Luận văn sư phạm Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp M

Khóa lu n t t nghi p Tr L IC M Sau th i gian c g ng làm vi c, d ng HSP Hà N i N is h ng d n t n tình c a th c s Tr n Th Hoa Lý, khóa lu n c a em hoàn thành Em xin bày t lịng bi t n sâu s c t i Tr n Th Hoa Lý ng i giúp đ h ng d n em su t trình h c t p, nghiên c u làm khóa lu n Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Giáo d c tr , th y giáo khoa t o u ki n thu n l i giúp em th i gian vi t khóa lu n T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L I CAM OAN Khóa lu n v i đ tài : “ M t s gi i pháp đ y m nh phát tri n ngo i th s h ng giai đo n hi n nay”, k t qu nghiên c u c a cá nhân d i ng d n c a Th c s Tr n Th Hoa Lý Tơi cam đoan r ng khóa lu n t t nghi p c a khơng trùng v i k t qu c a công trình nghiên c u cơng b tr c Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh viên th c hi n: V T Th Ng c Tuy t ng Th Thúy L L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i M CL C Ph n m đ u ………………………………………………………………1 Ph n n i dung chính……………………………………………………….5 Ch ng 1: Lý lu n c b n v ngo i th ng …………………………… .5 1.1 Khái ni m ngo i th ng………………………………………………5 1.2 Vai trò c a ngo i th ng …………………………………………… 1.3 Quan m c a ng ta v ngo i th ng ……………………………16 1.4 Kinh nghi m phát tri n ngo i th ng Ch Vi t Nam hi n ………………20 ng Th c tr ng ngo i th ng m ts n 2.1 Nh ng thành t u h n ch c a ngo i th 2.2 Nguyên nhân c a ngo i th Ch ng n ng c th gi i …16 n c ta hi n …20 c ta hi n ………………….34 ng 3: M t s gi i pháp đ y m nh phát tri n ngo i th ng Vi t Nam hi n ………………………………………………………………….38 Ph n k t lu n ………………………………………………………………46 Danh m c tài li u tham kh o ……………………………………………….47 T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr L IM ng HSP Hà N i U Toán h c m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n S phát tri n c a toán h c đ c đánh d u b i nh ng ng d ng c a toán h c vào vi c gi i quy t toán th c ti n Trong l nh v c toán h c ng d ng th tốn có liên quan đ n ph ng trình đ o hàm riêng Tuy đ i mu n so v i ngành toán h c khác nh ng ph chóng kh ng đ nh đ ng g p r t nhi u ng trình đ o hàm riêng nhanh c v trí t m quan tr ng c a khoa h c nói chung tốn h c nói riêng Q trình nghiên c u ph b i vi c nghiên c u nh ng ph ng trình đ o hàm riêng đ ng trình đ o hàm riêng th v c v t lý c h c Ch ng h n nh ph truy n sóng, ph l p ph c kh i đ u ng g p l nh ng trình Laplace, ph ng trình truy n nhi t… ó ph ng trình ng trình đ i di n cho ng trình thu c lo i Elliptic, Hyperbolic Parabolic nghiên c u d dàng h n v nghi m c a tốn biên c a ph có th ng trình đ o hàm riêng đ u tiên c n phân lo i chúng Chính lý mà em ch n đ tài: “Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p m” Khóa lu n g m ch ng:  Ch ng 1: Các ki n th c chu n b  Ch ng 2: M t s toán v t lý d n đ n ph ng trình đ o hàm riêng  Ch ng 3: Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p hai  Ch ng 4: Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p m T Th Ng c Tuy t L p K32D Toán Khóa lu n t t nghi p Tr Ch ng HSP Hà N i ng CÁC KI N TH C CHU N B 1.1 Khái ni m đ o hƠm riêng Gi s e1, e2 , , en c s t c khơng gian ฀ n , U m t t p h p m ฀ n f : U  ฀ m t hàm s c a n bi n s , x  ( x1, , xn ) U Gi i h n lim t 0 n u t n t i đ f ( x  tei )  f ( x) t c g i đ o hàm riêng th i c a hàm f t i x hay đ o hàm riêng theo bi n xi c a hàm f t i x ký hi u Di f ( x) hay f ( x) xi ho c fxi ( x) N u hàm f có t t c đ o hàm riêng Di f ( x) (i  1,2, , n) t i m i m x U đ o hàm riêng nh ng hàm liên t c U ta nói r ng f thu c l p C U ký hi u f  C1 (U ) 1.2 Không gian hàm - Ph n t   (1, , n ) ฀ n đ c g i đa ch s C p c a  là:   1      n - Ký hi u:   u D u  1 2 x1 x2 xnn  T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr  Ví d : +   (1,0, ,0) D u  ng HSP Hà N i u x1  3u +   (0,1,2, ,0) D u  x2x32  k - V i k  1,2,3, ta ký hi u D u t p h p t t c đ o hàm riêng c p k c a u D ku  {D u /   k} - Ta có  mi n ฀ n t c m t t p m liên thông Ký hi u C k () t p h p t t c hàm có đ o hàm liên t c đ n c p k mi n  , 0 k 1.3 Khái ni m ph - Ph ng trình đ o hƠm riêng n tính ng trình vi phân đ o hàm riêng ph ng trình liên h gi a n hàm u( x1, x2 , , xn ) , bi n đ c l p ( x1, x2 , , xn ) đ o hàm riêng c a Nó có d ng: u u  ku F ( x1, x2 , , xn , u, , , , , k1 kn , )  x1 xn x1 xn C p c a ph ph + Ph ng trình c p cao nh t c a đ o hàm riêng c a u, có m t ng trình, ch ng h n: ng trình c p m t c a hàm bi n có d ng F ( x, y, u, + Ph u u , )  x y ng trình c p hai c a hàm bi n có d ng u u  2u  2u  2u F ( x, y, u, , , , , )0 x y x xy y2 T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p - Ph Tr ng trình đ o hàm riêng đ ng HSP Hà N i c g i n tính n u nh n tính v i n hàm t t c đ o hàm riêng c a Ví d : Ph ng trình n tính c p c a hàm bi n u  u ( x, y) có d ng  2u  2u  2u u  c( x, y)  d ( x, y) a ( x, y)  2b( x, y) x xy y x e( x, y) u  f ( x, y)u  g ( x, y) y a , b, c, d , e, f , g hàm cho 1.4 HƠm n 1.4.1 nh ngh a Gi s hai bi n x  ฀ n , y  ฀ m liên h v i b i m t ph ng trình d ng F ( x, y)  F : ฀ n  ฀ m  ฀ m m t hàm cho N u v i m i giá tr x U  ฀ n có t ng ng m t ch m t y V  ฀ m cho F ( x, y)  ta nói h th c F ( x, y)  xác đ nh m t hàm n f : U  V cho F ( x, f ( x))  v i x U + Ví d : T h th c x5  y5  ta xác đ nh đ c y   x5 Ta nói r ng y   x5 hàm n xác đ nh t h th c cho 1.4.2 nh lý v hƠm n Gi s U t p m ฀ n  ฀ m f  ( f1, , fm ) : U  ฀ m , f  C1 (U ) , (a , b) U f (a , b)  f (a1, , a n , b1, , bm )  T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i  fi  a b ( , )  Gi s M ma tr n vuông c p m  y  j  1i , j m Khi n u det M  t n t i m t t p m A ฀ n ch a a m t t p m B  ฀ m ch a b cho đ i v i b t k x  A có nh t g ( x)  B th a mãn u ki n f ( x, g ( x))  Hàm g : A  B kh vi g  a   b T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Ch M TS ng HSP Hà N i ng BẨI TOÁN V T Lụ D N N CÁC PH NG TRỊNH O HẨM RIÊNG 2.1 Ph ng trình dao đ ng c a dơy Xét s i dây nh c ng th ng theo chi u tr c 0x Khi s i dây dao đ ng, ta nghiên c u quy lu t dao đ ng c a Gi thi t s i dây có l c c ng T, tr ng l ng x p x b ng dao đ ng ph n t v t ch t c a s i dây chuy n đ ng th ng góc v i tr c 0x + l ch c a ph n t v t ch t t i m M so v i v trí cân b ng c a là: u  u ( x, t ) + T i t  t0 u  u( x, t0 )  f ( x)  2u u Gi thi t u ( x, t ) r t nh n  x x - Xét m t đo n dây b t k gi i h n b i m M 1, M2 v i hoành đ x1, x2 ฀ M là: Khi d dài c a đo n dây M x2 l     u x2 dx  x2  x1  l , x1 ฀ M v i l đ dài đo n M v trí cân b ng Do theo đ nh lý Húc T = T0 = const + G i p ( x, t ) ngo i l c tác đ ng vào dây,  ( x) t tr ng dài c a s i dây Theo nguyên lý v t lý ta có u th a mãn ph ng trình:  2u  2u  ( x)  T0  p( x, t ) t x ây ph (2.1.1) ng trình dao đ ng c a dây T Th Ng c Tuy t L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr + N u dây đ ng ch t, t c  = const ph ng trình (2.1.1) tr thành:  2u  u a  f ( x, t ) t x2 v i a T0  , f ( x, t )   ng HSP Hà N i (2.1.2) p( x, t ) + N u khơng có ngo i l c tác đ ng, ngh a p( x, t )  (2.1.2) tr thành:  2u  u a t x2 (2.1.3) - Các u ki n b sung + i u ki n ban đ u  u ( x,0)  0 ( x)  u  t ( x,0)  1 ( x) (2.1.4) x฀ + i u ki n biên  Dây h u h n: x  0, L , ta có u ki n u (0, t )  1 (t )  u (l , t )  2 (t ) t 0 (2.1.5)  S i dây n a vô h n: x0,   ta có u ki n u (0, t )   (t ) t 0 (2.1.6)  S i dây vô h n: x  ,   u ki n đ c mơ t b ng dáng u c a nghi m x   - Bài tốn tìm nghi m c a ph ng trình (2.1.1) th a mãn u ki n ban đ u (2.1.4) ( khơng có u ki n biên ) đ c g i tốn Cơsi c a ph (2.1.1); Cịn tốn v i u ki n (2.1.4), (2.1.5) đ h p c a ph ng trình c g i tốn h n ng trình (2.1.1) T Th Ng c Tuy t 10 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i + ux2  u11x2  u22 x2  u33 x2  u2  u3 + ux3  u11x3  u22 x3  u33 x3  u3 + ux1x1  u1 1x1  u122 x1  u133 x1  (u211x1  u222 x1  u233 x1 ) u3 1x1  u322 x1  u333 x1  u11  2u12  2u13  u22  2u23  u33 + ux1x2  u1 1x2  u122 x2  u133x2  (u211x2  u222 x2  u233x2 ) u3 1x2  u322 x2  u333 x2 1  u12  u13  u22  u23  u33 2 + ux1x3  u1 1x3  u122 x3  u133 x3  (u211x3  u222 x3  u233 x3 ) u311x3  u322 x3  u333 x3 1  u31  u23  u33 2 + ux2 x2  u2 1x2  u222 x2  u233 x2  (u311x2  u322 x2  u333 x2 )  u22  u23  u33 1 + ux3x3  (u311x3  u322 x3  u333 x3 )  u33 Thay vào ph ng trình (6) ta có ph ng trình d ng t c sau: u11  u22  u33  Ví d Phân lo i đ a v d ng t c ph ng trình sau: 2ux1x1  2ux2 x2  15ux3x3  8ux1x2  12ux1x3  12ux2 x3  (7) Gi i T Th Ng c Tuy t 37 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i * Phân lo i  6  Ta có A   6   6 6 15    2 Xét det( A   E )  6 2 6 6 6    11  144  324  15     9    18     2 Do ph * ng trình (6) thu c lo i Hyperbolic a v d ng t c Tìm ma tr n B cho Bt AB có d ng đ Ma tr n A t ng ng v i d ng toàn ph ng chéo ng: x12  x22  15x32  8x1x2  12 x1x3  12 x2 x3   x12  x1 (2 x2  3x3 )  (2 x2  3x3 )2   2(4 x22  12 x2 x3  x32 ) 2 x22  12 x2 x3  15x32  2( x1  x2  3x3 )2  6( x2  x3 )2  27 x32   x1  y1  y2  27 y3  y1  2( x1  x2  3x3 )   1  x2  y2  y3 t  y2  6( x2  x3 )   27   y3  27 x3   x3  y3  27  T Th Ng c Tuy t 38 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p      B      0 6 Tr ng HSP Hà N i 2    27   27     27  Th t v y, ta có     Bt AB        27 27       6       6     6 6 15       27   0 6   27   27     27  1 0    1   0 1     1  x1    t 2   x1  x2 t   B x  6   1 x1  x2  x3 3  27 27 27  + u x1  u11x1  u2  x1  u33 x1  + u x2  u11x2  u2  x2  u33 x2  + u x3  u11x3  u2  x3  u33 x3  T Th Ng c Tuy t u1  u2  u 27 u  u 27 u 27 39 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p ng HSP Hà N i 2 (u1 1x1  u12  x1  u133 x1 )  (u  1x  u22  x1  u233 x1 ) 21 + u x1x1  (u3 1x1  u32  x1  u33 3 x1 ) 27   Tr u11  u   12 + u x1x2  (u1 1x2  u12  x2  u133 x2 )  (u  1x  u22 x2  u233 x2 ) 21 (u3 1x2  u32  x2  u33  x2 ) 27   + u x1x3  2 u13  u22  u23  u  27 3 54 2 u12  1 1 u13  u22  u23  u  27 3 54 2 (u1 1x3  u12  x3  u133 x3 )  (u211x3  u22 x3  u233 x3 )  (u  1x  u32  x3  u333 x3 ) 27 3  u13  u23  u  27 3 54 + u x2 x2   1 (u2 1x2  u22  x2  u233 x2 )  (u  1x  u32 x2  u333 x2 ) 27 1 u22  u23  u  27 3 + u x3 x3  1 (u311x3  u32  x3  u333 x3 )  u33 27 27 + u x2 x3  1 (u2 1x3  u22 x3  u233 x3 )  (u311x3  u32 x3  u333 x3 ) 27 T Th Ng c Tuy t 40 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p  Tr u23  Thay vào (7) ta đ ng HSP Hà N i u  27 3 c ph ng trình d ng t c sau: u11  u22  u33  3.2.3 Ph ng trình Elliptic đ u Gi s  m t mi n b ch n thu c ฀ n Xét  ph ng trình n tính c p hai d ng: n n Lu   a iju xi x j   biu xi  cu  f i , j 1 i 1 aij  aij ( x) , bi  bi ( x) , c  c( x) hàm đo đ trình (3.2.11) đ (3.2.11) c aij  a ji Ph ng c g i Elliptic đ u  n u v i x ,   ฀ n , có b t đ ng th c hai chi u n n v   aiji j   ,  i2 2 i , j 1 v  h ng s d Ví d : Ph i 1 ng ng trình Poisson u  f ( x) , x ph ng trình Elliptic đ u Th t v y n u ch n v  ,   x  ,   ฀ n , ta có b t đ ng th c hai chi u n     2 v i    i2 i 1 T Th Ng c Tuy t 41 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Ch PHÂN LO I PH ng HSP Hà N i ng NG TRỊNH O HẨM RIÊNG TUY N TệNH C P m 4.1 Phơn lo i Xét toán t vi phân L( x, D)  a ( x) D   (4.1.1) m a ( x) hàm có giá tr ph c đo đ m t  mà   m m đ c, x ฀ n N u a ( x)  v i c g i b c c a L a th c đ c tr ng c a toán t L là: L0 ( x,  )    (1, ,n ) a ( x)    m    1 2 n n ó đa th c c a  v i h s ph thu c vào x Ta có đ nh ngh a sau: 4.1.1 nh ngh a Toán t L đ c g i Elliptic t i m x0 n u: L0 ( x0 , )  v i  ฀ n \ {0} Toán t L đ c g i Elliptic m t mi n n u Elliptic t i m i m c a mi n Gi s  m t mi n ฀ n Ph ng trình L( x, D)u  f ( x) , x T Th Ng c Tuy t 42 (4.1.2) L p K32D Toán Khóa lu n t t nghi p đ c g i ph Tr ng HSP Hà N i ng trình Elliptic mi n  n u L tốn t Elliptic mi n  Ví d * Ph  2u ng trình Laplace u    ph i 1 xi n ng trình Elliptic 2 Th t v y, ta có L( x, D)   i 1 xi n a th c đ c tr ng c a toán t L là: n L0 ( x,  )   i2   ฀ n \{0} i 1 4.1.2 nh ngh a N u (4.1.1) toán t Elliptic ph ng trình utt  L( x, D)u  f đ c g i ph ng trình Hyperbolic Ví d * Ph ng trình truy n sóng: utt  u  f ph * Ph ng trình Beam: utt  uxxxx  ng trình Hyperbolic Th t v y, ta có utt  uxxxx   utt  i 2uxxxx  Khi L( x, D)  i 4 x4 a th c đ c tr ng c a toán t L là: L0 ( x, )  i 2    Nên L(x,D) tốn t Elliptic, ph T Th Ng c Tuy t 43   ฀ \ {0} ng trình thu c lo i Hyperbolic L p K32D Toán Khóa lu n t t nghi p 4.1.3 Tr ng HSP Hà N i nh ngh a N u (4.1.1) tốn t Elliptic ph ng trình ut  L( x, D)u  f đ c g i ph ng trình Parabolic Ví d * Ph ng trình truy n nhi t: ut  u  f ph * Ph ng trình Schr o dinger: iut  u  ph " ng trình Parabolic ng trình Parabolic Th t v y, ta có iut  u   ut  iu  Khi L( x, D)u  iu a th c đ c tr ng c a toán t L là: n L0 ( x,  )  i i2   ฀ n \{0} i 1 Nên L(x,D) tốn t Elliptic, ph * Ph ng trình thu c lo i Parabolic ng trình Airy ut  uxxx  ph ng trình Parabolic Th t v y, ta có ut  uxxx   ut  i 2uxxx  3 Khi L( x, D )  i x3 a th c đ c tr ng c a toán t L là: L0 ( x, )  i 2    Nên L(x,D) tốn t Elliptic, ph - c bi t: v i tr đ i v i ph   ฀ \ {0} ng trình thu c lo i Parabolic ng h p m = đ nh ngh a phù h p v i đ nh ngh a ng trình n tính c p hai Th t v y, xét ph T Th Ng c Tuy t ng trình n tính c p hai: 44 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr n 1 a u ij xi x j i , j 1 Ph  F ( x1 , , xn1, u, u x1 , , u xn 1 )  ng trình (4.1.3) đ ng HSP Hà N i (4.1.3) c g i thu c lo i Elliptic t i m x0  ( x10 , , xn01 ) n u nh t i m đó, t t c giá tr riêng đ i v i d ng toàn ph n 1 a ng i , j 1 ij ( x0 )tit j đ u khác không d u Th c hi n phép bi n đ i không suy bi n    ( x) ta đ a ph ng trình v d ng t c: n 1  u  i i i 1  (1 , ,n1 , u, u1 , , un 1 )  n 1 Ta có L( , D)u   uii  (1, ,  n1, u, u1 , , un 1 ) i 1 L0 ( , )  12  22   n21    ฀ n1 \{0} Ph ng trình (4.1.3) thu c lo i Hyperbolic Th c hi n phép đ i bi n không suy bi n    ( x) ta đ a ph ng trình v d ng t c: n un 1 n 1   uii  (1 , ,  n1 , u, u1 , , un 1 )  i 1 đây: L(  , D )u= n  u  i 1 i i  (1 , ,  n1 , u, u1 , , un 1 ) v i L( , D) m t tốn t Elliptic t t  n1 utt  un1n1 Khi ph Ph ng trình có d ng utt  L( , D)u  f phù h p v i đ nh ngh a ng trình (4.1.3) thu c lo i Parabolic Th c hi n đ i bi n không suy bi n    ( x) ta đ a v d ng t c: T Th Ng c Tuy t 45 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i n un 1   uii  (1 , ,  n1, u, u1 , , un ) = i 1 t t = n1 , thì: n L( , D)u   uii  (1, ,  n1, u, u1 , , un ) i 1  L0 ( , )  12   n2   ฀ n1 \{0} ng trình có d ng t ng quát: ut  L( , D)u  f phù h p v i đ nh Do ph ngh a Nh v y, ph ph ng trình Hyperbolic Parabolic đ c phân lo i d a c s ng trình Elliptic Ta s nghiên c u m t s đ c m c a ph ng trình Elliptic 4.2 Ph 4.2.1 ng trình Elliptic nh lý Tính Elliptic b t bi n qua phép đ i bi n s v i Jacobian khác không Ch ng minh Gi s ph ng trình Elliptic t i m x0 Ta th c hi n phép đ i bi n s yi  gi ( x) , i  1,2, , n det gi ( x) x j Qua phép bi n đ i ph Lu  ng trình (4.1.2) chuy n thành b ( y) D u  f   m T Th Ng c Tuy t  0; g i  C m () y 46 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i   Dy  1 y1 ynn  a th c đ c tr ng c a L có d ng: n L'0 ( y, )  L0 ( x, i i 1 n gi g , , i i ) x1 xn i 1 T suy  b ( y)   m Do det đ n  a ( x)  ; k  i  m i 1 gi  nên s tri t tiêu c a L'0 ( y, ) t i m ( y0 ,0 ), 0  t xk ng v i s tri t tiêu c a L0 ( x, ) t i m t nh lí đ ng ng ng ( x0 ,0 ) cho: n g j ( x0 ) j 1 xk y0  g ( x0 ); 0 k   n0 j 4.2.2 gi xk c ch ng minh nh lý N u s chi u c a không gian ฀ n l n h n 2, b c c a ph ng trình Elliptic ch n Ch ng minh Gi s L0 ( x0 , )    ฀ n \ {0} Xét đa th c c a bi n  : P ( )  L0 ( x0 , ,2 ,3 ,0, ,0) Do L tốn t Elliptic, nên ph ng trình P ( )  khơng có nghi m th c n u 22  32  1, (2 ,3 ) ฀ Gi s s nghi m v i ph n o d ng b ng m1 s nghi m v i ph n o âm b ng m2  m  m1 Do: T Th Ng c Tuy t 47 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L0 ( x0 , ,2 ,3 ,0)  (1) m L0 ( x0 ,  , 2 , 3,0) , nên m1 (2 ,3 )  m2 (2 , 3 ) ng tròn 22  32  liên thông Do v y, m (2 ,3 ) d ch chuy n đ n m (2 , 3 ) d c theo đ ng trịn nghi m c a ph ng trình P ( )  thay đ i m t cách liên t c H n n a, n u m t nghi m c a ph ng v i (2 ,3 ) đó, (2 ,3 ) d ch chuy n trình có ph n o d kh p đ ng trịn 22  32  nghi m v n ln có ph n o d o khơng b tri t tiêu T nh n đ 4.3.1 ng ph n c m1 (2 ,3 )  m1 (2 , 3 )  m2 (2 ,3 ) , u có ngh a m  2m1 m s ch n 4.3 Ph ng nh lý đ c ch ng minh ng trình Elliptic m nh nh ngh a Gi s  m t mi n b ch n ฀ n v i biên  tu ý Xét mi n  ph ng trình L( x, D)u     , m D a ( x) D  u   b ( x) D u   m D f ( x)   (4.3.1) m   (1, , n ),   (1, , n ), a , b hàm đo đ c b ch n  v i giá tr ph c, f  L2 () Gi s v i    ta có a  a  a  a ( x) liên t c  Ph c g i Elliptic m nh mi n  n u v i x  ng trình (4.3.1) đ có b t đ ng th c Re     T Th Ng c Tuy t m a ( x)       48 2m ,   ฀ n , L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p v i  h ng s d Tr ng 4.3.2 Các u ki n t ng đ ng ng trình (4.3.1) mi n  Khi ta có u ki n sau t Xét ph đ ng HSP Hà N i ng ng: i) Re    a ( x)       2m ,   ฀ n ,   const     a ( x)       2m ,   ฀ n ,   const     a ( x)     0,   ฀ n \ {0}    a ( x)     0,   ฀ n \ {0}  ii) Re m  iii) Re  iv) Re  m m m T Th Ng c Tuy t 49 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i K T LU N Trên phân lo i ph tính c p hai t ng quát h n tr ng h p c p m Trong khóa lu n có trình bày m t s c s đ phân lo i ph v n r t nh so v i l ng trình đ o hàm riêng n ng trình đ o hàm riêng, nhiên ng ki n th c môn h c ph ng trình đ o hàm riêng Khóa lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m vi c nghiên c u h c t p mơn ph ng trình đ o hàm riêng Do l n đ u làm quen v i công tác nghiên c u, th i gian n ng l c b n thân h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n sinh viên T Th Ng c Tuy t 50 L p K32D Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i DANH M C TẨI LI U THAM KH O Nguy n Th a H p (2006), Giáo trình ph ng trình đ o hàm riêng, Nhà xu t b n đ i h c qu c gia Hà N i TSKH Nguy n M nh Hùng (2002), Ph ng trình đ o hàm riêng ph n 1, Nhà xu t b n giáo d c TSKH Nguy n M nh Hùng (2008), Ph ng trình đ o hàm riêng n tính, Nhà xu t b n đ i h c s ph m T Th Ng c Tuy t 51 L p K32D Toán ... trình bày m t s c s đ phân lo i ph v n r t nh so v i l ng trình đ o h? ?m riêng n ng trình đ o h? ?m riêng, nhiên ng ki n th c m? ?n h c ph ng trình đ o h? ?m riêng Khóa lu n đ c th c hi n v i mong mu... toán v t lý d n đ n ph ng trình đ o h? ?m riêng  Ch ng 3: Phân lo i ph ng trình đ o h? ?m riêng n tính c p hai  Ch ng 4: Phân lo i ph ng trình đ o h? ?m riêng n tính c p m T Th Ng c Tuy t L p K32D... h? ?m riêng th i c a h? ?m f t i x hay đ o h? ?m riêng theo bi n xi c a h? ?m f t i x ký hi u Di f ( x) hay f ( x) xi ho c fxi ( x) N u h? ?m f có t t c đ o h? ?m riêng Di f ( x) (i  1,2, , n) t i m