Biến đổi fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn đăng đài Biến đổi fourier phân ứng dụng Giải ph-ơng trình khuếch tán đối Với toán tử vi phân phân luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn đăng đài Biến đổi fourier phân ứng dụng Giải ph-ơng trình khuếch tán đối Với toán tử vi phân phân Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60 46 01 12 luận văn thạc sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun Văn Ngọc thái nguyên - 2012 2S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TỐN TỬ VI PHÂN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - Năm 2012 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 1.1 Không gian Lizorkin 1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 1.3 Đạo hàm cấp phân tốn tử tích phân phân 1.4 Biến đổi Fourier phân đạo hàm cấp phân 11 Phương trình khuếch tán tốn tử vi phân cấp phân 14 2.1 Biến đổi Laplace 14 2.2 Toán tử vi phân cấp phân 18 2.3 Bài toán Cauchy phương trình khuếch tán phân theo biến thời gian 21 2.4 Phương trình khuếch tán phân với biến không gian - thời gian 23 2.5 Phương trình khuếch tán phân trình với thời gian ngẫu nhiên khác 2.5.1 Chuyển động Brownian lặp tạo phương trình khuếch tán phân 2.5.2 25 25 Nghiệm rõ ràng phương trình khuếch tán phân với ν = 1/3, ν = 2/3, ν = 4/3 Kết luận 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Các biến đổi Fourier phân cơng cụ tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng tốn học kỹ thuật Biến đổi Fourier phân giới thiệu vào khoảng năm 1929 Những biến đổi ứng dụng đặc biệt học lượng tử, vật lý lý thuyết, hóa học, quang học, kỹ thuật điện, sử lý tín hiệu nhiều lĩnh vực khác khiến cho biến biến đổi Fourier ba tiến quan trọng của toán học phần tư cuối kỷ XIX Những viết biến đổi Fourier phân thực bởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1937 Điều quan trọng suốt thập niên 80 kỉ XX xuất nhiều viết theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980 [5], McBride Kerr 1987 [4] Tuy nhiên, số lượng ấn phẩm thực bùng nổ sau phép biến đổi áp dụng quang học sử lý tín hiệu cơng bố Biến đổi Fourier phân khái qt tốn tử tích phân Fourier thông thường Việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình khuếch tán phân tốn tử vi phân phân với biến không gian - thời gian [3,7] Để giải phương trình khuếch tán phân ngồi biến đổi Fourier phân cần đến biến đổi Laplace Nghiệm uν = uν (x, t) phương trình khuếch tán phân với cấp < ν ≤ mật độ tích loại khác trình ngẫu nhiên Đối với phương trình khuếch tán phân cấp ν = 21n , n ≥ 1, nghiệm u1/2n tương ứng phân phối chuyển động Brownian lặp n lần Trường hợp phương trình khuếch tán 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ≥ liên quan tới chuyển động Brownian trình với mật độ biểu thị số hạng hàm Airy Trong trường hợp đặc biệt uν trùng với phân phối chuyển động Brownian với thời gian ngẫu nhiên trình khác với thời gian Brownian Các kết nghiên cứu phép biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng vật lý, học điện tử, kĩ thuật điện số ngành khoa học khác Sự ứng dụng rộng dãi nhiều lĩnh vực khoa học toán học phép biến đổi Fourier ứng dụng giải phương trình khuếch tán phân tốn tử vi phân phân nói lên tầm quan trọng vấn đề Vì thế, tơi lựa chọn luận văn mong muốn tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập giới thiệu kết bật biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa quan tâm nhiều ứng dụng việc giải phương trình khuếch tán phân tốn tử vi phân phân với biến không gian - thời gian nhằm thúc đẩy phát triển khoa học kỹ thuật khoảng hai thập niên gần Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Giới thiệu tổng quan biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa xét không gian Lizorkin Đây phép biến đổi Fourier phân quan tâm nhiều lý thuyết ứng dụng Chương 2: Giới thiệu ứng dụng biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân tốn tử vi phân phân với biến khơng gian - thời gian Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Em xin bày phân cấp ν = 3n , n 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K4C ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đăng Đài 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa Trong chương trình bày sở biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa Y Luchko, H Martinez, J Trujillo đưa [3], mà tạm gọi biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa MLT Phép biến đổi xét không gian Lizorkin 1.1 Không gian Lizorkin Không gian Lizorkin không gian không gian hàm giảm nhanh S, trước hết chúng tơi trình bày khái niệm không gian S [ 2] Định nghĩa 1.1.1 Ký hiệu S = S(R) tập hợp tất khả vi vô hạn R, cho |[φ]|m,n := sup (1 + x2 )m |Dn φ(x)| < ∞, D = d/dx, n≤m,x∈R m, n = 0, 1, Dãy {φk } hàm S hội tụ S đến hàm φo ∈ S, |[φk − φo ]| → k → +∞ Định nghĩa 1.1.2 ([ 2]) Biến đổi Fourier u ˆ(ξ) hàm u(t) ∈ S cho công thức ∫ uˆ(ξ) = F[u](ξ) = 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên +∞ u(t)eiξt dt (1.1) −∞ http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Theo thay thế, công thức (2.47) biến đổi thành √ −1 −1/2n+1 √ −1 −1/2n 2(2 t) 2(2 t) √ u1/2n (x, t) = (2.48) n+1 n (2t)1/2 21−1/2 ( n)n+1 ∫ ∞ −x2 /(2z1 ) ∫ ∞ −z12 /(2z2 ) e e × dz1 dz2 √ √ z1 z2 0 ( ) n−2 ∏ ∫ ∞ ∫ ∞ n−2 1/2n−j−1 2 −1 1/2 −z2 / (2 t) j=1 wj × e × n−2 ∏ −1/2n−j −1/2 − wj e ∑n−2 j=1 wj dw1 dwn−2 j=1 Biến đổi tương tự, sau (n − 3) bước bổ sung, có √ n+1 n 2n−1 (2−1 t)−1/2 −1/2 − −1/2 √ u1/2n (x, t) = (2t)1/2n+1 21−1/2n ( n)n+1 ∫ ∞ −z12 /(2z2 ) ∫ ∞ −x2 /(2z1 ) e e dz1 dz2 × z z 0 ∫ ∞ ( ) 1/2 / 22 [(2−1 t) w1/2 ] −w1 −1/22 −1/2 −zn−1 × e e w1 dw1 Đặt 2(2−1t )1/2 w1 1/2 = zn nhận w1 = (zn 2−1 (2−1 t)−1/2 )2 dw1 = 2zn dzn (2−1 (2−1 t)−1/2 )2 Chúng ta đến biểu thức cuối √ n+1 n 2n (2−1 t)−1/2 −1/2 − −1/2 −1/2 √ u1/2n (x, t) = (2t)1/2n+1 21−1/2n ( n)n+1 ∫ ∞ −z12 /(2z2 ) ∫ ∞ −x2 /(2z1 ) e e dz1 dz2 × √ z1 z2 0 ∫ ∞ −zn−1 /(2zn ) e × e−zn /(2t) dzn √ zn 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2n = n/2+1/2 √ n+1 √ ( n) t ∫ ∞ −x2 /(2z1 ) ∫ ∞ −zn−1 /(2zn ) e e × dz1 e−zn /(2t) dzn , √ √ z1 zn 0 trùng với (2.42) Nhận xét 2.5.3 Nó biết đến biến đổi Laplace - Fourier nghiệm (2.23) với điều kiện ban đầu (2.24) (2.25) bằng, < ν ≤ ∫ +∞ ∫ +∞ −st e ds eiβx uν (x, t)dx = −∞ sν−1 , sν + λ2 β s > 0, β ∈ R (2.49) Chúng ta kiểm tra biến đổi Laplace - Fourier (2.42) giảm tới (2.49) n ν = 21n λ2 = 21/2 ∫ +∞ eiβx u1/2n (x, t)dx −∞ ∫ ∫ −2 ∫ ∞ −zn2 /(2t) −x2 /(2z1 ) e e √ √ eiβx dx = 2n dz1 dzn 2πz1 2πt −∞ 0 ∫ ∞ ∫ ∞ −z22 /(2z3 ) ∫ ∞ −zn2 /(2t) −z12 /(2z2 ) e e e √ √ e−β /2z1 √ = 2n dzn dz1 dz2 2πz2 2πz3 2πt 0 ∫ ∫ ∞ −zn2 /(2t) ∞ ( )r ∑ β ∞ r e−z1 /(2z2 ) e n √ − =2 z1 √ dz1 dzn r! 2πz 2πt 0 r=0 )r )∫ ∞ ( ∫ ∞ −zn2 /(2t) ∞ ( −z22 /(2z3 ) ∑ 2r/2−1 β2 r+1 e n re √ Γ √ =2 − z2 √ dz2 dzn r! π 2πz 2πt 0 r=0 )r ( ) ( ) ∞ ( ∑ β2 2r/2−1 2r/4−1 r r n √ Γ =2 − + Γ + r! ( π) 2 r=0 ∫ ∞ −zn2 /(2t) ∫ ∞ −z32 /(2z4 ) e e √ dz3 dzn × z3r √ 2πz4 2πt 0 +∞ ∞ 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 ∞ ( )r r/2−1 r/4−1 r/2n−1 −1 ∑ β 2 √ n−1 = 2n − r! ( π) (r=0 ) ( ) ( ) r r r ×Γ + Γ 2+ Γ n−1 + 2 2 2 ∫ ∞ −zn /(2t) r/2n−1 −1 e √ × zn dzn 2πt )r n ∞ ( ∑ β2 2r/2+r/4+ +r/2 −n r/2n n √ n − t =2 r! ( π) (r=0 ) ( ) ( ) r r r ×Γ + Γ 2+ Γ n + 2 2 2 Áp dụng cơng thức nhân có ) ( ) ( ) ( r r r 1 Γ 2+ Γ n + Γ + 2 2 2 √ 1−r Γ(r) √ 1−r/2 Γ(r/2) √ 1−r/2n−1 Γ(r/2n−1 ) = π2 π2 π2 Γ(r/2) Γ(r/22 ) Γ(r/2n ) √ Γ(r) n−1 = π n 2n−r−r/2− −r/2 , (2.50) Γ(r/2n ) thu ∫ +∞ eiβx u1/2n (x, t)dx −∞ ∞ ( )r ∑ β r/2+r/4+ +r/2n −n n−r−r/2− −r/2n−1 r/2n Γ(r) = 2n − 2 t r! Γ(r/2n ) r=0 )r r/2n −r r/2n ∞ ( ∑ t β2 = − (2.51) n Γ(r/2n ) r/2 r=0 )r ( ∞ 1/2n ∑ β t = − 2−1/2n Γ(r/2n + 1) r=0 ( ) n β t1/2 = E1/2n ,1 − 2−1/2n Bằng cách lấy biến đổi Laplace (2.51) nhận ( ) ∫ ∞ n n 1/2n β t s1/2 −1 22−1/2 −st , e E1/2n ,1 − 2−1/2n dt = 2 β + 22−1/2n s1/2n 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 trùng với (2.49), với ν = 2n n λ2 = 21/2 −2 Dạng (2.42) nghiệm u1/2n cho thấy trùng với phân phối n - lần lặp chuyển động Brownian định nghĩa (2.32) Một phép biểu diễn nghiệm phương trình khuếch tán phân (2.23) suy từ kết sau: Định lý 2.5.3 Nghiệm uν (x, t) = uν cho toán giá trị ban đầu (2.33), < ν ≤ 1, viết ∫ ∞ √ uν (x, t) = e−x /(4wλ) u2ν (w, t)dw, 4πwλ u2ν (w, t) = { 2u2ν (w, t), w ≥ 0, 0, (2.52) (2.53) w < 0, u2ν nghiệm (2.35) (2.36) Chứng minh Đầu tiên lưu ý nghiệm (2.35) (2.36) cho kết ∫ ∞ sν−1 −|x|sv /λ −st L(s, t) = e u2ν (x, t)dt = e , 2λ thu biến đổi Laplace ∂ 2ν u ∂t2ν (2.54) ∂ u = λ2 ∂x Nghiệm phương trình tương ứng s L−s 2ν 2ν−1 δ(x) = trùng với nghiệm  d L  = s2ν L,   dx2 2ν−1 dL + − − dL = − s λ2 , dx dx    L(s, 0+ ) = L(s, 0− ), 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2d L λ , dx2 x ̸= 0, http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 dễ dàng cho (2.54) Vì vậy, cách biến đổi Laplace, có { ∫ ∞ } ∫ ∞ √ e−x /(4wλ) e−st u2ν (x, t)dt dw 4πwλ 0 ∫ ∞ ν−1 ν −x2 /(4wλ) s √ =2 e e−s /λw dw 2λ 4πwλ = [2w = z] ∫ sν−1 ∞ ν √ = e−x /(2zλ) e−s /λz/2 2λ 2πzλ ν/2−1 s ν/2 = e−|x|s /λ , 2λ điều trùng với biến đổi Laplace uν (x, t) Nhận xét 2.5.4 Công thức (2.52) cho thấy nên biểu diễn nghiệm (2.33) phân phối trình B(T2ν (t)), t > 0, (2.55) B chuyển động Brownian với vi phân 2λ T2ν (t), t > 0, trình, độc lập từ B với quy luật (2.53) Nó đơn giản, ν = 1/2, trình (2.55) trùng với chuyển động Brownian lặp L1 ; xem (2.28) Bằng cách so sánh hệ thức (2.52) với (2.34) lưu ý rằng, tổng trình, chuyển động Brownian trường hợp thứ hai vai trò "thời gian", trong biểu diễn cho "khơng gian" 2.5.2 Nghiệm rõ ràng phương trình khuếch tán phân với ν = 1/3, ν = 2/3, ν = 4/3 Trong số trường hợp đặc biệt trình bày nghiệm phương trình khuếch tán phân (2.23) kiểu hay Đó trường hợp với ν = 23 Dạng rõ ràng u2/3 (x, t) đưa định lý tới, số hạng hàm Airy Bằng cách kết hợp kết với hệ thức đưa Định lý (2.5.1) u1/3 (x, t) biểu diễn dạng hay 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Định lý 2.5.4 Nghiệm { 2/3 ∂ u ∂2u = λ 2/3 ∂t2 , ∂t u(x, 0) = δ(x), x ∈ R, t > 0, (2.56) biểu diễn sau ) ( |x| √ Ai √ , u2/3 (x, t) = λ 3t λ 3t (2.57) ) α3 dα cos αw + ( ( [ ) )] 3/2 3/2 1/2 2w 2w w I−1/3 − I1/3 , = 3 Ai (w) = π ∫ +∞ ( (2.58) hàm Airy Iν hàm Bessel đối số ảo cấp ν Chứng minh Từ (2.26) có ∞ ∑ (−|x|/(λt1/3 ))k u2/3 (x, t) = 2λt1/3 k=0 k!Γ(1 − (k + 1)/3) ∞ ∑ (−|x|/(λt1/3 ))k Γ((k + 1)/3)sin(π(k + 1)/3) = k! 2λt1/3 k=0 (2.59) Chúng ta lại có sin π(k + 1) 2π(k + 1) = (−1)k sin 3 (2.60) và, cách thay vào (2.59) ∞ ∑ (|x|/(λt1/3 ))k Γ((k + 1)/3) sin(2π(k + 1)/3) u2/3 (x, t) = k! 2λt1/3 k=0 (2.61) 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Chúng ta ý rằng, từ (2.58), với |w| < ∞, [ ( ) ( )] 3/2 3/2 1/2 2w 2w w Ai (w) = I−1/3 − I1/3 , 3 [ ∞ ( )2k−1/3 w1/2 ∑ 2w3/2 = 3 k!Γ(k − 1/3 + 1) k=0 ( )2k+1/3 ] ∞ 3/2 ∑ 2w − k!Γ(k + 1/3 + 1) k=0 (2.62) ∞ ∞ ∑ ∑ w3k w3k 1 = − 32k+2/3 k!Γ(k + 2/3) k=0 32k+4/3 k!Γ(k + 4/3) k=0 ∞ sin(2π(k + 1)/3) ∑ ( w )k = 7/6 2/3 Γ((k + 2)/3)Γ((k + 3)/3) 3 k=0 Bước cuối biện minh cách lấy k = 3m, 3m + 3m + Trong với k = 3m + số hạng cuối (2.62) không, hai trường hợp khác hai chuỗi thu Theo công thức hàm Gamma ) ( ) ( 2π Γ z+ = 3z−1/2 Γ(3z), Γ(z)Γ z + 3 với z = k+1 cho ) ( ) ( k+3 2π k+2 Γ(k + 1) Γ = k+1/2 Γ 3 Γ((3 + 1)/3) (2.63) (2.64) Từ cơng thức (2.64) có ( ) ∞ 3−2/3 ∑ 1/3 k sin(2π(k + 1)/3) k+1 Ai(w) = (3 w) Γ , π k=0 k! (2.65) (2.57) dễ dàng cách so sánh (2.65) (2.61) Nhận xét 2.5.5 Biểu thức u2/3 (x, t) thu định lý cơng nhận (lên đến thừa số 3/2) nghiệm phương trình nhiệt cấp ba { ∂v ∂t ∂ v = −λ3 ∂y 3, v(y, 0) = δ(y), 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên y ∈ R, t > 0, (2.66) http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 đánh giá y = |x| Từ Ai(y), y > 0, giá trị dương [xem Figure1(a)] hàm (2.57) tích phân tới một, u2/3 (x, t) phân bố xác suất thật sự: ∫ +∞ u2/3 (x, t)dx −∞ [∫ +∞ ( ( ) ) ] ∫ x x √ Ai √ √ = Ai − √ dx + dx λ 3t λ 3t λ 3t −∞ λ 3t ∫ +∞ =2 Ai(y)dy = 1, ∫ +∞ bước cuối ý Ai(y)dy = 1/3; xem Nikitin Orsingher (2000) Vì nghĩ đến u2/3 (x, t) luật xác suất trình A(t), t > 0, phân phối thời điểm t thu từ nghiệm v(x, t) phương trình (2.66), sau: u2/3 (x, t) = v(|x|, t) Nhận xét 2.5.6 Đối với trường hợp ν = nghiệm u1/3 (x, t) (2.23) viết, nhờ hệ thức (2.34), ∫ ∞ u1/3 (x, t) = √ e−z /(4t) u2/3 (x, z)dz, πt ) ( ∫ ∞ 2/3 |x| −z /(4t) √ e dz =√ Ai 2λz 1/3 πt λ 3z (2.67) Chúng ta biểu diễn (2.67) phân phối trình J1/3 (t) = A(|B(t)|), t > 0, với A B độc lập kết (2.57) (2.67) thấy nghiệm u2/3 (x, t) u1/3 (x, t) hai mốt với tối đa x = 0; xem Figure 1(b) Điều phù hợp với kết chung, < ν ≤ 1, nghiệm phương trình (2.23) có tối đa điểm x = Bây xem xét trường hợp ν = 4/3, định tính khác từ người sử lý nay, nghiệm phương trình 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 khuếch tán phân cấp < ν < biểu diễn thực chất khác đáng kể Định lý 2.5.5 Nghiệm  4/3 ∂ u ∂2u  = λ  4/3  ∂t ∂x2 , u(x, 0) = δ(x),   u(x, 0) = 0, cho u4/3 (x, t) = √ λ π ( 4t )2/3 ∫ +∞ x ∈ R, t > 0, ( |x| e−w w−1/6 Ai − λ (2.68) ( √ )2/3 ) w dw t (2.69) Chứng minh Từ (2.26) có ) ∞ ( ∑ |x| k u4/3 (x, t) = − (2.70) k!Γ(1 − 2/3(k + 1)) 2λt2/3 k=0 λt2/3 ) ∞ ( |x| k Γ(2/3(k + 1)) sin(2π(k + 1)/3) ∑ − 2/3 = k! 2λt2/3 λt k=0 Bằng phương pháp công thức nhân hàm Gamma có ( 1 Γ (k + 1) + ) √ 1−2/3(k+1) π2 Γ(2/3(k + 1)) = , Γ((k + 1)/3) u4/3 (x, t) viết lại sau √ 1/3 2/3 2λπ π2 t ( )k ( ) ( ) ∞ ∑ k+1 k+1 22/3 |x| sin(2π(k + 1)/3) Γ Γ + × − 2/3 k! 3 λt k=0 u4/3 (x, t) = (2.71) 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 √ 1/3 2/3 2λπ π2 t ∞ ∫ +∞ ∑ e−w w1/3(k+1)+1/2−1 × = k=0 )( ( ) )k k+1 |x| 2/3 sin(2π(k + 1)/3) ×Γ − dw λ t k! √ 1/3 2/3 = 2λπ π2 t )k ( ( )2/3 ∞ ∫ +∞ ∑ |x| w1/3 × e−w w1/2−3/2 − λ t k=0 ( ) sin(2π(k + 1)/3) k+1 × dw Γ k! [ ] = (2.65) ( ( √ )2/3 ) ∫ +∞ 22/3 |x| w √ 1/3 2/3 = e−w w1/6 Ai − dw λ t 2λπ π2 t ( Chúng ta thấy ∫ +∞ −∞ u4/3 (x, t)dx = Thật vậy, từ (2.69) có ( )2/3 ∫ +∞ ( √ )2/3 ) ∫ +∞ ( |x| w √ e−w w−1/6 Ai − dxdw λ π 4t λ t −∞ ( )2/3 ∫ +∞ ( √ )2/3 ) ∫ +∞ ( w x = √ e−w w−1/6 Ai − dxdw λ π 4t λ t 0 [ ( √ )2/3 ] x w = thay y = − λ t ( )2/3 ( √ )−2/3 ∫ +∞ ∫ 2 −w −1/2 λ = √ e w Ai(y)dydw λ π 4t t −∞ ( )2/3 −2/3 ∫ +∞ 2 e−w w−1/2 dw = =√ −1/3 π3 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Nhận xét 2.5.7 Theo Định lý (2.5.1) có biểu diễn sau cho u3/2 (x, t), thay cho (2.57): ∫ ∞ u3/2 (x, t) = √ e−z /(4t) u4/3 (x, z)dz (2.72) πt ∫ +∞ −z /(4t) e 32/3 √ dz = √ 1/3 2λ π2 z 2/3 πt ( √ )2/3 ) ∫ +∞ ∫ +∞ ( x w dw × e−w w−1/6 Ai − λ z 0 Bằng chèn (2.57) vào phía bên tay trái (2.72) thu ( ) |x| √ Ai √ λ 3t λ 3t ∫ +∞ −z /(4t) e 32/3 √ dz = √ 1/3 2λ π2 z 2/3 πt ( √ )2/3 ) ∫ +∞ ( ∫ +∞ x w Ai − × e−w w−1/6 dw λ z 0 [ ] √ = thay s = 22 twz −2 ∫ +∞ −z /(4t) e 3z 5/2 3/2 32/3 √ = √ 1/3 s dz (2.73) 2/3 πt 25/2 t5/6 2λ π2 z ) ( ∫ +∞ |x|s × e−z s /(4t) Ai − √ ds λ 3t ) ∫ +∞ ( ∫ +∞ 35/3 |x|s 3/2 = Ai − √ s ds ze−z (1+s )/(4t) dz 4/3 λπt λ 3t 0 ( ) ∫ +∞ 3/2 5/3 s |x|s √ = Ai − ds + s3 λπt1/3 λ 3t ) ( ∫ +∞ 32/3 |x|s = , P r{|B(T0 )| ∈ ds}Ai − √ 2λt1/3 λ 3t s3/2 P r{|B(T0 )| ∈ ds} = ds, 2π + s3 s > 0, luật McKean biểu biễn phân phối vị trí chuyển động 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Brownian B thời điểm { } ∫ t T0 = inf t > 0; + B(s)ds = Bằng cách thiết lập y = |x| √ λ 3t (2.73) thực số đơn giản hóa chúng nhận ∫ +∞ Ai(|y|) = P r{|B(T0 )| ∈ ds}Ai(−|y|s), y ∈ R (2.74) Cơng thức (2.74) cho thấy đặc tính thú vị hàm Airy: giá trị phần giảm theo cấp số nhân Ai(|y|) thu cách trung bình dao động thành phần Ai(−|y|s) với mật độ tốt |B(T0 )| Nhận xét 2.5.8 Nghiệm u4/3 (x, t) biểu diễn số hạng mật độ ổn định cấp 32 Thật vậy, cách sử dụng biểu diễn mật độ ổn định ∫ +∞ e−iβx exp{−η|β|α e−iπγ/2β/|β| }dβ, pα (x; γ, η) = 2π −∞ α ̸= 1, (2.75) biết với α ∈ (1, 2), η = với x > biểu diễn sau đúng: ( ) ∞ 1∑ k k−1 sin(kπ(η + α)/(2α)) pα (x; γ, 1) = Γ 1+ ; (2.76) (−x) π k=1 k! α Với α = η = công thức (2.76) thành ( ) ∞ 1∑ r sin{(r + 1)2/3π} p3/2 (x; 1/2, 1) = Γ + (r + 1) (−x) π r=0 (r + 1)! (2.77) ) 21 sin{(r + 1)/3π} (−x)r = Γ (r + 1) π r=0 r! ∞ ∑ ( Nếu so sánh (2.70) (2.77) nhận ( ) |x| u4/3 (x, t) = p3/2 ; ,1 2λt2/3 λt2/3 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.78) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Một chứng minh khác hệ thức luật ổn định nghiệm phương trình khuếch tán phân, dựa biến đổi Fourier ngược Công thức (2.78) chứng minh tính khơng âm biểu thức (2.71), hàm x 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa xét không gian Lizorkin Đây phép biến đổi Fourier phân quan tâm nhiều lý thuyết ứng dụng Ứng dụng biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân toán tử vi phân phân với biến khơng gian - thời gian Có nhiều nghiên cứu tác giả khác nhau, chủ yếu xét q trình mơ tả phương trình vi phân cấp nguyên dương Đối với phương trình vi phân cấp phân nghiên cứu cịn hạn chế mẻ Những ứng dụng việc giải phương trình vi phân cấp phân khơng truyền nhiệt, truyền tải mà ứng dụng q trình ngẫu nhiên 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tài liệu tham khảo [1] Enzo Orsingher and Luisa Beghin, (2009) Fractional diffusion equation and processes with randomly varying time Annals of probability, Vol 37, No 1, 206-249 [2] Gelfand I.M and Shilov G.E, (1986) Generalized Functions, Vol 2: Spaces of Fundamental and Generalized Functions, Academic Press, New York and London [3] Luchko Y, Martinez H, Trujillo J, (2008) Fractional Fourier transform and some of its applications, Fractional Calculus and Applied Analysis, International Journal for Theory and Applications, 11, No [4] McBride A.C and Kerr F H, (1987) Naminas’s fractional Fourier transforms, IMA J Appl Math, 39: 159-175 [5] Naminas V, (1980).The fractional order Fourier transform and its application in quanturm mechanics, J Inst Math Appl, 25: 241265 [6] Wen Shen, (2009) Lecture notes for Laplace transform [7] Yanka Nikolova, Lyubomir Boyadjiev, (2010) Integral transforms method to solve a time-space fractional diffusion equation, Fractional Calculus and Applied Analysis International Journal for Theory and Applications, 13, No 10 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Fourier phân khái quát tốn tử tích phân Fourier thơng thường Vi? ??c nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng vai trị quan trọng vi? ??c giải phương trình khuếch tán phân toán tử vi phân phân với biến. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương Phương trình khuếch tán toán tử vi phân cấp phân Trong chương giới thiệu ứng dụng biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân với biến không gian... HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TỐN TỬ VI PHÂN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng