Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Sau thời gian cố gắng làm việc, hướng dẫn tận tình thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Hoa Lý người giúp đỡ hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Giáo dục trị, thầy cô giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi giúp em thời gian viết khóa luận Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận với đề tài : “ Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại thương giai đoạn nay”, kết nghiên cứu cá nhân hướng dẫn Thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý Tôi cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng với kết công trình nghiên cứu công bố trước Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực hiện: Vương Thị Thúy Lệ Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Phần mở đầu ………………………………………………………………1 Phần nội dung chính……………………………………………………….5 Chương 1: Lý luận ngoại thương …………………………… .5 1.1 Khái niệm ngoại thương………………………………………………5 1.2 Vai trò ngoại thương …………………………………………… 1.3 Quan điểm Đảng ta ngoại thương ……………………………16 1.4 Kinh nghiệm phát triển ngoại thương số nước giới …16 Chương Thực trạng ngoại thương Việt Nam ………………20 2.1 Những thành tựu hạn chế ngoại thương nước ta …20 2.2 Nguyên nhân ngoại thương nước ta ………………….34 Chương 3: Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại thương Việt Nam ………………………………………………………………….38 Phần kết luận ………………………………………………………………46 Danh mục tài liệu tham khảo ……………………………………………….47 Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Tuy đời muộn so với ngành toán học khác phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung toán học nói riêng Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng khởi đầu việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp lĩnh vực vật lý học Chẳng hạn phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt…Đó phương trình đại diện cho lớp phương trình thuộc loại Elliptic, Hyperbolic Parabolic Để nghiên cứu dễ dàng nghiệm toán biên phương trình đạo hàm riêng cần phân loại chúng Chính lý mà em chọn đề tài: “Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m” Khóa luận gồm chương:  Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị  Chương 2: Một số toán vật lý dẫn đến phương trình đạo hàm riêng  Chương 3: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai  Chương 4: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm đạo hàm riêng Giả sử e1, e2 , , en sở tắc không gian  n , U tập hợp mở  n f : U   hàm số n biến số, x  ( x1, , xn ) U Giới hạn lim t 0 f ( x  tei )  f ( x) t tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f x hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f x ký hiệu Di f ( x) hay f ( x) xi f xi ( x) Nếu hàm f có tất đạo hàm riêng Di f ( x) (i  1,2, , n) điểm x U đạo hàm riêng hàm liên tục U ta nói f thuộc lớp C U ký hiệu f  C1 (U ) 1.2 Không gian hàm - Phần tử   (1, , n )  n gọi đa số Cấp  là:   1      n - Ký hiệu:   u D u  1 2 x1 x2 xnn  Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Ví dụ: +   (1,0, ,0) D u  u x1  3u +   (0,1,2, ,0) D u  x2x32  k - Với k  1,2,3, ta ký hiệu D u tập hợp tất đạo hàm riêng cấp k u D k u  {D u /   k} - Ta có  miền  n tức tập mở liên thông Ký hiệu C k () tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k miền  , 0 k  1.3 Khái niệm phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính - Phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình liên hệ ẩn hàm u( x1, x2 , , xn ) , biến độc lập ( x1, x2 , , xn ) đạo hàm riêng Nó có dạng: u u ku F ( x1, x2 , , xn , u, , , , , k1 kn , )  x1 xn x1 xn Cấp phương trình cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt phương trình, chẳng hạn: + Phương trình cấp hàm biến có dạng F ( x, y , u , u u , )  x y + Phương trình cấp hai hàm biến có dạng u u  2u  2u  2u F ( x, y, u, , , , , )0 x y x xy y Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội - Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với ẩn hàm tất đạo hàm riêng Ví dụ: Phương trình tuyến tính cấp hàm biến u  u ( x, y ) có dạng  2u  2u  2u u a( x, y)  2b( x, y)  c( x, y)  d ( x, y) x xy y x  e( x, y ) u  f ( x, y )u  g ( x, y ) y a, b, c, d , e, f , g hàm cho 1.4 Hàm ẩn 1.4.1 Định nghĩa Giả sử hai biến x   n , y   m liên hệ với phương trình dạng F ( x, y )  F :  n   m   m hàm cho Nếu với giá trị x U   n có tương ứng y V   m cho F ( x, y )  ta nói hệ thức F ( x, y )  xác định hàm ẩn f : U  V cho F ( x, f ( x))  với x U + Ví dụ: Từ hệ thức x5  y5  ta xác định y   x5 Ta nói y   x5 hàm ẩn xác định từ hệ thức cho 1.4.2 Định lý hàm ẩn Giả sử U tập mở  n   m f  ( f1, , f m ) : U   m , f  C1 (U ) , (a, b) U f (a, b)  f (a1, , an , b1, , bm )  Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  fi  ( a , b )  Giả sử M ma trận vuông cấp m   y j  1i , j m Khi det M  tồn tập mở A   n chứa a tập mở B   m chứa b cho x  A có g ( x)  B thỏa mãn điều kiện f ( x, g ( x))  Hàm g : A  B khả vi g  a   b Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN ĐẾN CÁC PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Phƣơng trình dao động dây Xét sợi dây nhỏ căng thẳng theo chiều trục 0x Khi sợi dây dao động, ta nghiên cứu quy luật dao động Giả thiết sợi dây có lực căng T, trọng lượng xấp xỉ dao động phần tử vật chất sợi dây chuyển động thẳng góc với trục 0x + Độ lệch phần tử vật chất điểm M so với vị trí cân là: u  u ( x, t ) + Tại t  t0 u  u( x, t0 )  f ( x)  2u u Giả thiết u ( x, t ) nhỏ khiến  x x - Xét đoạn dây giới hạn điểm M 1, M2 với hoành độ x1, x2  M là: Khi dộ dài đoạn dây M x2 l     u x2 dx  x2  x1  l , x1  M vị trí cân với l độ dài đoạn M Do theo định lý Húc T = T0 = const + Gọi p ( x, t ) ngoại lực tác động vào dây,  ( x) tỉ trọng dài sợi dây Theo nguyên lý vật lý ta có u thỏa mãn phương trình:  2u  2u  ( x)  T0  p( x, t ) t x (2.1.1) Đây phương trình dao động dây Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội + Nếu dây đồng chất, tức  = const phương trình (2.1.1) trở thành:  2u  u a  f ( x, t ) t x với a  T0  , f ( x, t )   (2.1.2) p ( x, t ) + Nếu ngoại lực tác động, nghĩa p( x, t )  (2.1.2) trở thành:  2u  u a t x (2.1.3) - Các điều kiện bổ sung + Điều kiện ban đầu  u ( x,0)  0 ( x)  u  t ( x,0)  1 ( x) x (2.1.4) + Điều kiện biên  Dây hữu hạn: x  0, L , ta có điều kiện u (0, t )  1 (t )  u (l , t )  2 (t ) t 0 (2.1.5)  Sợi dây nửa vô hạn: x 0,   ta có điều kiện u (0, t )   (t ) t 0 (2.1.6)  Sợi dây vô hạn: x   ,   điều kiện mô tả dáng điệu nghiệm x   - Bài toán tìm nghiệm phương trình (2.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.1.4) ( điều kiện biên ) gọi toán Côsi phương trình (2.1.1); Còn toán với điều kiện (2.1.4), (2.1.5) gọi toán hỗn hợp phương trình (2.1.1) Tạ Thị Ngọc Tuyết 10 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội + ux2  u11x2  u22 x2  u33 x2  u2  u3 + ux3  u11x3  u22 x3  u33 x3  u3 + ux1x1  u1 1x1  u122 x1  u133 x1  (u211x1  u222 x1  u233 x1 ) u3 1x1  u322 x1  u333 x1  u11  2u12  2u13  u22  2u23  u33 + ux1x2  u1 1x2  u122 x2  u133x2  (u211x2  u222 x2  u233x2 ) u3 1x2  u322 x2  u333 x2 1  u12  u13  u22  u23  u33 2 + ux1x3  u1 1x3  u122 x3  u133 x3  (u211x3  u222 x3  u233 x3 ) u311x3  u322 x3  u333 x3 1  u31  u23  u33 2 + ux2 x2  u2 1x2  u222 x2  u233 x2  (u311x2  u322 x2  u333 x2 )  u22  u23  u33 1 + ux3x3  (u311x3  u322 x3  u333 x3 )  u33 Thay vào phương trình (6) ta có phương trình dạng tắc sau: u11  u22  u33  Ví dụ Phân loại đưa dạng tắc phương trình sau: 2ux1x1  2ux2 x2  15ux3x3  8ux1x2  12ux1x3  12ux2 x3  (7) Giải Tạ Thị Ngọc Tuyết 37 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội * Phân loại  6  Ta có A   6   6 6 15    2 Xét det( A   E )  6 2 6 6 6    11  144  324  15     9    18     2 Do phương trình (6) thuộc loại Hyperbolic * Đưa dạng tắc Tìm ma trận B cho Bt AB có dạng đường chéo Ma trận A tương ứng với dạng toàn phương: x12  x22  15x32  8x1x2  12 x1x3  12 x2 x3   x12  x1 (2 x2  3x3 )  (2 x2  3x3 )2   2(4 x22  12 x2 x3  x32 ) 2 x22  12 x2 x3  15x32  2( x1  x2  3x3 )2  6( x2  x3 )2  27 x32   x1  y1  y2  27 y3  y1  2( x1  x2  3x3 )   1  x2  y2  y3 Đặt  y2  6( x2  x3 )   27   y3  27 x3   x3  y3  27  Tạ Thị Ngọc Tuyết 38 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp      B     Trường ĐHSP Hà Nội  0 6   27   27     27  Thật vậy, ta có     Bt AB        27 27       6       6     6 6 15       27   0  6   27   27     27  1 0    1   0 1     1  x1    t 2   x1  x2 Đặt   B x   6   1 x1  x2  x3 3  27 27 27  + u x1  u11x1  u2  x1  u33 x1  + u x2  u11x2  u2  x2  u33 x2  + u x3  u11x3  u2  x3  u33 x3  Tạ Thị Ngọc Tuyết u1  u2  u 27 u  u 27 u 27 39 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp (u1 1x1  u12  x1  u133 x1 )  (u  1x  u22  x1  u233 x1 ) 21 + u x1x1  (u3 1x1  u32  x1  u33 3 x1 ) 27   Trường ĐHSP Hà Nội 2 u11  u   12 + u x1x2  (u1 1x2  u12  x2  u133 x2 )  (u  1x  u22 x2  u233 x2 ) 21 (u3 1x2  u32  x2  u33  x2 ) 27   + u x1x3  2 u13  u22  u23  u  27 3 54 2 u12  1 1 u13  u22  u23  u  27 3 54 2 (u1 1x3  u12  x3  u133 x3 )  (u211x3  u22 x3  u233 x3 )  (u  1x  u32  x3  u333 x3 ) 27 3  u13  u23  u  27 3 54 + u x2 x2   1 (u2 1x2  u22  x2  u233 x2 )  (u  1x  u32 x2  u333 x2 ) 27 1 u22  u23  u  27 3 + u x3 x3  1 (u311x3  u32  x3  u333 x3 )  u33 27 27 + u x2 x3  1 (u2 1x3  u22 x3  u233 x3 )  (u311x3  u32 x3  u333 x3 ) 27 Tạ Thị Ngọc Tuyết 40 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp  Trường ĐHSP Hà Nội u23  u  27 3 Thay vào (7) ta phương trình dạng tắc sau: u11  u22  u33  3.2.3 Phƣơng trình Elliptic Giả sử  miền bị chặn thuộc  n Xét  phương trình tuyến tính cấp hai dạng: n n Lu   aiju xi x j   biu xi  cu  f i , j 1 (3.2.11) i 1 aij  aij ( x) , bi  bi ( x) , c  c( x) hàm đo aij  a ji Phương trình (3.2.11) gọi Elliptic  với x ,    n , có bất đẳng thức hai chiều n n v   aiji j   ,  i2 2 i , j 1 i 1 v  số dương Ví dụ: Phương trình Poisson u  f ( x) , x phương trình Elliptic Thật chọn v  ,   x  ,    n , ta có bất đẳng thức hai chiều n     2 với    i2 i 1 Tạ Thị Ngọc Tuyết 41 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP m 4.1 Phân loại Xét toán tử vi phân L ( x, D )  a ( x) D   (4.1.1) m a ( x) hàm có giá trị phức đo được, x   n Nếu a ( x)  với  mà   m m gọi bậc L Đa thức đặc trưng toán tử L là: L0 ( x,  )    (1, ,n ) a ( x)    m    1 2 n n Đó đa thức  với hệ số phụ thuộc vào x Ta có định nghĩa sau: 4.1.1 Định nghĩa Toán tử L gọi Elliptic điểm x0 nếu: L0 ( x0 , )  với   n \ {0} Toán tử L gọi Elliptic miền Elliptic điểm miền Giả sử  miền  n Phương trình L( x, D)u  f ( x) , x Tạ Thị Ngọc Tuyết 42 (4.1.2) Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội gọi phương trình Elliptic miền  L toán tử Elliptic miền  Ví dụ  2u * Phương trình Laplace u    phương trình Elliptic i 1 xi n 2 Thật vậy, ta có L( x, D)   i 1 xi n Đa thức đặc trưng toán tử L là: n L0 ( x,  )   i2    n \{0} i 1 4.1.2 Định nghĩa Nếu (4.1.1) toán tử Elliptic phương trình utt  L( x, D)u  f gọi phương trình Hyperbolic Ví dụ * Phương trình truyền sóng: utt  u  f phương trình Hyperbolic * Phương trình Beam: utt  uxxxx  Thật vậy, ta có utt  uxxxx   utt  i 2uxxxx  Khi L( x, D)  i 4 x Đa thức đặc trưng toán tử L là: L0 ( x, )  i 2       \ {0} Nên L(x,D) toán tử Elliptic, phương trình thuộc loại Hyperbolic Tạ Thị Ngọc Tuyết 43 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 4.1.3 Định nghĩa Nếu (4.1.1) toán tử Elliptic phương trình ut  L( x, D)u  f gọi phương trình Parabolic Ví dụ * Phương trình truyền nhiệt: ut  u  f phương trình Parabolic " * Phương trình Schr o dinger: iut  u  phương trình Parabolic Thật vậy, ta có iut  u   ut  iu  Khi L( x, D)u  iu Đa thức đặc trưng toán tử L là: n L0 ( x,  )  i i2    n \{0} i 1 Nên L(x,D) toán tử Elliptic, phương trình thuộc loại Parabolic * Phương trình Airy ut  uxxx  phương trình Parabolic Thật vậy, ta có ut  uxxx   ut  i 2uxxx  3 Khi L( x, D )  i x Đa thức đặc trưng toán tử L là: L0 ( x, )  i 2       \ {0} Nên L(x,D) toán tử Elliptic, phương trình thuộc loại Parabolic - Đặc biệt: với trường hợp m = định nghĩa phù hợp với định nghĩa phương trình tuyến tính cấp hai Thật vậy, xét phương trình tuyến tính cấp hai: Tạ Thị Ngọc Tuyết 44 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n 1 a u ij xi x j i , j 1  F ( x1 , , xn1, u, u x1 , , u xn 1 )  (4.1.3) Phương trình (4.1.3) gọi thuộc loại Elliptic điểm x0  ( x10 , , xn01 ) điểm đó, tất giá trị riêng dạng toàn phương n 1  a ( x )t t i , j 1 ij i j khác không dấu Thực phép biến đổi không suy biến    ( x) ta đưa phương trình dạng tắc: n 1  u  i i i 1  (1 , ,n1 , u, u1 , , un 1 )  n 1 Ta có L( , D)u   uii  (1, ,  n1, u, u1 , , un 1 ) i 1 L0 ( , )  12  22   n21     n1 \{0} Phương trình (4.1.3) thuộc loại Hyperbolic Thực phép đổi biến không suy biến    ( x) ta đưa phương trình dạng tắc: n un 1 n 1   uii  (1 , ,  n1 , u, u1 , , un 1 )  i 1 Ở đây: L(  , D )u= n  u  i 1 i i  (1 , ,  n1 , u, u1 , , un 1 ) với L( , D) toán tử Elliptic Đặt t  n1 utt  un1n1 Khi phương trình có dạng utt  L( , D)u  f phù hợp với định nghĩa Phương trình (4.1.3) thuộc loại Parabolic Thực đổi biến không suy biến    ( x) ta đưa dạng tắc: Tạ Thị Ngọc Tuyết 45 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n un 1   uii  (1 , ,  n1, u, u1 , , un ) = i 1 Đặt t = n1 , thì: n L( , D)u   uii  (1, ,  n1, u, u1 , , un ) i 1  L0 ( , )  12   n2    n1 \{0} Do phương trình có dạng tổng quát: ut  L( , D)u  f phù hợp với định nghĩa Như vậy, phương trình Hyperbolic Parabolic phân loại dựa sở phương trình Elliptic Ta nghiên cứu số đặc điểm phương trình Elliptic 4.2 Phƣơng trình Elliptic 4.2.1 Định lý Tính Elliptic bất biến qua phép đổi biến số với Jacobian khác không Chứng minh Giả sử phương trình Elliptic điểm x0 Ta thực phép đổi biến số yi  gi ( x) , i  1,2, , n det gi ( x) x j  0; g i  C m () Qua phép biến đổi phương trình (4.1.2) chuyển thành Lu  b ( y ) D u  f   m Tạ Thị Ngọc Tuyết y 46 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   Dy  1 y1 ynn  Đa thức đặc trưng L có dạng: n L'0 ( y, )  L0 ( x, i i 1 n gi g , , i i ) x1 xn i 1 Từ suy  b ( y)   m Do det n  a ( x)  ; k  i  m i 1 gi xk gi  nên triệt tiêu L'0 ( y, ) điểm ( y0 ,0 ), 0  tương xk đương với triệt tiêu L0 ( x, ) điểm tương ứng ( x0 ,0 ) cho: n g j ( x0 ) j 1 xk y0  g ( x0 ); 0 k   n0 j Định lí chứng minh 4.2.2 Định lý Nếu số chiều không gian  n lớn 2, bậc phương trình Elliptic chẵn Chứng minh Giả sử L0 ( x0 , )     n \ {0} Xét đa thức biến  : P( )  L0 ( x0 , ,2 ,3 ,0, ,0) Do L toán tử Elliptic, nên phương trình P( )  nghiệm thực 22  32  1, (2 ,3 )  Giả sử số nghiệm với phần ảo dương m1 số nghiệm với phần ảo âm m2  m  m1 Do: Tạ Thị Ngọc Tuyết 47 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội L0 ( x0 , ,2 ,3 ,0)  (1) m L0 ( x0 ,  , 2 , 3,0) , nên m1 (2 ,3 )  m2 (2 , 3 ) Đường tròn 22  32  liên thông Do vậy, điểm (2 ,3 ) dịch chuyển đến điểm (2 , 3 ) dọc theo đường tròn nghiệm phương trình P( )  thay đổi cách liên tục Hơn nữa, nghiệm phương trình có phần ảo dương với (2 ,3 ) đó, (2 ,3 ) dịch chuyển khắp đường tròn 22  32  nghiệm có phần ảo dương phần ảo không bị triệt tiêu Từ nhận m1 (2 ,3 )  m1 (2 , 3 )  m2 (2 ,3 ) , điều có nghĩa m  2m1 m số chẵn Định lý chứng minh 4.3 Phƣơng trình Elliptic mạnh 4.3.1 Định nghĩa Giả sử  miền bị chặn  n với biên  tuỳ ý Xét miền  phương trình L( x, D)u     , m D a ( x) D  u   b ( x) D u   m D f ( x )   (4.3.1) m   (1, , n ),   (1, , n ), a , b hàm đo bị chặn  với giá trị phức, f  L2 () Giả sử với    ta có a  a a  a ( x) liên tục  Phương trình (4.3.1) gọi Elliptic mạnh miền  với x  có bất đẳng thức Re     Tạ Thị Ngọc Tuyết m a ( x)       48 2m ,    n , Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội với  số dương 4.3.2 Các điều kiện tƣơng đƣơng Xét phương trình (4.3.1) miền  Khi ta có điều kiện sau tương đương: i) Re    a ( x)       2m ,    n ,   const     a ( x)       2m ,    n ,   const     a ( x)     0,    n \ {0}    a ( x)     0,    n \ {0}  ii) Re m  iii) Re  iv) Re  m m m Tạ Thị Ngọc Tuyết 49 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Trên phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát trường hợp cấp m Trong khóa luận có trình bày số sở để phân loại phương trình đạo hàm riêng, nhiên nhỏ so với lượng kiến thức môn học phương trình đạo hàm riêng Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập môn phương trình đạo hàm riêng Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Tạ Thị Ngọc Tuyết 50 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội TSKH Nguyễn Mạnh Hùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng phần 1, Nhà xuất giáo dục TSKH Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất đại học sư phạm Tạ Thị Ngọc Tuyết 51 Lớp K32D Toán [...]...  4 ;    ;    Miền H = ( x, y) | x, y  ¡ ; y  0; x   ; 2 2        1  1  4 1  1  4    ; ) Miền E = ( x, y) | x, y  ¡ ; y  0; x  ( 2 2     3.1.2 Tính bất biến của loại phƣơng trình đạo h m riêng tuyến tính cấp 2 Loại của phương trình đạo h m riêng tuyến tính cấp hai (3.1.1) không thay đổi qua phép đổi biến không suy biến Chứng minh    ( x, y ) Giả... Định nghĩa 1 Phương trình (3.1.1) thuộc loại: (1) Elliptic tại đi m (x,y) nếu tại đó ta có   0 (2) Hyperbolic tại đi m (x,y) nếu tại đó   0 (3) Parabolic tại đi m (x,y) nếu tại đó   0 Nếu phương trình (3.1.1) tại m i đi m trong m t miền G đều thuộc cùng m t loại thì phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G Ví dụ 1 : T m các miền elliptic, parabolic và hyperbolic của phương trình    x... đối với  của phương trình đặc trưng (3.2.2) có m t nghi m bằng không, còn n  1 nghi m còn lại đều khác không và cùng m t dấu Nếu như tại m i đi m trong m t miền  nào đó của không gian E m phương trình (3.2.1) thuộc cùng m t loại, thì ta nói rằng phương trình (3.2.1) thuộc cùng loại đó trong  * Chúng ta trở lại đối chiếu với định nghĩa trong trường hợp n=2 Với phương trình (3.1.1) thì ma trận A có... y ) là m t nghi m riêng nào đó của phương trình az x2  2bz x z y  cz y2  0 (3.1.5) Thì hệ thức  ( x, y )  C với C là m t hằng số bất kỳ, xác định cho ta nghi m tổng quát của phương trình vi phân thường ady 2  2bdxdy  cdx2  0 (3.1.6) Ngược lại, nếu  ( x, y )  C là nghi m tổng quát của phương trình vi phân thường (3.1.6) thì h m z   ( x, y ) là nghi m của phương trình (3.1.5) Chứng minh:... 2  2 divgrad  0  2  2  2  0 x y z (2.4.4) Vậy h m  ( x, y, z ) của chuyển động dừng nói trên thỏa m n phương trình Laplace Tạ Thị Ngọc Tuyết 15 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chƣơng 3 PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2 3.1 Phân loại phƣơng trình tuyến tính cấp hai trong trƣờng hợp hai biến Xét phương trình: a( x, y)uxx  2b( x, y)uxy  c( x, y)u yy  F ( x,... định m ) 2 Phương trình (3.2.1) được gọi là thuộc loại Hyperbolic tại đi m x0  ( x10 , , xn0 ) nếu như tại đi m đó tất cả n nghi m đối với  của phương trình đặc trưng (3.2.2) đều khác không và trong đó có n  1 nghi m cùng m t dấu, còn nghi m cuối cùng còn lại có dấu khác 3 Phương trình (3.2.1) được gọi là thuộc loại Parabolic tại đi m x0  ( x10 , , xn0 ) nếu như tại đi m đó, trong n nghi m đối... phương trình tuyến tính cấp 2 n a u i , j 1 ij xi x j  F ( x1 , , xn , ux1 , , u xn )  0 (3.2.1) Với aij  a ji và là h m của các biến x1, , xn  x1    Kí hiệu x     En x   n Xét ma trận A( x)  (aij ( x))nn , nó có thể coi 1 ma trận đối xứng Ta cố định 1 đi m x0  ( x10 , , xn0 ) Khi đó ma trận A(x) trở thành ma trận hằng A( x0 ) Phương trình đặc trưng tại đi m x0 của phương trình. .. điều phải chứng minh  Giả sử  ( x, y )  C là nghi m tổng quát của phương trình vi phân thường (3.1.6) ta cần chứng minh z   ( x, y ) là nghi m riêng của phương trình (3.1.5) hay ta cần chứng minh (3.1.7) được thỏa m n tại bất kỳ đi m ( xo , yo ) nào trong miền xác định của  ( x, y ) Thật vậy, lấy đi m ( xo , yo ) bất kỳ kể trên và đặt:  ( xo , yo )  Co Ta có  ( x, y )  C là nghi m tổng quát... 2 2.2 Phƣơng trình dao động của m ng Xét m ng m ng khi cân bằng n m trong m t phẳng x0y Giả thiết m ng m ng, không cưỡng lại sự uốn, trọng lượng nhỏ so với lực căng trên m t, do đó bỏ qua trọng lượng + Giả thiết m ng dao động ngang, độ lệch của đi m M(x,y) trên m ng là: u  u ( x, y , t ) Hơn nữa, giả thiết dao động của m ng là nhỏ,  2u  2u 0  0 , y 2 x 2 + Xét m nh  bất kỳ của m ng, khi nó... của phương trình loại Elliptic (3.1.1) Ví dụ 4: Phân loại và đưa về dạng chính tắc phương trình sau uxx  2uxy  5u yy  2ux  3u y  0 (4) Giải Ta có   12  5  4  0 do đó phương trình (3) thuộc loại Elliptic Xét phương trình các đường đặc trưng: Tạ Thị Ngọc Tuyết 26 Lớp K32D Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  y  1  2i y 2  2 y  5  0    y  1  2i Tích phân 2 phương trình ... luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội - Phương trình đạo h m riêng gọi tuyến tính tuyến tính với ẩn h m tất đạo h m riêng Ví dụ: Phương trình tuyến tính cấp h m biến u  u ( x, y ) có dạng  2u ... phương trình đạo h m riêng  Chương 3: Phân loại phương trình đạo h m riêng tuyến tính cấp hai  Chương 4: Phân loại phương trình đạo h m riêng tuyến tính cấp m Tạ Thị Ngọc Tuyết Lớp K32D Toán Khóa... riêng thứ i h m f x hay đạo h m riêng theo biến xi h m f x ký hiệu Di f ( x) hay f ( x) xi f xi ( x) Nếu h m f có tất đạo h m riêng Di f ( x) (i  1,2, , n) đi m x U đạo h m riêng h m liên tục