BÀI TOÁN BIÊN đối với PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG mờ DẠNG HYPERBOLIC tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— HÀ THỊ THANH TÂM BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Kim Sơn PGS.TS Hoàng Việt Long Phản biện 1: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng, Trường Đại học Tây Bắc Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết tập mờ có ứng dụng nhiều lĩnh vực thống kê, giải tích số, kỹ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh tín hiệu, kỹ thuật y sinh Lý thuyết điều khiển mờ có ưu điểm vượt trội lĩnh vực tự động hóa kỹ thuật với khả xử lý nhiều tốn thực tế mà khó mơ tả cơng thức tốn học xác điều khiển kỹ thuật thông thường (xem Klir Yuan (1995), Kikuchi Patamesvratan (1993) ) Khi vấn đề giới thực mơ hình hóa thành tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng kiện ban đầu khơng biết xác hàm phụ thuộc chứa thông số không chắn điều kiện biên có sai số Vì vậy, yêu cầu thiết yếu đặt làm để giải tốn có chứa yếu tố mơ hồ, không chắn này? Câu trả lời đề xuất lần Giáo sư Lotfali Askar Zadeh, với khái niệm lý thuyết tập mờ (1965) sau lý thuyết logic mờ (năm 1973) Cho tới ngày nay, có nhiều sản phẩm điện tử sử dụng công nghệ logic mờ như: máy điều hòa nhiệt độ, máy giặt, máy rửa bát, thang máy, máy ảnh, trí tuệ nhân tạo trò chơi điện tử, Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, mức độ thuộc phần tử vào tập hợp đánh giá theo hai khía cạnh - phần tử thuộc không thuộc tập hợp Lý thuyết tập mờ cho phép ta đánh giá mức độ thuộc phần tử vào tập hợp cách từ từ Điều mô tả hàm thuộc lấy giá trị đoạn [0, 1] Tập mờ tổng quát tập hợp cổ điển, hàm đặc trưng tập hợp cổ điển hàm thuộc đặc biệt tập mờ, nhận giá trị Tuy nhiên, khái niệm tập mờ rộng tổng quát, số hạn chế thường áp đặt cho tập mờ Khi nghiên cứu giải tích mờ, người ta thường xét tốn tập mờ có dạng u : Rn → [0, 1] thỏa mãn số tính chất tính lồi, compact nửa liên tục trên Rn Tập hợp tất tập mờ có tính chất kí hiệu E n , gọi không gian số mờ Để đơn giản, luận án này, trình bày kết với n = 1, kí hiệu E khơng gian số mờ u : R → [0, 1] Với α ∈ [0, 1], ta kí hiệu tập mức số mờ u [u]α , với [u]α xác định [u]α = {x ∈ R : u(x) ≥ α}, α ∈ (0, 1]; [u]0 = {x ∈ R : u(x) > 0} Khi đó, khơng gian (E, d∞ ) không gian metric đầy đủ (xem Diamond (2000)), với metric d∞ xác định d∞ (u, v) = sup dH ([u]α , [v]α ), 0≤α≤1 dH khoảng cách Haussdorf hai tập hợp Phép cộng phép nhân vô hướng tập số mờ E xác định tập mức sau: [u ⊕ v]α = {x + y : x ∈ [u]α , y ∈ [v]α } = [u]α + [v]α ; [λ.u]α = {λx : x ∈ [u]α } = λ.[u]α ; α ∈ [0, 1], u, v ∈ E, λ ∈ R Với phép cộng phép nhân vô hướng định nghĩa trên, (E, ⊕, ) trở thành khơng gian nửa tuyến tính điều kiện tính giao hốn, kết hợp phép ” ⊕ ” ”.” thỏa mãn Tuy nhiên không may mắn chuyển phép toán số mờ phép toán tập hợp, từ phản ví dụ tổng [0, 1] + (−1).[0, 1] = [0, 1] + [−1, 0] = [−1, 1] ̸= {0} ta suy hiệu hai phần tử E (định nghĩa theo tập hợp thơng thường) lúc tồn (trong E ), với việc khơng tồn phần tử đối phần tử phép phân phối (λ1 + λ2 )u = λ1 u ⊕ λ2 u không với λ1 , λ2 ∈ R tùy ý Do đó, (E, ⊕, ) khơng phải khơng gian tuyến tính R Hệ kéo theo (E, ||.||), ||u|| := d∞ (u, ˆ 0), không gian định chuẩn, không không gian Banach trang bị tích vơ hướng E để biến E thành khơng gian Hilbert Do kết xây dựng tảng vững giải tích thực, giải tích hàm, kết giải tích khơng gian Banach khơng hữu dụng khơng gian Hơn nữa, (E, d∞ ) không không gian khả ly không compact địa phương (xem Chương 8, Bede (2013)) Do phương pháp lập luận liên quan đến tập đếm trù mật hay phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp đánh giá lượng sử dụng định lý nhúng compact khó sử dụng không gian Việc thiếu tính chất tuyến tính (E, ⊕, ), tính khả ly compact địa phương (E, d∞ ) khiến cho nghiên cứu giải tích khơng gian số mờ gặp nhiều khó khăn Và lý chính, bên cạnh lý tính ứng dụng cao thực tế logic mờ điều khiển mờ, khiến cho giải tích mờ trở thành nhánh nghiên cứu thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học thời gian gần Hiện nay, hướng nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng mờ xem mở rộng có ý nghĩa thu hút nhiều nhà khoa học nước nước quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng mơ hình Từ đời nay, nửa kỉ, lý thuyết mờ nói chung giải tích mờ nói riêng đường tự hoàn thiện Do vậy, lý thuyết phương trình vi phân mờ, phương trình đạo hàm riêng mờ đường tự hồn chỉnh theo Năm 1987, Kaleva người đưa hướng nghiên cứu phương trình vi phân mờ dựa khái niệm đạo hàm Hukuhara, đặt móng cho nhiều phát triển sau Cho đến nay, nhiều vấn đề trọng tâm lý thuyết phương trình vi phân mờ nghiên cứu, với số lượng cơng trình cơng bố tăng nhanh chóng (xem Bertone (2013), Buckley Feuring (1999), Malinowski (2015), Seikkala(1987), ) Tuy nhiên, đạo hàm Hukuhara có nhược điểm đường kính tập mức hàm khả vi Hukuhara tăng Điều gây khó khăn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hay tính tuần hồn nghiệm Năm 2005, Bede Gal đưa khái niệm đạo hàm suy rộng cho hàm giá trị số mờ, mở rộng khái niệm đạo hàm Hukuhara, tập mức hàm giá trị số mờ khả vi suy rộng có đường kính giảm Phương trình vi phân mờ khái niệm đạo hàm suy rộng nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem Allahviranloo (2015), Bede Stefanini (2013), Khastan (2014), Shen (2015, 2016), ) Phương trình đạo hàm riêng mờ Buckley Feuring đưa năm 1999, tác giả sử dụng khái niệm hàm mờ khả vi Puri Ralescu để xây dựng quy trình tìm nghiệm mờ dựa tính liên tục nguyên lý suy rộng Zadeh, nhiên kết đạt cho số dạng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp đơn giản Sau đó, Allahviranloo cộng (2011) áp dụng quy trình Buckley Feuring kết hợp với phương pháp lặp biến thiên để tìm nghiệm mờ số lớp phương trình dạng sóng chiều hai chiều Bertone cộng (2013) nghiên cứu số tính chất nghiệm mờ số lớp phương trình kinh điển dạng phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền sóng, phương trình Poisson với tham số mờ Họ áp dụng quy trình mờ hóa nghiệm cổ điển kết hợp với tính liên tục nguyên lý suy rộng Zadeh để chứng minh số tính chất định tính nghiệm mờ thơng qua tập mức Bên cạnh đó, số nhà nghiên cứu thành công việc mơ hình hóa q trình giới thực phương trình đạo hàm riêng mờ Trong báo năm 2011, Jafelice cộng sử dụng phương trình khuyếch tán với tham số mờ để mơ hình hóa cho chiếm giữ lãnh thổ dịch chuyển loài kiến xén rừng Amazon Phương pháp dùng mơ hình khuyếch tán mờ Jafelice tỏ ưu việt mơ hình truyền thống chỗ tích hợp yếu tố không chắn, không rõ ràng vào hệ sinh học Chúng ta tìm thấy mơ hình phương trình đạo hàm riêng mờ cơng nghiệp dầu mỏ sách Nikravesh năm 2004 Trường hợp tổng qt, q trình cơng nghiệp tự nhiên thường phức hợp khơng chắn Do nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ có ý nghĩa quan trọng lý thuyết thực hành Nhưng nay, nghiên cứu lĩnh vực dừng lại kết ban đầu cho lớp phương trình đơn giản Được thúc đẩy lý nêu trên, chọn đề tài "Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic" với mong muốn bước đầu góp phần xây dựng lý thuyết toán học chặt chẽ nghiên cứu tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng có ẩn hàm nhận giá trị số mờ Các kết nhận tồn nghiệm số tính chất định tính nghiệm tốn biên địa phương (local) cho phương trình hyperbolic mờ có trễ phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền bị chặn miền khơng bị chặn MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Mục đích luận án nghiên cứu tính giải số tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng mờ Một số quy trình tìm nghiệm mờ xấp xỉ đưa ví dụ minh họa cụ thể • Đối tượng nghiên cứu luận án phương trình hyperbolic mờ có trễ phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số • Phạm vi nghiên cứu luận án bao gồm: ◦ Nội dung 1: Các kết lý thuyết điểm bất động không gian trừu tượng, khơng gian metric, khơng gian metric nửa tuyến tính ◦ Nội dung 2: Lý thuyết giải tích mờ: tính liên tục, tính khả vi Hukuhara suy rộng, tính khả vi Caputo suy rộng mối quan hệ khái niệm ◦ Nội dung 3: Ứng dụng giải tích mờ, lý thuyết điểm bất động để nghiên cứu tốn biên cho lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng mờ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Sử dụng kiến thức giải tích hàm, không gian metric lý thuyết điểm bất động, giải tích đa trị, lý thuyết độ đo, giải tích mờ, giải tích tập hợp • Sử dụng phương pháp phần tử bị chặn, nguyên lý suy rộng Zadeh để xây dựng thuật tốn tìm nghiệm mờ KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt kết sau đây: • Chứng minh tồn hai loại nghiệm tích phân tốn biên địa phương cho phương trình hyperbolic mờ có trễ miền bị chặn miền vô hạn Đây nội dung Chương • Chứng minh tồn hai loại nghiệm tích phân tốn biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số trường hợp vế phải Lipschitz miền bị chặn miền vô hạn Khi vế phải không Lipschitz, chứng minh tồn nghiệm toán miền bị chặn Đây nội dung Chương • Chứng minh số tính chất định tính nghiệm tốn biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền vơ hạn: ◦ Tính ổn định Ulam nghiệm ◦ Tính ổn định Lyapunov điểm cân Đây nội dung Chương CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình công bố Tài liệu tham khảo, luận án chia làm chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Bài tốn biên địa phương phương trình hyperbolic mờ có trễ • Chương Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số • Chương Một số tính chất định tính nghiệm phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức sở tập mờ, số mờ, phép toán giải tích tập số mờ số khái niệm giải tích bậc phân số cho hàm biến giá trị mờ ví dụ minh họa cụ thể Ngồi ra, chúng tơi nhắc lại số định lý điểm bất động (Nguyên lý ánh xạ co Banach, Định lý Arzelà-Ascoli, Định lý điểm bất động Schauder khơng gian metric nửa tuyến tính) sử dụng chứng minh kết luận án chương sau 1.1 Không gian metric số mờ Trong phần này, nhắc lại số khái niệm tập mờ, số mờ, Nguyên lý suy rộng Zadeh không gian metric số mờ nhiều ví dụ minh họa Nội dung phần viết dựa hai sách chuyên khảo Bede (2013), Lakshmikantham Mohapatra (2003) 1.2 Sơ lược giải tích mờ Trong phần này, nhắc lại kiến thức giải tích hàm nhận giá trị số mờ: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích 1.3 Sơ lược giải tích bậc phân số mờ Trong phần này, nhắc lại số khái niệm tích phân RiemannLiouville, đạo hàm gH-Riemann-Liouville đạo hàm gH-Caputo cho hàm biến giá trị mờ ví dụ minh họa 1.4 Một số định lý điểm bất động Trong phần này, nhắc lại số định lý quan trọng thường sử dụng luận án như: Nguyên lý ánh xạ co Banach, Định lý Arzelà-Ascoli, Định lý điểm bất động Schauder cho không gian metric nửa tuyến tính Chương BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MỜ CĨ TRỄ Trong chương này, tương ứng với hai trường hợp đạo hàm Hukuhara suy rộng, định nghĩa hai kiểu nghiệm tích phân tốn biên phương trình hyperbolic mờ có trễ Kiểu nghiệm thứ ứng với khái niệm đạo hàm Hukuhara thông thường với bán kính tập mức tăng Kiểu nghiệm thứ hai ứng với trường hợp bán kính tập mức giảm đạo hàm Hukuhara suy rộng Kết có ý nghĩa việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm biến tự tiến vơ hạn Bằng cách áp dụng định lý điểm bất động khơng gian metric đầy thích hợp, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm tốn miền bị chặn miền vơ hạn Nội dung chương trình bày dựa báo số số Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 Bài tốn biên phương trình hyperbolic mờ có trễ miền bị chặn 2.1.1 Đặt tốn Xét phương trình hyperbolic mờ có trễ Dxy u(x, y) = f (x, y, u(x,y) ), Jab = [0, a] × [0, b] (2.1) với điều kiện biên địa phương: u(x, 0) = η1 (x), x ∈ [0, a], u(0, y) = η2 (y), y ∈ [0, b] (2.2) điều kiện ban đầu u(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ J˜rab := Jrab \ (0, a] × (0, b] (2.3) r > 0, Jrab = [−r, a]×[−r, b], Jr0 = [−r, 0]×[−r, 0], f : Jab ×C(Jr0 , E) → E , φ ∈ C(J˜rab , E), η1 ∈ C([0, a], E), η2 ∈ C([0, b], E) hàm cho trước cho η2 (y) ⊖H u(0, 0), η1 (x) ⊖H u(0, 0) ∈ E với (x, y) ∈ Jab , η1 (0) = η2 (0) = 11 2.2 Bài toán biên phương trình hyperbolic mờ có trễ miền vơ hạn 2.2.1 Đặt tốn Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu phương trình hyperbolic mờ có trễ miền vô hạn Dxy u(x, y) = f (x, y, u(x,y) ), (x, y) ∈ J0∞ = [0, ∞) × [0, ∞) (2.8) với điều kiện biên địa phương u(x, 0) = η1 (x), x ∈ [0, ∞), u(0, y) = η2 (y), y ∈ [0, ∞) (2.9) điều kiện ban đầu u(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ J˜r∞ := Jr∞ \ (0, ∞) × (0, ∞) (2.10) Jr∞ = [−r, ∞) × [−r, ∞), r > 0, f : J0∞ × C(Jr0 , E) → E , η1 , η2 ∈ C([0, ∞), E), φ ∈ C(J˜r∞ , E) hàm cho trước cho η1 (0) = η2 (0) = φ(0, 0) = u(0, 0) η2 (y)⊖H u(0, 0), η1 (x)⊖H u(0, 0) ∈ E với x, y ∈ [0, ∞) 2.2.2 Nghiệm tích phân Mệnh đề 2.3 Giả sử f : J0∞ × C(Jr0 , E) → E hàm liên tục u(., ) ∈ W1 (Jr∞ , E) ∪ W2 (Jr∞ , E) thỏa mãn (2.8)-(2.10) Khi u(., ) thỏa mãn phương trình tích phân sau ∫ x∫ y u(x, y) = ψ(x, y) ⊕ f (s, t, u(s,t) )dtds (2.11) 0 ∫ u(x, y) = ψ(x, y) ⊖H (−1) x∫ y f (s, t, u(s,t) )dtds (2.12) với (x, y) ∈ J0∞ Định nghĩa 2.2 Một hàm u ∈ C(Jr∞ , E) gọi 1) nghiệm tích phân kiểu tốn (2.8)-(2.10) u(x, y) = φ(x, y) với (x, y) ∈ J˜r∞ thỏa mãn phương trình tích phân (2.11) với (x, y) ∈ J0∞ ; 2) nghiệm tích phân kiểu toán (2.8)-(2.10) u(x, y) = φ(x, y) với (x, y) ∈ J˜r∞ thỏa mãn phương trình tích phân (2.12) với (x, y) ∈ J0∞ 12 2.2.3 Tính giải toán Để chứng minh tồn nghiệm toán (2.8)-(2.10), ta giả thiết hàm f hàm η1 , η2 thỏa mãn điều kiện sau: (A1 ) Hàm f : J0∞ × C(Jr0 , E) → E thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.7) tồn số thực dương M1 , c1 cho d∞ (f (x, y, ˆ0), ˆ0) ≤ M1 ec1 (x+y) với (x, y) ∈ J0∞ (A2 ) Với (x, y) ∈ J0∞ , tồn số thực dương Mi ci (i = 2, 3) cho d∞ (η1 (x), ˆ0) ≤ M2 ec2 x d∞ (η2 (y), ˆ0) ≤ M3 ec3 y Định lí 2.3 Giả sử hàm f : J0∞ × C(Jr0 , E) → E liên tục giả thiết (A1 ) − (A2 ) Khi đó, tồn nghiệm tích phân kiểu tốn (2.8)(2.10) Jr∞ nghiệm không gian Cλ∞ (Jr∞ , E) với λ > đủ lớn ∞,f Với λ > 0, xét không gian Cλ,ψ (Jr∞ , E) gồm tất hàm u ∈ C(Jr∞ , E) cho T f [u](x, y) ∈ E với (x, y) ∈ J ∞ , u(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ J˜∞ ψ r sup d∞ (u(x, y), ˆ0)e−λ(x+y) < ∞, (x,y)∈Jr∞ với metric Hλ Khi đó, ta xét toán (2.8)-(2.10) trường hợp u hàm gH-khả vi kiểu Định lý sau khẳng định tồn nghiệm tích phân kiểu tốn với bán kính nghiệm mờ giảm dần theo thời gian Định lí 2.4 Giả sử f ∈ C(J0∞ × C(Jr0 , E), E) giả thiết (A1 ) − (A2 ) thỏa mãn Thêm vào đó, giả sử ∞,f (Jr∞ , E) ̸= ∅ (i) Cλ,ψ ∞,f ∞,f (Jr∞ , E) với (x, y) ∈ J0∞ (ii) u ∈ Cλ,ψ (Jr∞ , E) Tψf [u](x, y) ∈ Cλ,ψ Khi đó, tồn nghiệm tích phân kiểu toán (2.8)-(2.10) Jr∞ ∞,f nghiệm không gian Cλ,ψ (Jr∞ , E) với λ > đủ lớn 13 Chương BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC BẬC PHÂN SỐ Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số Đầu tiên, chúng tơi xây dựng khái niệm tích phân Riemann - Liouville đạo hàm Caputo cho hàm hai biến giá trị số mờ Sau đó, tương tự Chương 2, với giả thiết hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, chúng tơi chứng minh kết tính giải toán miền bị chặn miền vô hạn Hơn nữa, với giả thiết hàm f bị chặn (f khơng Lipschitz), cách sử dụng Định lý điểm bất động Schauder cho khơng gian metric nửa tuyến tính, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toán miền bị chặn Nội dung chương trình bày dựa báo số số Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị số mờ Định nghĩa 3.1 Cho q = (q1 , q2 ) ∈ (0, 1]×(0, 1] u ∈ L1 (Jab , E), [u(x, y)]α = + [u− α (x, y), uα (x, y)] với α ∈ [0, 1] Tích phân Riemann - Liouville bậc q cho hàm giá trị mờ u kí hiệu hình thức dạng ∫ x∫ y RL q (x − s)q1 −1 (y − t)q2 −1 u(s, t)dtds F I0+ u(x, y) = Γ(q1 )Γ(q2 ) 0 xác định tập mức q α RL q − RL q + [RL I0+ uα (x, y)], α ∈ [0, 1] F I0+ u(x, y)] = [ I0+ uα (x, y), với (x, y) ∈ Jab Khi q = (1, 1), ta kí hiệu ∫ x∫ y RL u(s, t)dtds với (x, y) ∈ Jab F I0+ u(x, y) = 0 Mệnh đề 3.1 Cho p = (p1 , p2 ), q = (q1 , q2 ) ∈ (0, 1] × (0, 1] cho p + q = (p1 + q1 , p2 + q2 ) ∈ (0, 1] × (0, 1] u ∈ L1 (Jab , E) Khi p RL q RL p+q (RL F I0+ )(F I0+ )u = (F I0+ )u với điều kiện tích phân vế phải vế trái xác định 14 Định nghĩa 3.2 Cho q = (q1 , q2 ) ∈ [0, 1)×[0, 1) u ∈ W1 (Jab , E) ∪W2 (Jab , E) Đạo hàm gH-Caputo bậc q hàm giá trị mờ u theo x, y xác định bởi: ( ) C q RL 1−q gH D u(x, y) = F I0+ Dxy u(x, y) , (x, y) ∈ Jab với điều kiện biểu thức vế phải xác định, 1−q = (1−q1 , 1−q2 ) • Nếu u ∈ W1 (Jab , E) ta nói u khả vi gH-Caputo bậc q kiểu (i) theo x, y Jab • Nếu u ∈ W2 (Jab , E) ta nói u khả vi gH-Caputo bậc q kiểu (ii) theo x, y Jab 3.2 Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền bị chặn 3.2.1 Đặt tốn Xét phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số C q gH D u(t, x) = f (t, x, u(t, x)), (t, x) ∈ ΩbT = [0, T ] × [0, b] (3.1) điều kiện biên địa phương u(t, 0) = η1 (t), t ∈ [0, T ], u(0, x) = η2 (x), x ∈ [0, b], (3.2) f : ΩbT × C(ΩbT , E) → E , η1 ∈ C([0, T ], E), η2 ∈ C([0, b], E) hàm cho trước cho hiệu η1 (t) ⊖H u(0, 0), η2 (x) ⊖H u(0, 0) tồn với t ∈ [0, T ], x ∈ [0, b] η1 (0) = η2 (0) = u(0, 0) Mệnh đề 3.2 Giả sử u(., ) ∈ W1 (ΩbT , E) ∪ W2 (ΩbT , E) thỏa mãn (3.1)-(3.2) 1) Nếu u ∈ W1 (ΩbT , E) u thỏa mãn phương trình tích phân sau q b u(t, x) = ψ(t, x) ⊕RL F I0+ f (t, x, u(t, x)) với (t, x) ∈ ΩT (3.3) 2) Nếu u ∈ W2 (ΩbT , E) u thỏa mãn phương trình tích phân sau q b u(t, x) = ψ(t, x) ⊖H (−1)RL F I0+ f (t, x, u(t, x)) với (t, x) ∈ ΩT (3.4) Trong ψ(t, x) = η2 (x) ⊕ [η1 (t) ⊖H η1 (0)], (t, x) ∈ ΩbT Định nghĩa 3.3 Hàm u ∈ C(ΩbT , E) gọi 1) nghiệm tích phân kiểu tốn (3.1)-(3.2) thỏa mãn phương trình tích phân (3.3), 2) nghiệm tích phân kiểu tốn (3.1)-(3.2) thỏa mãn phương trình tích phân (3.4) 15 3.2.2 Tính giải tốn Với giả thiết hàm vế phải f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, cách sử dụng Nguyên lý ánh xạ co Banach, nhận tồn nghiệm tích phân kiểu tốn (3.1)-(3.2) định lý sau Định lí 3.1 Giả sử hàm f ∈ C(ΩbT ×C(ΩbT , E), E) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ ba, tức tồn số thực dương L cho d∞ (f (t, x, ϕ1 ), f (t, x, ϕ2 )) ≤ Ld∞ (ϕ1 , ϕ2 ) (3.5) với ϕ1 , ϕ2 ∈ C(ΩbT , E), (t, x) ∈ ΩbT Khi đó, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm tích phân kiểu ΩbT Với (t, x) ∈ ΩbT , ta kí hiệu q I Fψf,q [u](t, x) = ψ(t, x) ⊖H (−1)RL F 0+ f (t, x, u(t, x)) { } f f,q b b b Cψ (ΩT , E) = u ∈ (C(ΩT , E), dr ) : Fψ [u](t, x) ∈ E, (t, x) ∈ ΩT Sự tồn nghiệm tích phân kiểu toán (3.1) - (3.2) chứng minh cụ thể định lý sau Định lí 3.2 Giả sử hàm f ∈ C(ΩbT ×C(ΩbT , E), E) thỏa mãn điều kiện Lipschitz (3.5) Hơn nữa, giả sử Cψf (ΩbT , E) ̸= ∅ với u ∈ Cψf (ΩbT , E), Fψf,q [u](t, x) ∈ Cψf (ΩbT , E) với (t, x) ∈ ΩbT Khi đó, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm tích phân kiểu ΩbT Khi hàm vế phải f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz, sử dụng Định lý điểm bất động Schauder cho không gian metric nửa tuyến tính C(ΩbT , Ec ), chứng minh tồn nghiệm toán (3.1) - (3.2) với giả thiết (G1 ) Tồn R > cho hàm f : ΩbT × B(˜0, R) → Ec compact, B(˜ 0, R) = {u ∈ C(ΩbT , Ec ) : H(u, ˜0) ≤ R} ˜0 ∈ C(ΩbT , Ec ) xác định ˜ 0(t, x) = ˆ0 R ˆ (G2 ) ψ có giá compact d∞ (ψ(t, x), 0) ≤ với (t, x) ∈ ΩbT Kết chứng minh chi tiết định lý sau Định lí 3.3 Giả sử giả thiết (G1 ) - (G2 ) thỏa mãn Khi đó, tốn (3.1)- (3.2) có nghiệm tích phân kiểu ΩbT Hơn nữa, Cψf (ΩbT , E) ̸= ∅ với u ∈ Cψf (ΩbT , E), Fψf,q [u](t, x) ∈ Cψf (ΩbT , E) với (t, x) ∈ ΩbT tốn (3.1)- (3.2) có nghiệm tích phân kiểu ΩbT 16 3.3 Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền vô hạn 3.3.1 Đặt tốn Xét phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số C q gH D u(t, x) = f (t, x, u(t, x)), Ωb∞ = [0, ∞) × [0, b] (3.6) với điều kiện biên địa phương u(t, 0) = η1 (t), t ∈ [0, ∞), u(0, x) = η2 (x), x ∈ [0, b] (3.7) f : Ωb∞ × C(Ωb∞ , E) → E, η1 ∈ C([0, ∞), E), η2 ∈ C([0, b], E) hàm cho trước cho hiệu η1 (t) ⊖H u(0, 0) η2 (x) ⊖H u(0, 0) tồn với t ∈ [0, ∞), x ∈ [0, b] η1 (0) = η2 (0) = u(0, 0) Mệnh đề sau chứng minh tương tự Mệnh đề 3.2: Mệnh đề 3.3 Giả sử u(., ) ∈ W1 (Ωb∞ , E) ∪ W2 (Ωb∞ , E) thỏa mãn (3.6)-(3.7) 1) Nếu u ∈ W1 (Ωb∞ , E) u thỏa mãn phương trình tích phân q b u(t, x) = ψ(t, x) ⊕RL I F 0+ f (t, x, u(t, x)) với (t, x) ∈ Ω∞ (3.8) 2) Nếu u ∈ W2 (Ωb∞ , E) u thỏa mãn phương trình tích phân q b u(t, x) = ψ(t, x) ⊖H (−1)RL F I0+ f (t, x, u(t, x)) với (t, x) ∈ Ω∞ (3.9) Trong ψ(t, x) = η2 (x) ⊕ [η1 (t) ⊖H η1 (0)], (t, x) ∈ Ωb∞ Định nghĩa 3.4 Hàm u ∈ C(Ωb∞ , E) gọi 1) nghiệm tích phân kiểu tốn (3.6)- (3.7) thỏa mãn phương trình tích phân (3.8) 2) nghiệm tích phân kiểu tốn (3.6)- (3.7) thỏa mãn phương trình tích phân (3.9) 3.3.2 Tính giải tốn Để chứng minh tính giải tốn (3.6)-(3.7) ta giả sử có giả thiết sau (G3 ) Hàm f : Ωb∞ × C(Ωb∞ , E) → E thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ ba, tức tồn số thực dương L cho d∞ (f (t, x, ϕ1 ), f (t, x, ϕ2 )) ≤ Ld∞ (ϕ1 , ϕ2 ) 17 với (t, x) ∈ Ωb∞ , ϕ1 , ϕ2 ∈ C(Ωb∞ , E) (G4 ) Tồn số thực dương M4 , c4 cho d∞ (f (t, x, ˆ0), ˆ0) ≤ M4 ec4 t , (t, x) ∈ Ωb∞ (G5 ) Với (t, x) ∈ Ωb∞ , tồn số thực dương M5 , M6 c5 cho d∞ (η1 (t), ˆ0) ≤ M5 ec5 t , d∞ (η2 (x), ˆ0) ≤ M6 Định lí 3.4 Giả sử f ∈ C(Ωb∞ × C(Ωb∞ , E), E) giả thiết (G3 ) − (G5 ) thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm tích phân kiểu tốn (3.6)-(3.7) Ωb∞ nghiệm không gian Cβ∞ (Ωb∞ , E), với β > đủ lớn Với β > 0, ta xét không gian { } ∞,f (Ωb∞ , E) = u ∈ Cβ∞ (Ωb∞ , E) : Fψf,q [u](t, x) ∈ E, (t, x) ∈ Ωb∞ Cβ,ψ Khi đó, để chứng minh tồn nghiệm tích phân kiểu tốn, ta giả thiết ∞,f ∞,f (Ωb∞ , E) (G0 ) Cβ,ψ (Ωb∞ , E) ̸= ∅ u ∈ Cβ,ψ ∞,f (Ωb∞ , E), ∀(t, x) ∈ Ωb∞ Fψf,q [u](t, x) ∈ Cβ,ψ Định lí 3.5 Giả sử f ∈ C(Ωb∞ × C(Ωb∞ , E), E) giả thiết (G3 ) − (G5 ), (G0 ) thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm tích phân kiểu toán (3.6)∞,f (3.7) Ωb∞ nghiệm không gian Cβ,ψ (Ωb∞ , E), với β > đủ lớn 18 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC BẬC PHÂN SỐ Trong chương này, nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số Kết tính ổn định Ulam, bao gồm tính ổn định Hyers-Ulam tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias tính khả vi Hukuhara suy rộng Kết thứ hai tính ổn định điểm cân tốn Tính ổn định biến thời gian điểm cân t → ∞ hiểu theo nghĩa ổn định Lyapunov Nội dung chương trình bày dựa báo số số Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 4.1 Tính ổn định Ulam Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh tính ổn định Ulam tốn C q gH D u(t, x) = f (t, x, u(t, x)), (t, x) ∈ Ωb∞ = [0, ∞) × [0, b] u(t, 0) = η1 (t), t ∈ [0, ∞), u(0, x) = η2 (x), x ∈ [0, b] (4.1) (4.2) f : Ωb∞ × C(Ωb∞ , E) → E, η1 ∈ C([0, ∞), E), η2 ∈ C([0, b], E) hàm cho trước cho hiệu η1 (t) ⊖H u(0, 0), η2 (x) ⊖H u(0, 0) tồn với t ∈ [0, ∞), x ∈ [0, b] η1 (0) = η2 (0) = u(0, 0) Các khái niệm nghiệm tích phân toán (4.1)-(4.2) định nghĩa Định nghĩa 3.4 4.1.1 Tính ổn định Hyers-Ulam Với ε > 0, ta xét bất phương trình d∞ (CgH Dq v(t, x), f (t, x, v(t, x))) ≤ ε, (t, x) ∈ Ωb∞ (4.3) Định nghĩa 4.1 1) Hàm v ∈ W1 (Ωb∞ , E) gọi nghiệm kiểu bất phương trình (4.3) tồn hàm h1 ∈ C(Ωb∞ , E) cho 19 (i) d∞ (h1 (t, x), ˆ 0) ≤ ε (ii) q C gH D v(t, x) = f (t, x, v(t, x)) ⊕ h1 (t, x) với (t, x) ∈ Ωb∞ 2) Hàm v ∈ W2 (Ωb∞ , E) gọi nghiệm kiểu bất phương trình (4.3) tồn hàm h2 ∈ C(Ωb∞ , E) cho (i) d∞ (h2 (t, x), ˆ 0) ≤ ε (ii) C q gH D v(t, x) = f (t, x, v(t, x)) ⊕ h2 (t, x) với (t, x) ∈ Ωb∞ Mệnh đề 4.1 1) Nếu v nghiệm kiểu bất phương trình (4.3) v thỏa mãn bất phương trình tích phân ( Γ(q1 + 1)Γ(q2 + 1)d∞ v(t, x),v(t, 0) ⊕ v(0, x) ⊖H v(0, 0) ) RL q ⊕F I0+ f (t, x, v(t, x)) ≤ εtq1 xq2 (4.4) với (t, x) ∈ Ωb∞ 2) Nếu v nghiệm kiểu bất phương trình (4.3) v thỏa mãn bất phương trình tích phân ( Γ(q1 + 1)Γ(q2 + 1)d∞ v(t, x), v(t, 0) ⊕ v(0, x) ⊖H v(0, 0) ) RL q ⊖H (−1)F I0+ f (t, x, v(t, x)) ≤ εtq1 xq2 (4.5) với (t, x) ∈ Ωb∞ Định nghĩa 4.2 1) Hàm v ∈ C(Ωb∞ , E) gọi nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.3) thỏa mãn (4.4) 2) Hàm v ∈ C(Ωb∞ , E) gọi nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.3) thỏa mãn (4.5) Định nghĩa 4.3 Bài toán (4.1)-(4.2) gọi ổn định Hyers-Ulam kiểu k (k = 1, 2) tồn co > cho với ε > nghiệm tích phân v kiểu k bất phương trình (4.3), tồn nghiệm tích phân u kiểu k toán (4.1)-(4.2) cho Hβ0 (u, v) ≤ co ε 20 Định lí 4.1 1) Giả sử f ∈ C(Ωb∞ × C(Ωb∞ , E), E) giả thiết (G3 ) − (G5 ) Khi đó, tốn (4.1)- (4.2) ổn định Hyers-Ulam kiểu 2) Giả sử f ∈ C(Ωb∞ ×C(Ωb∞ , E), E), giả thiết (G3 ) − (G5 ) (G0 ) thỏa mãn Khi đó, toán (4.1)- (4.2) ổn định Hyers-Ulam kiểu 4.1.2 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias Với Φ ∈ L1 (Ωb∞ , [0, ∞)) ∩ L∞ (Ωb∞ , [0, ∞)), ta xét bất phương trình d∞ (CgH Dq v(t, x), f (t, x, v(t, x))) ≤ Φ(t, x), (t, x) ∈ Ωb∞ (4.6) Định nghĩa 4.4 1) Hàm v ∈ W1 (Ωb∞ , E) nghiệm kiểu bất phương trình (4.6) tồn hàm h3 ∈ C(Ωb∞ , E) cho ˆ ≤ Φ(t, x), (t, x) ∈ Ωb∞ , (i) d∞ (h3 (t, x), 0) (ii) q C gH D v(t, x) = f (t, x, v(t, x)) ⊕ h3 (t, x), (t, x) ∈ Ωb∞ 2) Hàm v ∈ W2 (Ωb∞ , E) nghiệm kiểu bất phương trình (4.6) tồn hàm h4 ∈ C(Ωb∞ , E) cho (i) d∞ (h4 (t, x), ˆ 0) ≤ Φ(t, x), (t, x) ∈ Ωb∞ , (ii) C q gH D v(t, x) = f (t, x, v(t, x)) ⊕ h4 (t, x), (t, x) ∈ Ωb∞ Mệnh đề 4.2 1) Nếu v nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.6) v thỏa mãn bất phương trình tích phân sau với (t, x) ∈ Ωb∞ q d∞ (v(t, x), v(t, 0) ⊕ v(0, x)⊖H v(0, 0) ⊕RL F I0+ f (t, x, v(t, x)) ≤RL I0q+ Φ(t, x) (4.7) 2) Nếu v nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.6) v thỏa mãn bất phương trình tích phân sau với (t, x) ∈ Ωb∞ q d∞ (v(t, x), v(t, 0) ⊕ v(0, x)⊖H v(0, 0) ⊖H (−1)RL F I0+ f (t, x, v(t, x))) ≤RL I0q+ Φ(t, x) (4.8) Định nghĩa 4.5 1) Hàm v ∈ C(Ωb∞ , E) gọi nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.6) thỏa mãn (4.7) 21 2) Hàm v ∈ C(Ωb∞ , E) gọi nghiệm tích phân kiểu bất phương trình (4.6) thỏa mãn (4.8) Định nghĩa 4.6 Bài toán (4.1) - (4.2) gọi ổn định Hyers-Ulam-Rassias kiểu k (k = 1, 2) theo Φ tồn số thực cf,Φ > cho với nghiệm tích phân v kiểu k bất phương trình (4.6), tồn nghiệm tích phân u kiểu k toán (4.1)- (4.2) cho Hβ0 (u, v) ≤ cf,Φ sup Φ(t, x) (t,x)∈Ωb∞ Định lí 4.2 Giả sử f ∈ C(Ωb∞ ×C(Ωb∞ , E), E), giả thiết (G3 ) − (G5 ) với hàm Φ ∈ L1 (Ωb∞ , [0, +∞)) ∩ L∞ (Ωb∞ , [0, ∞)), tồn mΦ > 0, ν ≥ cho RL q I0+ Φ(t, x) ≤ mΦ eνt Φ(t, x), ∀(t, x) ∈ Ωb∞ (4.9) Khi đó, tốn (4.1)- (4.2) ổn định Hyers-Ulam-Rassias kiểu Hơn nữa, giả thiết (G0 ) tốn (4.1)- (4.2) ổn định Hyers-Ulam-Rassias kiểu 4.2 Tính ổn định Lyapunov Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tốn C q gH D u(t, x) = f (t, x, u(t, x)), (t, x) ∈ Ωb∞ = [0, ∞) × [0, b] u(t, 0) = η1 (t), t ∈ [0, ∞), u(0, x) = η2 (x), x ∈ [0, b] (4.1) (4.2) ˆ ≡ 0ˆ, η1 ∈ C([0, ∞), E), với giả thiết f : Ωb∞ × C(Ωb∞ , E) → E, f (t, x, 0) η2 ∈ C([0, b], E) hàm cho trước cho hiệu η1 (t) ⊖H u(0, 0), η2 (x) ⊖H u(0, 0) tồn với t ≥ 0, x ∈ [0, b] η1 (0) = η2 (0) = u(0, 0) Trong trường hợp này, số mờ ˆ gọi điểm cân hệ động lực xác định phương trình (4.1) Định nghĩa 4.7 Điểm cân ˆ toán (4.1)-(4.2) gọi ổn định theo biến t với ε > 0, tồn δ > cho d∞ (η1 (t), ˆ0) < δ, t ≥ 0, d∞ (η2 (x), ˆ0) < δ, x ∈ [0, b] tất nghiệm u(t, x) toán (4.1)- (4.2) thỏa mãn d∞ (u(t, x), ˆ0) < ε, (t, x) ∈ Ωb∞ 22 Để chứng minh tính ổn định tốn (4.1)- (4.2), ta giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện (G′3 ) Tồn β > cho d∞ (f (t, x, ϕ1 ), f (t, x, ϕ2 )) ≤ L(t + 1)−β d∞ (ϕ1 , ϕ2 ) với ϕ1 , ϕ2 ∈ C(Ωb∞ , E), (t, x) ∈ Ωb∞ Định lí 4.3 Giả sử f ∈ C(Ωb∞ × C(Ωb∞ , E), E) giả thiết (G′3 ), (G5 ) thỏa mãn Khi đó, điểm cân ˆ toán ổn định 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Trong luận án này, đạt kết sau: 1) Định nghĩa hai loại nghiệm tích phân tương ứng với hai kiểu đạo hàm Hukuhara suy rộng hàm hai biến giá trị số mờ toán biên địa phương cho phương trình hyperbolic mờ có trễ Chứng minh tồn loại nghiệm tích phân mờ tốn biên địa phương cho phương trình hyperbolic mờ có trễ miền bị chặn miền vơ hạn 2) Xây dựng khái niệm tích phân Riemann - Liouville cho hàm hai biến giá trị mờ chứng minh tính đắn định nghĩa thơng qua việc sử dụng Định lý Stacking Từ đưa khái niệm đạo hàm gH-Caputo nhiều ví dụ minh họa 3) Đặt toán biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số tính khả vi gH-Caputo Định nghĩa hai loại nghiệm tích phân tương ứng với hai kiểu đạo hàm gH-Caputo toán Chứng minh tồn nghiệm toán biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số trường hợp vế phải Lipschitz Khi vế phải không Lipschitz, sử dụng phiên Định lý Schauder khơng gian metric nửa tuyến tính, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toán miền bị chặn 4) Với điều kiện bổ sung vế phải điều kiện biên, chứng minh số tính chất định tính nghiệm tốn biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền vơ hạn: • Tính ổn định Ulam • Tính ổn định Lyapunov 24 Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ bậc phân số có trễ • Nghiên cứu tốn biên khơng địa phương phương trình đạo hàm riêng mờ bậc phân số • Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ ngẫu nhiên • Nghiên cứu phương trình tiến hóa mờ phương pháp nửa nhóm DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH Đà CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1) H.V Long, N.T.K Son, H.T.T Tam, B.C Cuong (2014), On the existence of fuzzy solutions for partial hyperbolic functional differential equations, Int J Comput Intell Syst 7, No.6, 1159-1173 (SCIE) 2) H.V Long, N.T.K Son, H.T.T Tam (2015), Global existence of solutions to fuzzy partial hyperbolic functional differential equations with generalized Hukuhara derivatives, J Intell Fuzzy Syst 29, No.2, 939 - 954 (SCIE) 3) H.V Long, N.T.K Son, H.T.T Tam (2017), The solvability of fuzzy fractional partial differential equations under Caputo gH-differentiability, Fuzzy Sets Syst 309, 35-63 (SCI) 4) H.V Long, N.T.K Son, H.T.T Tam, J.-C Yao (2017), Ulam stability for fractional partial integro-differential equation with uncertainty, Acta Math Vietnam 42, No.4, 685 - 700 (Scopus) 5) N.T.K Son, H.T.T Tam, On the stability and global attractivity of solutions of fuzzy fractional partial differential equations, accepted Các kết luận án báo cáo tại: • Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Seminar Tối ưu điều khiển, Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam • Seminar phòng Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam • Seminar Phương pháp giải phương trình vi phân, Viện Cơng nghệ thơng tin, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam ... lớp phương trình đạo hàm riêng mờ Một số quy trình tìm nghiệm mờ xấp xỉ đưa ví dụ minh họa cụ thể • Đối tượng nghiên cứu luận án phương trình hyperbolic mờ có trễ phương trình đạo hàm riêng mờ dạng. .. kiểu (ii) theo x, y Jab 3.2 Bài toán biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền bị chặn 3.2.1 Đặt toán Xét phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số C q... Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ bậc phân số có trễ • Nghiên cứu tốn biên khơng địa phương phương trình đạo hàm riêng mờ bậc phân số • Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mờ ngẫu nhiên