Ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải một số phương trình đạo hàm riêng

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************** NGUYỄN THỊ HỒNG TUYẾT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀO GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2012 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************** NGUYỄN THỊ HỒNG TUYẾT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀO GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2012 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng thường xuất toán ứng dụng lý thuyết thủy động học, đàn dẻo, học lượng tử, Vì việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học nói chung vật lý nói riêng Việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường không cần thực trường hợp Bởi để tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng phương pháp gần Có nhiều phương pháp để giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hai phương pháp phổ biến Ý tưởng phương pháp đưa toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng toán đại số, thường hay nhiều hệ đại số tuyến tính, giải hệ đại số tuyến tính để tìm nghiệm toán ban đầu Xuất phát từ lý trên, em chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp sai phân vào giải số phương trình đạo hàm riêng” để làm khóa luận Khóa luận bao gồm phần: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Chương 3: Giải gần toán phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân Chương 4: Bài tập ứng dụng SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số khái niệm 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa   Cho tập V tập phần tử kí hiệu:  ,  , trường K có phần tử kí hiệu: x, y, z, Giả sử V có hai phép toán: Phép toán trong: (+): V  V  V     ( ,  )     Phép toán ngoài: (.): K  V  V (x,  )  x     thỏa mãn tính chất sau: Với  ,  ,   V với x, y  K:       1) (    ) +  =  + (  +     )      2) Có  V cho: +  =  + =      3) Có   V cho:   +  =  +   =      4)    =     5) (x+y)  = x  + y      6) x.(    ) = x  + x    7) x.(y  ) = (x.y)    8)  =  phần tử đơn vị trường K V phép toán xác định gọi không gian vectơ trường K, hay K – không gian vectơ SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Khi K = Khi K = GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh , V gọi không gian vectơ thực , V gọi không gian vectơ phức Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép toán “+” gọi phép cộng vectơ Phép toán “.” gọi phép nhân vectơ với vô hướng   Để cho gọn, “.” nhiều bỏ: x  thành x  Không gian V có số chiều n thường gọi không gian vectơ n chiều kí hiệu V 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P (P = ánh xạ từ X vào tập số thực P = ) với , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i xX cho x  0, x =  x =  (kí hiệu phần tử không X ); ii xX, P:  x =  x ; iii  x, y  X: x  y  x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X (hoặc (X, ) Các tiên đề i,ii,iii gọi hệ tiên đề chuẩn Nhận xét: Nếu X không gian định chuẩn X không gian metric với metric d(x,y) = x  y ,  x, y  X 1.2.2 Ví dụ: Trên X = k =  xx =(x ,x , ,x k ), x i  , i=1, ,k  ta xác định chuẩn: SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh k 1) x = x = x i : chuẩn tổng i 1 k 2) x = (  xi ) : chuẩn Euclid i 1 3) x  = max xi i 1, k Tương ứng với chuẩn ta có không gian định chuẩn: ( k , ); ( k , ); 1.3 Không gian Hilbert 1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng: Cho không gian tuyến tính X trường P (P = P = ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes XX vào trường P, kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề sau: i  x, y  X: (y,x) = ( x, y) ; ii x, y, z  X: (x + y,z) = (x,z) + (y,z) iii “x, y  X,  P: ( x, y) =  (x, y); iv x  X: (x, x)  0, (x, x) =  x =  ( phần tử không không gian X) Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vô hướng, số (x,y) gọi tích vô hướng hai nhân tử x y, tiên đề i, ii, iii, iv gọi hệ tiên đề tích vô hướng 1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường P; 2) H trang bị tích vô hướng (.,.); SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 3) H không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng x = x, x  , x  H n Ví dụ: Kí hiệu không gian vectơ thực n chiều, x, y  n với x =(x , ,x n ) ; y =(y , ,y n ) Đặt tích vô hướng (x, y) = x y + +x n y n (*) Công thức (*) xác định tích vô hướng tích vô hướng (*) có dạng: x = x, x  n = x n Chuẩn sinh trùng với chuẩn biết n với tích vô hướng i i 1 không gian n Nên không gian vectơ thực (*) không gian Hilbert 1.4 Không gian C k (  ) Giả sử  miền bị chặn không gian Euclid n chiều n  bao đóng  Ta kí hiệu C k (  ) (k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k , liên tục  Ta đưa vào C k (  ) chuẩn: f = k C ( ) D  f ( x)  (1.1.1)   k , k Trong đó:  = ( , , n ) goi đa số, vectơ với tọa độ nguyên không âm,  =  +  + +  n D f   1   n f    x1 x n n Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ  hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k Rõ ràng C k (  ) với chuẩn (1.1.1) không gian Banach SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Số gần sai số 2.1 Định nghĩa - Ta nói a số gần a* a không sai khác a* nhiều Độ lệch h = a* - a gọi sai số thực a - Số a  gọi sai số tuyệt đối số a a thỏa mãn điều  kiện a  a  a hay a - a  a*  a + a - Tỷ số  a = a gọi sai số tương đối a a 2.2 Quy tắc làm tròn + Định nghĩa: Cho số thập phân a có dạng tổng quát sau: p p 1 ps a =  (  p 10   p 110    p  s 10 ) Trong   i  9( i  p  1, p  s );  p > số nguyên; p – s = - m (m > 0) a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s = +, a số thập phân vô hạn Làm tròn số a bỏ số hàng bên phải biểu diễn a để số gần a gọn đảm bảo độ xác cần thiết + Quy tắc làm tròn: Giả sử p p 1 ps a = (  p 10   p 110    p  s 10 ) Và ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ  ta đặt: ~ a  (  p10 p    j 110 j 1   j 10 j ) ,   j 1 j     j ~ Trong neu 0.5  10 j    10 j neu    0.5  10 j ~ ~ Nếu  = 0.5 10j  j   j  j chẵn  j   j 1  j lẻ Ví dụ: Thu gọn đến ba chữ số sau dấu phẩy: SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh a = 572,96573  a  572,966 a = 90,75246  a  90,752 a = 46,388500  a  46,388 a = 127,273500  a  127,274 2.3 Sai số tính toán Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính toán xuất sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f ( x1 , x , , x n ) Gọi xi *, y* ( i  1, n ) xi , y ( i  1, n ) giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục n y  y *  f ( x1 , x2 , , x n )  f ( x1 *, x2 *, , xn *)   f i ' xi  xi ' i 1 f f Trong f i ' đạo hàm tính điểm trung gian Do liên xi x i n tục  xi bé ta coi y   f i ' ( x1 , x , , x n ) xi i 1 Do  y  n y   ln f xi y i 1 x i Sau sai số phép tính bản: 2.3.1 Sai số phép tính cộng trừ n Vì y 1 xi y   xi ; i 1 n Nên y   xi i 1 Giả sử x m  max xi SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 1 i  n K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Và chữ số cuối x m hàng thứ k, nghĩa x m  10 k Ta có k y  x m  10 , làm phép cộng đại số, nên quy tròn xi đến mức giữ lại chữ số bên phải thứ k n Trường hợp tổng đại số nhỏ, nghĩa y   y   i 1 xi  , y kết không xác Cho nên tính toán nên tránh công thức có hiệu hai số gần Nếu không tránh cần lấy số với nhiều chữ số để hiệu chúng có thêm chữ số 2.3.2 Sai số phép tính nhân chia Giả sử y x1 x x p x p 1 x n p Khi n ln y   ln xi  i 1  ln x j j  p 1 n Suy  y    xi i 1 Gọi  x m  max  x i 1 i  n  xm  k , Ta thấy  y   x m  y  k Vì làm phép tính trung gian để tính y, cần lấy k+1, k+2 chữ số đủ 2.3.3 Sai số phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo Cho y = x,  y  d ln y x    x dx - Nếu  > (phép lũy thừa) y > x, độ xác giảm - Nếu <  < ta có phép khai căn, y < x, hay độ xác tăng - Nếu  = -1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa độ xác không đổi SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 10 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Bài giải Do tính chất đối xứng phương trình, điều kiện biên miền D, nên cần xét phần tư hình tròn G Sử dụng lưới đều, bước h = l =2 Phương trình sai phân có dạng: u i 1, j  2u i , j  u i 1, j  u ij  u i , j 1  2u i , j  u i , j 1  h2 h2 u i 1, j  u i 1, j  u i , j 1  u i , j 1 0 y E’ Ta có: u M   x M2 y M2 do M     2    2  12.4  48 12 A’ M’ 22  u A   u M   48 A M 11 O 21 E x Hình 4.2 Tương tự: u  A'  u M '  48 , u E  u E '  do x E '  y E  0 Đặt   u12  u 21 , u11   , u 22   Khi đó: 2u 21`  2u12   4   ; 4 1   2u 22  u11  u E   2    0 4   48  48  2          ta có hệ phương trình:   2        24    SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 61 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh   24  Giải hệ phương trình ta được:   24   36  Vậy nghiệm toán cho là:   u12  u 21  24, u11    24, u 22    36 Nếu tăng số điểm lưới xét (giảm bước lưới), phương pháp cho nghiệm xác 2.2 Ví dụ Tìm nghiệm toán Dirichlet  u  x, y   u  x, y    , x  y  1, 2 x y u M  M   xy G – hình tròn x  y  ,  biên G Bài giải Do tính chất đối xứng phương trình, điều kiện biên miền G nên ta xét 1 hình tròn G Sử dụng lưới bước h = l = Phương trình sai phân có dạng: u i 1, j  2u i , j  u i 1, j  u ij   u i , j 1  2u i , j  u i , j 1 h2 h2 u i 1, j  u i 1, j  u i , j 1  u i , j 1 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 62 0 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh A’(1\2,1) E’(0,1) M’ 12 22 M 11 A(1,1\2) E(1,0) 21  1  1 Điểm M  ;  nằm biên điểm gần với điểm A1;   2  2  u  A  u M   2.x M y M  3  2 Tương tự: 3 u A'  uM '  2.xM yM   , uE   u' E'  2 Gọi a, b, c giá trị hàm u(x,y) điểm lưới: u11 = a; u12 = u21 = b; u22 = c Nhờ tính đối xứng toán ta có hệ phương trình sai phân:   a  4b a  b    1   b  2c  a  b  2c  a   4      1 3   2b  c   c   2b 4 2    Vậy nghiệm toán là: u11  SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 63 ;   a  b    c  3  u12  u 21  3 ; u 22  K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Ta lập với bước nhỏ hơn: h  l  xấp xỉ với giá trị biên Ta đặt: u  A  u  A'   0.,25 0,25  0,5 0,9375 u B   u B'   0,5 0,5  0,75 u C    0,75 0,75  1,5 0,4375 B’ b C e f d B f 3 a A c Ta có hệ phương trình: d e a b   1 3   2c  a   4 4    b   2e         c  2a  2d     3   d     e  c      e  b  d  f  0,5 0,9375   1 3   f   e  0,75  1,5 0,4375  4    SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết  64 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Giải hệ phương trình ta nghiệm hệ là: a  0,33935 b  0,3947  c  0,4914  d  0,64345 e  0,573   f  0,7702 2.3 Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình: u  2u  t x  Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u x,0  cosx    x   1  Và điều kiện biên: u 0, t   1; u  , t   2  1  2 0  t  0,025 Bài giải Ta chia đoạn 0,  thành phần với bước h = 0,01 Áp  2 dụng công thức: u i j 1  u i 1, j  u i 1, j h2  0,005    l  2 Ta xét với giá trị x là: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x,t) điểm lưới (i,j), áp dụng công thức u i j 1  u i 1, j  u i 1, j 2 với j = 0: ui  u i 1,  u i 1, 2 Như u11  u 20  u 00   0,8090  1  0,9045 u 21  u 30  u10   0,5878  0,9511  0,7695 2 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 65 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Lần lượt tính ui1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) theo công thức u i j 1  u i 1, j  u i 1, j Ta có bảng giá trị gần u(x,t) điểm lưới (i,j): x J 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 0,9511 0,8090 0,5878 0,3090 0,005 0,9045 0,7695 0,5590 0,2939 0,010 0,8848 0,7318 0,5317 0,2795 0,015 0,8659 0,7083 0,5057 0,2659 0,020 0,8542 0,6858 0,4871 0,2529 0,025 0,8429 0,6707 0,4694 0,2436 0 t Ta tính uij cách: Áp dụng công thức u i j 1  u i 1, j  u i 1, j Và tương tự với uij t = 0,005 ; 0,010 ; 0,015 ; 0,020 ; 0,025 ~ ~ Bây ta tính sai số u u với u  x, t  nghiệm toán Ở  t   1; t   f    x    cos x , M   ta có: ~ u u  0,025 0,025  h   0,1  0,0081 3 2.4 Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình: u  2u  t x Thỏa mãn điều kiện: u  x,0  f  x  SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 66 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh u 0, t    t  ; u1, t    t  với  t  T theo đối số x, chọn bước lưới h = 0,1 sử dụng công thức u i j 1  u i 1, j  u i 1, j   f  x   ax  bx sin x Các điều kiện cụ thể:  t    t   T  0,02, a  1,1; b  1,1 Bài giải ta có: l  h 2  0,005 h = 0,1 với   Cho nên ta xét giá trị x tại: x = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 Để tìm u(x,t) ta áp dụng công thức cho: u i j 1  u i ,1  Với j = 0: u i 1, j  u i 1, j u i 1,  u i 1, u11  u 20  u 00  0,4059 ; u 21  u 30  u10  0,1923 u 31  u 40  u 20  0,6988 ; u 41  u 50  u 30  0,5860 Với j = ta có: ui,2  u i 1,1  u i 1,1 Tương tự với j  2,4 ta tính uij t = 0,005; 0,01; 0,015; 0,020 ui ,3  ui 1,  ui 1, 2 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết ; 67 ui ,  ui 1,3  ui 1,3 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học j x GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 0,1 0,2 0,3 0,4 t 0 0,0374 0,8118 0,3471 0,5858 0,005 0,4059 0,1923 0,6958 0,5860 0,010 0,0962 0,5524 0,3892 0,7469 0,015 0,2762 0,2427 0,6496 0,4505 0,020 0,1214 0,4629 0,3466 0,6756 2.5 Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình: u  u  t x Thỏa mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên: 1  0  x   2  1  u 0, t   0; u  , t   e 1 2  u  x,0   e  x 0  t  0,025 Bài giải Ta chia đoạn 0,  thành phần với bước h = 0,01 Áp  2 dụng công thức: u i j 1  u i 1, j  u i 1, j   h2 l   0,005 2 Ta xét với giá trị x là: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x,t) điểm lưới (i,j), áp dụng công thức SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 68 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học u i j 1  GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh u i 1, j  u i 1, j 2 với j = 0: ui  u i 1,  u i 1, 2 Như u11  u 20  u 00   0,8187  1  0,9094 u 21  u 30  u10   0,7408  0,9048  0,8228 2 Lần lượt tính ui1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) theo công thức u i j 1  j  : ui  u i 1, j  u i 1, j u i 1,1  u i 1,1 Và tương tự với j = 2, 3, 4, ta có bảng giá trị gần u(x,t) điểm lưới (i,j) sau: J x t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,005 0,9094 0,8228 0,7445 0,6737 0,6065 0,010 0,9114 0,8270 0,7483 0,6755 0,6065 0,015 0,9135 0,8297 0,7513 0,6774 0,6065 0,020 0,9149 0,8324 0,7536 0,6789 0,6065 0,025 0,9162 0,8343 0,7557 0,6801 0,6065 ~ ~ Bây ta tính sai số u u với u x, t  nghiệm toán Ở  t   0; t   0,6065 f 4  x   e  x  M  ~  u u  0,025 0,025 1.h  1.0,12  0,00083 3 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 69 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1) Tìm nghiệm toán u  x, t   u  x, t  4x u x, t  x    , 2 t x x  t  x x2  t 1 u 0, t   0, u 1, t   , t  0, t2 x u x,0   ,0  x  1, x 1  Tại điểm (xm ,T), xm = 0,1m,  (m = 0,1, ,10,T=0,2) với độ xác  = 0,01 2) Tìm nghiệm toán sau lưới (xm , tn) với xm = 0,1m; tn = 0,1n; m,n = 0,1, ,10    u  x, t   u  x, t   1   ,  x  1,  t  t x x  t  13 1 , u 1, t   ,0  t  1, t  t  u x,0   u x,0   ,   x  1, 1 x t 1  x 2 u 0, t     0,5  0,1k ( k  0,1, ,10) 3) Giải toán sau phương pháp sai phân  2u  2u   xy , x y G   x, y   x  1,  y  1 u  x, y    x  y Với lưới vuông h = l SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 70 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh KẾT LUẬN Trên toàn nội dung đề tài “Ứng dụng phương pháp sai phân vào giải số phương trình đạo hàm riêng” Khóa luận trình bày có hệ thống ứng dụng quan trọng phương pháp sai phân việc giải gần số phương trình đạo hàm riêng bao gồm: +) Một số kiến thức bản, khái niệm tổng quát phương trình đạo hàm riêng +) Nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần số phương trình đạo hàm riêng Từ sở lý thuyết đến tiếp cận phương pháp giải theo trình tự hợp lý Tuy nhiên thời gian có hạn vốn kiến thức hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn simh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 71 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996) – Giải tích số - NXB Đại học quốc qia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001) – Giáo trình Giải tích số - NXBGD Nguyễn Thừa Hợp (1976) – Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng NXBĐH THCN Nguyễn Mạnh Hùng (2002) – Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng NXB GD SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 72 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích, đặc biệt thầy giáo – PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn cô quản lý thư viện trường đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài em đầy đủ hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng năm 2012 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hồng Tuyết SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 73 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà nội, tháng năm 2012 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hồng Tuyết SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 74 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh MỤC LỤC Nội dung Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức Một số khái niệm 2 Số gần sai số Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 14 Các khái niệm tổng quát 14 Bài toán biên 21 Nguyên lý cộng nghiệm phương pháp tách biến 22 Bài toán Côsi 23 Phương trình đạo hàm riêng cấp m 25 Phương trình vật lý toán 26 Chương 3: Giải gần toán phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân 28 Phương pháp sai phân 28 Phương pháp sai phân giải gần phương trình Eliptic 33 Phương pháp sai phân giải gần phương trình Hyperbolic 47 Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic 51 Chương 4: Bài tập ứng dụng 57 Dạng tập 57 Ví dụ 58 Bài tập đề nghị 68 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 75 K34A- Toán [...]... là phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng có dạng: u1 u n  k ui F ( x1 , x2 , , xn ; u1 , u 2 , , u n ; , , , , k 1 ; )  0 , x1 x1  x1  kn xn Trong đó F là một hàm số của nhiều biến số Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình Ví dụ:  2u  2 x  5 y là phương trình đạo hàm riêng cấp hai xy 1.1.2 Các phương trình đạo hàm riêng quan... các phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng, phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được sử dụng phổ biến nhất 1 Phương pháp sai phân 1.1 Cơ sở của phương pháp Cơ sở của phương pháp sai phân được thể hiện như sau: Trong miền biến thiên của các biến độc lập chúng ta tạo ra một lưới nhờ các đường... Văn Ninh - Lập luận khả năng giải được của hệ phương trình nhận được và xác định nghiệm đúng hoặc gần đúng của nó bằng một phương pháp gần đúng nào đó - Đánh giá sai số của phương pháp mà sai số được tích lũy dần từ ước lượng sai số xấp xỉ của phương trình vi phân với các điều kiện biên 1.2 Phương pháp chung Để giải bài toán phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân ta thực hiện các bước sau:... nghiệm của phương trình (2.1.3) Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương trình tách biến: Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng tích của các hàm chưa biết mà mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến... u1, ,un là các hàm của các biến x1, ,xn và u1, ,un là các hàm phải tìm Nếu phương trình (2.5.1) chứa ít nhất 1 đạo hàm cấp m và không chứa đạo hàm cấp thấp hơn m thì phương trình (2.5.1) gọi là phương trình đạo hàm riêng cấp m Ví dụ: x  4 u1  4u2  2 u 1 u 2  y  sin x   xu  0  x y  x  xy 2 z y 2 z 3 Phương trình trên là phương trình đạo hàm riêng cấp 4 5.2 Một số phương trình thường... n a) Phương trình Laplace: u   i 1 b) Phương trình Hyperbolic: c) Phương trình Parabolic:  2u 0  x i2  2u  u  0 t 2 u  u  0 t 6 Phương trình vật lý toán 6.1 Các phương trình vật lý toán cơ bản Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của nó Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 đối với hàm 2... Tỷ sai phân cấp n của đa thức bậc n là một hằng số SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết 15 K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm tổng quát 1.1 Phương trình đạo hàm riêng 1.1.1.Khái niệm Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1,u2, ,un , các biến số độc lập x1,x2, ,xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm được gọi là phương. .. 2 y z y Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: F ( x 2  y 2 , )  0 1.3 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai - Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng 2 chính là số cấp của phương trình - Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ một nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý - Nghiệm đặc biệt là... xỉ bằng một tổ hợp các giá trị của hàm lưới tại các điểm lưới gần biên hoặc ngay trên biên, cụ thể là: ui  h ,k  uik  u     h  x  ik u  uik  u     i ,k l l  y  ik (3.1.3) 3) Bước 3: Giải hệ phương trình đại số thu được Tập hợp các phương trình sai phân thu được ở bước 2 cho ta một hệ phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân này chính là một hệ phương trình đại số tuyến... phương pháp tách biến Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương pháp tách biến (phương pháp Fourier) là một trong những phương pháp quan trọng nhất Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thỏa mãn điều kiện biên Các định lý sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp Định lý: (Nguyên lý cộng nghiệm) Giả sử 1 ,  2 , ,  n 1 là nghiệm của phương trình ... Trong số phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng, phương pháp sai phân (còn gọi phương pháp lưới) sử dụng phổ biến Phương pháp sai phân 1.1 Cơ sở phương pháp Cơ sở phương pháp sai phân. .. nghiệm phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng phương pháp gần Có nhiều phương pháp để giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hai phương pháp phổ biến Ý tưởng phương pháp. .. 1.1 Phương trình đạo hàm riêng 1.1.1.Khái niệm Phương trình liên hệ ẩn hàm u1,u2, ,un , biến số độc lập x1,x2, ,xn đạo hàm riêng ẩn hàm gọi phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng