Liên phân số và ứng dụng giải phương trình pell

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Đặng Ngọc Ánh LIÊN PHÂN SỐ VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đặng Ngọc Ánh

LIÊN PHÂN SỐ

VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đặng Ngọc Ánh

LIÊN PHÂN SỐ

VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL

Chuyên ngành: Toán đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Duy Tân

Hà Nội – Năm 2018

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các quý thầy cô tổ Đại số,khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo cơ hội, điều kiện

để em được nghiên cứu và hoàn thành đề tài khóa luận này

Đặc biệt, em cũng gửi lời cảm ơn TS Nguyễn Duy Tân đã luôntận tình giúp đỡ, quan tâm, động viên trong suốt quá trình nghiêncứu Không có sự hướng dẫn nhiệt tình từ thầy, khóa luận có lẽ khó

có thể hoàn thiện được nên một lần nữa em xin chân thành cảm ơnthầy

Khă năng nghiên cứu, trình bày của em còn hạn chế nên khôngtránh khỏi sai sót Do đó em rất mong muốn nhận được những ý kiếnđóng góp của các thầy cô và các bạn để em có thể hoàn thiện hơntrong các đề tài nghiên cứu tiếp theo của bản thân

Trân trọng

Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luậnĐặng Ngọc Ánh

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Tân khóaluận "Liên phân số và ứng dụng giải phương trình Pell" không trùngvới bất kỳ đề tài nghiên cứu nào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em có tham khảo tài liệucủa một số nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luậnĐặng Ngọc Ánh

Lời mở đầu 1

1.1 Liên phân số hữu hạn 2

1.2 Liên phân số vô hạn 9

1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn 14

1.4 Tính chất xấp xỉ tốt nhất 25

2 Phương trình Pell 31 2.1 Phương trình Pell dương 31

2.2 Phương trình Pell âm 40

2.3 Tính chẵn lẻ của chu kỳ của √ p với p nguyên tố 44

Lời mở đầu

Có một số cách để biểu diễn một số thực, chẳng hạn cách thứcquen thuộc nhất là dùng hệ thập phân Tuy nhiên trong nhiều trườnghợp, biểu diễn liên phân số của số thực là một cách biểu diễn tiệndụng và "tự nhiên toán học" hơn các cách biểu diễn khác Liên phân

số được xuất hiện lần đầu tiên trong tác phẩm toán học của nhà toánhọc Ấn Độ Aryabhata trong thế kỉ thứ 6 Đến năm 1653 thuật ngữ

"Liên phân số" lần đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách Arithmeticainfinitorum bởi nhà toán học ở Oxford, John Wallis Mục tiêu chínhcủa khóa luận này chính là trình bày một số tính chất và ứng dụngcủa liên phân số để tìm điều kiện có nghiệm nguyên của phương trìnhPell, dựa trên các tài liệu tham khảo [1, 2, 3, 4] Khóa luận được chialàm 02 chương

Chương 1 "Liên phân số liên tục" trình bày một số định nghĩa,kiến thức về 3 dạng liên phân số: liên phân số hữu hạn, liên phân số

vô hạn, liên phân số vô hạn tuần hoàn và định lý xấp xỉ tốt nhất.Chương 2 " Phương trình Pell" trình bày ứng dụng của liên phân

số để tìm điều kiện có nghiệm nguyên của phương trình Pell

Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luậnĐặng Ngọc Ánh

Liên phân số

Định nghĩa 1.1.1 Liên phân số đơn hữu hạn là biểu thức có dạng:

trong đó a0 ∈ Z, và ai ∈ N, với mọi i = 1, , n Trong luận văn này

ta chỉ làm việc với liên phân số đơn và sau này ta chỉ nói là liên phân

số Ta cũng kí hiệu liên phân số trên dưới dạng [a0, a1, , an]

Định lý 1.1.2 Mọi liên phân số hữu hạn đều là một số hữu tỉ Ngượclại mọi số hữu tỉ đều có thể được biểu diễn dưới dạng một liên phânsố

Chứng minh

• Chiều thuận: Vì a0 ∈ Z và ai ∈ N, với mọi i = 1, , n nên

• Chiều ngược lại: Xét p

q là 1 số hữu tỉ (q > 0) Khi đó tồn tại duynhất a0, r0 ∈ Z thỏa mãn:

p = q.a0 + r0, 0 ≤ r0 < q, hayp

r0

Lặp lại quá trình trên, tồn tại duy nhất a1, r1 thỏa mãn

q = r0.a1 + r1, 0 ≤ r1 < r0,q

= 2 + 1

3 + 29

3 + 192

4 + 12

Nhận xét 1.1.4 Việc biểu diễn một số hữu tỉ dưới dạng liên phân

số theo thuật toán trên là duy nhất Tuy nhiên ta có thể thay đổi sốhạng cuối của liên phân số

Định nghĩa 1.1.5 Cho liên phân số hữu hạn [a0, , an], với mỗi

m ≤ n ta gọi [a0, , am] là giản phân thứ m của liên phân số đã cho.Định nghĩa 1.1.6 Cho dãy a0, a1, , an, thỏa mãn a0 ∈ Z, ai ∈

N, ∀i = 1, n Ta định nghĩa 2 dãy số (pn), (qn) như sau:

p−1 = 1, p0 = a0, pn = anpn−1 + pn−2;

q−1 = 0, q0 = 1, qn = anqn−1 + qn−2.Nhận xét 1.1.7 Ta có qn > 0 và (qn) là dãy tăng với mọi n ≥ 2.Chứng minh Thật vậy, q = 1 > 0 và q = a q +q = a > 0 Giả sử

Chứng minh Ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh rằng

[a0, , ak] = pk

qk =

ak.pk−1 + pk−2

ak.qk−1 + qk−2. (1.7)

p1q0 − p0q1 = (a0a1 + 1)1 − a0a1 = 1 = (−1)1−1.

Như vậy (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k nghĩa là

Bây giờ ta chứng minh (2) như sau

Chứng minh Đặt (pm, qm) = a Theo Định lý 1.1.9 ta có

a | pmqm−1− pm−1qm = (−1)m−1.Vậy a = 1 và pm, qm nguyên tố cùng nhau

1.2 Liên phân số vô hạn

Định lý 1.2.1 Cho dãy a0, a1, , an, trong đó a0 ∈ Z, ai ∈ N vớimọi i = 1, 2, và 2 dãy (pn), (qn) cho bởi

Tương tự như vậy

Cuối cùng ta thu được

α = a0 + 1

α1; α1 > 1

α1 = a1 + 1

α2; α2 > 1, a1 ≥ 1 (1.11)

αn = an+ 1

αn+1; αn+1 > 1, an ≥ 1

Rõ ràng các αi (i = 0, 1, ) đều là các số vô tỉ nên thuật toán khôngbao giờ dừng lại Từ (1.11) ta có

qn = l = lU = lL.

Bây giờ ta sẽ chứng minh l = α Theo Định nghĩa 1.2.3 ta có

Tương tự như vậy

nên ta thu được

1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn

Định nghĩa 1.3.1 Số vô tỉ α được gọi là số vô tỉ bậc hai nếu nó lànghiệm của phương trình bậc hai Ax2 + Bx + C = 0, với A > 0 và

A, B, C là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau Trong trường hợp này

ta gọi D := B2 − 4AC là biệt thức của số vô tỉ bậc hai α

Bổ đề 1.3.2 Với mọi số vô tỉ bậc hai α đều có dạng A + B√

−√D2a Đặt A =

−b2a và B =

12a 6= 0 ta thuđược α = A + B√

D hoặc α = A − B√

D; trong đó A, B, −B ∈ Q

Định nghĩa 1.3.3 Với mỗi số vô tỉ bậc hai α = A + B√

[a0, a1, ] = [a0, , an−1, an, , an+l−1]

Số nguyên dương l nhỏ nhất như vậy được gọi là chu kỳ của liên phân

số [a0, a1, ] Trường hợp đặc biệt nếu an = an+l đúng với mọi n ≥ 0thì [a0, a1, ] được gọi là hoàn toàn tuần hoàn

Định nghĩa 1.3.6 Cho α là một số vô tỉ bậc hai và α0 là số liên hợpcủa α Số α được gọi là thu gọn nếu α > 1 và −1 < α0 < 0

Bổ đề 1.3.7 Nếu α là số vô tỉ bậc hai thì β = αA + B

Hay (AB0− bA0B0)β2+ (−2ABB0+ bAB0+ bA0B)β − AB2− bAB = 0

Do đó β cũng là một số vô tỉ bậc hai

Hệ quả 1.3.8 Nếu α là số vô tỉ bậc hai thì αn được xác định trongĐịnh nghĩa 1.2.3 cũng là số vô tỉ bậc hai với mọi n.

Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2.3 ta có

αn = [an, , an+k−1] = [an, , an+k−1, αn] = αn.p

0 k−1 + p0k−2

αn.qk−10 + qk−20 .Trong đó p

0 k−1

Bổ đề 1.3.10 Ứng với số D nguyên dương không chính phương chotrước, chỉ có hữu hạn số vô tỉ bậc hai thu gọn có biệt thức D

Chứng minh Giả sử β là một số vô tỉ bậc hai có biệt thức D thì β sẽ

là nghiệm của phương trình Ax2 + Bx + C = 0 với A > 0 và A, B, Cnguyên tố cùng nhau Khi đó β = −B +√D

Vậy có hữu hạn số A (∗∗) Từ (∗)(∗∗) và B2− 4AC = D ta thấy rằngchỉ có hữu hạn khả năng cho β.

Bổ đề 1.3.11 Cho α là số vô tỉ bậc hai Khi đó tồn tại số nguyêndương N sao cho αn là thu gọn với mọi n > N Trong đó αn được xácđịnh trong Định nghĩa 1.2.3

Chứng minh Gọi α0n là liên hợp của αn, α0 là số liên hợp của α Ta có

α = [a0, a1, , an, αn+1] = αn+1pn + pn−1

αn+1qn + qn−1.Lấy liên hợp cả 2 vế

α0 = α

0 n+1pn+ pn−1

Ta cũng có

(pn − qnα0)qn−1 = qn(pn−1 − α0qn−1) + (pnqn−1 − qnpn−1)

= qn(pn−1 − α0qn−1) + (−1)n−1 (1.15)Thay (1.15) vào (1.14)ta có

Ta có qn − qn−1 ≥ 1 với mọi n Và khi n tiến ra vô cùng thì pn−1

qn−1tiến tới α mà α 6= α0, nên  pn−1

ta có

−1

α0n+1 − 1 > 0

Từ Định nghĩa 1.2.3 ta có αn > 1 với mọi n ≥ 1 Theo Hệ quả 1.3.8

αn là số vô tỉ bậc hai nên αn thu gọn với mọi n > N

Bổ đề 1.3.12 Cho α là số vô tỉ bậc hai với biệt thức D thì αn đượcxác định trong Định nghĩa 1.2.3 cũng là số vô tỉ bậc hai có biệt thức

là D, mọi n nguyên dương

Chứng minh Do α là số vô tỉ bậc hai nên α là nghiệm của phươngtrình bậc hai Ax2 + Bx + C = 0, trong đó A, B, C nguyên tố cùngnhau Vì α = a0 + 1

α1

nên

A(a0α1 + 1)2 + B(a0α21 + α1) + Cα21 = 0

Suy ra (Aa20+ Ba0+ C)α21+ (B + 2a0A)α1+ A = 0 Vì A, B, C nguyên

tố cùng nhau nên Aa20 + Ba0 + C, B + 2a0A, A cũng vậy Ta lại có

∆ = (B + 2a0A)2 − 4(B + 2a0A)A

= B2 + 4a0AB + 4a20A2 − 4a20A2 − 4a0AB − 4AC

= B2 − 4AC = D

1

chứng minh trên ta cũng chỉ ra được α2 có cùng biệt thức với α1 là

D Cứ tiếp tục như vậy ta có αn có cùng biệt thức với α với mọi nnguyên dương

Định lý 1.3.13 (Lagrange) Nếu α là số vô tỉ bậc hai thì α là mộtliên phân số liên tục tuần hoàn

Chứng minh Giả sử α là số vô tỉ bậc hai có biệt thức D Theo kếtquả Bổ đề 1.3.11 và 1.3.12 ta có tồn tại số nguyên dương N sao cho

αn là thu gọn và cùng biệt thức với α với mọi n > N Theo Bổ đề1.3.10 chỉ có hữu hạn số thu gọn có cùng biệt thức với α nên sẽ tồntại n, l ∈ N sao cho αn = αn+l Do đó an+l = [αn+l] = [αn] = an Mặtkhác,

αn+l = an+l + 1

αn+l+1 và αn = an +

1

αn+1nên αn+1 = αn+l+1 Cứ tiếp tục như vậy ta thu được αm = αm+l vớimọi m ≥ n Khi đó α = [a0, a1, , an−1, an, , an+l−1]

Mệnh đề 1.3.14 Nếu α là thu gọn thì α hoàn toàn tuần hoàn.Chứng minh Trước tiên ta chứng minh rằng nếu α là thu gọn thì αncũng thu gọn với mọi n ∈ N Gọi α0n là liên hợp của αn và gọi α0 làliên hợp của α Ta có α = [α] + 1

α1 và α1 > 1 ( theo Định nghĩa 1.2.3).Khi đó α01 = 1

Theo Bổ đề 1.3.10 ta chỉ có hữu hạn αn có cùng biệt thức với α Màmọi αn có cùng biệt thức với α (Bổ đề 1.3.12) nên tồn tại hai số nguyêndương n, k thỏa mãn αn+k = αn Ta sẽ chứng minh αn+k−1 = αn−1 Tacó

Vì αn+k = αn nên −1

α0n+k =

−1

α0n Do đó ta có an−1 = an+k−1 Thay vào(1.16) ta có αn−1 = αn+k−1 Cứ tiếp tục quá trình chứng minh nhưtrên ta có α0 = αk Như vậy α = [a0, a1, , ak−1]

Mệnh đề 1.3.15 Cho α hoàn toàn tuần hoàn và gọi α0 là liên hợpcủa α Khi đó α là thu gọn và −1

α0 = [al−1, , a0].

Để chứng minh mệnh đề này ta xét bổ đề sau

Bổ đề 1.3.16 Cho dãy số a0, a1, và (pn)(qn), được xác định trongĐịnh nghĩa 1.1.6 Ta có

như vậy ta thu được

α = αpl−1+ pl−2

αql−1+ ql−2 và ql−1α

2 − (pl−1− ql−2)α − pl−2 = 0 (1.19)Theo Bổ đề 1.3.16 ta có

β = βp

0 l−1 + p0l−2

Do đó α0 là liên hợp của α Vì β > 1 nên −1 < α0 < 0 Kết hợp với

Định lý 1.3.18 Cho d là số nguyên dương không chính phương Khi

đó tồn tại các số nguyên a1, a2, , al−1 sao cho

Suy ra

√

d = α − [

√d] = [[

√d], a1, , al−1, 2[

1 = 6 + (

√

13 − 3)

Sau đó αn = αn+5 với mọi n nên √

α − pn

qn

qn(αn+1qn+ qn−1) <

12qn.Chứng minh Ta có

αn+1pn+ pn−1

αn+1qn+ qn−1 − pn

qn

=

=

≥

p

q − pn

qn

−

...

qn(αn+1qn+ qn−1) <

12qn.Chứng minh Ta có

αn+1pn+ pn−1

αn+1qn+... |qn−1α − pn−1| > |qnα − pn| với n ≥ 2.Chứng minh Theo bổ đề ta có |qnα − pn| = 1

(αn+1qn+