biến đổi tích phân và ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Trịnh Khắc Bình i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp 1.2 Các định lý quan trọng 1.3 Tích chập 1.4 Tích phân Dirichlet 3 lý thuyết tích phân Chuỗi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier thông thường 2.1.1 Khái niệm chuỗi Fourier 2.1.2 Hội tụ chuỗi Fourier 2.2 Chuỗi Fourier - cosin chuỗi Fourier - sin 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Sự hội tụ chuỗi Fourier 2.2.3 Các ví dụ 2.3 Sự hội tụ chuỗi Fourier L2 2.3.1 Dãy trực giao 2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 2.4 Chuỗi Fourier phức 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Đẳng thức Parseval 2.5 Các tốn biên cho phương trình Laplace hình chữ nhật 2.5.1 Bài toán 2.5.2 Bài toán 2.5.3 Bài toán 2.6 Phương trình dạo động ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 13 13 14 16 16 16 21 22 22 24 27 27 28 28 29 30 31 32 2.6.1 2.6.2 Phương trình dao động tự Phương trình dao động cưỡng Biến đổi Fourier 3.1 Khái niệm tích phân Fourier 3.2 Biến đổi Fourier 3.3 Các tính chất biến đổi Fourier 3.4 Biến đổi Fourier Lp 3.5 Phương trình Laplace miền nửa dải 3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng 3.7 Phương trình Laplace góc phần tư mặt 3.8 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt Biến đổi Laplace 4.1 Định nghĩa 4.2 Các tính chất 4.3 Biến đổi Laplace ngược 4.4 Phương trình vi phân thường 4.5 Phương trình đạo hàm riêng 4.6 Phương trình tích phân Volterra 37 37 40 43 48 51 52 55 57 phân 59 59 61 66 70 73 77 phẳng Phương trình vi- tích 32 34 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 iii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương pháp biến đổi tích phân phương pháp giải tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi tích phân quan trọng, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel, v.v từ lâu sử dụng giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng miền khảo sát thích hợp chuyển phương đại số tương ứng Từ đó, sử dụng cơng thức nghịch đảo, ta tìm ẩn hàm mong muốn Bản luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin biến đổi Laplace số ứng dụng chúng phương trình đạọ hàm riêng số loại phương trình tuyến tính khác Luận văn gồm phần Mở đầu, chương, Kết luận tài liệu tham khảo Bản luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [1-5] Chương 1, trình bày số kiến thức giải tích giải tích hàm cần thiết chương sau Các kiến thức chương tìm thấy tài liệu [1] Chương 2, trình bày sở lý thuyết chuỗi Fourier hàm lượng giác ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền hữu hạn Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu [1, 4, 5] Chương 3, trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền vô hạn Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1, 2, , 4] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 4, trình bày sở lý thuyết biến biến đổi Laplace số ứng dụng giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập Các kiến thức chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1, 4] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích giải tích hàm cần thiết chương sau Các kiến thức chương tìm thấy tài liệu [1] 1.1 Khơng gian Lp Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R với ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa Lp (Ω) = {f : Ω → R C; f đo |L|p khả tích }, L∞ (Ω) = {f : Ω → C; f đo ∃C, |f (x)| ≤ C h.h Ω }, kí hiệu:  1/   p p f p= |f (x)| dx ,   Ω f ∞= inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì: |f (x)| ≤ f ∞, h.h x ∈ Ω Ta ký hiệu p số liên hợp p, ≤ p ≤ ∞, i.e, p + p = Chữ "nghĩa là" thường viết tắt "i.e", chữ "hầu hết" viết tắt "h.h" Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Hălder) o Cho f Lp () v g Lp (Ω) với ≤ p ≤ ∞ Khi f.g ∈ L1 Ω |f.g| ≤ f p g p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dựa vào bất ng thc Hălder, ta chng minh c o nh lý 1.2 Lp (Ω) không gian vector · với ≤ p ≤ ∞ p chuẩn Định lý 1.3 (Fischer – Riesz ) (a) Lp không gian Banach với ≤ p ≤ ∞ (b) Giả sử (fn ) dãy hội tụ f không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, fn − f p → Thế có dãy (fnk )k=1,2, cho: fnk (x) → f (x) h.h, ∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h, với h hàm Lp Với Ω mở R, ta ký hiệu C k (Ω) không gian hàm số khả vi liên tục đến cấp k C ∞ (Ω) = ∞ C k (Ω) Cịn Cc (Ω) khơng gian k=1 hàm số f liên tục Ω cho giá (support) f , tức tập hợp suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0}, compact chứa Ω, ký hiệu gạch ngang bao đóng tập hợp Đặt k Cc (Ω) = C k (Ω) Cc (Ω), ∞ Cc (Ω) = C ∞ (Ω) Cc (Ω) Ta có kết sau tính trù mật ∞ Định lý 1.4 Với ≤ p < ∞ (lưu ý p = ∞), Cc (Ω) trù mật Lp (Ω) Định lý 1.5 (Riemann- Lesbesgue) Cho f ∈ L1 (a, b) với (a, b) khoảng hữu hạn vô hạn R, ta có b lim b f (x) cos N xdx = N →∞ lim f (x) sin N xdx = N →∞ a a Chứng minh Hai điều khẳng định định lý chứng minh theo cách giống Vì ta chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho trước ε > Từ định lý tính trù mật ta có hàm g (chỉ phụ ∞ thuộc vào ε) Cc (a, b) cho b ε |f (x) − g (x)|dx < a Vì g có giá trị compact (a, b) nên g triệt tiêu bên khoảng hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b) Do β b g (x) cos N xdx = g (x) cos N xdx a α β 1 g (x) sin N x|β − α N N = g (x) sin N xdx α β = N g (x) sin N xdx α β N ≤ |g (x)| dx = g N α Vậy với N đủ lớn b ε g (x) cos N xdx < , a kéo theo b b f (x) cos N xdx (f (x) − g (x)) cos N xdx + = a b a b ≤ g (x) cos N xdx a b |f (x) − g (x)| dx+ a g (x) cos N xdx a ε ε + = ε < 2 Kết thúc chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tích phân (4.10) hiểu theo nghĩa giá trị chính, cơng thức có tên cơng thức Mellin Chứng minh Với x > α0 , đặt: g (t) = e−xt f (t) Ta có g trơn khúc khoảng hữu hạn nửa trục t ≥ Ngồi ra, ta có ∞ ∞ e−xt |f (t)| dt |g (t)| dt = 0 ∞ ∞ e−xt e(α0 +ε)t dt = M ≤ M e−(x−α0 +ε)t dt Chọn ε > cho x − α0 − ε > 0, g khả tích Sử dụng cơng thức tích phân Fourier chương lưu ý g(u) triệt tiêu u < 0, ta có: ∞ g (t) = √ 2π −∞ ∞ ∞ g (λ) eitλ dλ = √ ˆ 2π g (u) eiλ(t−u) dudλ −∞ Suy ra: ∞ ∞ e−xt f (t) = 2π e−xu f (u) eiλ(t−u) dudλ −∞ ∞ = 2π ∞ −∞ Do đó: f (u) e−u(x+iλ) du eiλt dλ ∞ f (t) = 2π et(x+iλ) F (x + iλ) dλ −∞ Biến đổi p = x + iλ ta (4.10) Áp dụng định lý trên, ta chứng minh tính chất sau phép biến đổi Laplace Định lý 4.3 Cho hàm gốc f, g trơn khúc nửa trục t ≥ có số tăng α0 β0 Giả sử L (f ) = F, L (g) = G Khi f g hàm gốc với số tăng α0 + β0 , và: x+i∞ L (f g) = 2πi F (v) G (p − v) dv, x−i∞ 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.11) x > α0 , Rep > x + β0 Chứng minh Hiển nhiên f g hàm gốc với số tăng α0 + β0 Sử dụng công thức Mellin, ta có ∞ e−pt f (t) g (t) dt L (f g) = ∞ e−pt g (t)  = x+i∞  2πi evt F (v) dv  dt x−i∞ ∞ x+i∞ = 2πi e(v−p)t g (t) dt F (v) dv x−i∞ x+i∞ = 2πi  F (v) G (p − v) dvz x−i∞ Trong định lý 4.2, ta rút công thức Mellin từ giả thiết F biến đổi Laplace hàm gốc Vấn đề đặt F phải thỏa mãn điều kiện để biến đổi Laplace hàm gốc Ta có định lý mà phần chứng minh bỏ qua Định lý 4.4 Cho hàm F thỏa mãn điều kiện sau: (i) F giải tích miền Rep > α0 (ii) Khi |p| → ∞ miền Rep > α0 hàm F tiến theo arg p ∈ −π , π 2 (iii) Với x > α0 : x+i∞ |F (x + iy)| dy ≤ M, (4.12) x−i∞ M số Khi hàn F xác định Rep > α0 biến đổi Laplace hàm f định x+i∞ f (t) = 2πi ept F (p) dp, x > α0 x−i∞ 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý cho phép ta tìm hàm gốc hàm qui vô cực Định lý 4.5 Giả sử thác triển giải tích F lên nửa mặt phẳng trái hàm giải tích đơn trị Giả sử L (f ) = F p = ∞ điểm qui F, nghĩa F có khai triển vô cực sau: ∞ cn pn F (p) n=1 Khi (4.13) ∞ tn f (t) = cn+1 , n! n=0 t > (4.14) Nhận xét 4.1 Trong ví dụ trước ta biết L [tn ] = định lý có nghĩa là: ∞ tn L cn+1 = n! n=0 ∞ n=0 n! pn+1 đó, cn+1 L [tn ] n! Chứng minh Ta khảo sát hội tụ chuỗi (4.14) Giả sử chuỗi (4.13) hội tụ bên đường trịn bánh kính R0 Khi |F (p)| ≤ C , R1 |p| = R1 Từ ta có đánh giá hệ số cn+1 chuỗi (4.13): |cn+1 | = 2πi n F (p) pn dp ≤ M1 R1 , |p|=R1 suy ∞ ∞ (R1 |t|)n |t|n ≤ M1 = M1 eR1 |t| |cn+1 | n! n! n=0 n=0 Vậy chuỗi (4.14) hội tụ tuyệt đối hội tụ đoạn [−N, N ] với N > tùy ý, tổng chuỗi hàm gốc Do tính hội tụ đều, ta có: N ∞ e−pt tn cn+1 n! n=0 N ∞ dt = n=0 ∞ = n=0 cn+1 n! e−pt tn dt  ∞ cn+1  n! ∞ e−pt tn dt −  e−pt tn dt N 69 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∞ ∞ ∞ = n=0 cn+1 cn+1 − pn+1 n=0 n! e−pt tn dt (4.15) N Ta khảo sát chuỗi thứ hai trên: với Rep = R1 > R0 , ta có: |cn+1 | n! ∞ ∞ |cn+1 | ≤ n! e−pt tn dt N = |cn+1 | n+1 n!R1 e−R1 t tn dt N = ∞ |cn+1 | e−R1 t tn dt < n! ∞ e−u un du = |cn+1 | n+1 Γ (n + 1) n!R1 |cn+1 | n+1 R1 ∞ Suy với Rep = R1 > R0 , chuỗi n=0 cn+1 n! ∞ e−pt tn dt hội tụ theo N Mặt N khác, số hạng chuỗi tiến N → ∞ nên từ (4.15) ta suy ∞ ∞ e −pt ∞ tn cn+1 n! n=0 dt = n=0 cn+1 , pn+1 dẫn đến đpcm Ví dụ 4.9 Tìm hàm f thỏa mãn L (f ) = F , F định bởi: F (p) = p2 + Khai triển hàm F thành chuỗi Laurent lân cận p = ∞ ∞ (−1)n F (p) = n=0 (2n)! , |p| > 22n (2!)2 p2n+1 Do định lý trên, ta được: ∞ (2n)! t2n f (t) = (−1) = 22n (2!)2 (2n)! n=0 n 4.4 ∞ t (−1) (n!)2 n=0 n 2n Phương trình vi phân thường Ví dụ 4.10 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây: y − y = 6e2x , y(0) = y (0) = 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời giải Cách1: Phương trình đặc trưng λ2 − = có nghiệm λ1,2 = ±1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y0 = C1 ex + C2 e−x , C1 , C2 số tùy ý Vì khơng phải số đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng yr = Ae2x Thay nghiệm riêng vào phương trình, ta tìm A = 2, yr = 2e2x Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−x + 2e2x Ta có y(0) = C1 + C2 + = 0, y (0) = C1 − C2 + = Từ suy C1 = −3, C2 = Vậy nghiệm phương trình là: y = −3ex + e−x + 2e2x Cách 2: Ta tìm nghiệm nhờ phương pháp biến đổi Laplace Xét phương trình miền x ≥ tác động biến đổi Laplace vào hai vế phương trình, ta được: L[y ](p) − L[y](p) = L[6e2x ](p) Sử dụng công thức biến đổi Laplace, đặt Y (p) = L[y], ta có: p2 [Y (p) − y(0) y (0) − ] − Y (p) = (p2 − 1)Y (p) = , p p p−2 Rep > Suy ra: Y (p) = = − + (p2 − 1)(p − 2) p − p − p + Lấy biến đổi Laplace ngược, ta được: y(x) = L−1 [Y (p)](x) = L−1 [ ] − L−1 [ ] + L−1 [ ] p−2 p−1 p+1 = 2e2x − 3ex + e−x Ví dụ 4.11 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây: y + 2y − 3y = e−t , y (0) = y (0) = Lời giải Đặt Y = L [y], lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình sử dụng tính chất 4.5, ta có: , p2 Y (p) + 2pY (p) − 3Y (p) = p+1 71 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suy ra: 1 + + (p + 1) (p − 1) (p + 3) 1 = L − e−t + et + e−3t 8 Y (p) = − Vậy 1 y (t) = − e−t + et + e−3t 8 Ví dụ 4.12 Giả sử y ∗ nghiệm phương trình với hệ số a0 y (n) + a1 y (n−1) + + an y = 1, y(0) = y (0) = = y (n−1) (0) = 0, (∗) Khi nghiệm phương trình a0 y (n) +a1 y (n−1) + +an y = f (x), y(0) = y (0) = = y (n−1) (0) = 0, (∗∗) cho công thức : t y(t) = y ∗ (0)f (t) + y ∗ (τ )f (t − τ )dτ, (∗ ∗ ∗) Lời giải Thật vậy, lấy biến đổi Laplace phương trình (*) (**), ta được: Y ∗ (p)(a0 pn + a1 pn−1 + + an ) = , p Y (p)(a0 pn + a1 pn−1 + + an ) = F (p) Suy ra: Y (p) = pY ∗ (p)F (p) Theo công thức Duhamel t f (τ )g(t − τ )dτ (p) L f (0)g(t) + t f (t − τ )g(τ )dτ (p) = pF (p)G(p), = L f (0)g(t) ta có: t ∗ Y (p) = L y (0)f (t) + y ∗ (τ )f (t − τ )dτ (p) Từ suy cơng thức (***) 72 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 4.5 Phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 4.13 (Bài toán giá trị biên ban đầu bậc nhất) Giải phương trình: ut + xux = x, x > 0, t > 0, (4.16) với điều kiện biên ban đầu: u (x.0) = 0, với x > 0, (4.17) u (t.0) = 0, với t > (4.18) Lời giải Áp dụng phép biến đổi Laplace u(x.t) ta có: s u (x, s) + x ¯ d¯ x u = , dx s u (0 s) = ¯ Sử dụng thừa số tích phân xs , nghiệm phương trình sau biến đổi là: x u (x s) = Ax−s + ¯ , s (x + 1) A số tích phân Từ u (0 s) = 0, A = nghiệm ¯ biên Vậy ta có nghiệm: u (x s) = x =x − s (x + 1) s s+1 Phép biến đổi Laplace cho ta được: u (x t) = x − e−t Ví dụ 4.14 Tìm nghiệm phương trình: ux + xut = x, x > 0, t > 0, (4.19) với điều kiện biên ban đầu (4.17) (4.18) Lời giải Áp dụng phép biến đổi Laplace t vào (4.19) với điều kiện ban đầu: d¯ u x + xsu = ¯ dx s Sử dụng thừa số tích phân exp x2 s cho ta nghiệm: u (x s) = ¯ 1 + A exp − x2 s , s2 73 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn A số tích phân Từ u (0 s) = 0, A = − s12 Vậy ta có ¯ nghiệm là: 1 (4.20) u (x s) = − exp − x2 s ¯ s Cuối ta thu nghiệm nhờ phép biến đổi ngược: x2 u (x t) = t − t − x2 H t − 2 (4.21) Hoặc viết dạng tương đương: 2t < x2 2t > x2 t với x2 với u (x t) = (4.22) Ví dụ 4.15 (Phương trình truyền nhiệt mơi trường bán vơ hạn) Giải phương trình: ut = κuxx , x > 0, t > (4.23) Với điều kiện biên ban đầu: u (x 0) = với x > (4.24) u (0 t) = với t > (4.25) u (x t) → với x → ∞, t > (4.26) Lời giải Áp dụng phép biến đổi Laplace t vào phương trình (4.23) ta thu được: d¯ u s − u = ¯ (4.27) dx2 κ Nghiệm tổng quát phương trình là: u (x, s) = A exp −x ¯ s κ + B exp x s κ (4.28) Trong A, B số tích phân Đối với điều kiện biên, B ≡ 0, sử ¯ dụng u (0.s) = f (s) ta thu nghiệm: ¯ ¯ u (0.s) = f (s) exp −x ¯ s κ (4.29) Định lý đảo cho ta nghiệm: t x u (x, t) = √ πκ f (t − τ ) τ −3/2 −x2 exp 4κτ dτ , 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.30) x đó, đặt λ = 2√κτ hay dλ = Vậy nghiệm toán là: −x2 3/2 √ τ dτ κ ∞ u (x, t) = √ π x √ κτ x2 f t− 4κλ2 e−λ dλ (4.31) Nói riêng, f (t) = T0 số nghiệm (4.31) trở thành: ∞ 2T0 u (x, t) = √ π x √ κt e−λ dλ = T0 erf c √x Kτ (4.32) Rõ ràng, phân bố nhiệt tiến gần đến giá trị T0 t → ∞ Ta xét toán vật lý khác có liên quan đến việc xác định phân bố nhiệt vật rắn biên vô hạn mà tốc độ dòng chảy nhiệt x = Như tốn đưa đến việc giải phương trình (4.23) với điều kiện (4.24) (4.26) −k ∂u ∂x = g (t) , atx = 0, t>0 (4.33) k số hay số truyền nhiệt Áp dụng phép biến đổi Laplace cho nghiệm toán biến đổi: u (x, s) = ¯ κ g (s) exp −x ¯ s k s κ (4.34) x2 exp − dτ, 1κt (4.35) Dựa vào biến đổi Laplace ngược cho ta nghiệm: t u (x, t) = k κ π g (t − τ ) τ −1 có thay đổi λ = ∞ x = √ k π √x 4κt x √ κτ x2 g t− 4κλ2 λ−2 e−λ dλ Nói riêng, g(t) = T0 số nghiệm trở thành: ∞ u (x, t) = T0 x √ k π λ−2 e−λ dλ π √ κt 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.36) Thực phép lấy tích phân phần cho nghiệm: T0 u (x, t) = κ x2 kt exp − π 4κt − xerf c x √ κt (4.37) Bài tốn truyền nhiệt giải việc sử dụng đạo hàm phân thức Ta viết lại dạng: ∂u ¯ =− ∂x s u ¯ κ (4.38) Theo (4.35) phương trình biểu thị thành số hạng phân thức đạo hàm bậc như: √ ∂u 1 = − √ L−1 s¯ (x, s) = − √ Dt2 u (x.t) u ∂x κ κ (4.39) Như thông nhiệt lượng biêu diễn thành số hạng phân thức đạo hàm Nói riêng mà u(0.t) = To số nhiệt lượng bề mặt là: ∂u kT0 k −k (4.40) = √ Dt2 T0 = √ ∂x x=0 κ πκt Ví dụ 4.16 (Phương trình mơi trường hữu hạn khuyết tán) Giải phương trình khuyết tán ut = κuxx , < x < a, t > 0, (4.41) với điều kiện biên ban đầu: u (x.0) = 0 < x < a, (4.42) u (0.t) = U t > 0, (4.43) ux (a.t) → t > 0, (4.44) U số Lời giải Áp dụng phép biến đổi Laplace u(x.t) với biến t ta thu được: d2 u s ¯ − u = 0, ¯ dx2 κ u (0, s) = ¯ U , s < x < a, d¯ u dx = x=a 76 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.45) (4.46) Nghiệm tổng quát phương trình 4.45 là: s κ u (x, s) = A cosh x ¯ + B sinh x s , κ (4.47) với A B số tích phân Sử dụng (4.46) ta có A, B để nghiệm (4.47) trở thành: U cosh (a − x) u (x, s) = ¯ s s cosh a κ s κ (4.48) Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược cho ta nghiệm: cosh (a − x) s s cosh a κ −1 u (x, t) = U L u (x, t) = U + π ∞ n n=1 (−1) 2n−1 × exp −(2n − 1) cos π κt 2a s κ , (4.49) (2n−1)(a−x)π 2a (4.50) Đây mở rộng số hạng: u (x, t) = U − π × exp −(2n − ∞ 2n−1 (2n−1) 2a πx sin n=1 π 1)2 2a κt (4.51) Kết thu phương pháp biến phân ly 4.6 Phương trình tích phân Volterra Phương trình vi- tích phân Ví dụ 4.17 Tìm nghiệm x phương trình tích phân Volterra loại t sin (t − τ ) x (τ ) dτ = t sin t (4.52) Lời giải Đặt L (x) = X Nhắc lại L (t sin t) = 2p 2, (p2 +1) ( xem lại ví dụ mục trước) Dùng tính chất 4.9 biến đổi Laplace, phương trình (4.16) trở thành X (p) 2p = , p2 + (p2 + 1)2 77 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suy X (p) = 2p = 2L (cos t) (p2 + 1)2 Vậy x (t) = cos t Ví dụ 4.18 Tìm nghiệm toán  t  x (t) + x (t) = sin t + sin (t − τ ) x (τ ) dτ ,  x (0) = 0, x (0) = (4.53) Lời giải Đặt L (x) = X Dùng tính chất 4.5 biến đổi Laplace, ta có: L (x ) = p2 X (p) − px (0) − x (0) = p2 X (p) − Ngoài ra, L (sin t) = p21 tính chất 4.9 nên: +1  t    L sin (t − τ ) x (τ ) dτ = L [sin t ∗ x (t)]   = L (sin t) L (x) = X (p) p2 + Từ đó, phương trình (4.17) trở thành: p2 X (p) − + X (p) = p2 X (p) + +1 p +1 Suy ra: X (p) +1 p2 + − p2 + p +1 p2 + = = = L (t) (p2 + 1)2 − p X (p) = Vậy x (t) = t Ví dụ 4.19 Giải phương trình vi tích phân: t f sin (t − τ ) dτ , f (t) = a sin t + f (0) = 0 78 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.54) Lời giải Thực phép biến đổi Laplace ta thu được: ¯ f (s) = a + 2L {f (t)} L {sin t} , s2 + ¯ f (s) = ¯ sf (s) − f (0) a +2 , s2 + s2 + với điều kiện ban đầu: ¯ f (s) = a (s − 1)2 Kết phép biến đổi thu nghiệm: f (t) = a (s − 1)2 (4.55) Ví dụ 4.20 Giải phương trình tích phân: t f (t) = atn − e−bt − c f (τ ) ec(t−τ ) dτ Lời giải Thực phép biến đổi Laplace thu được: a n! c ¯ ¯ f (s) = n+1 − − f (s) s s+b s−c Như ta có: ¯ f (s) = = = = = s−c c a n! − sn+1 a n! − sn+1 a n! − sn+1 a n! − sn+1 a n! − sn+1 s + b (ac) n! s + b − c − b − s+b sn+2 s (ac) n! c + b 1 − + − sn+2 s b s s+b (ac) n! c c − + 1+ − 1+ sn+2 s b s b s+b (ac) n! c c + − 1+ sn+2 bs b s+b Kết phép biến đổi cho ta nghiệm: f (t) = atn − ac n! n+1 c c −bt t + − 1+ e (n + 1)! b b 79 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.56) Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: Các kiến thức quan trọng giải tích giải tích hàm khơng gian Lp hàm khả tổng, định lý tích phân, tích chập tích phân Dirichlet Lý thuyết chuỗi Fourier (Biến đổi Fourier hữu hạn), biến tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin biến đổi tích Laplace Đối với phép biến đổi tích phân, luận văn trình bày ứng dụng giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Phần lớn ứng dụng phép biến đổi tích phân dành cho việc giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng hay tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt hay truyền sóng 80 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng - Trần Lưu Cường - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân, (2001), Biến đổi tích phân, NXB GD [2] Dean G Duffy, (2004), Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, Chapman and Hall/crc, A CRC Press Company Boca Raton Lon Don New York Washington, D.C [3] E.C Titchmararsh, (2003), Introduction to the theory of Fourier integrals, Oxford at the clarendon press [4] Lokenath Debnath and Dambaru Batta, Integral Transforms and their Applications, (2007) by Taylor and Francis Group [5] Paul Duchateau and Davi W Zachmann, (1986) Theory and Problems of Partial Differential Equations, New York Mc Graw- Hill 81 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi tích phân quan trọng, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến. .. biến đổi Hankel, v.v từ lâu sử dụng giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình vi phân, phương trình tích. .. đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin biến đổi Laplace số ứng dụng chúng phương trình đạọ hàm riêng số loại phương trình tuyến tính