Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

-„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC S PH„M -„NG THÀ LOAN D„NG CHU„N T„C C’A PH ÌNG TR„NH -„O H„M RI„NG TUY„N T„NH C„P HAI TR„N M„T PH„NG LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC TH„I NGUY„N - 2020 -„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC S PH„M -°ng Th‡ Loan D„NG CHU„N T„C C’A PH ÌNG TR„NH -„O H„M RI„NG TUY„N T„NH C„P HAI TR„N M„T PH„NG Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi Tẵch M sậ: 46 01 02 LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC C¡n bỴ hểng dăn khoa hc: TS TRNH TH DIP LINH i TH„I NGUY„N - 2020 ii LÌi cam oan TÊi xin cam oan Luên vôn "DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng" l trẳnh b y nghiản cu khoa hc ca riảng tấi dểi sá hểng dăn trác tiáp ca TS Trnh Th Diằp Linh Ngo i ra, luên vôn tấi cÃn s dng mẻt sậ kát quÊ, nhên xt ca mẻt sậ tĂc giÊ khĂc Ãu c ch thẵch v trẵch dăn ngun gậc.Trong quĂ trẳnh nghiản cu, tấi ¢ k¸ th¯a th nh qu£ khoa hÂc cıa c¡c nh khoa hc vểi sá trƠn trng v biát ẽn Náu phĂt hiằn bĐt k sá gian lên n o tÊi xin ho n to n ch‡u tr¡ch nhi»m v· nẻi dung luên vôn ca mẳnh ThĂi Nguyản, ng y 15 th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ -°ng Th‡ Loan ii Lèi cÊm ẽn Luên vôn n y ềc ho n th nh tÔi trèng -Ôi hc S phÔm ThĂi Nguyản TĂc giÊ xin b y t lÃng kẵnh trng v biát ẽn sƠu sc án TS Trnh Th Diằp Linh ngèi thƯy  trác tiáp hểng dăn, tên tẳnh ch bÊo v ẻng viản tĂc giÊ suật thèi gian nghiản cu va qua TĂc giÊ trƠn trng gi lèi cÊm ẽn án cĂc thƯy, cấ giĂo Khoa ToĂn, PhÃng - o tÔo Sau Ôi hc, cĂc bÔn hc viản lểp Cao hc K26 ToĂn giÊi tẵch trèng -Ôi hc S phÔm ThĂi Nguyản  luấn gip ễ, tÔo iÃu kiằn thuên lềi cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hc têp v nghiản cu tÔi trèng TĂc giÊ cng xin b y t biát ẽn sƠu sc tểi gia ẳnh v ngèi thƠn  luấn khuyán khẵch, ẻng viản tĂc giÊ suật quĂ trẳnh hc têp v l m luên vôn TĂc giÊ mong nhên ềc nhng kián ng gp qu bĂu ca cĂc thƯy cấ v bÔn c luên vôn ềc ho n thiằn hẽn ThĂi Nguyản, ng y 15 thĂng nôm 2020 Ngèi thác hiằn -ng Th Loan iii Mc lc Trang bẳa phˆ LÌi cam oan i ii LÌi c£m Ïn iii Lèi ni Ưu 1 Kián thc chuân b 1.1 Mẻt sậ khĂi niằm và phẽng trẳnh Ôo h m ri¶ng 1.2 Ph˜Ïng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai 1.2.1 Phẽng trẳnh tuyán tẵnh 1.2.2 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh hyperbolic 20 1.2.3 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh parabolic 23 1.2.4 DÔng chuân tc cıa ph˜Ïng tr¼nh eliptic 25 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng 28 2.1 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai vểi hai bián 28 ẻc lêp 2.2 DÔng chuân tc khÊng ‡a ph˜Ïng 31 2.3 DÔng chuân tc trẽn 35 2.3.1 -‡nh l½ rÛt gÂn 39 2.3.2 DÔng chuân tc trẽn cho cĂc im kẳ d gĐp 47 iv Kát luªn T i li»u tham kh£o 51 52 v LÌi ni Ưu Sá kh i Ưu ca l thuyát và cĂc dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng ềc nghiản c˘u v o kho£ng gi˙a th¸ k 18 V o thèi im d'Alembert v Euler  à xuĐt phẽng trẳnh sng v phẽng trẳnh Laplace mấ tÊ sá chuyn ẻng ca dƠy v sá thay thá vên tậc cıa ch§t l‰ng khÊng n²n ˜Ịc t˜Ïng ˘ng Sau xuĐt hiằn nhng dÔng chuân tc m Ôi diằn cho cĂc phẽng trẳnh loÔi eliptic v phẽng trẳnh loÔi hyperbolic, ˜Ịc s˚ dˆng nhi·u gi£i t½ch º ¡p dˆng vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n kh¡c Ng y v§n · n y ˜Ịc nhi·u ng˜Ìi quan tƠm v thèng ềc nghiản cu lắnh vác phẽng trẳnh Ôo h m riảng Xt phẽng trẳnh tng qu¡t a(x; y)uxx + b(x; y)uxy + c(x; y)uyy = 0; (0.1) vÓi a; b; c l c¡c h» sË trẽn, c th ềc a và cĂc dÔng a phẽng gƯn im bĐt k ca phẽng trẳnh hyperbol v elip t˜Ïng ˘ng, t˘c l th˘c D vÓi D = b x²t bi»t 4ac cıa ph˜Ïng tr¼nh (0.1) theo th˘ tá l dẽng v Ơm, bơng cĂch thay i cĂc ta ẻ trẽn v thác hiằn php nhƠn trản mẻt h m trẽn bĐt bián thẵch hềp (xem[4]) -ậi vểi mẻt bẻ ba tng quĂt trẽn hoc trẽn Ưy tÊpÊ Whitney bi»t th˘c l rÈng ho°c l mỴt ˜Ìng cong trÏn ˜Ịc nhÛng m°t ph¯ng Nh˜ vªy cho mẻt phẽng trẳnh tng quĂt ca phẽng trẳnh sng dÔng uxx uyy = v phẽng trẳnh Laplace dÔng uxx + uyy = cĂc dÔng chuân tc hiằn ca phẽng trẳnh (0.1) chẵnh l gƯn mẻt im n¬m ngo i ˜Ìng th¯ng n y -˜Ìng th¯ng n y ềc gi l dÔng èng thay i vẳ bĐt k im n o gƯn n phẽng trẳnh gm c c¡c iºm cıa c£ elip v hyperbol Ph˜Ïng tr¼nh (0.1) thay i dÔng miÃn ềc gi l phẽng trẳnh dÔng hẩn hềp Trong nghiản cu ca Tricomi ([xem 6])  xt mẻt phẽng trẳnh gƯn im P ca dÔng èng thay i, l phẽng trẳnh khấng suy bi¸n cıa bi»t th˘c, t˘c l D(P ) = v dD(P ) 6= v tÔi phẽng c tr˜ng dy : dx ˜Òc x¡c ‡nh b i ph˜Ïng tr¼nh a(x; y)dy 2 b(x; y)dxdy + c(x; y)dx = 0: (0.2) Phẽng trẳnh (0.2) khấng tiáp tuyán vểi èng thng GƯn mẻt im nh vêy, Tricomi  a cho (0.1) dÔng chuân tc ềc kẵ hiằu uyy + yuxx = 0: Sau thay Íi c¡c tÂa ẻ trẽn v trẽn bĐt bián dÔng phẽng trẳnh thay (0.3) thác hiằn nhƠn trản mẻt h m i trản trc ho nh v n thuẻc phẽng trẳnh loÔi eliptic mi·n y > v hyperbolic mi·n y < HÏn n˙a, ng˜Ìi ta ¢ ch˘ng minh rơng phẽng trẳnh c hai c tẵnh tÔi mẩi im x dÔng chuân tc ca trc ho nh CĂc c tẵnh nơm miÃn y v c dÔng 9(x x0)2 = 4y3 -ậi vểi phẽng trẳnh (0.3), Tricomi ([xem 6]) trẳnh b y dÔng mểi và loÔi b i to¡n gi¡ tr‡ bi¶n mi·n b‡ ch°n b i c¡c °c tr˜ng giao i t¯ hai im ca dÔng èng thay i v b i mẻt cung trÏn n¬m mi·n y > v nËi cĂc im n y lÔi -ậi vểi cĂc iÃu kiằn bi¶n cıa Dirichlet ˜Ịc x¡c ‡nh tr¶n cung n y v trản mẻt hai cung c trng, ấng  chng minh nh l và sá tn tÔi v tẵnh nh§t cıa nghi»m Ng y v§n · n y ˜Ịc °t t¶n l Tricomi I Trong nghi¶n c˘u Tricomi ([xem 6]) cng cung cĐp nÃn tÊng cho dÔng chuân tc (0.3) nhng chng minh ca ấng cha Ưy Sau chng minh ng cho dÔng n y ềc thác hiằn b i Cibrario Nh lu trản, nhng kát quÊ ca Tricomi  ềc s dng tẵch nghiản cu l thuyát và cĂc dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng trản mt ph¯ng ˜Ïng l r C - vi Áng phÊi bÊo tn phƠn thể tá nhiản trản h tham sậ " v Ănh xÔ cĂc èng cong tẵch phƠn ca tr˜Ìng (v; " = 0) v o ch½nh n‚; Cr- tẽng ẽng l mÔnh náu n bÊo tn tham sậ -‡nh l˛ 2.3.5 (xem [7]) Hai phÊi iºm gËc cıa h trÏn (v; 1) v (v; 2) c¡c c°p t˜Ïng thẵch ca trèng vectẽ v php nƠng lản ly tha cng vểi tham sậ hu hÔn chiÃu v mt phng ca cĂc im cậ nh ca php nƠng lản ly th¯a, m i qua iºm gËc l Cv1- t˜Ïng ˜Ïng, náu cho bĐt kẳ giĂ tr tham sậ cậ nh gƯn bơng 0, trèng v l èng nơm ngang cĂc iºm cË ‡nh cıa ph²p lÙy th¯a h¦u khp nÏi GÂi ph¡t biºu n y l ‡nh l˛ rÛt gÂn -nh l rt gn n y l nghiản cu dÔng chuân tc a phẽng ca dÔng ca phẽng trẳnh vi phƠn trèng hềp tng quĂt cho l thuyát và dÔng chuân tc a phẽng ca cĂc cp tẽng thẵch vểi trèng vectẽ v php nƠng lản ly tha CĂc b˜Ĩc ch½nh cıa ch˘ng minh ‡nh l˛ n y giËng nh˜ b i b¡o sË [5] GỴp ch˘ng minh n y Ơy b i vẳ nh l n y l cấng c chẵnh suy cĂc dÔng chuân tc cho dÔng r nhĂnh ca phẽng trẳnh vi phƠn trản mẻt trèng vectẽ - chng minh nh l, lĐy gƯn im gậc ta ẻ cĂc ta ẻ a phẽng trẽn x, y v " dÔng lĂ trản tham sậ nh˜ vªy h v m°t ph¯ng cıa c¡c y; ") v im cậ nh ca php nƠng lản ly tha c dÔng (x; y; ") 7!(x; y = tẽng ng Viằc láa chn nh vêy l mi h m trẽn f,f(O) = 0, m vi phƠn tÔi iºm gËc c‚ gi¡ tr‡ kh¡c tr¶n vectÏ ri¶ng ca Ôo h m chn ta ẻ a phẽng mểi x = F + 1F; y = F 1; (O) v 1F , v cÚng tÂa Ỵ " v1 Theo t½nh t˜Ïng th½ch cıa v = (v1; v2) v 1, t¼m h m sË v = v (x; y; ")v (x; y; ") v (x; y; ")v (x; y; "); (x; y; ") (x; y; ") 2 v1(x; y; ") v2 (x; y; ") c‚ chẵnh xĂc sậ bêc hai trản mt phng y = cıa c¡c iºm cË ‡nh cıa ph²p n¥ng l¶n lÙy th¯a 42 -°c bi»t tr¶n m°t ph¯ng n y v1v2 Nh˜ng tr˜Ìng (v; " = 0) l èng nơm ngang án mt phng hƯu khp nẽi theo gi£ s˚ cıa ‡nh l˛, v ‚ ¯ng th˘c cuËi cÚng bao h m v1(x; 0; ") Ngo i (0; 1; 0) l sá xuĐt hiằn ca Ôo h m ; vểi giĂ tr riảng tÔi im bĐt k ca mt phng Do cĂc Ôo h m n y l giậng tÔi im bĐt k ca mt phng, nản cĂc ta ẻ ềc chn gƯn im gậc, h c th viát dểi dÔng 2 (x; y; ") 7!x + y r (x; y; ") ; y + y s (x; y; ") ; " ; vĨi mỴt sË h m trẽn r v s Vẳ vêy tn tÔi tÂa Ỵ 2 = (x + y R (x; y; ") ; = y + y S (x; y; ") ; vĨi mỴt sË h m trÏn R v S v giËng ", ‚ h cıa ph²p nƠng lản ly tha c dÔng ( ; ;") 7!( ; ;"): PhƯn cÃn lÔi ca chng minh dáa trản phẽng phĂp ng nhĐt Ôi sậ ềc à xuĐt b i Thom TÔi a phẽng gƯn im gậc xt sá bián dÔng trẽn ca ta ẻ t : ( t; t; ") 7!( t; t; ") ; ‚ t = x + ty R (x; y; ") ; t= y + ty S (x; y; ") ; v bián dÔng tẽng ng ca h php nƠng lản lÙy th¯a ( t; t; ") 7!( t; t; 1v 2: ") : Suy t¯ V , tr˜Ìng bi¸n dÔng vi phƠn tẽng ng l vên tậc chuyn ẻng ca im Ênh dểi mẻt bián dÔng trẽn ca php nƠng lản ly tha Dạ thĐy V t l bián dÔng ang xt khấng c phƯn t dc theo trc tham sË t BÍ · 2.3.6 Tr˜Ìng V l tr˜Ìng bián dÔng vi phƠn ca bián dÔng trẽn h , n‚ l thĨ tr¶n tham sË v ch¿ V = V: 43 BÍ · 2.3.7 -Ëi vĨi bi¸n dÔng g ca ng nhĐt thc, n l thể trản tham sậ, vểi h vên tậc h ca php nƠng l¶n lÙy th¯a : (x; y; ") 7! (x; y; ") b bián dÔng vểi vên tậc h h: Nhng bÍ · n y t˜Ïng t¸ nh˜ nh˙ng ph¡t biºu t˜Ïng ˘ng t¯ b i b¡o sË ([5], [6]) Ch˘ng minh b i ph²p to¡n tr¸c ti¸p Do BÍ · 2.3.6  chng minh nh l Ưy a phẽng gƯn khoÊng trẳnh b y bián dÔng vên tậc Vt = ftv ( t ft) [0; 1] cıa t- trˆc, v: (2.15) Trong ‚ v l tr˜Ìng vectÏ v ft l h m trÏn tr¶n t, x, y v " KhÊ nông giÊi ềc ca phẽng trẳnh ậi vểi ft dáa trản sá tẽng thẵch ca h v vểi h v m lêp tc bao h m sá t˜Ïng th½ch cıa h v v t cho mÂi t [0; 1] nh nghắa ca t Bián dÔng vên tậc (b qua ch sậ t) V trản m°t ph¯ng y = (ho°c = 0) c‚ khÊng ½t nh§t cıa c§p hai Do ‚, n‚ c‚ thº ềc trẳnh b y dểi dÔng V = r( ; ; ") !; (2.16) h( ; ; ") vÓi mỴt sË h m trÏn h v r Ngo i ra, B à 2.3.6 bián dÔng vên tậc phÊi th‰a m¢n ¯ng th˘c V = 2r( ;; ") ! = Do ‚ h( ; ; ") h( ; ; ") = h( ; ; ") v V Thay v o biºu th˘c (2.16) c‚ ! 2r( ; ; ") : h( ; ; ") r( ; ; ") = r( ; ; ") vÓi c¡c h m h v r lƯn lềt l chđn v l Do tẵnh chĐt a phẽng gƯn im gậc c dểi dÔng 2 h( ; ; ") = p( ; ; ") v r( ; ; ") = q( ; ; ") vĨi mỴt sË h m trÏn p v q Do vên tậc V c dÔng @ + 2q( ; 2; ") @ V ( ; ; ") = p( ; ; ") 44 @ : @ (2.17) HÏn n˙a tr¶n m°t ph¯ng =0 c‚ v = v i·u gi£ s˚ cıa ‡nh l˛ và tẵnh tẽng thẵch v tẵnh chĐt nơm ngang Do ‚ g¦n iºm gËc cıa tr˜Ìng v c‚ thº ˜Ịc viát dểi dÔng v( ; ; ") = l( ; ; ") @ + m( ; ; ") @ ; (2.18) @ @ vĨi mỴt sË h m trÏn l v m LÛc n y h m f l tÍng ca cĂc phƯn chđn v l ca n vểi bián sË khÊng Íi , t˘c l 2 f( ; ; ") = u( ; ; ") + !( ; ; ") tÔi u v ! l cĂc h m trÏn Thay th¸ biºu th˘c n y cho f v biu thc (2.17) v (2.18) th nh cĂc sậ hÔng b¶n ph£i cıa (2.15) c‚ ˜Ịc 2 @ + m( ; ; ") @ @ @ (ftv)( ; ; ") = [u( ; ; ") + !( ; ; ")] l( ; ; ") (2.19) ( t ft) ( ; ; ") = f( ; ; ") = u( ; ; ") !( ; ; ") ( t v) ( ; ; ") = l( ; ; ")2@ @ + m( ; ;2") t t t t v) m ; + ( (2 20) (2.20) ( l¦n l˜Ịt vĨi V , v o biºu th˘c (2.15) ta c‚ p( ; ; ")@ = @ @ LÛc n y thay th¸ c¡c biºu th˘c (2.17), (2.19) v fvv ( f) @ !( ; ; ")] l( ; ; ") [u( ; ; ") (( t ft) t v) ( ; ; ") = @ @ 2 + q( ; ; ")@ @ h [u( ; ; ") + !( ; ; ")] l( ; ; ")@ 2 +[u( ; ; ") !( ; ; ")]( l( ; ; ") @ @ + m( ; ; ")@ @ + m( ; = [u (l( ; ; ") + l( ; ; ")) + ! (l( ; ; ") l( ; @ i ; ") @ ; "))] +[u(m( ; ; ") + m( ; ; ")) + ! (m( ; ; ") m( ; ; "))] @ ) @ @ @: @ CƠn bơng cĂc phƯn t phẵa trĂi v vá phÊi ca biu thc tiáp, theo i án hằ phẽng trẳnh tuyán tẵnh trản u v !: ( u (l( ; ; ") + l( ; u(m( ; ; ") + m( ; ; ")) + ! (l( ; ; ") ; ")) + ! (m( ; ; ") 45 l( ; ; ")) = p( ; ; ") 2 m( ; ; ")) = q( ; ; "): @ ; ")@ Ơy chia phẽng trẳnh Ưu tiản cho ri rt gn hằ phẽng trẳnh c dÔng ( u(l( ; ; ") + l( ; u(m( ; ; ") + m( ; ; ")) + ! (l( ; ; ") ; ")) + ! (m( ; ; ") l( ; 2 ; ")) = p( ; ; ") m( ; ; ") = 2q( ; 2; "): (2.21) -‡nh th˘c cıa ma trªn cıa h» n y l l( ; ; ") + l( ; ; ")(l( ; ; ") l( ; ; ")) = [L+Q( ; ; ")]; m ( ; ; ") + m ( ; ; ") (m ( ; ; ") m ( ; ; ")) tÔi L = 2[l(0; 0; 0)m (0; 0; 0) l (0; 0; 0)m(0; 0; 0)] v Q l h m trẽn triằt tiảu tÔi iºm gËc Do ‚ (2.21) l trÏn gi£i ˜Òc Ëi vểi u v ! gƯn im gậc náu L 6= Nh˜ng L khÊng b¬ng i·u kiằn b i vẳ vá phÊi ca hằ chia cho tẵnh tẽng thẵch ca h php nƠng lản lu tha v trèng Thêt vêy tẵnh tẽng thẵch, diằn tẵch ca hẳnh bẳnh h nh ềc nh nghắa b i gi¡ tr‡ cıa tr˜Ìng v v v c‚ sË bêc hai trản mt phng = ca cĂc im cậ nh ca php nƠng lản ly tha Do h m v ( ; ;")= l( ; ; ") v m( ; ; ") l( ; ; ") m( ; ; ") = [l( ; ; ")m( ; ; ") l( ; ; ")m( ; ; ")] = 2 [L+H( ; ;")]; vÓi H l h m trÏn bĐt bián tÔi im gậc c sậ bêc hai trản mt phng n y Vẳ vêy L 6= 0, v tẵnh chĐt a phẽng gƯn im gậc, hằ phẽng trẳnh (2.21) d ng giÊi ềc gi nguyản u v ! Do phẽng trẳnh (2.15) d ng giÊi ềc v phấi ca h php nƠng lản ly tha v tÔi im gậc l Cv1 - tẽng ẽng mÔnh -nh l rt gn ềc chng minh Ch 2.1 DÔng chuân tc urr + (1 r)u = cÙng s˚ dˆng cho c¡c h ph˜Ïng trẳnh vểi tham sậ hu hÔn chiÃu C th, náu cho mỴt sË gi¡ tr‡ 46 cıa tham sË c‚ c¡c i·u ki»n chÛ ˛ tr˜Ĩc ˜Ịc th‰a m Ân thẳ dÔng chuân tc gƯn im kẳ d gĐp ang xt c dÔng urr + (1 r)u = tr¶n ph²p Áng phÊi cıa m°t ph¯ng, m hi»n tẵnh liản tc ph thuẻc v o tham sậ Nh lu trản phẽng trẳnh ca (2.22) dng phƠn t½ch c¡c iºm k˝ d‡ cıa i»n tr˜Ìng s‚ng i»n t Nhng thĐy rơng php ng phấi khấng Êm bÊo viằc bÊo tn tẵnh chĐt cẽ bÊn nghiằm ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng v xĂc nhên nhng bÊo tn nh vêy mẻt cẽ s b sung Vẳ vêy, cĂc hẳnh thc chuân tc tấpấ cho cĂc im kẳ d gĐp khấng th Ăp dng trác tiáp phƠn tẵch nghiằm ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng kiu hẩn hềp 2.3.2 DÔng chuân tc trẽn cho cĂc im kẳ d gĐp Sậ m ca mẻt im kẳ d‡ hyperbol cıa tr˜Ìng vectÏ tr¶n m°t ph¯ng ˜Ịc x¡c ‡nh l t l» cıa gi¡ tr‡ ri¶ng mÊun lĨn nhĐt ca n tuyán tẵnh tÔi im nh nhĐt cho im yản ngáa, im nt vểi mấun t lằ ca phƯn Êo giĂ tr riảng vểi phƯn thác cho tiảu im Cho mẻt trèng hểng, sậ m ca mẻt im k d hyperbol ềc nh nghắa l mẻt c¡c tr˜Ìng vectÏ t˜Ïng ˘ng vĨi iºm k¼ d‡ hyperbol SË mÙ ˜Òc b£o to n b i c¡c vi phÊi -‡nh l˛ 2.3.8 Cho ph˜Ïng tr¼nh trÏn tÍng qu¡t a(x; y)uxx + b(x; y)uxy + c(x; y)uyy = 0; mẩi im kẳ d gĐp P l hyperbolic Phẽng trẳnh °c tr˜ng cıa ph˜Ïng tr¼nh n y l t˜Ïng ˜Ïng tÊpÊ vĨi ph˜Ïng tr¼nh uxx + ( y + Kx )uyy = 0; gƯn gậc ta ẻ vểi K = iºm t˜Ïng ˘ng 1; 1 l iºm y¶n ngáa, im nt v 20 v 47 (2.22) tiảu Vẵ d 2.3.9 Trản mt phng ca bián sậ u v v phấi ca C k- tuyán tẵnh tng quĂt vểi k trèng hểng gƯn n cẻng h ng im kẳ d vểi sậ m ca im yản ngáa, im nt hoc tiảu im l Ck- qu Ôo tẽng ˜Ïng t¯ phÊi tr¶n iºm gËc cıa tr˜Ìng h˜Ĩng x¡c ‡nh b i tr˜Ìng vectÏ vĨi k = 2( +1) tiảu im Vectẽ n thẵch ! !! u k k= cho im yản ngáa v im nt, v vểi y v php nƠng lản ly tha (u; !) 7!(u; !) l +1 cho t˜Ïng -‡nh l˛ 2.3.10 (xem [5],[6]) PhÊi cıa ph˜Ïng tr¼nh °c trng (0.1) Ck-tuyán tẵnh Khi im kẳ d gĐp vểi sậ m l phấi tÔi im gậc ca ph˜Ïng tr¼nh kx uxx = 0; uxx + y + hằ ta ẻ trẽn thẵch hềp CĂc phĂt biu sau Ơy trẳnh b y cĂc dÔng chuân tc tẽng ng cho mÔng lểi c trng ca chẵnh n‚ -‡nh l˛ 2.3.11 (xem [5],[6]) PhÊi cıa h c¡c c trng ca phẽng trẳnh (0.1) l hyperbolic Ck- tuyán tẵnh v im kẳ d gĐp vểi sậ m Khi C1- ng phấi vểi phấi tÔi im gËc cıa h c¡c ˜Ìng cong xp p y = c; (c R); jx yj ho°c p (jx ho°c ( x yj p x p y y = R cos( p = R sin( y = c) [ (x 1 p y = 0); c R; ln R + c) ;0 c 2; ln R + c) q vểi im yản ngáa, im nt v tiảu im thẵch hềp, tÔi R = (x + y p y)2 48 -iÃu kiằn ca C1 - tuyán tẵnh cĂc nh l n y khấng b hÔn chá nhiÃu C th, tiảu im khấng suy bián luấn l C1 - tuyán tẵnh ha, v mẻt nt l C 1- tuyán tẵnh náu sậ m ca n khấng phÊi l sậ tá nhiản Cuậi cng, theo nh l ca Segal, im yản ngáa vểi sậ m l C 1- tuyán tẵnh náu im (1; ) l im c dÔng (M; ) tc l M minfj1 m1 m2 j ; j m1 m2 j g v jmj m = (m1; m2) vĨi m1; m2 khÊng ¥m v vĨi m1 + m2 cıa tªp hỊp c¡c iºm, vĨi M > l náu cho mi sậ nguyản vectẽ Ta biát rơng ểc cĂc im c dÔng (M; ) l b¬ng 0, > Do ‚, c‚ i·u kiằn C1- tuyán tẵnh cho têp m tr mêt m khp mi ca cĂc nt v tiảu im, v ch¿ cho c¡c tªp trÚ mªt khp mÂi nẽi ca im yản ngáa B i toĂn l cẻng h ng cho im yản ngáa khp mi nẽi tr mêt v cẻng h ng im yản ngáa ni chung l khấng C1- tuyán tẵnh DÔng chuân tc cho cẻng h ng gĐp tng quĂt v cĂc im kẳ d gĐp cĐp Ãu Ôt ềc b i b¡o sË [2].Vi»c ˜a c¡c k¸t qu£ t˜Ïng ˘ng l tẽng tá vểi cĂc nh l phƠn loÔi trản Ơy, trẳnh b y trèng hềp cẻng h ng im yản ngáa gĐp ho n th nh viằc phƠn loÔi cĂc im kẳ d ca mÔng lểi c trng cho phẽng trẳnh hẩn hềp tng quĂt gƯn cĂc im kẳ d gĐp, nghắa l cho têp m trÚ mªt khp cıa (0.1) khÊng gian cıa c¡c phẽng trẳnh ng trẽn hoc trẽn Ưy tấpấ Whitney -‡nh l˛ 2.3.12 (xem [2]) PhÊi cıa h c¡c c trng ca phẽng trẳnh (0.1) trản im yản ngáa gĐp vểi sậ nhiản v r ql phƠn sậ tậi gi£n Khi ‚ r mÙ = q , ‚ r v q l sË t¸ C1- vi phÊi cho phấi tÔi im gậc ca h c trng ca phẽng tr¼nh y uxx + 2x2 xr+q+2+Ax2(r+q)+2 uyy = 0; k A l tham sË th¸c ‚ k = 2( +1) v ChÛ ˛ 2.2 C¦n l˜u ˛ l dÔng chuân tc Ôt ềc khấng l dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Phẽng trẳnh tẽng ng vểi dÔng chuân tc n y l 49 nh˜ l¶n h m trÏn m b¬ng mi·n D > Ch¯ng hÔn nh, náu cho phẽng trẳnh tng quĂt phấi ca mÔng lểi c tẵnh ca n tr th nh mẻt nh˙ng ph˜Ïng tr¼nh k x2 uyy = 0; uxx + y gƯn im gậc ta ẻ, iÃu c nghắa l k hiằu chẵnh ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tẽng ng b giÊm c dÔng (1 + a(x; y))uxx + b(x; y)uxy + y k x2 (1 + c(x; y))uyy = 0; vĨi mỴt sË h m trÏn a, b v c b¬ng mi·n D > 0, b¬ng c¡ch thay Íi trÏn tÂa ẻ v nhƠn trản cĂc h m trẽn khấng bĐt bián L m thá n o loÔi b nhng a, b v c l mẻt vĐn à m cƯn c thèi gian nghiản cu tiáp 50 Kát luên DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng l mẻt b i toĂn ềc a sau xuĐt hiằn nhng dÔng chuân tc m Ôi diằn cho cĂc phẽng trẳnh loÔi eliptic v phẽng trẳnh loÔi hyperbolic, ềc s dng nhiÃu giÊi tẵch Ăp dng viằc giÊi quyát c¡c b i to¡n kh¡c nhau, mÊ t£ s¸ chuyºn ẻng ca dƠy v sá thay thá vên tậc ca chĐt lng khấng nn ềc tẽng ng Nẻi dung chẵnh ềc trẳnh b y luên vôn bao gm: Trẳnh b y mẻt sậ kián thc cẽ bÊn và khĂi niằm phẽng trẳnh Ôo h m riảng, phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai, dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh hyperbolic, parabolic, eliptic Trẳnh b y dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai vểi hai bián ẻc lêp, dÔng chuân tc trẽn, dÔng chuân tc khấng a phẽng S dng cĂc kát quÊ Ôt ềc v o viằc chng minh sá nh lẵ rt gn 51 T i liằu tham kh£o Bruce J W, Tari F, Fletcher G J.( 2000), Bifurcations of binary differential equations, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 130: 485 „ 506 Davydov A A., Rosales-Gonzales E (1996), Complete classification of generic linear second-order partial differential equations in the plane, Dokl Math, 350: 151 „ 154 Davydov A A (2018), Normal forms of linear second order par-tial differential equations on the plane, Sci China Math, 61, https://doi.org/10.1007/s11425-017-9303-0 Davydov A A, Diep L T T (2010), Normal forms for families of lin-ear equations of mixed type near non-resonant folded singular points, Russian Math Surveys, 65: 984 „ 986 Davydov A A (1985), The normal form of a differential equation that is not solved with respect to derivative, in the neighbourhood of its singular point, Funct Anal Appl, 19: 81 „ 89 Davydov A A.(1994), Qualitative Theory of Control Systems Trans-lations of Mathematical Monographs, vol 141 Providence, Amer Math Soc, Davydov A A, Diep L T T (2011), Reduction theorem and normal forms of linear second order mixed type PDE families in the plane, TWMS J Pure Appl Math, 2: 44 „ 53 52 Kondratiev V A, Landis E M (1988), Qualitative theory of second order linear partial differential equations, Itogi Nauki i Tekhniki Ser Sovrem Probl Mat Fund Napr, 32: 99 „ 215 Y Pinchover, J Rubenstein (2005), An Introduction to Partial Dif-ferential Equations, Cambridge 53 ... trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng 2.1 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai vểi hai bián ẻc lêp Xt phẽng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai cho h m hai bián ẻc lêp x, y c dÔng L [u]... ( ) + G( ); ‚ F; G l hai h m kh£ vi b§t k˝ F; G Nh vêy, nhên ềc mẻt nghiằm riảng tha mÂn mỴt sË i·u ki»n n o ‚ ta s³ ph£i xĂc nh hai h m 1.2 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai 1.2.1 Phẽng trẳnh... 25 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng 28 2.1 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai vểi hai bián 28 ẻc lêp 2.2 DÔng chuân