Liên phân số và ứng dụng (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Phạm Thị Hồng Ngọc Liên phân số và ứng dụng Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn thực hiện Phan Văn Lộc Hà Nội – Năm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Hồng Ngọc

Liên phân số và ứng dụng

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn thực hiện

Phan Văn Lộc

Hà Nội – Năm 2018

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong

tổ bộ môn Đại số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Văn Lộc, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc

Em xin cam đoan khóa luận "Liên phân số và ứng dụng" là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của thầy Phan Văn Lộc Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận là hoàn toàn trung thực Ngoài ra, trong đề tài còn sử dụng một số tài liệu có ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo.

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận nghiên cứu của riêng mình!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc

Lời mở đầu 1

1.1 Liên phân số hữu hạn 4

1.2 Liên phân số vô hạn 13

1.2.1 Liên phân số vô hạn 13

1.2.2 Liên phân số vô hạn tuần hoàn 23

2 Ứng dụng của liên phân số 30 2.1 Ứng dụng vào tính gần đúng 30

2.2 Ứng dụng vào phân tích ra một thừa số 33

2.3 Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn có dạng Ax + By = C 34

2.4 Ứng dụng vào giải phương trình đồng dư bậc nhất 38

2.5 Ứng dụng vào giải phương trình Pell 39

Lời mở đầu

Liên phân số được nhà toán học Leonardo Fibonacci giới thiệu lần

đầu trong "Liber abci" xuất bản năm 1202 Vào năm 1572 nhà toán

học Bombelli sử dụng liên phân số để nghiên cứu sự xấp xỉ của √

Năm 1692, Schwenter và Huygens (trong một công trình công bố sau

khi ông mất ) đã xem xét sự xấp xỉ của những liên phân số hữu hạn

theo nghĩa biểu diễn những phân số lớn thành những phân số nhỏ hơn

Schwenter đã đưa ra biểu diễn sau

và Huygens không những sử dụng liên phân số để biểu diễn các số

thực mà ông còn sử dụng cho việc nghiên cứu hệ thống năng lượng

mặt trời Liên phân số rất quan trọng trong số học với nhiều ứng dụng

trong toán học mà còn trong thực tiễn Vì vậy tôi đã chọn đề tài "Liên

phân số và ứng dụng" nhằm giúp học sinh hiểu hơn về liên phân số,

biểu diễn các số thực thành liên phân số và các ví dụ đơn giản để áp

dụng vào giải một số phương trình nghiệm nguyên và hơn nữa là luật

xấp xỉ tốt nhất cho các số vô tỷ và phân tích ra một thừa số

Bài khóa luận này hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

Phan Văn Lộc

Khóa luận cấu trúc gồm hai chương

Chương 1 "Liên phân số" trình bày kiến thức cơ bản của liên phân

số và cách biểu diễn số thực thành liên phân số

Chương 2 "Ứng dụng của liên phân số" trình bày về ứng dụng của

liên phân số về tìm nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn, phương trình

đồng dư bậc nhất, phương trình pell, luật xấp xỉ và phân tích một số

ra thừa số

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc

Liên Phân số

Định nghĩa 1.1 Cho hai dãy hữu hạn (ai)i≥0 và (bi)i≥0 với

a0 ∈ Z, ai ∈ N∗ ∀i 6= 0, bi ∈ N∗ ∀i Khi đó biểu thức

và (bi)i≥0 Nếu (bi = 1)i≥0 thì liên phân số hữu hạn của hai dãysố(ai)i≥0 và (bi = 1)i≥0 được gọi là liên phân số hữu hạn của dãysố(ai)i≥0 hay liên phân số hữu hạn đơn kí hiệu của liên phân số hữuhạn đơn là [a0, a1, , an, an+1] còn các biểu thức C0 = a0,

lần lượt được gọi là giản phân thứ 0, 1, 2, n + 1 của liên phân số hữu

hạn

Định lý 1.1 Cho liên phân số hữu hạn của hai dãy số (ai)i≥0 và(bi)i≥0 (với a0 ∈ Z, ai ∈ N∗ ∀i 6= 0, bi ∈ N∗ ∀i) ta xây dựng hai dãy sốmới P0, P1, Pn, Pn+1 và Q0, Q1, , Qn, Qn+1 như sau:

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp

Với n = 0 ta có C0 = P0

Q0 = a0.Với n = 1 ta có C1 = P1

Giả sử mệnh đề đúng với n Khi đó ta có

Ta chứng minh định lý đúng với n + 1 Thật vậy ta có

Ví dụ 1.1.1 Cho liên phân số 518

Tính các giản phân của liên phân số đã cho

Giải Theo Định lý 1.1 ta có

của liên phân số đó.

Định lý 1.2 Nếu (ai)i≥0 và (bi)i≥0 là hai dãy số dương hữu hạn thì

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp.

Ta chứng minh định lý đúng với n Thật vậy ta có

Vậy đẳng thức được chứng minh

Biểu thức 2 chứng minh tương tự

Định lý 1.3 Cho liên phân số hữu hạn của dãy số nguyên hữu hạn

(ai)i≥0 và (bi)i≥0 Khi đó ta luôn có

n

Y

i=0

bi.Với k=0 ta có ∆0 = P0Q1 − Q0P1 = a0a1 − a0a1 − b0 = −b0

Vậy công thức đúng với k = 0

Giả sử công thức đúng với k − 1 (n ≥ 0) nghĩa là

Ta chứng minh công thức đúng với k Thật vậy ta có

ii, Đặt σk = PkQk+2 − QkPk+2 ta chỉ ra σk = (−1)k+1b0b1 bkak+2.Thật vậy ta có

σk = Pk(Qk+1ak+2 + bk+1Qk) − Qk(ak+2Pk+1+ bk+1Pk)

= ak+2PkQk+1 + bk+1P − kQkPk − ak+2QkPk+1 − bk+1PkQk

= ak+2PkQk+1 − ak+2QkPk+1 = ak+2(PkQk+1 − QkP k + 1)

= (−1)k+1b0 bkak+2

Vậy công thức được chứng minh

Từ i, ii ta suy ra công thức iii,iv

Hệ quả 1.2 Cho liên phân số của dãy số nguyên (ai)i≥0 và ai ≥ 0

∀i ≥ 0 Khi đó ta luôn có

tìm được một số hữu tỷ.

Chứng minh Giả sử α = a

b là một số hữu tỷ (trong đó a, ∈ Z, b ∈ Z+).Theo thuật toán Euclide có thể biểu diễn

Vậy mỗi số hữu tỷ đều biểu diễn được thành một liên phân số đơn

Số n được gọi là độ dài của liên phân số đơn hữu hạn này Do đóa

1.2.1 Liên phân số vô hạn

Định nghĩa 1.2 Nếu các dãy số (ai)i≥0 (với a0 ∈ Z, ai ∈ N∗

∀i 6= 0, bi ∈ N∗ ∀i) và (bi)i≥0 là các dãy vô hạn thì ta nói đó là liênphân số của hai dãy vô hạn (ai)i≥0 và (bi)i≥0 hay liên phân số vô hạn.Nếu (bi = 1)i≥0 thì ta nói đó là liên phân số đơn vô hạn

Định lý 1.5 Cho liên phân số đơn vô hạn khi đó ta có

ta thấy dãy (C2k+1) là dãy giảm bị chặn bởi C0 còn dãy (C2k) tăng và

bị chặn trên bởi C1 Vậy ta có tồn tại

Ta chứng minh Qk ≥ k bằng phương pháp quy nạp

k = 1 thì hiển nhiên đúng vì a1 = a1 Mà a1 ∈ Z+ nên Q1 ≥ 1

Giả sử đúng với k nghĩa là Qk ≥ k (k = 0, 1, 2, )

Ta chứng minh đúng với số tự nhiên k + 1 Thật vậy ta có

Suy ra α1 = α2 Vậy lim

x→∞Ck = α

Định lý 1.7 Cho α là một số vô tỷ thì α được biểu diễn duy nhất dưới

dạng một liên phân số đơn vô hạn Và ngược lại cho α = [a0, a1, a2, ]

là một liên phân số đơn vô hạn thì α là một số vô tỷ

Chứng minh Giả sử α là một số vô tỷ Đặt a0 = [α] (phần nguyêncủa α) Vì α là số vô tỷ nên 0 < α − a0 < 1, suy ra α1 = 1

α − a0

là

một số vô tỷ lớn hơn 1 Đặt a1 = [α1]

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy vô hạn α1, α2, α3, các

số vô tỷ lớn hơn 1 và dãy các số tự nhiên (an) = ([αn]) thỏa mãn

bằng αn thì Cn trở thành α Với a0, tùy ý các số a1, a2, , an nguyêndương ta có

αn trong cả hai vế của đẳng thức trên ta có

Vậy mọi số vô tỷ α có thể biểu diễn như một liên phân số vô hạn

Bây giờ ta chứng minh biểu diễn ấy là duy nhất

Q2n+1 → 0 Suy ra 1 ≤ aQ2n − bP2n < 0 (mâuthuẫn).

Vậy α = [a0, a1, a2, ] là một số vô tỷ

Ví dụ 1.2.1 Khai triển liên phân số của α = π

Giải Ta có

a2 = [α2] = [1 +

√7

2 ] = 1 α3 =

1 +√

73

a3 = [α3] = [1 +

√7

3 ] = 1 α4 = 2 +

√7

a4 = [α4] = [2 +√

7] = 4 α5 = 2 +

√73

α − Pn−1

Qn−1

== Qn−2

αnQn−1

α − Pn−2

Qn−2

α − Pn

Qn

< 12Q2 n

;

α − Pn+1

Qn+1