dz dx   c z x  ln z  ln x  ln c   z  c y x Thay z vào phương trình thứ hai hệ ta c ' y  x  2c  y  x y  yc '  y  x  2c  y  x  yc '  y   2c  y  Giải ta C(y) = Cy2 với C số Phan Thị Chiến 54 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Vậy nghiệm phương trình z = Cxy2 Bài Xét phương trình Pfap: 2 x  y 2 x  y  x  y  dz  dx  dy  z z z2 (6.1) Ta coi 2 x  y  P  x, y, z  z 2 x  y  Q  x, y, z  z x  y    R  x, y, z  z2 Xét  R P   y    Q P   P R  Q     R       Q  z   z x   x y   x  y    x  y   x  y    x  y    x  y   x  y    x  y 2  2         2 2      z   z z  z z z z z z     0 Ta thấy (6.1) thỏa mãn điều kiện khả tích nên hoàn toàn tích phân Từ việc giải phương trình (6.1) quy việc giải hệ phương trình  z 2z  x  x  y    z  z  y x  y (6.1’) Tích phân phương trình thứ hệ (6.1’) ta  dz 2dx   c( y ) z x y  ln z  2ln x  y  c  y   z  c  y  (x  y )2 Thay z  c  y  ( x  y)2 vào phương trình (2) hệ (6.1’) ta có Phan Thị Chiến 55 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp c ' y  ( x  Phương trình đạo hàm riêng cấp y)2  2c 2c  y  ( x  y)2  y  ( x  y)  x  y  c '  y  ( x  y )2   c ' y    c(y) = C = const Vậy nghiệm phương trình (2.10) z = C(x+y)2 Phan Thị Chiến 56 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Kết luận Trong luận văn em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp với số tập phương pháp giải chúng Mặc dù nỗ lực khoá luận nhiều thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè quan tâm Hi vọng dịp khác, em có điều kiện nghiên cứu sâu phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng cấp nói riêng Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo-Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng hết lòng giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Phan Thị Chiến 57 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Hà Nội, NXB ĐN THCN [2] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (1979), Toán học cao cấp tập 3, NXB Giáo dục [4] Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn (1997), Giải tích toán học tập 3, NXB Giáo dục [5] Trần Đức Vân (2000), Phương trình đạo hàm riêng tập 1, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Phan Thị Chiến 58 K 30 E Toán [...]... nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một Chương 2 Phương trình đạo hàm riêng cấp một 1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một Xét phương trình đạo hàm riêng cấp một X1  x1, x2 , , xn , u  u u u  X 2  x1, x2 , , xn , u    X n  x1, x2 , , xn , u   R  x1, x2 , , xn , u  x1 x2 xn (1.1) Ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa: Phương trình (2) được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến... hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng là dx  dy  dz x 2 y  z Dễ thấy phương trình này có 2 tích phân đầu độc lập là xz  c1, x y  c2 Phan Thị Chiến 20 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một Vậy u1  xz, u2  x y là các nghiệm không tầm thường của phương trình đạo hàm riêng cấp một 1.1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một. .. u Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một được viết dưới dạng: Phan Thị Chiến 17 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một X1  x1, x2 , , xn , u  u  X 2  x1, x2 , , xn , u  u   x1 x2  X n  x1, x2 , , xn , u  u  R  x1, x2 , , xn , u  xn (1.3) 1.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một 1.1.1 Mối liên hệ giữa phương trình. .. hệ phương trình (2.5) với mọi phương trình đều giải được đối với đạo hàm dy1 (i = 1,2,…) dx Còn vế phải không chứa đạo hàm của hàm cần tìm 2.3.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một (2.5) là tập hợp n hàm khả vi y1 = y1(x), y2 = y2(x) ,…, yn(x) trên một hàm nào đó sao cho chúng Phan Thị Chiến 13 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương. .. trưng của phương trình (1.2) Từ đó mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng được xác định qua các định lý sau: Phan Thị Chiến 18 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một Định lý 1.1 Vế trái của tích phân đầu bất kì   x1, x2 , , xn   c là nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2)... liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng ta có các bước tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2) như sau: Bước 1: Tìm hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng với phương trình đạo hàm riêng đang xét Bước 2: Tìm các tích phân đầu độc lập Bước 3: Kết luận nghiệm Ví dụ 1.1 Xét phương trình x u... cấp một của chúng Định nghĩa: Phương trình (1.1) được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một không thuần nhất nếu các hệ số Xj có thể chứa u và vế phải có hàm R Khi R  0 nhưng có một hàm Xj chứa u thì phương trình vẫn coi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất Bởi vậy ta luôn giả thiết rằng các hàm Xj, R khả vi liên tục và các hàm Xj không đồng thời triệt tiêu trong... là nghiệm của phương trình (1.2) hay vế phải của (1.11) là nghiệm của (1.2) Phan Thị Chiến 21 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một   Giả sử u  x1, x2 , , xn là một nghiệm của phương trình (1.2) Ta đi chứng minh có một hàm  có các đạo hàm riêng liên tục sao cho u    1, 2 , , n1  Theo chứng minh trên ta có  ,1, , n1 đều là nghiệm của phương trình (1.2) nên... nghiệp Phương trình đạo hàm riêng cấp một  Pi  x1, , xn   X i x1, , xn ,  x1, , xn   (i = 1,…,n) Đồng nhất thức (1.33) chứng tỏ các hàm  k  x1, , xn  là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính thuần nhất p1  x1, , xn  z z z  p2  x1, , xn    pn  x1, , xn  0 x1 x2 xn Theo định lý 1.3, các hàm  k  x1, , xn  (k = 1,…,n) là n tích phân đầu của hệ phương trình. .. zx y  xz  yz  2 (1.36) Từ (1.36) ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất Phan Thị Chiến 34 K 30 E Toán Luận văn tốt nghiệp 1 zx y Phương trình đạo hàm riêng cấp một  vx  yv  2 vz  0 (1.36’) Từ phương trình (1.36’) có hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng là dx dy dz   2 1 z  x  y 1 Hệ phương trình này có 2 tích phân đầu độc lập là  1  z ... Phương trình đạo hàm riêng cấp Chương Khái niệm mở đầu kiến thức sở Khái niệm mở đầu 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng phương trình đạo hàm riêng cấp 1.1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm. .. nghiệm phương trình 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.3 i) Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với ẩn hàm tất đạo hàm riêng ii) Phương trình đạo hàm riêng. .. hàm đối số Cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt phương trình gọi cấp phương trình Chẳng hạn phương trình  F  x, y, u,  u u  , = x y  phương trình đạo hàm riêng cấp hàm hai biến 1.1.2 Phương