Luận văn thạc sĩ bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

Lí d o ch ọn đ ề tà i Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.. M ụ c đ ích n g h iên cứu Trình bày mộ

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, ngưòi thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn

th àn h luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lòi cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cỏ vũ, động viên để tôi hoàn th à n h luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

P h ạ m T h u H iền

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Hà

Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i t o á n

M ục lục

1.1 Một số không gian hàm 3

1.1.1 Không gian L 2 3 1.1.2 Không gian cm ( Í 7 ) 3

1.1.3 Không gian Sobolev w™ ( í ì ) 3

1.1.4 Không gian ổễm 4

1.1.5 Không gian ổễ 4

1.1.6 Không gian 5? 4 1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 5

1.2.1 Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm r i ê n g 5

1.2.2 Siêu mặt trong không gian R n 5

1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm r i ê n g 6

1.2.4 Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc 7

1.3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 9

1.4 Định lý H o l m g r e n 13

2 T ín h đ ặ t đ ú n g đ ắ n củ a bài to á n C a u ch y 16

2.1 Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy 162.2 Tính giải được của bài toán C a u c h y 172.2.1 Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán

Cauchy 172.2.2 Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy 202.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 262.3.1 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 262.3.2 Miền phụ t h u ộ c 352.4 Phương trình hyperbolic với hệ số h ằ n g 392.4.1 Định lý về sự tồn tại n g h i ệ m 392.4.2 Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với

tốc độ hữu hạn .422.4.3 Phương trìn h truyền s ó n g 45

M ở đầu

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn

đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nhà toán học

H adam ard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếu tố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính tắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trình hyperbolic

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Trình bày một cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bài toán Cauchy

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệ giữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy

- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh

- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính

Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

6 Đ ó n g g óp củ a đ ề tà i

Luận văn là một tài liệu tỏng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ

Đ ị n h n g h ĩ a 1.1.3 Không gian w™ (íi) là không gian bao gồm tấ t cả

các hàm u (s) € L 2 (íí), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp

hữu hạn:

a, |a | < ra thuộc L 2 (íì) và được trang bị chuẩn

IMIvv^n) = 1 / 1-^ u {x )\ d x Ị

1 1 4 K h ô n g g ia n ổềm

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 Không gian ổễm là không gian bao gồm tấ t cả các

hàm f ( x ) thỏa mãn D af ( x ) ( |a | < ra) bị chặn và liên tục trong M"

\ f i x )\m = s u p \ D af { x ) \

, - x€Rn

\ a\ <m

1 1 5 K h ô n g g ia n ỗễ

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Không gian ỗễ hay ỗễ°° là không gian bao gồm toàn

bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tục trong M"

1 1 6 K h ô n g g ia n y

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 6 Không gian 5? là không gian bao gồm t ấ t cả các hàm

(/? E c°° sao cho với mỗi k , a tù y ý f l + |s |2) D aíp{x) bị chặn trong R n

1.2 B à i to á n C au ch y cho ph ư ơn g tr ìn h đ ạo hàm

riên g

1 2 1 B à i t o á n C a u c h y c h ín h t ắ c ch o p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m

r iê n g

Ta biểu diễn một điểm thuộc Kn+1 th àn h ( x , t ) = (xi, , x n, t ) và một

điểm thuộc M" th àn h X = (xi, , x n) Toán tử vi phân cấp m dạng sau

Khi X G s , vectơ ípx (x) 7^ 0 và là vectơ pháp tuyến của mặt cong s Do

là vectơ pháp tuyến đơn vị trên s

1 2 3 B à i t o á n C a u c h y t ổ n g q u á t ch o p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m

r iê n g

Cho toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính

Cho U q , , um- 1 là các hàm số cho trước xác định trên s, trong lân cận

của X q Trong trường hợp này, ta ký hiệu ũ/ = (U q , U\, , u m- 1) là dữ kiện

ban đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện

Cho / xác định trong lân cận u của X q (é S), và cho Ü/ thuộc một lân cận xác định của X o trong s.

Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm

đó vectơ

(1.6)

(1,7)

Ta chú ý các số hạng s trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc

(1) Nếu h(x, ipx) Ỷ 0 trong lân cận của X = X q ,thì ta chia cả hai vế của (1.11) cho h(x, Lpx), tức là

n \ v \ ^ m , u n — 1

Ta gọi (1.12) là dạng chuẩn tắc của (1.8) Trong trường hợp này, điều kiện

ban đầu có thể được viết lại th àn h

thì ta gọi s là một siêu mặt không đặc trưng (để ngắn gọn, ta gọi ‘mặt

không đặc trưng’) hay đa tạp không đặc trưng cho toán tử a ( x , d / d x )

1.3 Đ ịn h lý C a u ch y -K ovalevsk aya

Xét toán tử dạng chính tắc:

(1.13)

\v\ + j ^ m , j ^ m - 1

Đ ị n h lý 1 3.1 (Cauchy-Kowalewski) Cho các hệ số của L là các hàm

f(x,t) giải tích trong ư Gọi ũ/ là các giá trị ban đầu và là hàm giải tích trong một lân cận xác định V của gốc tọa độ trong không gian X Khi đó,

u(x,t) xác định trên w, và

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u ( x , t )

là 0 Đầu tiên, nếu u ( x , t ) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì

u ( x , t ) được xác định một cách duy nhất Trên thực tế, ta có thể chứng

minh rằng khai triển Taylor của u ( x , t ) tại gốc tọa độ được xác định một

cách duy nhất Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) th àn h

trong đó otj(x, í; £) là đa thức bậc (ra — j ) có các hệ số giải tích trong lân cận ư của gốc tọa độ Bởi vì giá trị ban đầu của u ( x , t ) là 0 theo giả thiết,

Cho nên, bằng đệ quy theo j , ta kết luận cv j có thể được biểu diễn th àn h

một đa thức với các hệ số dương trong (1) và (2)

Tiếp theo, ta chú ý tính hội tụ của dãy hàm (1.16), để làm được điều

này, ta sử dụng chuỗi hàm trội, mà ta định nghĩa như sau: Ta nói F ( x , t )

là chuỗi hàm trội của f ( x , t ), ta hàm ý F ( x , t ) giải tích tại gốc tọa độ và các hệ số C v j của khai triển Taylor của F ( x , t ) lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt đối của các hệ số tương ứng cu j của khai triển Taylor của f ( x , t ) , tức là

CVj ^ I <Vj I

Ta mở rộng định nghĩa sang trường hợp đa thức khả vi Bằng cách nói

A ( x , í; £) là chuỗi hàm trội của a ( x , í; £) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ số

ứng của a theo nghĩa xác định như trên Đối với (1.15), ta định nghĩa các chuỗi hàm trội A j ( x , t] £), F ( x , t) của O í j ( x , t ] £ ) , f ( x , t ) một cách tương

ứng

Xét phương trình

Bây giò ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữ

liêu Cauchy dương (ta hàm ý tấ t cả w ( x , 0), -^-w(x, 0), — — w ( x , 0)

có khai triển Taylor với hệ số không âm) là giải tích trong lân cận của gốc

tọa độ, thì w là chuỗi hàm trội của u Do đó u ( x , t ) là giải tích tại lân cận,

cho nên, tính tồn tại nghiệm của phương trình được chứng minh

Bây giò, ta giả sử t ấ t cả các hệ số của otj(x, í; £) và f ( x , t ) là giải tích trong \xị\ ^ r (i = 1 , 2 , , ri), |t| < r Cho t ấ t cả các hệ số của

Oij(x, í; £) < M , và cho f ( x , t ) < d Trong trường hợp này tấ t cả các hệ

số của Oij(x,t]Ç) có chuỗi hàm trội

là một trong các chuỗi hàm trội, với P > 1 (mà ta sẽ xác định sau) Do

đó, tồn tại các đa thức thích hợp ồ(£0,£i, ■ ■ ■ ; £n); c (£ci; £i ; ■ ■ ■ ;£n)

trong đó b(p) = b(p, 1, , 1) và b nhiều nhất là bậc (ra

phương trình có thể được viết lại là

Bây giò, ta chọn p đủ lớn sao cho b(p)p~m < 1.

Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện ban

đầu u>^(0), (j = 0 , 1 , , ra — 1), luôn có một nghiệm chính quy duy

nhất trong |s| < 1 — b(p)p~m Hiển nhiên, ui(s) có khai triển Taylor với

hệ số dương Do vậy, nếu ta xét

Do đó, (1.18) chính là một khai triển hội tụ trong (*) Vì vậy, nó là một

C h ú ý Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửa không gian

Trong trường hợp này, ta giả thiết u ( x , t ) xác định trên D'e = D e n { t ^ 0}

và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.

Chứng minh Ta định nghĩa một loại phép biến đỏi đặc biệt mà cần thiết

trong phần tiếp theo Phép biến đổi Holmgren là phép biến đỏi được xác định bởi x'j = X j (j = 1 ,2 , , n ) , t ' = t + xỊ + • • • + x„, và ánh xạ từ

nửa không gian t ^ 0 vào miền = {(x ' , t ') G M.n+1]t' — \x'\2 ^ 0} Lưu

ý, hàm u ( x ' , t ' ) bằng 0 trên siêu mặt, t' — \x'\2 = 0 sau phép biến đổi trở

th àn h đạo hàm bậc m của nó.

Do đó, nếu ta mở rộng hàm u bằng cách đặt giá trị bằng không của nó

ngoài thì hàm được mở rộng có giá thuộc và là một hàm lớp C m Các

toán tử vi phân được biến đổi th àn h các toán tử vi phân khác trong một

lân cận đủ nhỏ, ta viết (x , t ) thay vì (x ' , t ') Khi đó, ta có phương trình

mới

trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Í7.

Bây giò ta định nghĩa một toán tử quan trọng Một toán tử được gọi là

toán tử chuyển vị nếu nó th ỏ a mãn

Lưu ý, ở đây có dạng như (1.11), và các hệ số của v (x , t ) giải tích

Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện

Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u ( x , h ) = 0, do đó

u ( x , t ) = 0, trong (x, t) G n {0 ^ t ^ ho} Nếu t ^ 0, thì ta thay t bởi

— t.

Đ ị n h lý 1.4.2 (Calderón) Cho tất cả các hệ số của a Uj ( x , t ) ( H + j = ra)

bậc cao nhất của toán tứ L trong (1.13) là thực và thuộc cl+ơ(<7 > 0)

trong lân cận ư của gốc tọa độ (ơ là một số dương tùy ý), và cho các hệ số khác bị chặn trong Ư Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưng của L tại gốc tọa độ

p( A ,Í) = A™+ x ; a„.,-(0,0)C V = 0 (1.21)

\v\ + j = m

CÓ các nghiệm Aị(£), (z = 1 , 2 , , ra) phân biệt với mọi £ G M", £ Ỷ 0; trong £ thì kết luận của Định lý l Ậ l đúng.

2.2 T ín h g iả i đư ợc củ a b ài to á n C au ch y

2 2 1 K h á i n iệ m v ề t ín h g iả i được đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b à i to á n

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 1 (Tính giải được địa phương) Ta nói phương trình

(2.2) là giải được địa phương tại gốc tọa độ trong c, nếu với bất kỳ

f ( x , t ) G C ( Ư ) và với mọi dữ kiện ban đầu \I/ = ( ư o ^ ) , , íim- i ( i ) ) G c ,

tồn tại một lân cận D ự của gốc tọa độ, u ( x , t ) G C { D ụ m } ) thỏa mãn

Lịu} = / với ( x , t ) G -D(/$) và

( ỡ í ) u ^x ’ = x G D{ỉì9) n ^ = ơ = 1, ■ ■ ■, m - !)■

Điều kiện ta áp dụng ở trên ở dạng khá mạnh, ta có thể sử dụng một định nghĩa yếu hơn như sau

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 2 Ta nói phương trình (2.2) giải được địa phương tại

gốc tọa độ trong C m, nếu với bất kỳ f ( x , t ) G C ( u ) và với mọi giá trị ban đầu $ G c , tồn tại một lân cận D ụ ty) và u là hàm khả vi liên tục m lần trong D ụ n {í > 0} và thỏa mãn L u = / , và trong D ự n {í ^ 0}, u

là hàm khả vi liên tục (ra — 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0.

Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩa trong Định nghĩa 2.2.2

V í d ụ 2 2 1 (Hadamard) Bài toán Cauchy cho phương trình

A u ( x , V, z) = ——11 H— ——u H— ——u = 0

với giá trị ban đầu \I/ trên m ặt phẳng z = 0 không giải được địa phương

tại gốc tọa độ

Để chứng minh điều này, ta xét giá trị ban đầu \I/

Ngoài ra, giả sử một nghiệm u ( x , y , z ) tồn tại theo nghĩa trong Định nghĩa 2.2.2, và u xác định trên B ị = {(£, y, z); X2 + y 2 + z 2 < ổ2} với ổ

đủ nhỏ, và z ^ 0.

Trong trường hợp này, nếu đặt

thì ủ là hàm xác định trên B ị thỏa mãn A ủ = 0 trong B ị theo nghĩa hàm

suy rộng Do đó, ũ ( x , y, z) là một hàm giải tích của (x, y, z) trong B ị như

ta sẽ chứng minh sau này ũ ( x , y, 0) ( = U q ( x , y)) cũng là một hàm giải tích

của (x , y ).

Cuối cùng, từ điều trên, với Uo(x,y) nếu ta chọn một hàm sao cho hạn

chế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bài

toán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tại

gốc tọa độ

Ta chứng minh A ữ = 0 trong Bỹ Đây chính là định lý cổ điển của

nguyên lý phản xạ Schwartz Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của

Khi đó, ta có thể thấy rằng ũ ( x , y , z ) G C ( B ß ) theo [1] (Hệ quả của Định

lý 3.22), tức là ũ là hàm giải tích và điều hòa.

Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: Bất kỳ hàm điều hòa xác định trên tập mở Í7 c M" là giải tích Đầu tiên, ta có

trong đó, ta sử dụng tính chất E { x ) * A (a ií) = (Ai?(a;)) * (ait) = ỗ * (ait)

Từ đây, ta thấy u ( x ) là giải tích trong lân cận của X o , trong đó X o là tùy

ý Do đó, u(x) là giải tích trong íì.

Nếu n = 2, ta sử dụng

E{x) = -ầlogịị

để thu được kết quả tương tự

Ta sẽ kết thúc mục này bằng chú ý về sự tồn tại nghiệm toàn cục Ta

đưa ví dụ mà chỉ ra kết quả rằng nếu các hệ số của toán tử L, f và giải tích, thì theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại một nghiệm địa phương, mặc dù, trong trường hợp tỏng quát, nghiệm địa phương không thể mở rộng th àn h một nghiệm toàn cục

V í d ụ 2 2 2 (Hadamard) Cho L = (ỡ2/ỡ£ 2) + ( d 2/ d y 2) trong K2 Trong

trường hợp này,

u { x , y ) = R e ^ — = - — — (o > 0)

z — a {x — a)2 + y 2

thỏa mãn L\u] = 0 Hiển nhiên, giá trị ban đầu u{Q,y) và {d / d x) u { Q , y )

là giải tích đối với y Nhưng, do tính kỳ dị của nghiệm tại (a, 0), ta không thể coi nghiệm này là nghiệm toàn cục cho phương trìn h L[u] = 0 trong

X ^ 0 M ặt khác, nghiệm của A u = 0 là giải tích, nên nghiệm của phương trình L[u] = 0 với dữ liệu ban đầu cho trước tại X = 0 không là một

nghiệm trong nửa không gian X ^ 0

2.2.2 T ín h g iả i được đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b à i t o á n C a u c h y

Trong mục trước, ta đã chứng minh rằng tính giải được của bài toán

Cauchy không được thỏa mãn nếu L = A M ặt khác, trong mục này, ta sẽ

thu được điều kiện cần của tính giải được từ quan điểm tổng quát Trong phần tiếp theo, ’Tính giải được địa phương’ được hiểu theo nghĩa của Định nghĩa 2.2.1 Trước tiên, ta trình bày kết quả thu được bởi Lax

M ện h đề 2 2 1 Cho các hệ số của (2.2) là giải tích Giả sứ bài toán

Cauchy liên quan đến L là giải được địa phương tại gốc tọa độ Trong trường hợp này, tồn tại ỗ(> 0); và với bất kỳ dữ kiện ban đầu ^ =

('Uo(íe), , u m- i ( x )) G c , tồn tại duy nhất một nghiệm u ( x , t ) G C m(Ds)

thỏa mãn

( d V

L u = 0 trong D s , 1 ^ - 1 u ( x , 0) = U j ( x ) , X G D s n { t = 0}.

C h ú ý Ta vừa đưa định nghĩa D ị trước định lý của Holmgren, tức là

D ị = {(£, t ) G R n+1 : \x\2 + |t| < ổ} Trong định nghĩa của tính giải được

địa phương, mỗi miền giá trị của một nghiệm phụ thuộc giá trị ban đầu

í r Mặt khác, bỏ đề trên nói rằng mọi u tương ứng với ty có chung miền

Ta thấy A k p đối xứng, tức là, nếu ty G A k p thì — ty G A k p, và lồi.

Từ giả thiết của tính giải được địa phương, ta có L u , = n c ( R - )

kp

Ngoài ra, A k p cũng đóng (ta sẽ chứng minh sau) Cho tyj G A k p —> ^0 trong n U j ( x , t ) tương ứng với tyj tạo th àn h một tập bị chặn của

Thêm vào đó, u jp( x , t ) ->• u 0(x, t) trong W [2Ị ^ m {Dgk) Để thấy A kjp đóng,

ta tiến hành như sau:

Theo Định lý phạm trù của Baire (xem [1], Định lý 2.2), một trong

A k p , A ko p 0 chứa hình cầu mở của n C ( I " ) M ặt khác, bởi vì A ko p 0 đối xứng và lồi (như một tập), nó chứa một lân cận nhất định của gốc tọa

độ Cho nên, nếu ta viết ty là giá trị ban đầu, thì với A(y^ 0) đủ nhỏ, \ t y thuộc A kapa Do đó, một nghiệm