Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khác nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán học

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình của thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý, khóa luận của em đã hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Hoa Lý người đã giúp đỡ hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm khóa luận này

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Giáo dục chính trị, cùng các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi giúp em trong thời gian viết khóa luận

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận với đề tài : “ Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại thương trong giai đoạn hiện nay”, là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới

sự hướng dẫn của Thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý Tôi cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp của mình không trùng với kết quả của các công trình nghiên cứu đã công bố trước đó

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010

Sinh viên thực hiện:

Vương Thị Thúy Lệ

MỤC LỤC

Phần mở đầu ………1

Phần nội dung chính……….5

Chương 1: Lý luận cơ bản về ngoại thương ……… .5

1.1 Khái niệm ngoại thương………5

1.2 Vai trò của ngoại thương ……… 7

1.3 Quan điểm của Đảng ta về ngoại thương ………16

1.4 Kinh nghiệm phát triển ngoại thương ở một số nước trên thế giới …16 Chương 2 Thực trạng ngoại thương ở Việt Nam hiện nay ………20

2.1 Những thành tựu và hạn chế của ngoại thương ở nước ta hiện nay …20 2.2 Nguyên nhân của ngoại thương ở nước ta hiện nay ……….34

Chương 3: Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại thương ở Việt Nam hiện nay ……….38

Phần kết luận ………46

Danh mục tài liệu tham khảo ……….47

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Tuy ra đời khá muộn

so với các ngành toán học khác nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán học nói riêng

Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng được khởi đầu bởi việc nghiên cứu những phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong lĩnh vực vật lý và cơ học Chẳng hạn như phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt…Đó là các phương trình đại diện cho các lớp phương trình thuộc loại Elliptic, Hyperbolic và Parabolic Để có thể nghiên cứu dễ dàng hơn về nghiệm của các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng thì đầu tiên chúng ta cần phân loại chúng Chính vì lý do đó mà

em đã chọn đề tài: “Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m”

Khóa luận gồm 4 chương:

 Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

 Chương 2: Một số bài toán vật lý dẫn đến các phương trình đạo hàm riêng

 Chương 3: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

 Chương 4: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Khái niệm đạo hàm riêng

Giả sử e e1, , ,2 e là cơ sở chính tắc trong không gian n  , U là một tập hợp n

mở trong n

 và f U:  là một hàm số của n biến số, x( , ,x1 x n)U Giới hạn

nếu nó tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x hay đạo

hàm riêng theo biến x của hàm i f tại x và ký hiệu là D f x hay i ( ) ( )

i

f x x

Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng D f x i ( ) (i1, 2, , )n tại mọi điểm

x U và các đạo hàm riêng này là những hàm liên tục trên U thì ta nói rằng

f thuộc lớp C1 trên U ký hiệu là f C U1( )

1.3 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

- Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình liên hệ giữa ẩn hàm

- Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyến tính với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó

Ví dụ: Phương trình tuyến tính cấp 2 của hàm 2 biến uu x y( , ) có dạng

x U  có tương ứng một và chỉ một y V  sao cho m F x y( , )0

thì ta nói hệ thức F x y( , )0 xác định một hàm ẩn f U: V sao cho

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN ĐẾN CÁC PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

2.1 Phương trình dao động của dây

Xét sợi dây nhỏ căng thẳng theo chiều trục 0x Khi sợi dây dao động, ta

nghiên cứu quy luật dao động của nó Giả thiết sợi dây có lực căng T, trọng lượng xấp xỉ bằng 0 và khi dao động các phần tử vật chất của sợi dây chuyển

x

x x

+ Nếu dây đồng chất, tức là = const thì phương trình (2.1.1) trở thành:

- Các điều kiện bổ sung

+ Điều kiện ban đầu

0 1

( ,0) ( )( ,0) ( )

+ Điều kiện biên

 Dây hữu hạn: x 0,L , ta có điều kiện

1

2

(0, ) ( )( , ) ( )

2.2 Phương trình dao động của màng

Xét màng mỏng khi cân bằng nằm trong mặt phẳng x0y Giả thiết màng mỏng, không cưỡng lại sự uốn, trọng lượng nhỏ so với lực căng trên mặt, do

+ Xét mảnh  bất kỳ của màng, khi nó ở vị trí cân bằng giới hạn bởi biên

tuyến l Khi màng dao động mảnh  chuyển thành giới hạn bởi biên tuyến l

Diện tích của màng  bằng:

1 u2x u dxdy2y dxdy

Do đó suất căng của màng không thay đổi khi màng dao động

Gọi T là suất căng mặt ngoài, ( , )x y là tỉ trọng mặt của màng, p(x,y,t) là ngoại lực tác động vào màng

+ Xét màng , theo nguyên lý vật lý ta có u x y t( , , ) thỏa mãn phương trình:

Đây là phương trình dao động của màng

+ Phương trình (2.2.1) còn được viết dưới dạng:

+ Nếu không có ngoại lực hay p x y t( , , )0 ta có phương trình thuần nhất:

- Điều kiện bổ sung

+ Điều kiện ban đầu

0 1

( , ,0) ( , )( , ,0) ( , )

2.3 Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng

- Xét 1 vật thể rắn, ta gọi u x y z t( , , , ) là nhiệt độ của nó tại điểm ( , , )x y z và thời điểm t

Vật được coi là đẳng hướng nếu tại điểm ( , , )x y z xác định, hệ số truyền nhiệt k chỉ phụ thuộc ( , , )x y z mà không phụ thuộc vào phương của mảnh S

- Xét 1 thể tích V bất kỳ giới hạn bởi 1 mặt kín trơn S Xét sự thay đổi nhiệt

lượng trong thể tích V trong khoảng thời gian t

Gọi c x y z ( , , )là nhiệt dung, ( , , )x y z là tỉ khối của vật thể tại ( , , )x y z ,

+ Nếu u u x y t( , , )chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng mỏng thì (2.3.3) có dạng:

- Điều kiện bổ sung:

+ Điều kiện ban đầu: u x y z ( , , ,0)   ( , , ) x y z

+ Điều kiện biên: u x y z t ( , , , ) |( , , )x y zS  ( , , , ) x y z t

Phương trình (2.4.1) được gọi là phương trình Laplace

Điều kiện biên: |u S( )P (2.4.2)

- Xét 1 số bài toán:

+ Bài toán Dirichlet

Chương 3 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2

3.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến

Phương trình (3.1.1) thuộc loại:

(1) Elliptic tại điểm (x,y) nếu tại đó ta có  0

(2) Hyperbolic tại điểm (x,y) nếu tại đó  0

(3) Parabolic tại điểm (x,y) nếu tại đó  0

Nếu phương trình (3.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều thuộc cùng một loại thì phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G

Ví dụ 1 : Tìm các miền elliptic, parabolic và hyperbolic của phương trình

* Trường hợp y = 0

Ta có   0, khi đó phương trình (1) thuộc loại parabolic với   x ¡ Suy

ra, miền P= ( ,0) | x x  ¡ 

* Trường hợp y  0

Vì   ( x2   x  ) y2nên biệt thức  cùng dấu với: f x( )x2  x 

Ta đi xét dấu của  thông qua dấu của f x( ) Ta có   x 1 4

2

x x

1 1 42

x x

3.1.2 Tính bất biến của loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

Loại của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (3.1.1) không thay đổi qua phép đổi biến không suy biến

+ u x ux ux

+ u y uy uy

Ngược lại, nếu ( , )x y C là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

thường (3.1.6) thì hàm z ( , )x y là nghiệm của phương trình (3.1.5)

Chứng minh:

 Ta cần chứng minh nếu z( , )x y thỏa mãn (3.1.5) thì hệ thức

Khi đó ta có điều phải chứng minh

 Giả sử ( , )x y C là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường (3.1.6) ta cần chứng minh z( , )x y là nghiệm riêng của phương trình (3.1.5) hay ta cần chứng minh (3.1.7) được thỏa mãn tại bất kỳ điểm ( ,x y o o)

nào trong miền xác định của ( , )x y

Thật vậy, lấy điểm ( ,x y o o) bất kỳ kể trên và đặt:

( ,x y o o)C o

Ta có ( , )x y C là nghiệm tổng quát của (3.1.6) có nghĩa là ẩn hàm y x( )

xác định từ hệ thức ( , )x y C thỏa mãn (3.1.6) với bất kỳ giá trị nào của hằng số C

Xét ẩn hàm y x( ) xác định từ hệ thức ( , )x y C0

Theo giả thiết, với ẩn hàm đó thì (3.1.6) hoặc (3.1.6’) được thỏa mãn tại

( , )

x y

3.1.4 Đưa phương trình (3.1.1) về dạng chính tắc

Dựa vào dấu biệt thức 2

b ac

   của (3.1.6) ta xét các trường hợp sau:

a) Trường hợp phương trình (3.1.1) thuộc loại hyperbolic

2 2

1 1

2 2

( , )( , )



 (3.1.11) với C C là các hằng số bất kỳ 1, 2

Khi đó, hai họ nghiệm (3.1.11) biểu diễn dưới dạng:

1 1

( , )( , )

Sau đây, ta sẽ xét một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2: Phân loại phương trình sau và đưa về dạng chính tắc

  nên phương trình (1) thuộc loại hyperbolic

Xét phương trình các đường đặc trưng:

Giải (**) ta có y  4x C2 C2 4x y 2( , )x y

2

( , ) 3( , ) 4

Ta có   (2 sin )x 2 0 do đó phương trình (2) thuộc loại hyperbolic

Chia 2 vế của phương trình (2) cho (2sin )x ta được:

Thay vào (3’) ta được

*

( , ) ( , )

D x y

   nên ( , )

0 ( , )

Trong đó   ( , )x y tùy ý thỏa mãn: ( , ) 0

c





   Khi đó phương trình (3.1.1) có sẵn dạng (3.1.18)

Ví dụ 5 : Phân loại và đưa về dạng chính tắc phương trình sau

u xx6u xy 9u yy  u x u y  u 0 (5)

Giải Xét  32 9 0 do đó phương trình (5) thuộc loại parabolic

Xét phương trình các đường đặc trưng:

x x

Xét ma trận A x ( )  ( ( )) a xij n n , nó có thể coi 1 ma trận đối xứng Ta cố định

0 ( , ,1 n)

x  x x Khi đó ma trận A(x) trở thành ma trận hằng A x ( )0Phương trình đặc trưng tại điểm x của phương trình (3.2.1) có dạng: 0

3 Phương trình (3.2.1) được gọi là thuộc loại Parabolic tại điểm

0 0

0 ( , ,1 n)

x  x x nếu như tại điểm đó, trong n nghiệm đối với  của phương trình đặc trưng (3.2.2) có một nghiệm bằng không, còn n1 nghiệm còn lại đều khác không và cùng một dấu

Nếu như tại mọi điểm trong một miền  nào đó của không gian E mà phương trình (3.2.1) thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình (3.2.1) thuộc cùng loại đó trong 

* Chúng ta trở lại đối chiếu với định nghĩa trong trường hợp n=2 Với phương trình (3.1.1) thì ma trận A có dạng:

2 Hai nghiệm của (3.2.3) khác dấu hay 2 2

phương trình (3.1.1) thuộc loại Hyperbolic

3 Một nghiệm của (3.2.3) bằng 0 hay 2

0

b ac

    Khi đó, phương trình (3.1.1) thuộc loại Parabolic

Như vậy, định nghĩa 2 phù hợp với định nghĩa 1 trong trường hợp n2

3.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng trong trường hợp nhiều biến về dạng chính tắc

Xét phép đổi biến

1 1 1

1

( , , )

n n

D

(3.2.5) Khi đó, xét:

1

n

k ik i i

b) Nếu tại x0 ( , ,x10 x n0) phương trình (3.2.1) thuộc loại Hyperbolic, do trong n nghiệm  của phương trình đặc trưng có n1 nghiệm cùng dấu và một nghiệm khác dấu nên (3.2.10) có thể viết được dưới dạng:

1

1

* 1 1

n

n i

u    u     u u u



 

Đây là dạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic

c) Nếu tại x0 ( , ,x10 x n0) phương trình (3.2.1) thuộc loại Parabolic thì (3.2.10) có thể viết dưới dạng:

1

1

* 1 1

n

n i

Sau đây, ta sẽ xét một số ví dụ minh họa

Ví dụ 6 Phân loại và đưa về dạng chính tắc phương trình:

12

+

2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3

12

3.2.3 Phương trình Elliptic đều

Giả sử  là một miền bị chặn thuộc  Xét trong n  phương trình tuyến tính cấp hai dạng:

1 2 2 2 2

2    với 2 2

1

n i i





Chương 4 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

được gọi là phương trình Elliptic trong miền  nếu L là toán tử Elliptic trong miền 

Ví dụ

* Phương trình Laplace

2 2 1

0

n

i i

u u

* Phương trình truyền nhiệt: u t   u f là phương trình Parabolic

* Phương trình Schro" dinger: iu t   u 0 là phương trình Parabolic



     n \ {0}

Nên L(x,D) là toán tử Elliptic, do đó phương trình này thuộc loại Parabolic

* Phương trình Airy ut  uxxx  0 là phương trình Parabolic

Thật vậy, ta có

ut  uxxx    0 ut i u2 xxx  0

Khi đó

3 2 3

Nên L(x,D) là toán tử Elliptic, do đó phương trình này thuộc loại Parabolic

- Đặc biệt: với trường hợp m = 2 thì định nghĩa trên phù hợp với định nghĩa

đối với phương trình tuyến tính cấp hai

Thật vậy, xét phương trình tuyến tính cấp hai:

 đều khác không và cùng dấu

Thực hiện phép biến đổi không suy biến   ( )x ta đưa phương trình về dạng chính tắc:

2 Phương trình (4.1.3) thuộc loại Hyperbolic

Thực hiện phép đổi biến không suy biến   ( )x ta đưa phương trình về dạng chính tắc:

Khi đó phương trình có dạng u tt L( , ) D u f phù hợp với định nghĩa 4

3 Phương trình (4.1.3) thuộc loại Parabolic

Thực hiện đổi biến không suy biến   ( )x ta đưa về dạng chính tắc:

g x

C x

2 3 1

   nghiệm này vẫn luôn có phần ảo dương vì phần

ảo không bị triệt tiêu Từ đó nhận được m1( , ) 2 3 m1(  2, 3)m2( , ) 2 3 , điều này có nghĩa là m2m1 và m là số chẵn Định lý đã được chứng minh

ở đây  ( , ,1  n), ( , ,1 n),a,b là các hàm đo được bị chặn trong

 với các giá trị phức, fL2( ) Giả sử với    ta có a a và

với 0 là hằng số dương

4.3.2 Các điều kiện tương đương

Xét phương trình (4.3.1) trong miền  Khi đó ta có các điều kiện sau tương đương:

KẾT LUẬN

Trên đây chúng ta đã đi phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và tổng quát hơn trong trường hợp cấp m Trong khóa luận này có trình bày một số cơ sở để phân loại phương trình đạo hàm riêng, tuy nhiên nó vẫn còn rất nhỏ so với lượng kiến thức trong môn học phương trình đạo hàm riêng

Khóa luận được thực hiện với mong muốn đóng góp kinh nghiệm trong việc nghiên cứu và học tập môn phương trình đạo hàm riêng

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhà

xuất bản đại học quốc gia Hà Nội

2 TSKH Nguyễn Mạnh Hùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng phần 1,

Nhà xuất bản giáo dục

3 TSKH Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến

tính, Nhà xuất bản đại học sư phạm