Phân loại và đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

Lời cam đoanQuá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài "Phân loại và đặc trưngcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" giúp em hiểu sâu sắchơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

Nguyễn Diệu Thảo

PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: SP Toán

Hà Nội - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

Nguyễn Diệu Thảo

PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: Sư phạm Toán

Người hướng dẫn khoa học:

TS Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2017

Lời cảm ơn

Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ của

TS Bùi Kiên Cường, khóa luận của em đã hoàn thành Em xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, người đã giúp đỡ hướng dẫn

em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm khóa luận này

Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân bài khóa luận này đã được hoànthành Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản thân cònnhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để bản thân có thể tiếp tụchoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Diệu Thảo

1

Lời cam đoan

Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài "Phân loại và đặc trưngcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" giúp em hiểu sâu sắchơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng.Qua đó cũng bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên cứu khoahọc

Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện, đặcbiệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của TS Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan kết quả của đề tài "Phân loại và đặc trưng củaphương trình đạo hàm riêng tuyến tính" không có sự trùng lặp vớikết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Diệu Thảo

2

Mục lục

1.1 Khái niệm đạo hàm riêng 8

1.2 Không gian hàm 8

1.3 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 9

1.4 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 9

2 Sự phân loại và đặc trưng 11 2.1 Biểu trưng của một biểu thức vi phân 12

2.2 Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc hai 14

2.3 Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc cao hơn và hệ phương trình 19

2.4 Phân loại và đặc trưng của phương trình phi tuyến 22

3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 24 3.1 Hàm giải tích thực 25

3.2 Sự làm trội và định lý Cauchy-Kovalevskaya 30

3.2.1 Sự làm trội 30

3.2.2 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 30

3.3 Phương trình đạo hàm riêng vô nghiệm 33

3

MỤC LỤC

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triểncủa toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vàoviệc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứngdụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trìnhđạo hàm riêng Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khácnhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được

vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toánhọc nói riêng

Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng được khởi đầubởi việc nghiên cứu những phương trình đạo hàm riêng thường gặptrong lĩnh vực vật lý và cơ học Chẳng hạn như phương trình Laplace,phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó là cácphương trình đại diện cho các lớp phương trình thuộc loại Elliptic,Hyperpolic, và Parabolic Để nghiên cứu sâu hơn về phân loại củaphương trình đạo hàm riêng và khái niệm đặc trưng cùng với một sốvấn đề về tính đặt đúng đắn, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán Cauchy, nên em đã chọn đề tài "Phân loại và đặc trưng củaphương trình đạo hàm riêng tuyến tính"

2 Mục đích nghiên cứu

Để nghiên cứu sâu hơn về phân loại của phương trình đạo hàm riêng

và khái niệm đặc trưng cùng với một số vấn đề về tính đặt đúng đắn,

5

MỤC LỤC

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

4 Phạm vi nghiên cứu

Phân loại và đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận liên qua đến phân loại và đặc trưng củaphương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các định nghĩa liên quan đến phân loại và đặc trưngcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các định lý, bổ đề liên quan đến phân loại và đặc trưngcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các ví dụ liên quan đến phân loại và đặc trưng củaphương trình đạo hàm riêng tuyến tính

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

• Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, em đã thuthập, sưu tầm một số tài liệu, sách, báo, tạp chí, các công trìnhnghiên cứu khoa học, thông tin trên mạng Internet để phục vụ choviệc nghiên cứu

7 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có

• Phần 1: Mở đầu

• Phần 2: Nội dung

+Chương 1:Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở

MỤC LỤC

+Chương 2: Sự phân loại và đặc trưng

+Chương 3: Định lý Kovalevskaya

• Phần 3: Kết luận

• Phần 4: Tài liệu tham khảo

Chương 1

Khái niệm mở đầu và các kiến thức

cơ sở

Giả sử e1, e2, , en là cơ sở chính tắc trng không gian Rn, U là mộttập mở trong Rn, và f : U 7−→ R là một hàm số của n biến số,

Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng Dif (x) (i = 1, 2, , n) tại mọi

ta nói rằng f thuộc lớp C1 trên U kí hiệu là f ∈ C1(U )

1.3 KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Với k = 1, 2, 3, ta kí hiệu Dku là một tập hợp tất cả các đạo hàmriêng cấp k của u

• Ta có Ω là miền trong Rn tức là một tập mở liên thông Kí hiệu Ck(Ω)

là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền

Ω, 0 ≤ k < ∞

Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình liên hệ giữa ẩnhàm u(x1, x2, , xn), các biến độc lập (x1, x2, , xn) và các đạo hàmriêng của nó Nó có dạng :

• Phương trình cấp một của hàm hai biến có dạng

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyếntính với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là phi tuyến tính nếu nó khôngtuyến tính

1.4 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính (hay nửa tuyếntính) nếu như nó tuyến tính đối với tất cả các hàm cao nhất của hàmphải tìm

Chương 2

Sự phân loại và đặc trưng

Bài toán điển hình trong phương trình vi phân đạo hàm riêng bao gồmtìm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng (hoặc một hệ các phươngtrình đạo hàm riêng) đã biết điều kiện biên và/hoặc điều kiện ban đầu.Bản chất của điều kiện biên và điều kiện ban đầu dẫn đến các bài toán vềtính đặt đúng phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc một cách thiết yếudưới sự xem xét phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Ví dụ, ta thấy một

sự lựa chọn tự nhiên của các điều kiện đối với phương trình Laplace,

uxx+ uyy = f (x, y), 0 < x < 1, 0 < y < 1 (2.1)với điều kiện biên,

u(x, 0) = φ0(x), u(x, 1) = φ1(x), u(0, y) = ψ0(y), u(1, y) = ψ1(y)

(2.2)Cho phương trình sóng,

11

2.1 BIỂU TRƯNG CỦA MỘT BIỂU THỨC VI PHÂN

Phương trình Laplace và phương trình sóng phân biệt với nhau ở nhữngkhía cạnh khác nhau.Ví dụ, nghiệm của (2.1) sẽ luôn luôn trơn trong phầntrong của miền, miễn là miền f là trơn Mặt khác, nghiệm của (2.3) cóthể có gián đoạn ngay cả tại f = 0 Ta đã biết, bất kỳ hàm số vi phân hailần của dạng u = F (x − y) + G(x + y) là một nghiệm của (2.3), và ta sẽđưa vào muộn hơn các nghiệm suy rộng mà bỏ qua nhu cầu F và G phải

vi phân 2 lần

Thành phần quan trọng của một hệ thống lý thuyết của các phương trìnhđạo hàm riêng là sự phân loại đồ thị mà các lớp xác định của các phươngtrình với các tính chất thông thường Loại của một phương trình quy địnhbản chất của điều kiện biên và điều kiện ban đầu mà có thể bị đặt, nhữngđiểm kì dị tự nhiên mà các nghiệm có thể có và các phương pháp tự nhiên

có thể được sử dụng để xấp xỉ một nghiệm Trong chương này, ta sẽ cungcấp các định nghĩa cơ bản về sự phân loại dưới của các phương trình đạohàm riêng

Nhắc lại một số kí hiệu

Kí hiệu đa chỉ số là rất thuận tiện trong việc tránh các kí kiệu vô cùngcông kềnh của các phương trình đạo hàm riêng Một đa chỉ số là một vecto

|α| = α1 + α2 + · · · + αn, α! = α1!α2! · · · α3!; (2.5)hơn nưa cho vecto bất kì x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn , ta lập

2.1 BIỂU TRƯNG CỦA MỘT BIỂU THỨC VI PHÂN

• Biểu trưng của toán tử nhiệt ∂

• Biểu trưng của toán tử sóng ∂2

∂x2 1

2

∂x2 2

2.2 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

các nghiệm trên tất cả các miền, biểu trưng dễ dàng được giải thích trongcác hệ số của biến đổi Fourier: Nếu,

ˆu(ξ) := (2π)−n/2

Xét một phương trình đạo hàm riêng bậc hai trong không gian hai chiều,

Lu = a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux+ e(x, y)uy = g(x, y)

(2.13)Phần chính của biểu trưng của L là

Lp(x, y; iξ, iη) = −a(x, y)ξ2 − b(x, y)ξη − c(x, y)η2 (2.14)

Các phương trình đạo hàm riêng bậc hai được phân loại tùy theo dángđiệu của Lp, xem như một dạng toàn phương đối với ξ và η Dạng toàn

2.2 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

phương được cho bởi (2.14) có thể được miêu tả dưới dạng ma trận như

Các thuật ngữ elliptic, parabolic và hyperbolic được thúc đẩy bởi sự tương

tự với sự phân loại của mặt cắt hình nón

Ví dụ 2.4 Phương trình Laplace là elliptic, phương trình nhiệt là parabolic,phương trình sóng là hyperbolic Với ba trường hợp này, các ma trận liênkết với phần chính lần lượt theo thư tự sau

2.2 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bây giờ ta xét một phương trình đạo hàm riêng bậc hai trong không gian

có thể biểu diễn dạng phương trình bậc hai này là ξTA(x)ξ, với A là matrận n × n với các phần tử aij

Định nghĩa 2.6 Phương trình (2.18) được gọi là elliptic nếu tất cả cácgiá trị riêng của A có cùng dấu, parabolic nếu A suy biến và hyperbolicnếu tất cả các giá trị riêng của A có cùng dấu ngoại trừ một giá trị riêngtrái dấu Nếu A không suy biến và có nhiều hơn một giá trị riêng giữ mỗidấu thì phương trình được gọi là ultrahyperbolic

Trong định nghĩa này, ngầm hiểu các giá trị riêng được tính kể cả số bộicủa nó

Khái niệm mặt đặc trưng được liên quan chặt chẽ với các loại Ta theo dõiđịnh nghĩa được đưa ra dưới đây:

Định nghĩa 2.7 Mặt được mô tả bởi φ(x1, x2, , xn) = 0 là đặc trưngtại điểm ˆx, nếu φ(ˆx) = 0 và, ngoài ra

2.2 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

không có mặt đặc trưng (thực)

Với phương trình hyperbolic, có n giá trị riêng khác 0 của A, trong đó

n − 1 là cùng dấu và 1 giá trị riêng trái dấu, chẳng hạn một giá trị riêng

là âm còn lại là dương Cho n là một vecto riêng đơn vị tương ứng đến giátrị riêng âm Bao tuyến tính của n và phần bù trực giao của nó đều là cáckhông gian con bất biến của A và sử dụng cách phân tích

ta thấy

(∇φ)TA(∇φ) = −Λ(n· ∇φ)2 + [∇φ − (n· ∇φ)n]TB[∇φ − (n· ∇φ)n] = 0

(2.21)với −Λ là giá trị riêng âm của A và B là xác định dương trên không gian

(n − 1) chiều trực giao với n Bây giờ ta đề cập đến ∇φ − (n· ∇φ)n, nghĩa

là phần của ∇φ mà là vuông góc vơi n, như đã đưa ra Khi đó n· ∇φ cóthể được xác định bởi (2.21) Với bất kỳ sự lựa chọn khác không của phầnvuông góc với ∇φ, ta được hai nghiệm thực và phân biệt đối với n· ∇φ.Chú ý rằng nếu ta lấy bất kỳ C2 hàm u : R −→ R và hợp nó với φ, hàmkết quả thỏa mãn

và nếu mặtφ= const là đặc trưng, hệ số củau00(φ) trong vế phải triệt tiêu.Nghĩa là, hàm u00(φ) thoả mãn phương trìnhLu = 0 bậc cao nhất Vì tínhchất này, đặc trưng là quan trọng trong việc nghiên cứu các nghiệm kì dịcủa các phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng có thể

có các nghiệm là không liên tục qua mặt đặc trưng

Một tính chất có liên quan sẽ quan trọng trong sự liên hệ với định lýCauchy-Kovalevskaya Giả sử u và đạo hàm pháp tuyến của nó ∇u∇φ

2.2 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

được mô tả trên một mặt được cho bởi φ(x) = 0 (Chú ý rằng điều này cónghĩa là đạo hàm tiếp tuyến mọi các bậc tự được xác định tự nhiên) Liệu

ta có thể sử dụng (2.18) phối hợp với các dữ liệu đã đưa ra, để tìm đạohàm bậc hai của u theo hướng của ∇φ hay không? Để có quyết định này,cho q1,q2, ,qn là một hệ cơ sở trực chuẩn sao cho q1 là một phươngcủa ∇φ để đơn giản hóa các kí hiệu ta có thể viết q thay cho q1 Ta có

A = (qTAq)qqT +B, (2.23)với

Ma trận B có thể được trình bày như sau

B =

nXi=2

(qTAqi)qqTi + (qTi Aq)qiqT (2.25)

+

nXi,j=2

rõ từ (2.26)) Nếu u và đạo hàm pháp tuyến của nó được xác định, các sốhạng này có thể được coi là đã biết Điều kiện là có thể để xác định đạohàm pháp tuyến bậc hai do đó là qTAq 6= 0, nghĩa là mặt φ = 0 là khôngđặc trưng

2.3 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

là thực và phân biệt với mọi ξ ∈ Rn mà không cộng tính với n

Trong các ứng dụng, n thường là một tọa độ có hướng liên kết vớithời gian Trong trường hợp này, ta đặt x = (x1, x2, · · · , xn−1, t) và ξ =(ξ1, ξ2, · · · , ξn−1, 0) là một vecto con

Với các hàm số dao động nhanh có giá nhỏ ta có thể cho rằng hệ số củaLp

như xấp xỉ hằng số; ta cho rằng chúng là hằng số Nếuω là một nghiệm của(2.30), khi đó u = exp(i(ξ ·x) + iωt) là nghiệm của Lp(u) = 0 Nếu ω cóphần ảo âm khi đó nghiệm này phát triển lũy thừa theo thời gian Hơn nữa

vìLplà thuần nhất bậcm , nghĩa làLp(x, λ(iξ+iωn)) = λmLp(x, iξ+iωn)

với bất kì vô hướng Λ, ta luôn có nghiệm với phần ảo âm nếu có nghiệmbất kì không thực (nếu ta thay đổi dấu củaξ ta cũng thay đổi dấu củaω).Hơn nữa nếu ta nhân ξ với một vô hướng λ, khi đó ω cũng được nhân vớicùng một nhân tố λ đó và do đó nghiệm sẽ trở lên dao động càng nhanh

2.3 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

hơn trong không gian Vì vậy điều kiện nghiệm trong (2.30) là thực là điềukiện cần đối với phép đặt chỉnh của các bài toán giá trị ban đầu

Bây giờ ta chuyển sự chú ý đến hệ k phương trình đạo hàm riêng bao gồm

k ẩn uj, j = 1, 2, 3, , k:

Như hệ các phương trình đại số, vấn đề đặt chỉnh đòi hỏi số các phươngtrình bằng số ẩn, nên ta giả sử rằng các toán tử Lij từ một ma trận vuông

L Sự tổng quát của các khái niệm trên là khá đơn giản

Định nghĩa 2.9 Các mặt đặc trưng được xác định bởi phương trình

và các phương trình không có các mặt đặc trưng thực được gọi là elliptic.hyperbolic tuyệt đối cũng được xác định như trên với Lp trong địnhnghĩa được thay thế bởi det Lp Một hệ mà tất cả các thành phần của Lp

là các toán tử bậc một được gọi là hyperbolic (không nhất thiết tuyệt đối)

2.3 PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nói chung, ta cần cẩn thận để xác định phần chính của một hệ Một cáchtiếp cận đơn giản là lấy số hạng bậc cao nhất là không đúng

Ví dụ 2.10 Để thấy rõ vấn đề, ta xét phương trình Laplace trong khônggian hai chiều

và viết lại nó như một hệ các phương trình bậc một bằng cách lập v =

ux, ω = uy Thu được hệ là

ux = v, uy = ω, vx+ ωy = 0 (2.35)Nếu ta xác định Lp là phần bao gồm số hạng bậc nhất, dễ dàng thấy rằngdet Lp đồng nhất bằng 0 Mặt khác, do phương trình Laplace là ví dụ mẫucủa một phương trình elliptic, nó sẽ được kì vọng để tương đương với hệbậc nhất cũng đ elliptic Rõ ràng, khi đó ta không thể bỏ các số hạng v

và ω trong hai phương trình đầu của (2.35)

Điều khó khăn được giải quyết bằng cách gán trọng số si đến mỗi phươngtrình vàtj đến mỗi biến phụ theo cách bậc của mỗi toán tử Lij không vượtquá si+ tj Phần chính của Lpij được xác định bao gồm những số hạng mà

có bậc chính xác bằng si+ tj Ta giả sử rằng các trọng số có thể được gántrong một cách như vậy, cách mà det Lp không triệt tiêu lẫn nhau; trongtrường hợp này det Lp bao gồm tất cả số hạng bậc Pi,isi + tj xuất hiệntrong detL Trong (2.35),ta sẽ đặt s1 = s2 = t2 = t3 = 0 và t1 = s3 = 1.(Ở đây, nó được thỏa mãn bậc của các biến là u, v, ω.) Với các trọng sốnày, phần chính của (2.35) thực tế là đồng nhất với (2.35), và ta tính toán