Luận văn bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI P H Ạ M T H U H IỀ N BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT LU ẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC H À N Ộ I, 2015 B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI P H Ạ M T H U H IỀ N BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PG S TS HÀ TIẾN NG O ẠN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 T ác g iả P h m T h u H iề n Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B i t o n Cauchy phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng q u t " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội , tháng năm 2015 T ác g iả P h m T h u H iề n i M ục lục M đầu 1 C c k iến 1.1 1.2 th ứ c c h u ẩ n b ị Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L 1.1.2 Không gian 1.1.3 c m( Í ) Không gian Sobolev w™ ( í ỉ ) 1.1.4 Không gian ẩễm 1.1.5 Không gian ẩễ 1.1.6 Không gian c gọi không gian L (Í2) đo có chuẩn sau hữu hạn: 1 K h ô n g g ia n c m(íỉ) Đ ịn h n g h ĩa 1 Không gian c m(Í2) không gian bao gồm hàm khả vi, liên tục đến cấp m miền íỉ 1 K h ô n g g ia n S o b o le v w™ (íỉ) Đ ịn h n g h ĩa 1 Không gian w™ (Í2) không gian bao gồm tất hàm u (X) e L (íĩ), cho tồn đạo hàm suy rộng cấp a , \ a \ < 777, thuộc L (íỉ) trang bị chuẩn í r ,, V" IMIw™(fi) = \ \ Dau { x ) \ dx \|a|< m n / 1 K h ô n g g ia n Đ ịn h n g h ĩa 1 Không gian ẩẽm không gian bao gồm tất hàm f ( x ) thỏa mãn D af ( x ) (|a | < m ) bị chặn liên tục Mn \f(x )\m = Y l I , \ a \ < m 1 ẵup \ Daf { x ) \ x€Rn K h ô n g g ia n Đ ịn h n g h ĩa 1 Không gian hay ổễ°° không gian bao gồm toàn hàm khả vi vô hạn mà đạo hàm bị chặn liên tục Rn 1 K h ô n g g ia n y Đ ịn h n g h ĩa 1 Không gian không gian bao gồm tất hàm ụJ ẽ c ° ° cho với k , a tùy ý ( l + |x |2') D aíp(x) bị chặn Mn 36 áp dụng Định lý Holmgren Mặt khác, ta đặt ^max ĩĩlâx J (2.25) i=l, ., m; |ỉ| = l từ Aj(—£) = —Aj(£) ta có Amax ^ Trong phần tiếp theo, ta giả sử A ma x > Bây ta có: B ổ đ ề Giả sử mặt giải tích s xác định = lân cận (x 0, t ữ) e s Đồng thời, giả sử íp(x: t) thỏa mãn n v>ỉ > ‘PỈr i= (2.26) Mặt khác, u ( x , t ) ẽ c m xác định lân cận định (xữìt ữ) L[u] = với liệu Cauchy s , u ( x , t ) = lãn cận định (xQ,to) Chứng minh Ta cần c h ứ n g minh (2.24) rút từ (2.26) Từ m Ỉ=1 định nghĩa Amax giá trị số hạng dương A > Amax|£| Ngoài ra, tư Àmin = m f Àj(£) — Amaxi ~f~ neu À 0, cho D phần nón lùi: { ( x , t ) : |x — Xol = Amax(í0 — t )} có (x ữìt ữ) chóp thỏa mẫn t ^ 37 Ta thấy u ( x : t ) G c m xác định D thỏa mãn L[u] — 0, (ị) tức giá Cụ thể, u( x, 0) = 0, X e D n ụ = 0} (j = , , , m - 1), trị ban đầu u t = 0, u ( x , t ) = D u ( x , t ) liên tục D u ( x ữìt ữ) = Chứng minh Cho Sỹ (0 < ^ À^axíg) siêu diện giải tích xác định p h n g t r ì n h < p ( x , t ' , ) = A ^ ax( í — í o ) — \ x — X q \2 — = ( t < t o ) t h u ộ c Hiển nhiên u Se D, nghĩa D ’lan ra’ Sỹ Ngoài ra, ta có Ể = Amax(^ - t o ) = \ J2 0) cố định, liệu Cauchy Sg với í « < *L,*Ồ Do đó, đạo hàm tới cấp m S q Tập giá trị tập mở Mặt khác, hiển nhiên tập đóng, tập trùng với tập tất đoạn [ổ, A^^Íq] Nhưng ỏ nhỏ tùy ý,dođó u(x, t) = D □ C h ú ý Nếu Amax = 0, định lý với nón lùi: { ( x , t ) ẽ R n+1 : e(to — ì) > \x — Xo Ị} với e ( > 0) tùy ý Định lý tính nghiệm chứng minh Định lý 2.3.3 Thực tế, Định lý 2.3.3 mạnh hơn, ta minh họa tình sau: Cho truyền nhiễu lân cận ban đầu, xử lý truyền nhiễu theo t 38 biểu diễn (2.19)(Đ ịnh lý 2.3.2) Định lý nói tốc độ truyền nhiễu lớn Amax Ta tiếp tục sau: Cho giá giá trị ban đầu ty nằm V, lân cận ban đầu Giá trị u ( x , t ) (æqjÎo) {to > 0) xác định giá trị \1/ mặt cầu, \x — Xol < AmaxÍ j tức t r o n g p h ầ n g i a o c ủ a p h ẳ n g ’b a n đ ầ u ’ v n ó n lù i c ó ( x ữ ì t ữ) l c h ó p c ủ a n ó Nếu mặt cầu, \x — £o| < Amaxío không cắt V, = mặt cầu, u ( x ữ, t ữ) = Điều giá u ( x , t ) nằm diện tích quét nón phải c , c = {(æ, í); (t > 0), Amaxí > |íc|}, chóp tiến đến giá tức theo ngôn ngữ giải tích véc tơ, nằm tập sup p [Ỹ] + c Hơn nữa, giá u ( x : í)nằm lân cận c Điều tốc độ truyền nhiễu lớn Amax Kết hợp lại ta có: Đ ịn h lý Ta giả thiết Định lý 2.3.2, giả sử giá giá trị ban đầu Ỹ tập bị chặn R n Trong trường hợp này, giá nghiệm u L[u] = t = t (t > 0), nhận giá trị ban đầu t = thuộc ị X] u \x — £1 < Amaxí ^ nghĩa truyền nhiễu thực I £esupp[£] J toán tử L truyền với tốc độ hữu hạn không vượt Amax Amax hiểu theo nghĩa công thức (2.25) 39 2.4 Phương trình hyperbolic với hệ số Đ ịn h lý v ề s ự t n t i n g h iệ m Nhắc lại kết có Đầu tiên, từ Định lý 2.2.3, điều kiện cần để toán Cauchy phương trình (2.2) giải địa phương l n g h i ệ m đ ặ c trưng Xị ( X , t , £ ) g i tr ị thực v i m ọ i £ t i (x : t ) = (0 ,0 ) Trong trường hợp, toán tử L có hệ số không đổi điều kiện cần (2.9), điều kiện Hadamard, vậy, trường hợp điều kiện đủ (Định lý 2.3.2) nữa, tồn nghiệm toàn cục chứng minh Khi đó, theo Định lý 2.3.4, tượng điều chỉnh phương trình có tốc độ truyền hữu hạn, nghĩa truyền theo dạng sóng Ta phát biểu định nghĩa quan trọng sau Đ ịn h n g h ĩa Một toán tử với hệ số L: £[„]= (!)„+ Ẹ « j(Ễ )(D « \v\+jí°eíĩ ^ ® Hơn nữa, ta đăt sup 1Q (A ',0I |f|>l,|A'| 0) thỏa mãn m—1 > M c(ầd Lấy T i , r m đường tròn phẳng À7với tâm ỉA i(£°), ¿Àm(£°) bán kính c|£| Không tính tổng quát, ta thu hẹp chứng minh tới trường hợp |£| đủ lớn, nghĩa bán kính đường tròn nhỏ ị d Nếu À' € Tk ta có m—1 m > ^r(-d lei V =1 > 2M lẽĩ , |A'| < K + Vì IQ (A',£)| / |£| < M |£| Do A' G Tfc (k = 1, 2, ra), ta thấy n ív -a ^ í0)) > ![...]... nếu phương trình đặc trưng của L tại gốc tọa độ p (a ,o = a™ + < * , j ( 0 , 0 ) r v = 0(1.21) \v\ + j = m CÓ các nghiệm A¿(£), (i = 1 , 2 , , rrì) phân biệt với mọi £ E trong £ thì kết luận của Định lý 1 4.1 đúng £ 7^ 0, 16 Chương 2 T ính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy 2.1 K hái niệm về tín h đặt đúng đắn của bài toán Cauchy Cho toán tử Xét bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng: ... 1.2 B ài toán C auchy cho phương trình đạo hàm riêng 1 2 1 B à i t o á n C a u c h y c h ín h t ắ c c h o p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m r iê n g Ta biểu diễn một điểm thuộc Kn+1 thành (x, t ) = ( x i , , x n, t ) và một điểm thuộc Rn thành X = [ x i, , x n ) Toán tử vi phân cấp m dạng sau đây: được gọi là một toán tử dạng chính tắc Bài toán Cauchy chính tắc cho toán tử vi phân là bài toán tìm... đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện ban đầu trên s của toán tử vi phân bậc m Cho / xác định trong lân cận u của x ữ ( e s ), và cho Ỹ thuộc một lân cận xác định của Xq trong s Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm u ( x , t ) trong lân cận thích hợp w ( c u ) của Xq sao cho nó thỏa mãn 7 phương trình a u(x) = f ( x ) , (1.8) với điều kiện... minh rằng tính giải được của bài toán Cauchy không được thỏa mãn nếu L = A Mặt khác, trong mục này, ta sẽ thu được điều kiện cần của tính giải được từ quan điểm tổng quát Trong phần tiếp theo, Tính giải được địa phương được hiểu theo nghĩa của Định nghĩa 2.2.1 Trước tiên, ta trình bày kết quả thu được bởi Lax 21 M ệ n h đ ề 2 2 1 Cho các hệ số của (2.2) là giải tích Giả sử bài toán Cauchy liên... thuộc lớp hàm c ° ° và với / Ta sẽ kiểm tra bài toán trong mục này Xét phương trình : £[«] = (Ễ) «+ £ “*(*.*) (¿ ) (ẳ) “= /• \v\ + j < m j < m —1