Liên phân số và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Hồng Ngọc Liên phân số ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Hồng Ngọc Liên phân số ứng dụng Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn thực Phan Văn Lộc Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Đại số thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Văn Lộc, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý q báu thầy bạn Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Hồng Ngọc Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận "Liên phân số ứng dụng" cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn thầy Phan Văn Lộc Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực Ngồi ra, đề tài sử dụng số tài liệu có ghi rõ danh mục tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận nào, em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm khóa luận nghiên cứu riêng mình! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Hồng Ngọc i Mục lục Lời mở đầu Một số kí hiệu Liên Phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn 1.2 Liên phân số vô hạn 13 1.2.1 Liên phân số vô hạn 13 1.2.2 Liên phân số vơ hạn tuần hồn 23 Ứng dụng liên phân số 30 2.1 Ứng dụng vào tính gần 30 2.2 Ứng dụng vào phân tích thừa số 33 2.3 Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn có dạng Ax + By = C 34 2.4 Ứng dụng vào giải phương trình đồng dư bậc 38 2.5 Ứng dụng vào giải phương trình Pell 39 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 50 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Lời mở đầu Liên phân số nhà toán học Leonardo Fibonacci giới thiệu lần đầu "Liber abci" xuất năm 1202 Vào năm 1572 nhà toán √ học Bombelli sử dụng liên phân số để nghiên cứu xấp xỉ 13 sau: √ 13 = + 4 6+ Năm 1692, Schwenter Huygens (trong cơng trình cơng bố sau ông ) xem xét xấp xỉ liên phân số hữu hạn theo nghĩa biểu diễn phân số lớn thành phân số nhỏ Schwenter đưa biểu diễn sau 177 = 233 1 1+ 3+ 6+ 4+ Huygens sử dụng liên phân số để biểu diễn số thực mà ơng sử dụng cho việc nghiên cứu hệ thống lượng mặt trời Liên phân số quan trọng số học với nhiều ứng dụng tốn học mà thực tiễn Vì tơi chọn đề tài "Liên phân số ứng dụng" nhằm giúp học sinh hiểu liên phân số, biểu diễn số thực thành liên phân số ví dụ đơn giản để áp dụng vào giải số phương trình nghiệm nguyên luật xấp xỉ tốt cho số vơ tỷ phân tích thừa số Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Bài khóa luận hồn thành hướng dẫn thầy giáo Phan Văn Lộc Khóa luận cấu trúc gồm hai chương Chương "Liên phân số" trình bày kiến thức liên phân số cách biểu diễn số thực thành liên phân số Chương "Ứng dụng liên phân số" trình bày ứng dụng liên phân số tìm nghiệm nguyên bậc hai ẩn, phương trình đồng dư bậc nhất, phương trình pell, luật xấp xỉ phân tích số thừa số Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Hồng Ngọc Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực N∗ Tập số tự nhiên khác Z+ Tập số nguyên dương Chương Liên Phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1 Cho hai dãy hữu hạn (ai )i≥0 (bi )i≥0 với a0 ∈ Z, ∈ N∗ ∀i = 0, bi ∈ N∗ ∀i Khi biểu thức b0 a0 + b1 a1 + a2 + + bn−1 bn an + an+1 gọi liên phân số hữu hạn hai dãy số hai dãy số (ai )i≥0 (bi )i≥0 Nếu (bi = 1)i≥0 liên phân số hữu hạn hai dãy số(ai )i≥0 (bi = 1)i≥0 gọi liên phân số hữu hạn dãy số(ai )i≥0 hay liên phân số hữu hạn đơn kí hiệu liên phân số hữu hạn đơn [a0 , a1 , , an , an+1 ] biểu thức C0 = a0 , b0 b0 b0 , , Cn+1 = a0 + C = a0 + , C = a0 + b1 b1 a1 a1 + a1 + bn − a2 a2 + + bn an + an+1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc gọi giản phân thứ 0, 1, 2, n + liên phân số hữu hạn Định lý 1.1 Cho liên phân số hữu hạn hai dãy số (ai )i≥0 (bi )i≥0 (với a0 ∈ Z, ∈ N∗ ∀i = 0, bi ∈ N∗ ∀i) ta xây dựng hai dãy số P0 , P1 , Pn , Pn+1 Q0 , Q1 , , Qn , Qn+1 sau: P = a0 Q0 = P = a1 a0 + b Q = a1 P = a2 P + b P Q2 = a2 Q1 + b1 Q0 Pn+1 = an+1 Pn + bn Pn−1 Qn+1 = an+1 Qn + bn Qn−1 n ≥ Khi giản phân thứ n Pn Cn = Qn với n Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp P0 Với n = ta có C0 = = a0 Q0 a1 a0 + b b0 P1 Với n = ta có C1 = = = a0 + Q1 a1 a1 Vậy định lý với n = n = Giả sử mệnh đề với n Khi ta có Cn = Pn = a0 + Qn b0 b1 a1 + a2 + + bn − bn−1 an−1 + an Ta chứng minh định lý với n + Thật ta có Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc   x0 = (−1)4−1 Q3 hay  y0 = (−1)4−1 P3   x0 = −10  y0 = 53 Vậy nghiệm tổng quát phương trình   x = 8.(−10) + 27t (t ∈ Z), hay   x = −80 + 27t (t ∈ Z)  y = 424 − 143t  y = 8.53 − 143t Ví dụ 2.3.3 Giải biện luận theo số nguyên a phương trình sau 13x + 21y = 3a + Giải Vì (13, 21) = Nên phương trình có nghiệm với a Xét phương trình: 13x + 21y = Ta tìm nghiệm riêng phương 21 trình Ta có biểu diễn liên phân số 13 21 = [1, 1, 1, 1, 1, 2] 13 P5 = Q5 • Vì b > Nên nghiệm phương trình 13x + 21y = ta có n = 6, C5 =   x0 = −8  y5 = Suy  nghiệm riêng phương trình 13x + 21y = 3a +  x0 = −8(3a + 2)  y0 = 5(3a + 2) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Vậy nghiệm phương trình 13x + 21y = 3a +   x = −8(3a + 2) + 21t (t ∈ Z), hay (t ∈ Z)  y = 15a + 10 − 13t  y = 5(3a + 2) − 13t 2.4   x = −24a − 16 + 21t Ứng dụng vào giải phương trình đồng dư bậc Định nghĩa 2.1 Phương trình đồng dư bậc ẩn x phương trình có dạng sau đây: ax ≡ b (mod m) a, b ∈ Z, a ≡ (mod m) m = [q0 , q1 , , qn ] nghiệm phương a trình ax ≡ b (mod m) Định lý 2.2 Giả sử x ≡ (−1)n bPn−1 (mod m) m Pn Chứng minh Ta có Qn Pn−1 − Pn Qn−1 = (−1)n mà = nên ta có a Qn   m = Pn , suy aPn−1 − mQn−1 = (−1)n  a = Qn Như aPn−1 ≡ (−1)n (mod m) Vậy nghiệm phương trình x ≡ (−1)n bPn−1 (mod m) Ví dụ 2.4.1 Giải phương trình 415x ≡ 236 (mod 1009) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Giải Ta có biểu diễn 1009 = [2, 2, 3, 7, 8] , 415 ta có P3 = 124 Do nghiệm phương trình x ≡ 236.124 (mod 1009) ⇔ x ≡ (mod 1009) Vậy nghiệm phương trình x ≡ (mod 1009) 2.5 Ứng dụng vào giải phương trình Pell Định nghĩa 2.2 Phương trình Pell phương trình có dạng: x2 − dy = ±1, d ∈ N∗ Nếu x2 − dy = ta gọi phương trình Pell loại I Nếu x2 − dy = −1 ta gọi phương trình Pell loại II Định lý 2.3 Phương trình Pell có nghiệm d khơng số phương Đối với phương trình Pell loại II d khơng ước ngun tố p = 4k + Chứng minh - Đối với phương trình Pell loại I: x2 − dy = Nếu d = m2 , (m ∈ Z) phương trình x2 − dy = tương đương với phương trình x2 − m2 y = ⇔ (x − my)(x + my) = Do x = 1, y=0∈ / N∗ Nên phương trình khơng có nghiệm ngun dương Vậy d khơng số phương - Đối với phương trình Pell loại II: x2 − dy = −1 Nếu d = m2 , (m ∈ N∗ ) phương trình x2 − dy = −1 tương đương với phương trình x2 − m2 y = −1 ⇔ (x − my)(x + my) = −1 ⇔ 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc (my − x)(my + 1) = Do my − x = my + x = suy x = Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun dương Nên d khơng số phương Nếu d có ước nguyên tố p = 4k + phương trình vơ nghiệm phương trình có nghiệm (x, y) x2 + = dy Do p|1 vơ lí √ Định lý 2.4 Giả sử chu kì biểu diễn liên phân số d r Gọi Pk Ck = giản phân thứ k, ta có Qk   x = Ptr−1 ∗ Nếu r chẵn (t ∈ N∗ ) nghiệm phương trình  y = Qtr−1 Pell loại I   x = P2tr−1 (t ∈ N∗ ) nghiệm phương trình ∗ Nếu r lẻ  y = Q2tr−1 Pell loại I √ √ 0+ d Chứng minh Vì d = nên q0 = suy qkr = q0 = ∀k √ Vì d khơng số phương nên d có triển khai liên phân số √ Pk Gọi giản phân thứ k d Qk Pk2 + dQ2k = (−1)k−1 qk−1 (trong pk , qk , αk , ak số xác định triển khai liên phân số √ d) √ Thật vậy, ta có d = α0 = [a0 , a1 , a2 , , ak , ak+1 √], suy √ pk+1 + d αk+1 Pk + Pk−1 Vì αk+1 = nên ta có d = α0 = αk+1 Qk + Qk−1 qk+1 √ √ (pk+1 | + d)Pk + qk+1 Pk−1 √ d= (pk+1 + d)Qk + qk+1 Qk−1 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc √ √ Do dQk = (pk+1 Qk + qk+1 Qk−1 ) d = (pk+1 Pk + qk+1 Pk−1 ) + Pk d, √ suy (do d ∈ / Q) dQk = pk+1 Pk + qk+1 Pk−1 (1) pk+1 Qk + qk+1 Qk−1 = Pk (2) Nhân phương trình (1) với Qk phương trình (2) với Pk trừ cho ta Pk2 − dQ2k = (Pk Qk−1 − Pk−1 Qk )qk+1 = (−1)k+1 qk+1 Từ ta có ∗ Nếu r chẵn Pkr−1 − dQ2kr−1 = 1, ∀k ∈ N∗ − dQ22tr−1 = 1, ∀t ∈ N∗ ∗ Nếu r lẻ P2tr−1 Bổ đề 2.2 qi = 1, ∀i = 1, 2, qk = ⇔ k r ( với r chu kì) √ Chứng minh Giả sử tồn qi = −1 suy αi = −pi − d với αi √ có biểu diễn liên phân số từ đầu nên −1 < (αi ) = pi + d < √ √ √ αi = −pi − d > Suy d < −1 − d Vơ lí √ Giả sử k = tr với a0 = [ d] ta có √ d = [a0 , a1 , , ak−1 , ak ] = [a0 , (a1 , , ar , 2a0 )] Suy α √k = [(2a0 , a1 , , ar )] = a0 + [a0 , (a1 , a2 , , ar , 2a0 )] = a0 + √ √ pk + d ⇔ qk a0 + qk d = pk + d ⇔ qk = 1, ak = pk = qk Ngược lại qk = ta có √ αk = p k + 41 d > pk √ d Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Vì αk = [ak , ak+1 , ] tuần hoàn từ đầu nên √ √ √ √ −1 < (αk ) = pk − d < ⇒ d − < pk < d Nên [ d] = pk = a0 √ √ √ suy αk = pk + d = [ d] + d = [(2a0 , a1 , , ar )] Ta có √ d = α = [a0 ; ; ak−1 ; ak ] = [a0 ; ; ak−1 ; (2a0 ; a1 ; ; ar )] = [a0 , (a1 , , ar , 2a0 )] Vây k bội chu kì r Để chứng minh tất nghiệm phương trình Pell loại I ta cần bổ đề sau: r Bổ đề 2.3 Cho α số vô tỷ số hữu tỷ tối giản với r > s r r α − < Khi phải giản phân α s 2s s Bổ đề 2.4 Giả xử x y hai số nguyên dương cho x2 − dy = n √ √ x |n| < d Khi giản phân d y Dựa vào bổ đề ta có nghiệm phương trình Pell loại I ∗ Nếu r chẵn tất nghiệm phương trình Pell loại I   x = Ptr−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2tr−1 ∗ Nếu r lẻ tất nghiệm phương trình Pell loại I   x = P2tr−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2tr−1 Ví dụ 2.5.1 Tìm nghiệm tổng quát nghiệm nhỏ phương trình x2 − 29y = 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Giải Ta có biểu diễn √ 29 = [5, (2, 1, 1, 2, 10)] với chu kì r=5 Khi ta có bảng giản phân sau k ak 1 10 1 Pk 11 16 27 70 727 1524 2251 3778 9807 Qk 13 135 283 418 701 1820 11 16 27 70 727 1524 2251 3778 9807 Ta có , , , , , , , , , , giản phân 13 135 283 418 701 1820 √ 29 Vì r = số lẻ nên nghiệm phương trình   x = P10t−1 ∀t ∈ N∗  y = Q10t−1 với t =   x = P10.1−1 = P9 = 9807  y = Q10.1−1 = Q9 = 1820 Vậy nghiệm nhỏ phương trình (9807, 1820) Ví dụ 2.5.2 Tìm nghiệm tổng qt ba nghiệm phương trình x2 − 3y = Giải Ta có biểu diễn √ = [1, (2, 1)] 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc với chu kì r = số chẵn nên ta có nghiệm tổng quát phương trình   x = P2t.2−1 = P4t−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2t.2−1 = Q4t−1 √ Ta có bảng giản phân k 10 11 ak 1 2 2 Pk 19 26 71 97 265 362 989 1351 Qk 1 11 15 41 56 153 209 517 780 √ 19 26 Ta có 1, 2, , , , , giản phân Ta có ba nghiệm 11 15 phương trình t = 1, 2, Vậy nghiệm phương trình (7, 4), (97, 56), (1351, 780) Ví dụ 2.5.3 Tìm nghiệm nhỏ phương trình x2 − 74y = Giải Ta có √ 74 = [8, (1, 1, 1, 1, 16)] với chu kì r = Khi ta có bảng giản phân sau k ak 1 1 16 1 1 Pk 17 26 43 714 757 1471 2228 3699 Qk 1 83 88 717 259 430 17 26 43 714 757 1471 2228 3699 Ta có , , , , , , , , , , giản phân 1 83 88 717 259 430 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học √ phạm thị hồng ngọc 74 Vì r = lẻ nên ta có nghiệm tổng qt phương trình   x = P10t−1 (∀t ∈ N∗ )  y = Q10t−1 với t=1   x = P9 = 4699  y = Q9 = 430 Vậy nghiệm nhỏ phương trình (3699, 430) Ví dụ 2.5.4 Tìm tất nghiệm phương trình Pell loại I x2 − 2y = thỏa mãn điều kiện 80 < x < 120 Giải Ta có √ = [1, (2)] với chu kì r = ta có bảng giản phân sau k ak 2 2 2 Pk 17 41 99 239 577 Qk 12 29 70 169 408 √ 17 41 Ta có 1, , , , , giản phân Vì r = lẻ nên ta 12 29 có nghiệm tổng quát phương trình   x = P2t−1  y = Q2t−1 45 (∀t ∈ N∗ ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Ta thấy Pk , Qk lẻ nghiệm phương trình mà P1 < P3 < P5 < Theo giả thiết ta có 80 < x < 120 nên 80 < P2t−1 < 120, suy có P5 thỏa mãn nghiệm phương trình (99, 70) Định lý 2.5 Phương trình Pell loại II: x2 − dy = −1 có nghiệm chu kì biểu diễn liên phân số số lẻ Khi tất nghiệm phương trình   x = P2tr−r−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2tr−r−1 Chứng minh Gọi pk , qk , αk , ak số xác định việc tìm khai √ √ Pk triển liên phân số d Giả sử giản phân thứ k d Qk 2 k−1 Pk − dQk = (−1) qk+1 Ta thấy r lẻ   x = P2tr−r−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2tr−r−1 Giả sử  (x, y) nghiệm phương trình Pell loại II Ta có tồn  x = Pi i để Từ ta có (−1)i−1 qi+1 = −1 =⇒ qi+1 = ±1 Vì  y = Qi qi+1 = −11 nên qi+1 = i chẵn Khi tồn k ∈ N i+1 = kr Suy i = kr − kr lẻ Vậy - r chẵn kr ln chẵn vơ nghiệm - r lẻ lí luận phương trình Pell loại I nghiệm 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc phương trình có dạng   x = P2kr−r−1 (k ∈ N∗ )  y = Q2kr−r−1 kr lẻ tức k lẻ hay   x = P2tr−r−1 (t ∈ N∗ )  y = Q2tr−r−1 Ví dụ 2.5.5 Tìm hai nghiệm tổng quát phương trình x2 − 10y = −1 Giải Ta biểu diễn √ 10 = [3, (6)] với chu kì r = số lẻ nên nghiệm tổng quát phương trình   x = P2t−2 (t ∈ N∗ )  y = Q2t−2 Ta có n ak 6 6 Pk 19 117 721 4443 Qk 37 228 1405 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học - Với k = - Với k =   x0 = P0 = phạm thị hồng ngọc nghiệm bé phương trình  y0 = Q0 =   x1 = P2 = 117 nghiệm thứ hai phương trình  y1 = Q2 = 37 Ví dụ 2.5.6 Tìm nghiệm tổng quát nghiệm nhỏ phương trình x2 − 29y = −1 Giải Ta biểu diễn √ 29 = [5, (2, 1, 1, 2, 10)] Vì chu kì r = số lẻ nên phương trình có nghiệm nghiệm phương trình   x = P10t−5 (t ∈ N∗ )  y = Q10t−5 Ta có n ak 1 10 Pk 11 16 27 70 727 Qk Nghiệm nhỏ phương trình 13 135   x0 = P5 = 727  y0 = Q5 = 135 Ví dụ 2.5.7 Tìm nghiệm tổng quát nghiệm phương trình x2 − 23y = −1 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Giải Ta biểu diễn √ 23 = [4, (1, 3, 1, 8)] Vì chu kì r = số chẵn nên ta có phương trình x2 − 23y = −1 vơ nghiệm 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hồng ngọc Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Liên phân số ứng dụng" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng tính chất ứng dụng liên phân số Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên thời gian hạn chế lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu Thầy, Cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt Thầy giáo Phan Văn Lộc tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 50 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số số học tập , Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Đặng Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2007), Một số vấn đề số học chọn lọc, Nhà xuất Giáo dục [3] Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ (2017),Cơ sở Lí thuyết số Đa thức, Nhà xuất đại học Sư phạm [4] Dương Quốc Việt (chủ biên), Nguyễn Đại Tăng, Lê Văn Dính, Lê Thị Hà, Đặng Đình Hanh, Đào Ngọc Minh, Trương Thị Hồng Thanh, Phan Thị Thủy (2014), Bài tập sở Lí thuyết số Đa thức , Nhà xuất Đại học Sư phạm [5] W Sierpinski, Lý thuyết sơ cấp số, Tủ sách toán học trẻ kỷ 21 51 ... gồm hai chương Chương "Liên phân số" trình bày kiến thức liên phân số cách biểu diễn số thực thành liên phân số Chương "Ứng dụng liên phân số" trình bày ứng dụng liên phân số tìm nghiệm nguyên... trời Liên phân số quan trọng số học với nhiều ứng dụng toán học mà thực tiễn Vì tơi chọn đề tài "Liên phân số ứng dụng" nhằm giúp học sinh hiểu liên phân số, biểu diễn số thực thành liên phân số. .. đầu Một số kí hiệu Liên Phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn 1.2 Liên phân số vô hạn 13 1.2.1 Liên phân số vô hạn 13 1.2.2 Liên phân số vô hạn