Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng fourier fourier cosine fourier sine và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THANH HỒNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2012 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học:PGS TS Nguyễn Xuân Thảo GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: GS TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 3: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp phòng Hội thảo, tầng 4, nhà T1, trường ĐHKHTN Hà Nội vào hồi 14 00 ngày 01 tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư Viện Quốc Gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER 18 SINE VỚI HÀM TRỌNG 1.1 Định lí kiểu Watson 19 1.2 Định lí kiểu Plancherel 26 1.3 Ứng dụng giải phương trình hệ phương trình tích phân 30 Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY 40 RỘNG VỚI HÀM TRỌNG 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sinecosine với hàm trọng 40 2.2 2.1.1 Định lí kiểu Watson 41 2.1.2 Định lí kiểu Plancherel 46 2.1.3 Ví dụ 50 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosinesine với hàm trọng 53 2.2.1 Tính unita không gian L2 (R+ ) 53 2.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R+ ) 59 2.2.3 Ví dụ 62 2.3 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier Fourier cosine với hàm trọng 66 2.3.1 Tính chất tốn tử tích chập suy rộng 67 2.3.2 Định lí kiểu Watson 73 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 77 Bất đẳng thức tích chập Fourier cosine 77 3.1.1 Định lí kiểu Young 79 3.1.2 Một bất đẳng thức không gian với trọng tích chập Fourier cosine 82 3.1.3 Áp dụng đánh giá nghiệm số tốn khơng gian Lp (R+ , ρ) 84 3.2 3.3 Một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 88 3.2.1 Phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt 88 3.2.2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt 94 Một số lớp tốn vi-tích phân 98 3.3.1 Bài tốn vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng 99 3.3.2 Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng 106 KẾT LUẬN 111 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO 114 −6− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Các khơng gian hàm dùng luận án • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Lp (R+ ), p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p dx < ∞ f (x) : • L∞ (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho f (x) : sup |f (x)| < ∞ x∈R+ • Lp (R+ , ρ), p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞ ρ hàm trọng dương • f Lp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định ∞ f Lp (R) p |f (x)| dx = p −∞ • f Lp (R+ ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ ), xác định ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx = p • f Lp (R+ ,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ , ρ), xác định ∞ f Lp (R+ ,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p b Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng luận án • (· ∗ ·) (xem trang 10) tích chập phép biến đổi Fourier • (· ∗ ·) (xem trang 11) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 12) tích chập suy rộng phép biến đổi F Fc Fourier sine Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 18) tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y Fs phép biến đổi Fourier sine • (· ∗ ·) (xem trang 24) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine • γ (· ∗ ·) (xem trang 25) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine • γ (· ∗ ·) (xem trang 66) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y phép biến đổi Fourier sine, Fourier Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 66) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y phép biến đổi Fourier cosine, Fourier Fourier sine −8− MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đời liên tục phát triển suốt trăm năm qua có ứng dụng nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành Vật lí quang học, điện, học lượng tử, âm Lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân cịn có vai trị thiếu ngành y sinh học, địa lí, hải dương học, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt quan trọng lí thuyết ứng dụng phải kể đến trước hết phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Bản thân phép biến đổi Fourier đời xuất phát từ toán thực tế, Fourier J nghiên cứu trình truyền nhiệt Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [9, 41]) ∞ (F f )(x) = F [f ](x) = √ 2π e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R), (0.1) −∞ N (F f )(x) = F [f ](x) = lim √ N →+∞ 2π e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), p −N (0.2) Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [9, 41]) ∞ f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √ 2π eixy g(y)dy −∞ (0.3) Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R), p 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [9, 41]) N f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √ N →+∞ 2π eixy g(y)dy (0.4) −N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem [38, 41]) ∞ (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = π f (x) cos xydx, f ∈ L1 (R+ ), (0.5) ∞ (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = π f (x) sin xydx, f ∈ L1 (R+ ), (0.6) với f ∈ Lp (R+ ), p 2, ta có N (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim N →∞ π f (x) cos yxdx, (0.7) f (x) sin yxdx, (0.8) N (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim N →∞ π 1 + = 1, giới hạn p q hiểu theo chuẩn không gian Lq (R+ ) Các định nghĩa trùng đó, q số mũ liên hợp p, tức f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier có dạng sau (xem [39]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ F 2π f (y)g(x − y)dy, −∞ −10− x ∈ R (0.9) Tích chập thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau (xem [39]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R) F Năm 1951, Sneddon I N xây dựng tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier cosine sau (xem [39]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ Fc 2π f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > (0.10) Tích chập thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá đẳng thức Parseval sau (xem [39, 5]) Fc [f ∗ g](y) =(Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ), Fc (f ∗ g)(x) =Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ ) Fc (0.11) (0.12) Sau đó, tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin xây dựng nghiên cứu (xem [17, 13]) Tích chập phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú tính tốn tích phân, tính tổng chuỗi, giải tốn Vật lí-Tốn, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh, Mặc dù có nhiều ứng dụng thú vị nhiều lĩnh vực khác trước năm 50 kỉ trước, khơng có nhiều tích chập phép biến đổi tích phân xây dựng Năm 1958, lần Vilenkin Y.Ya thiết lập cơng thức tích chập với hàm trọng phép biến đổi Mehler-Fox (xem [58]) Gần thập kỉ sau, năm 1967, Kakichev V.A đưa phương pháp kiến thiết để xây dựng tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân (xem [20]) Nhờ đó, ơng xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [20]) −11− Vào năm 1951, sách [38], Sneddon I.N đưa cơng thức tích chập "lạ", đẳng thức nhân tử hố có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Tích chập xác định sau (xem [38]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.13) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá đẳng thức Parseval (xem [38, 6]) Fs [f ∗ g])(y) =(Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (f ∗ g)(x) =Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ) (0.14) (0.15) Khoảng năm 90 kỉ trước, Yakubovich S B giới thiệu số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Mellin, KontorovichLebedev, phép biến đổi G phép biến đổi H theo số Trong đẳng thức nhân tử hố có phép biến đổi khác thuộc họ Trên sở ý tưởng Kakichev V.A [20], năm 1998, Kakichev V.A Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi tích phân (xem [22]) Kết mở hướng nghiên cứu xây dựng tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác Cho đến nay, dựa cơng trình này, số tích chập suy rộng xây dựng nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine Fourier sine (xem [43]); tích chập suy rộng phép biến đổi I (xem [2, 52]); tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi Fourier cosine Kontorovich-Lebedev ngược (xem [2, 55]); tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân dạng Fourier (xem [15, 16]) Tiếp theo, mở rộng khái niệm tích chập suy rộng, khái niệm đa chập Kakichev V.A xây dựng năm 1998 (xem [21]) Đặc biệt, năm 2008, Luận án Tiến sĩ (xem [1]), tác giả Nguyễn Minh −12− Dẫn đến f (x) = g(x) − (g ∗ l)(x) ∈ L1 (R+ ) Vì g, l ∈ L1 (R+ ) theo tính Fc chất tích chập (· ∗ ·) suy f ∈ L1 (R+ ) Định lí chứng minh xong.✷ Fc Nhận xét 3.3.2 Dựa vào công thức 1.9.4 [8] trường hợp tổng qt, ta giải tốn tổng quát toán (3.66) thay toán n d2 d2 − dx2 + (2k − 1) thay cho − với điều kiện tử vi phân D = dx k=1 ban đầu tương ứng d2k−1 f (0) = 0, k = 1, n, dx2k−1 lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n − x→∞ 3.3.2 Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng Cuối cùng, ta xét hệ hai phương trình vi-tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier, Fourier cosine với hàm trọng f (x) + (K4;ϕ,ψ g)(x) = p(x), (3.75) −1 g(x) + (K4;ξ,η f )(x) = q(x), với điều kiện ban đầu f (0) = 0, g (0) = 0, lim f (x) = lim f (x) = = lim g(x) = lim g (x) x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ đó, K4;ϕ,ψ [·] kí hiệu phép biến đổi (2.65) với ϕ(x) = (ϕ1 (τ ) ∗ sech(τ ))(x); ψ(x) = (ψ1 (τ ) ∗ sech(τ ))(x); F ξ(x) = (ξ1 (τ ) ∗ sech(τ ))(x); η(x) = (η1 (τ ) ∗ sech(τ ))(x); F ϕ1 , ψ1 , ξ, η, g, p.q hàm biết L1 (R+ ), f ẩn hàm −106− (3.76) Định lí 3.3.4 Với điều kiện A = ∀y > 0, (3.77) γ γ A = − 4Fc ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ∗ ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ (y), 3 hệ phương trình (3.75) với điều kiện ban đầu (3.76) có nghiệm khơng gian L1 (R+ ) × L1 (R+ ) Nghiệm hệ biểu diễn dạng đóng sau γ f (x) =p(x) − (ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ) ∗ q (x) + (p ∗ l)(x) 1 γ − ((ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ) ∗ q) ∗ l (x) 1 (3.78) γ g(x) =q(x) − (ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) + (q ∗ l)(x) Fc γ − ((ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ ) ∗ p) ∗ l (x), (3.79) Fc l ∈ L1 (R+ ) xác định sau (Fc l)(y) = γ γ 4Fc ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ∗ ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ (y) = γ 3 γ 3 − 4Fc ϕ1 ∗ sech τ + ψ1 ∗ sech τ ∗ ξ1 ∗ sech τ + η1 ∗ sech τ (y) 3 Chứng minh Áp dụng phép biến đổi Fourier sine vào hai vế phương trình thứ nhất, áp dụng phép biến đổi Fourier cosine lên phương trình thứ hai hệ, ta (Fs f )(y) + (1 + y )[(F ϕ)(y)e−y sin y + (Fs ψ)(y)](Fc g)(y) = (Fs p)(y), (Fc g)(y) + (1 + y )[(F ξ)(y)e−y sin y + (Fs η)(y)](Fs f )(y) = (Fc q)(y) (3.80) Theo giả thiết ϕ(x) = (ϕ1 ∗ sech(τ ))(x), ξ(x) = (ξ1 ∗ sech(τ ))(x), ψ(x) = F F (ψ1 ∗ sech(τ ))(x), η(x) = (η1 ∗ sech(τ ))(x), sử dụng đẳng thức nhân tử 1 −107− hố tích chập Fourier tích chập suy rộng (0.13) (2.49), (2.50) theo công thức 1.9.4 [8] ta (1 + y )[(F ϕ)(y)e−y sin y + (Fs ψ)(y)] =(1 + y ) π πy sech [e−y sin y(F ϕ1 )(y) + (Fs ψ1 )(y)] 2 =2Fc [sech3 τ ](y)[e−y sin y(F ϕ1 )(y) + (Fs ψ1 )(y)] γ =2Fs [ϕ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs [ψ1 ∗ sech3 τ ](y), (1 + y )[(F ξ)(y)e−y sin y + (Fs η)(y)] =(1 + y ) πy π sech [e−y sin y(F ξ1 )(y) + (Fs η1 )(y)] 2 =2Fc [sech3 τ ](y)[e−y sin y(F ξ1 )(y) + (Fs η1 )(y)] γ =2Fs [ξ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs [η1 ∗ sech3 τ ](y) Do đó, hệ (3.80) có dạng γ (Fs f )(y) + 2(Fs [ϕ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs [ψ1 ∗ sech3 τ ](y))(Fc g)(y) = (Fs p)(y), γ (Fc g)(y) + 2(Fs [ξ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs (η1 ∗ sech3 τ )(y))(Fs f )(y) = (Fc q)(y) (3.81) Xét hệ (3.81) ta γ ∆ =1 − Fs [ϕ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs [ψ1 ∗ sech3 τ ](y) × γ × Fs [ξ1 ∗ sech3 τ ](y) + Fs (η1 ∗ sech3 τ )(y) γ γ =1 − 4Fc ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ∗ ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ (y) 3 (3.82) Từ điều kiện (3.77), theo định lí Wiener-Lévy tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) −108− cho (Fc l)(y) = γ γ 4Fc ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ∗ ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ (y) = 3 γ γ − 4Fc ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ∗ ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ (y) Do 1 = + (Fc l)(y) Suy ra, giải hệ (3.81) ta ∆ γ f (x) =p(x) − (ϕ1 ∗ sech3 τ + ψ1 ∗ sech3 τ ) ∗ q (x) + (p ∗ l)(x) γ 1 − ((ϕ1 ∗ sech τ + ψ1 ∗ sech τ ) ∗ q) ∗ l (x), 1 γ g(x) =q(x) − (ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) + (q ∗ l)(x) γ − ((ξ1 ∗ sech3 τ + η1 ∗ sech3 τ ) ∗ p) ∗ l (x) Fc Fc ✷ Do hàm p, q, l, ϕ1 , ψ1 , ξ1 , η1 hàm không gian L1 (R+ ) theo Định lí 2.3.1, suy f, g thuộc khơng gian L1 (R+ ) Định lí chứng minh xong Nhận xét 3.3.3 Sử dụng công thức 1.9.4 [8] dạng tổng quát, ta giải hệ phương trình vi-tích phân tổng qt hệ (3.75) thay n d2 d2 toán tử vi phân D = − dx2 + (2k − 1) thay cho − điều dx k=1 kiện ban đầu tương ứng d2k−1 f (0) = 0, k = 1, n, dx2k−1 lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n − x→∞ −109− Kết luận chương Trong chương này, tập trung nghiên cứu ứng dụng tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Bằng việc xây dựng bất đẳng thức với trọng tích chập Fourier cosine, ta nhận đánh giá nghiệm tốn phương trình vi phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng không gian Lp (R+ , ρ) (p 1) với trọng dương ρ Một số lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel với nhân đặc biệt, với nhân vế phải đặc biệt, giải, nghiệm nhận dạng đóng Các lớp phương trình giải nhờ sử dụng tích chập suy rộng xây dựng được, dường khó giải nhờ kĩ thuật khác Ngoài ra, bên cạnh việc nghiên cứu sâu tính chất tốn tử khơng gian Lp (R+ ) tích chập suy rộng (2.47), (2.48), tìm ứng dụng phép biến đổi tích phân tương ứng vào giải tốn vi-tích phân hệ phương trình vi-tích phân Các ứng dụng mới, nữa, cơng trình gần nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập khơng xây dựng ứng dụng tương ứng Nội dung chương dựa vào phần báo [2, 4, 5, 6], mục Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến Luận án −110− KẾT LUẬN Trong luận án xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng nhóm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine Các kết luận án là: • Xây dựng cơng thức phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine-cosine với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine-sine với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine, Fourier, Fourier cosine với hàm trọng, dựa tích chập suy rộng nhóm phép biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine xây dựng nghiên cứu trước (xem [48, 45, 51, 47, 49, 25]) • Xây dựng điều kiện cần đủ để phép biến đổi xây dựng unita không gian L2 (R+ ) thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel xét tính bị chặn khơng gian Lp (R+ ), p Đồng thời xây dựng số ví dụ minh hoạ cho lớp phép biến đổi tích phân xây dựng • Thiết lập số bất đẳng thức tích chập Fourier cosine không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ), áp dụng vào đánh giá nghiệm số tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng khơng gian hàm Lp (R+ , ρ) với hàm trọng ρ; Nhờ tích chập suy rộng xây dựng được, số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel với nhân Toeplitz nhân Hankel đặc biệt, nhân Toeplitz nhân Hankel vế phải đặc biệt giải, nghiệm biểu diễn dạng đóng; Nhờ phép biến 111 đổi tích phân xây dựng chương 2, số lớp tốn vi-tích phân, hệ phương trình vi tích phân giải được, nghiệm biểu diễn dạng đóng Kiến nghị số hướng nghiên cứu Tiếp theo kết luận án tác giả nhận thấy có số vấn đề cần nghiên cứu • Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập phép biến đổi tích phân khác Kontorovich-Lebedev, Laplace, Mellin, xây dựng lớp tốn vi-tích phân tương ứng mà nghiệm biểu diễn dạng đóng • Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng, từ cho phép đánh giá nghiệm tốn liên quan khơng gian hàm trọng Hiện tất cơng trình nghiên cứu bất đẳng thức tích chập chưa xét đến tích chập suy rộng, tích chập suy rộng với hàm trọng • Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, tích chập suy rộng Time scales Trong thời gian gần có số cơng trình nghiên cứu phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân Times cales [10, 31] −112− DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Thanh Hong (2007), "Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type", Int J Math Math Sci Vol 2007, pp.1-11 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Thanh Hong (2008), "Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations", Fract Calc Appl Anal Vol 11 (2), pp.153-174 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hong (2008), "Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function", Vietnam J Math (1), pp.83-101 Nguyen Thanh Hong (2010), "Fourier cosine convolution inequalities and applications", Integral Transforms and Special Functions, Vol 21 (10), pp.755-763 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Thanh Hong (2011), "Toeplitz plus Hankel integral equations", Integral Transforms and Special Functions, Vol 22 (10), pp.723-737 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hong (2010), "Fourier sinecosine convolution inequalities and applications", Proceedings of XIII International Scientific Kravchuk Conference (2010), Ukraine, pp.2829 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khoa N.M (2008), Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Tuan Trinh (2009), Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận tích chập suy rộng phép biến đổi I, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [3] Adams R.A and Fournier J J F (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 300p [4] Abramowitz M and Stegun I.A (1964), Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 55, Washington, D.C [5] Al-Musallam F and Vu Kim Tuan (2000), "Integral transforms related to a generalized convolution", Results Math 38(3-4), pp.197-208 [6] Al-Musallam F and Vu Kim Tuan (2000), "A class of convolution transforms", Fract Calc Appl Anal Vol.3(3), pp.303-314 [7] Appell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P (2000), Partial Integral Operators and Integro-differential Equations, Marcel Dekker, New York Basel [8] Bateman H and Erdelyi A (1954), Table of Integral Transforms, New York-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, Inc 114 [9] Bochner S and Chandrasekharan K (1949), Fourier Transforms, Princeton Univ Press [10] Bohner M., Guseinov G.Sh (2007), "The convolution on time scales", Abs Appl Anal Article ID 58373, 24 pages [11] Britvina L.E (2005), "A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution", Integral Transforms and Special Functions Vol.16(5-6), pp.379-389 [12] Brychkov Yu.A., Glaeske H.J., Marichev O.I (1983), "Factorization of integral transformations of convolution type", Itogi Nauki i Tekhniki, Seriya Mat Anal Vol.21, pp.3-41 [13] Debnath L., Bhatta D (2007), Integral Transforms and Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [14] Duoadikoetxea J (2001), Fourier Analysis, AMS Providence, Rhode Island [15] Giang B.T., Mau N.V., Tuan N.M (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications", Math Nachr (283), pp.1758-1770 [16] Giang B.T and Tuan N.M (2010), "Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type", Complex Variables and Elliptic Equations Vol.55(4), pp.331-345 [17] Glaeske J., Prudnikov A.P and Skornik K.A (2006), Operational Calculus and Related Topics, Chapman & Hall/CRC, Raton-London-New York [18] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M (2007), Table of Integrals, Series, and Products, 7th ed, Academic Press −115− [19] Kagiwada H.H and Kalaba R (1974), Integral Equations via Imbedding Methods, Applied Mathematics and Computation, No AddisonWesley Publishing Co., Reading - Mass.-London-Amsterdam [20] Kakichev V.A (1967), "On the convolution for integral transforms", Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat (2), pp.53-62 (In Russian) [21] Kakichev V.A (1997), Polyconvolution, Taganrog, TPTU, 54p (In Russian) [22] Kakichev V.A and Nguyen Xuan Thao (1998), "On the design method for the generalized integral convolutions", Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat (1), pp.31-40 (In Russian) [23] Kakichev V.A, Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), "On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", EastWest Journal of Mathematics Vol.1(1), pp.85-90 [24] Kagiwada H.H and Kalaba R (1974), Integral Equations via Imbedding Methods, Addison − Wesley, Reading [25] Khoa N.M (2009), "On the generalized convolution with a weight function for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms", Southeast Asian Bulletin of Mathematics Vol.33, pp.285-298 [26] Khachatryan Kh.A., Kostanyan M.G (2008), "Factorization of convolution type vector integro-differential equations", J Cont Math Anal Vol.43(3), pp.145-156 [27] Krein M.G (1955), "On a new method for solving linear integral equations of the first and second kinds", Dokl Akad Nauk SSSR Vol.100, pp.413-416 (In Russian) −116− [28] Kryzhniy V.V (2003), "Regularized inversion of integral transformations of Mellin convolution type", Inverse Problems Vol.19, pp.1227-1240 [29] Luchko Y (2008), "Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators", Integral Transforms and Special Functions Vol.19(11), pp.809-851 [30] Paley R.E.A.C., Wiener N., (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, AMS, New York [31] Robert J.M.II, Gravagne I.A., Davis J.M (2008), "A generalized Fourier transform and convolution on time scales", Math Anal Appl Vol.340, pp.901-919 [32] Saitoh S (1984), "A fundamental inequality in the convolution of L2 functions on the half line", Proc Amer Math Soc Vol.91, pp.285-286 [33] Saitoh S (1993), "Inequalities in the most simple Sobolev space and convolutions of L2 functions with weights", Proc Amer Math Soc Vol.118, pp.515-520 [34] Saitoh S (2000), "Weighted Lp -norm inequalities in convolution", Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, pp.225-234 [35] Saitoh S., Tuan V.K, and Yamamoto M (2000), "Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems", J of Ineq in Pure & App.Math Vol.1(1), pp.1-7 [36] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), "Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems", J of Ineq in Pure & App.Math Vol.3(5), pp.1-11 −117− [37] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2003), "Convolution inequalities and applications", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics Vol.4(3), pp.1-8 [38] Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [39] Sneddon I.N (1972), The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York [40] Stein E.M and Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Space, Princeton Univ Press [41] Titchmarsh E.C (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third Edition Chelsea Publishing Co., New York [42] Thao N.X (2010), "On the Polyconvolution with the weight function for the Fourier cosine, Fourier sine, and the Kontorovich-Lebedev integral transforms", Mathematical Problems in Engineering Vol.2010, Article ID 709607, pp.1-16 [43] Thao N.X (2001), "On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms", Ukr Math J Vol.53, 560567 (In Russian) [44] Thao N.X and Hau N.D (2008), "On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms", Acta Mathematica Vietnamica Vol.33(2), pp.107-122 [45] Thao N.X and Khoa N.M (2004), "On the convolution with a weightfunction for the cosine-Fourier integral transform", Acta Mathematica Vietnamica Vol.29(2), pp.149-162 [46] Thao N.X and Khoa N.M (2004), "Generalized convolution for integral transforms", Proc Inter Conf App.Math SAS Int Pub., pp.161-180 −118− [47] Thao N.X and Khoa N.M (2005), "On the generalized convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms", Vietnam Journal of Mathematics Vol.33(4), pp.421-436 [48] Thao N.X., Khoa N.M (2006), "On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier sine and cosine transforms", Integral Transforms and Special Function Vol.17(9), pp.673-685 [49] Thao N.X and Khoa N.M (2008), "On the generalized convolution for Fourier sine, Fourier and Fourier cosine transforms", Function Spaces in Complex and Clifford Analysis, National University Publisher, Hanoi, pp.223-240 [50] Thao N X., Hai N.T (1997), "Convolutions for integral transform and their application", Computer Centre of the Russian Academy Moscow, 44p (In Russian) [51] Thao N.X., Tuan V.K., Khoa N.M (2004), "On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms", Frac Cal and Appl Anal Vol.7(3), pp.323-337 [52] Thao N.X and Tuan T (2003), "On the generalized convolution for I−transform", Acta Mathematica Vietnamica Vol.28, pp.159-174 [53] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), "On the generalized convolutions of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms", Anna Univ Sci Bud., Sect Comp Vol.25, pp.37-51 [54] Vu Kim Tuan (1999), "Integral transforms of Fourier cosine convolution type", J Math Anal Appl Vol.229(2), pp.519-529 [55] Trinh Tuan (2007), "On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich-Lebedev integral transformations", Nonlinear Func Anal Appl Vol.12(2), pp.325-341 −119− [56] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V (2010), "On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms", Acta Math Vietnam Vol.35(2), pp.303-317 [57] Tsitsiklis J.N and Levy B.C (1981), "Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernels", Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology Series/Report No.: LIDS-P 1170 [58] Vilenkin Y.Ya (1958), "Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms", Dokl Akad Nauk USSR Vol.118(2), pp.219222 (In Russian) [59] Yakubovich S.B (2003), "Integral transforms of the KontorovichLebedev convolution type", Collect Math Vol.54(2), pp.99-110 [60] Yakubovich S.B (2003), "Boundedness and inversion properties of certain convolution transforms", J Korean Math Soc Vol.40(6), pp.9991014 [61] Yakubovich S.B and Britvina L.E (2010), "Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited", Int Trans and Spec Func Vol.21(4), pp.259-276 [62] Yakubovich S.B (1990), "On the construction method for construction of integral convolution", Dokl Akad Nauk BSSR Vol.34(7), pp.588-591 [63] Yakubovich S.B and Luchko Yu.F (1994), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and convolutions, Kluwer Acad Publ [64] Yakubovich S.B and Mosinski A.I (1993), "Integral-equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type",Diff Uravnenia Vol.29(7), pp.1272-1284 (In Russian) −120− ... trình hệ phương trình tích phân 30 Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY 40 RỘNG VỚI HÀM TRỌNG 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sinecosine với hàm trọng... cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng khơng có hàm trọng Đối với tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng, chưa có cơng trình nghiên cứu phép biến đổi tích chập suy rộng. .. phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Bản thân phép biến