B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI P H Ạ M T H U H IỀ N BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổN G QUÁT L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC H À N Ộ I, 2015 B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI P H Ạ M T H U H IỀ N BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT Chuyên ngành : Toán giải tích M ã số : 60 46 01 02 LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ T IEN H À N Ộ I , 2015 ngoạn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, ngưòi thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lòi cảm ơn đến gia đình, bạn bè cỏ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả P h m T h u H iền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B i t o n C a u c h y phư n g trìn h đạo h m riên g tu y ế n tín h tổng q u t " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả P h m T h u H iền i M ục lục M đầu 1 C ác kiến th ứ c chuẩn bị 1.1 1.2 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L 1.1.2 Không gian cm( Í ) 1.1.3 Không gian Sobolev w™ ( í ì ) 1.1.4 Không gian ổễm 1.1.5 Không gian ổễ 1.1.6 Không gian 5? Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 1.2.1 Bài toán Cauchy tắc cho phương trình đạo hàm r i ê n g 1.2.2 Siêu mặt không gian R n 1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm r i ê n g 1.2.4 Đưa toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng dạng tắc 1.3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 1.4 Định lý H o l m g r e n 13 T ín h đ ặt đ ú n g đắn củ a to n C au ch y 16 ii 2.1 Khái niệm tính đặt đắn toán Cauchy 16 2.2 Tính giải toán C a u c h y 17 2.2.1 Khái niệm tính giải địa phương toán Cauchy 17 Tính giải địa phương toán Cauchy 20 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu 26 2.2.2 2.3 2.4 2.3.1 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu 26 2.3.2 Miền phụ t h u ộ c 35 Phương trình hyperbolic với hệ số h ằ n g 39 2.4.1 Định lý tồn n g h i ệ m 39 2.4.2 Điều kiện cần tượng truyền nhiễu với tốc độ hữu hạn 2.4.3 .42 Phương trình truyền s ó n g 45 K ết lu ận Tài liệu th a m khảo 50 51 M đầu Lí chọn đ ề tà i Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính vấn đề quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nhà toán học Hadamard đưa khái niệm đặt chỉnh toán gồm ba yếu tố: tồn nghiệm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu Luận văn trình bày toán Cauchy tắc trình bày mối quan hệ ba yếu tố toán đặt chỉnh Một lớp phương trình quan tâm nhiều hơn, loại phương trình hyperbolic M ụ c đích n gh iên cứu Trình bày cách hệ thống vấn đề: toán Cauchy tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh toán Cauchy lớp phương trình khác nhau, tính giải toán Cauchy N h iệm vụ n gh iên cứu Trình bày điều kiện cần đủ tính đặt chỉnh mối quan hệ ba yếu tố đặt chỉnh toán Cauchy Đ ố i tư ợ n g p h ạm vi n gh iên cứu - Tính đặt chỉnh toán Cauchy - Điều kiện cần đủ tính đặt chỉnh - Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic P h n g pháp n gh iên cứu Các phương pháp Giải tích hàm tuyến tính Các phương pháp định lượng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đ ó n g góp củ a đ ề tà i Luận văn tài liệu tỏng quan lý thuyết đặt chỉnh toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp Chương Các kiến thứ c chuẩn bị 1.1 1 M ột số k h ôn g gian hàm K h ô n g g ia n L Đ ị n h n g h ĩa 1.1.1 Giả sử Í7 c c tập mở M" Họ hàm u : íì —> c gọi không gian L (íì) đo có chuẩn sau hữu hạn: 1 K h ô n g g ia n cm(íì) Đ ị n h n g h ĩa 1.1.2 Không gian C m (íi) không gian bao gồm hàm khả vi, liên tục đến cấp m miền íì 1 K h ô n g g ia n S o b o le v w™ (íì) Đ ị n h n g h ĩa 1.1.3 Không gian w™ (íi) không gian bao gồm tấ t hàm u (s) € L (íí), cho tồn đạo hàm suy rộng cấp a, |a | < thuộc L (íì) trang bị chuẩn ( ỉ ll2 \ 1/2 IMIvv^n) = / 1-^ u {x )\ d x Ị \ Q Bây giò ta có: B ổ đ ề 2.3.4 Giả sử mặt giải tích cận (a^o, to) G s xác định = lân s Dồng thời, giả sứ ự>(x, t ) thỏa mãn n vỉ > (2-26) i=1 Mặt khác, u(x, t ) G C m xác định lân cận định (a^o, to) L[u] = với liệu Cauchy s , u(x, t) = lân cận định (Xo, to) Chứng minh Ta cần chứng minh (2.24) rút từ (2.26) Từ m p(A,í) =II(A -Mf)) i=1 định nghĩa Amax giá trị số hạng dương A > Amax|£| Ngoài ra, tư Amin = mf Aị(£) Amax, p(A,^) ^ neu A Amax|^| Do đo, p{A , Ỷ A2 > A^ox|£|2 Đặt i = tpXì A = (fit ta có (2.26), (2.24) □ Từ Bổ đề (2.3.4) ta có định lý sau: Đ ị n h lý 2.3.3 Giả sử to > 0, cho D phần nón lùi: { ( s ,í ) : \x — Xoi = Amax(í0 — t )} có (so;ío) chóp thỏa mãn t ^ 37 Ta thấy u(x, t ) G C m xác định D thỏa mãn L \ u ] = 0, ( < ẵ ) U^X' °) = ° ’ x G D n {* = °} = 0, , , m - ), tức giá trị ban đầu u t = 0; u(x, t) = D Cụ thể, u ( x , t ) liên tục D u(xQ,to) = Chứng minh Cho Sff (0 < ô ^ A^axtg) siêu diện giải tích xác định phương trình ip(x, í; 6) = A^ax(t — to)2 — \x — X q \2 — = (t < to) thuộc ô Hiển nhiên u Sệ D D, nghĩa D ’lan r a ’ Sệ Ngoài ra, ta có TỈ E = Amax(*-*o)2 = \ t Iì \x ~ æo|2 \x - x ữ\2 + e max k - o ; o |2 max Sff Do đó, trường hợp điều kiện (2.26) thỏa mãn Do đó, với Sệ, ta áp dụng Bổ đề 2.3.4 Chính xác hơn, liệu Cauchy u Sg0 định 0, với số £ đủ nhỏ, toàn Sệ miễn \ô — Ôq\ < £ (trong trường hợp ta xét u(x, t ) nằm nón lùi mở rộng từ t ^ 0) Do đó, với ổ (> 0) cố định, liệu Cauchy Sệ với « U Ç Aị &J l Do đó, đạo hàm tới cấp m Sỹ Tập giá trị tập mở Mặt khác, hiển nhiên tập đóng, tập trùng với tập tấ t đoạn [ố, A^axíg] Nhưng ố nhỏ tùy ý, u(x, t) = D □ C h ú ý Nếu Amax = 0, định lý với nón lùi: {(æ,i) G R n+1 : £(to — t) > \x — £o|} với £(> 0) tùy ý Định lý tính nghiệm chứng minh Định lý 2.3.3 Thực tế, Định lý 2.3.3 mạnh hơn, ta minh họa tình sau: Cho truyền nhiễu lân cận ban đầu, xử lý truyền nhiễu theo t 38 biểu diễn (2.19)(Định lý 2.3.2) Định lý nói tốc độ truyền nhiễu lớn Amax Ta tiếp tục sau: Cho giá giá trị ban đầu í ' nằm V, lân cận ban đầu Giá trị u (X, t ) (a^o, to) (to > 0) xác định giá trị \I/ m ặt cầu, |rr — Xo I < Amaxto, tức phần giao phẳng ’ban đ ầ u ’ nón lùi có (a^o, to) chóp Nếu m ặt cầu, |x — Xo I < Amaxto không cắt V, \I/(a;) = m ặt cầu, u(xo,tũ) = Điều giá u ( x , t ) nằm diện tích quét nón phải c , c = {(a;, t); (t > 0),Am« í > |rc I}, chóp tiến đến giá \I/(a;), tức theo ngôn ngữ giải tích véc tơ, nằm tập s u p p [\&] + c Hơn nữa, giá u (X , t)nằm lân cận c Điều tốc độ truyền nhiễu lớn Amax Kết hợp lại ta có: Đ ị n h lý 2.3.4 Ta giả thiết Định lý 2.3.2, giả sứ giá giá trị ban đầu ^ tập bị chặn R n Trong trường hợp này, giá nghiệm u L[u] = t = t (t > 0), nhận giá trị ban đầu ^ t = thuộc \x — £| < Amaxt ^ nghĩa truyền nhiễu thực toán tử L truyền với tốc độ hưu hạn không vượt Amax Amax hiểu theo nghĩa công thức (2.25) 39 2.4 P h n g trìn h h y p erb o lic với hệ số 2.4.1 Đ ịnh lý tồn nghiệm Nhắc lại kết có Đầu tiên, từ Định lý 2.2.3, điều kiện cần để toán Cauchy phương trình (2.2) giải địa phương nghiệm đặc trưng Aị (X, t, £) giá trị thực với £ (X, t ) = (0,0) Trong trường hợp, toán tử L có hệ số không đỏi điều kiện cần (2.9), điều kiện Hadamard, vậy, trường hợp điều kiện đủ (Định lý 2.3.2) nữa, tồn nghiệm toàn cục chứng minh Khi đó, theo Định lý 2.3.4, tượng điều chỉnh phương trình có tốc độ truyền hữu hạn, nghĩa truyền theo dạng sóng Ta phát biểu định nghĩa quan trọng sau Đ ị n h n g h ĩ a 2.4.1 Một toán tử với hệ số L\ (2.27) thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.9) gọi toán tử hyperbolic Đ ị n h n g h ĩa 2.4.2 Một toán tử Lp với hệ số số cấp m toán tử hyperbolic mạnh toán tử L có từ kết phép cộng tùy ý số hạng bậc nhỏ m với Lp hyperbolic Đ ị n h lý 2.4.1 Điều kiện cần đủ để toán tử Lp hyperbolic mạnh nghiệm Aị(£) p R í ) = r + a rJe AJ = (2.28) \t/\+j = m nghiệm thực phân biệt với £ E R n( ^ 0) tùy ý Chứng minh (Điều kiện đủ) Giả sử nghiệm (2.28) nghiệm thực, phân biệt Trong trường hợp này, với a trj(\ư \+ j < —1), 40 nghiệm Aị(£) p(A,ĩ£) + Y1 a U!j{ i £ Ỵ \ j = (2.29) \i>\+j 2, ta chọn c cho có A'(r) có phần thực dương, nghĩa là, với số ko cho trước, ReA'fc (r) > C qTp~1 với r > To- Do đó, ReAfc0 (r) > C qTp~1 với r > ToMặt khác, ta chọn bu cho c = bu(i^*Ỵ cho \u\ = m —l nghiệm phương trình (2.29) không thỏa mãn điều kiện Hadamard Điều mâu thuẫn, ’Aị (£) phân biệt’ điều kiện cần để L p hyperbolic mạnh □ Đ iề u k iệ n cầ n đ ố i với h iệ n tư ợ n g tr u y ề n n h iễ u với t ố c độ hữu hạn Cho toán tử L M55© ° + £ °- (Ế) (ẳ) ° = ju ( x , t ) ánh xạ liên tục từ C°°{Rn) đến c ° ° , (t > 0) Mặt khác, tính chất không hữu dụng 1^1 + j > m + Thực tế, ta viết: đây, c tị ^ ) đa thức bậc m,j Theo giả thiết, tồn số jo cho trước m,j0 + jo > m + Trong trường hợp này, tồn số hữu tỷ k(> 1) k j + rrij < k m (j = 0,1, 2, , m — 1) Như vậy, với j cho trước phương trình cố định Ta viết phần bậc k ( m — j ) Cíj(£) hj(£) Xét: p(Ằ,) - hị K o ) ] * '1 = 3= Cho r —> +00 ta thấy Qij (rCo) —hj (rCo) = o (r fc(m-j)) Tồn r 0(> 0) r > To nghiệm A* (rCo) ( 2.34 ), ReA* (rC o) > (2.35) CT k với c số dương thích hợp Thì ta ý u T(x, t ) = exp{z.rCo + t\* (rCo) } (2.36) Lấy R tùy ý, từ |A* (rCo)l < —> M T k ta thấy sup < M ' r ^ +kj exp ( r R ) , (j = 0,1, 2, , m — 1) Mặt khác, với Í q(> 0), từ (2.34) ta IU ị (0, to)| > exp(cí0Tfc) (k > ) Điều r —> +00 ánh xạ biến ^(a;) G C ° ° (R n) thành u (x,t) E c°°(t > 0) không liên tục họ nghiệm (2.32) Đ ị n h n g h ĩ a 2.4.3 Trong (2.32) (các hệ số biến thiên), cấp đạo hàm xuất vế phải thỏa mãn \v\ + j < m ta gọi đạo hàm Kovalevskians Định lý sau mô tả điều kiện cần phương trình có tốc độ lan truyền hữu hạn: Đ ị n h lý 2.4.2 Nếu trình điều khiển phương trình (2.32) với hệ số số mà có tốc độ truyền hữu hạn, đạo hàm xuất (2.32) Kovalevskian 45 P h n g tr ìn h tr u y ề n só n g Trong mục này, ta nghiên cứu vài ví dụ đặc trưng liên quan đến lý luận Ta quan sát phép biểu diễn nghiệm cụ thể phương trình sóng d2 Õv u — A u = 0, (2.37) u —Au = / (2.38) d2 dè sử dụng biến đỏi Fourier Đầu tiên, từ (2.15) ta tìm nghiệm (£,í) + tĩ2|£|2v (£ , í ) = thỏa mãn « ( í , 0) = 0, (£, 0) = Nghiệm cho V (í,0 = sin 27Ĩ |£|1 2*l f l Ta coi t tham số, đặt E x (t) = ẵE sin 27Ĩ | f |1 2^1 Từ Định lý (2.3.2), U\ E c Ui(x, 0) = E x (t ) * Ui (z) (x) nghiệm (2.37) thỏa mãn i ( z ,0 ) = 0, d -Eui (z ,0 ) = Ui ( z ) (2.39) 46 Tiếp theo, ta thấy d E x (t ) / d t thỏa mãn d2 _ ~^2ị^x (0 = A E X (t) —»0 (t —>0) Uo ( x , t ) = -¡~EX (í) (x) * Uq tít (x) nghiệm (2.37) thỏa mãn d Uũ(x,0) = U ũ ( x ) , gịUũ(x, 0) = Ta sử dụng kết để chứng minh định lý sau: Đ ị n h lý 2.4.3 Giả sử kiện ban đầu u {x, 0), ^ u {x, 0)^ = (u0 (x ) , Ui (x)) G c vế phải f (x, t ) G c Khi tồn nghiệm u (X, t ) = ị -, E x (í) (t ) * u (x ) + E x (t (í)) * Ui (x) (x) tít (x) t + Ị E x (t - r ) * f ( x , r ) d i (2.40) (2.38), E x (t) định nghĩa (2.39) Chính xác hơn, t > E x (t) mô tả sau: (1) Khi n = 1, E Jt)= ị x{ ) (M < ọ (|a;| > í) (2.41) J r (M < t) E x (t) = \ 2^ 1x1r (|a:| > t) (2.42) (2) Khi n = (3) K h i n = £^x ( t ) = K’ - — ô\x \-t tĩí 11 (2.43) 47 Chứng minh Ta chứng minh (2.41) Giả sử ^ (p) = sin 27Ĩ/0Í/27Ĩ/0 Ta có -¥00 -¥00 sin 27xpt (r) = / ty (p) cos {2'npr) dp = J — cos (27Ĩpr) dp 2tĩọ 0 —>oo sin 27ĩ(t + r)p sin 27ĩ(í — r)p Ị ^ ịr< t) (r > í) tt Ta chứng minh (2.43) Đầu tiên, ta thấy từ J ị {x ) = \ / ( 2/ 7ĩa;)sinx, ta có A E x {t) = — lim / sin(27ĩpt) sin(27ĩpr)dp 7rr A-f+oo J 27 ĩ(r — t ) A sin f sin 27ĩ(r s i n27 2ìĩ(r + t ) A = - lim - -+ - ^ -2ĩĩr A^+oo L _ 2iĩ 2i r r ¿11+00 ĩí(rr — — t) t) 22 tĩ ĩ(r + t) Theo Định lý Riemann-Lebesgue ([1], Định lý 1.3), số hạng thứ hai tiến đến Ả -+ + 00 Số hạng thứ tiến đến ịỏr-t theo phương trình tích phân Đirichlet với t > Do đó, ta có Ex{t) — 47ĨÍ Jr —t Sử dụng kết (2.41), (2.42), (2.43), ta viết lại kết (2.40) theo dạng cụ thể sau (t > 0, để đơn giản, ta đặt / = 0): x +t u (x, t) = - [u0 (x + t) + u (x - t ) ] + - J Uỵ ( d£ (n = 1) (2.44) x —t [[ «o(f)dí u{x't) = ủmJ J 77 \x-í\ 0) thỏa mãn: / * (0 ) = ^ ( ) = .= \ m— ( £ ) / £ (0 ) = 0, \ m —1 ( I ) (0 ) = í theo nghĩa nghiệm toán Cauchy (E x (í) xác định S?') □ 50 K ết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Một số không gian hàm: Không gian L 2, không gian C m (Í7), không gian Sobolev w™ (Í7) , không gian , không gian ẩễ, không gian ổ ? - Trình bày toán Cauchy tắc mối quan hệ ba yếu tố: tồn nghiêm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu toán đặt chỉnh Một lớp phương trình quan tâm nhiều hơn, loại phương trình hyperbolic Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2015 T ác giả P h m T h u H iề n [...]... xỏc nh trờn s, trong lõn cn ca Xq Trong trng hp ny, ta ký hiu / = (Uq, U\, , u m- 1) l d kin ban u (d liu Cauchy, hay giỏ tr ban u) hay, chớnh xỏc hn, d kin ban u trờn s ca toỏn t vi phõn bc m Cho / xỏc nh trong lõn cn cn xỏc nh ca Xo trong u ca Xq ( ộ S), v cho ĩ/ thuc mt lõn s Bi toỏn Cauchy tng quỏt cho toỏn t vi phõn l bi toỏn tỡm nghim u ( x , t ) trong lõn cn thớch hp w (c u) ca Xo sao cho... ch y Trong mc trc, ta ó chng minh rng tớnh gii c ca bi toỏn Cauchy khụng c tha món nu L = A Mt khỏc, trong mc ny, ta s thu c iu kin cn ca tớnh gii c t quan im tng quỏt Trong phn tip theo, Tớnh gii c a phng c hiu theo ngha ca nh ngha 2.2.1 Trc tiờn, ta trỡnh by kt qu thu c bi Lax 21 M n h 2 2 1 Cho cỏc h s ca (2.2) l gii tớch Gi s bi toỏn Cauchy liờn quan n L l gii c a phng ti gc ta Trong trng hp... thỡ bt ng thc sai T Mnh ny v nh lý 2.2.1 ta cú: n h lý 2.2.3 Trong (2.2), gi s cỏc h s l gii tớch iu kin cn bi toỏn Cauchy cho L gii c a phng trong lp c l cỏc nghim A(Ê) ca p( A,) = A + Ê a ^ t o o ) ^ = 0 (1.21) \t/\+j = m Cể giỏ tr thc vi bt k Ê R n H q u 2.2.1 Bi toỏn Cauchy cho toỏn t eliptic vi h s gii tớch khụng gii c a phng trong lp c 26 2.3 S ph th u c liờn t c c a n gh im vo d kin... trng ( ngn gn, ta gi mt khụng c trng) hay a tp khụng c trng cho toỏn t a ( x , d / d x ) 9 1.3 n h lý C au ch y-K ovalevskaya Xột toỏn t dng chớnh tc: (1.13) \v\ + j ^ m , j ^ m - 1 n h lý 1.3.1 (Cauchy- Kowalewski) Cho cỏc h s ca L l cỏc hm gii tớch trong lõn cn ca gc ta ca khụng gian f(x,t) (x,t) Gi s gii tớch trong Gi / l cỏc giỏ tr ban u v l hm gii tớch trong mt lõn cn xỏc nh V ca gc ta... chui hm tri A j ( x , t] Ê), F ( x , t) ca O ớ j ( x , t ] Ê ) , f ( x , t ) mt cỏch tng ng Xột phng trỡnh () 1=0 w+f(*ớ)' (1,17) 11 Bõy giũ ta chng minh nh sau: Nu nghim w ca phng trỡnh cú d d m_1 liờu Cauchy dng (ta hm ý t t c w (x , 0), -^-w(x, 0), w (x , 0) cú khai trin Taylor vi h s khụng õm) l gii tớch trong lõn cn ca gc ta , thỡ w l chui hm tri ca u Do ú u(x, t ) l gii tớch ti lõn cn, cho nờn,... , ra) phõn bit vi mi Ê G M", Ê 0; trong Ê thỡ kt lun ca nh lý l..l ỳng 16 Chng 2 T ớnh t ỳng n ca bi toỏn C auchy 2.1 K h ỏi n im v tớn h t ỳ n g n c a bi to ỏ n C auchy Cho toỏn t Xột bi toỏn Cauchy chớnh tc cho phng trỡnh o hm riờng: f V Lu = f, (X, t) s w, gt ) u(x,0) = Uj(x,0), () (a:0) X ew n {ớ = 0}, (i = 0,1,2, ,m - Tớnh t ỳng n ca bi toỏn ny bao gm 3 yu t: - S tn ti nghim - Tớnh duy... liờn tc ca nghim vo d kin ban u 1) ( 2 , 1) 17 2.2 T ớn h gii c c a bi to ỏ n C auchy 2 2 1 K h ỏ i n i m v tớn h gi i c a p h n g c a b i to ỏ n C a u ch y Trong mc trc, ta t ra cõu hi liu nh lý Cauchy- Kowalewski cú th c thit lp vi giỏ tr ban u \I/ thuc lp hm c v vi / Ta s kim tra bi toỏn trong mc ny Xột phng trỡnh : i M=( ) u+ M+j Ê m 'j(M)(fc) ( ) =/- (2-2) j @(B), v cho (, A