Luận văn bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

Lí do chọn đề tài Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là m ột vấn đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.. Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

P H Ạ M T H U H I Ề N

BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TU Y ẾN TÍNH T ổ N G QUÁT

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N H Ọ C

H À N Ộ I , 2 0 1 5

Chuyên ngành : Toán giải tích

M ã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PG S T S HÀ T IẾ N N G O Ạ N

HÀ NỘI, 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

T á c g iả

P h ạ m T h u H iề n

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Hà

Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i t o á n

M ụ c lục

1.1 Một số không gian hàm 3

1.1.1 Không gian L 2 3

1.1.2 Không gian c m( Í 2 ) 3

1.1.3 Không gian Sobolev w™ ( í ỉ ) 3

1.1.4 Không gian ẩễm 4

1.1.5 Không gian ẩễ 4

1.1.6 Không gian <5? 4

1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 5

1.2.1 Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm r i ê n g 5

1.2.2 Siêu mặt trong không gian R n 5

1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm r i ê n g 6

1.2.4 Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc 7

1.3 Định lý C auchy-K ovalevskaya 9

1.4 Định lý H o lm g r e n 13

2 T ín h đ ặ t đ ú n g đ ắ n c ủ a b à i t o á n C a u c h y 16

2.1 Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy 16 2.2 Tính giải được của bài toán C a u c h y 17 2.2.1 Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán

Cauchy 17 2.2.2 Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy 20 2.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26 2.3.1 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26 2.3.2 Miền phụ t h u ộ c 35 2.4 Phương trình hyperbolic với hệ số h ằ n g 39 2.4.1 Định lý về sự tồn tại n g h i ệ m 39 2.4.2 Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với

tốc độ hữu hạn .42 2.4.3 Phương trình truyền s ó n g 45

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là m ột vấn

đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nhà toán học Hadamard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếu tố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính tắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trình hyperbolic.

2 M ục đích ngh iên cứu

Trình bày m ột cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bài toán Cauchy.

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệ giữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy.

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iền cứu

- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy.

- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh.

- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính.

Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6 Đ ó n g góp của đề tà i

Luận văn là m ột tài liệu tổng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ.

Chương 1

Các kiến th ứ c chuẩn bi

1.1 M ột số không gian hàm

1 1 1 K h ô n g g ia n L 2

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 Giả sử í ì c c là một tập mở trong R n Họ các hàm

u : Í2 —> c được gọi là không gian L 2 (Í2) nếu nó đo được và có chuẩn sau

1 1 2 K h ô n g g ia n c m(íỉ)

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Không gian c m(Í2) là không gian bao gồm các hàm khả vi, liên tục đến cấp m trên miền íỉ.

1 1 3 K h ô n g g ia n S o b o l e v w™ (íỉ)

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Không gian w™ (Í2) là không gian bao gồm tất cả

các hàm u (X) e L 2 (íĩ), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp

hữu hạn:

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Không gian hay ổễ°° là không gian bao gồm toàn

bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tục trong R n.

1 1 6 K h ô n g g ia n y

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 6 Không gian là không gian bao gồm tất cả các hàm

ụJ ẽ c ° ° sao cho với mỗi k , a tùy ý ( l + |x |2') D aíp(x) bị chặn trong Mn.

1.2 B ài to á n C auchy cho phương trìn h đạo hàm

riêng

1 2 1 B à i t o á n C a u c h y c h ín h t ắ c c h o p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m

r iê n g

Ta biểu diễn m ột điểm thuộc Kn+1 thành (x, t ) = ( x i , , x n, t ) và một

điểm thuộc R n thành X = [ x i , , x n) Toán tử vi phân cấp m dạng sau đây:

được gọi là một toán tử dạng chính tắc Bài toán Cauchy chính tắc cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm u ( x : t ) trong lân cận thích hợp

w ( c u ) của (a^o,0) sao cho nó thỏa mãn phương trình:

Khi X € s , vectơ ipx ( x ) ^ 0 và là vectơ pháp tuyến của mặt cong s Do

là vectơ pháp tuyến đơn vị trên s.

1 2 3 B à i t o á n C a u c h y t ổ n g q u á t c h o p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m

r iê n g

Cho toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính

Cho u ữ, , wm_ 1 là các hàm số cho trước xác định trên s , trong lân cận của Xq Trong trường hợp này, ta ký hiệu ^ = (Uq, wm_i ) là dữ kiện

ban đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện

Cho / xác định trong lân cận u của x ữ ( e s ), và cho Ỹ thuộc m ột lân cận xác định của Xq trong s

Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm

đó vectơ

(1.6)

(1.7)

Ta chú ý các số hạng E trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc

m — 1 theo x'n Ta chia các trường hợp như sau:

(1) Nếu ipx) 7^ 0 trong lân cận của X — x ữ, thì ta chia cả hai vế của (1.11) cho h( x, i px), tức là

Ta gọi (1.12) là dạng chuẩn tắc của (1.8) Trong trường hợp này, điều kiện

ban đầu có thể được viết lại thành

( ¿ ~ ) = U Á X ' l T - - i X ' n - l ) u = 0 , 1 , , m - 1 )

(2) Nếu h( x, ( px) = 0 tại X = Xq thì bài toán Cauchy rất khó nghiên

cứu Luận văn này tập trung xét bài toán trong trường hợp 1.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 1 (Siêu mặ t không đặc trưng) Nếu m ặt s xác định bởi

ụ>(x) = 0 (ụ>x 7^ 0) thỏa mãn

h( x, i px (x)) Ỷ 0, (x € S) ,

thì ta gọi s là m ột siêu mặ t không đặc trưng (để ngắn gọn, ta gọi ‘mặt

không đặc t rưng’) hay đa tạp không đặc trưng cho toán tử a ( x , d Ị d x )

1.3 Đ ịn h lý C auchy-K ovalevskaya

X ét toán tử dạng chính tắc:

Đ ịn h lý 1 3 1 (Cauchy-Kowalewski) Cho các hệ số của L là các hàm

giải tích trong lân cận u của gốc tọa độ của không gian (x , t ) Giả sử

f ( x , t ) giải tích trong u Gọi là các giá trị ban đầu và là hàm giải tích trong mộ t lân cận xác định V của gốc tọa độ trong không gian X Khi đó, tồn tại một lãn cận w của gốc tọa độ và tồn tại duy nhất hàm giải tích

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u { x , t )

là 0 Đầu tiên, nếu u ( x , t ) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì

u { x , t ) được xác định một cách duy nhất Trên thực tế, ta có thể chứng

minh rằng khai triển Taylor của u ( x , t ) tại gốc tọa độ được xác định một

cách duy nhất Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) thành

{ d ù u(x^t) = J 2 aj { x^ ^ f ^ ) ( KQ ị ) u(x ^) + f ( x^)^ (L15)

j = 0

trong đó a j ( x , í; £) là đa thức bậc (m — j ) có các hệ số giải tích trong lân

cận ucủa gốc tọa độ Bởi vì giá trị ban đầu của u { x , t ) là 0 theo giả thiết,

nếu ta xét

và khai triển Taylor của các hệ số của a j ( x , t ;£), thì c„j được xác định

duy nhất Trong trường hợp này c„ j được biểu diễn như một đa thức có: (1) Các hệ số của khai triển Taylor của hàm giải tích xuất hiện như các

hệ số của đa thức &o(x, í; , Ct m - 1 (:e, t; £).

(2) Các hệ số của khai triển Taylor của /( a : ,í)

Cho nên, bằng đệ quy theo j , ta kết luận cuj có thể được biểu diễn thành

một đa thức với các hệ số dương trong (1) và (2).

Tiếp theo, ta chú ý tính hội tụ của dãy hàm (1.16), để làm được điều

này, ta sử dụng chuỗi hàm trội, mà ta định nghĩa như sau: Ta nói F ( x , t )

là chuỗi hàm trội của ta hàm ý F ( x : t ) giải tích tại gốc tọa độ và

các hệ số c „ j của khai triển Taylor của F ( x : ì ) lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt đối của các hệ số tương ứng c„j của khai triển Taylor của tức là

C v , j ^ I c v, j I •

Ta mở rộng định nghĩa sang trường hợp đa thức khả vi Bằng cách nói

A ( x , í; £) là chuỗi hàm trội của a ( x , í; £) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ số

của hàm số tương ứng của A là m ột chuỗi hàm trội của các hàm tương ứng của OL theo nghĩa xác định như trên Đối với (1.15), ta định nghĩa các chuỗi hàm trội A j ( x , t ; £ ) i F ( x ì t) của f ( x , t ) m ột cách tương

Bây giờ ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữ

liệu Cauchy dương (ta hàm ý tất cả w ( x , 0), 0 ) , — — w ( x , 0)

có khai triển Taylor với hệ số không âm) là giải tích trong lân cận của gốc

tọa độ, thì w là chuỗi hàm trội của u Do đó u ( x , t ) là giải tích tại lân cận,

cho nên, tính tồn tại nghiệm của phương trình được chứng minh.

Bây giờ, ta giả sử tất cả các hệ số của a j ( x , t ;£) và f ( x : t ) là giải tích trong \xị\ ^ r (i = 1 , 2 , , n ) , \ t \ < r Cho tất cả các hệ số của

a j ( x , t ' i £ ) < M , và cho f ( x , t ) < d Trong trường hợp này tấ t cả các hệ

là một trong các chuỗi hàm trội, với p > 1 (mà ta sẽ xác định sau) Do

đó, tồn tại các đa thức thích hợp &(£0, £]., •••, £n)i c(£o> £].>•••> £n) và

s = (® H -\ - x n + p t ) / r , (|s | < 1).

Trong trường hợp này (1.18) là một phương trình vi phân

( T » ww = r

vr ' 1 — s b^ - ^ {s) + c ( p -w \ r as r as - ị 1 ị , 1 ± ) w + d r a s j

trong đó b(p) = 6(p, 1 , , 1) và b nhiều nhất là bậc (m — 1) Do vậy,

phương trình có thể được viết lại là

Bây giờ, ta chọn p đủ lớn sao cho b(p)p~m < 1.

Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện ban

đầu 117^(0), (j = 0 , 1 , , m — 1), luôn có một nghiệm chính quy duy nhất trong |s| < 1 — b(p)p~m Hiển nhiên, w ( s ) có khai triển Taylor với

hệ số dương Do vậy, nếu ta xét

w( x , t) — w ( s ) = w ( ( x 1 + - \- x n + p t ) / r ) , (1.18) có nghiệm w ( x , t ) mà có các hệ số khai triển Taylor dương hội tụ

Do đó, (1.18) chính là một khai triến hội tụ trong (*) Vì vậy, nó là một

1.4 Đ ịn h lý H olm gren

Đ ịn h lý 1 4 1 (Holmgren) Ta ký hiệu

D e = { { x , t ) e Mn+1; Ị;cỊ2 4- |íỊ < e} Giả sử tất cả các hệ số a uj ( x , t ) của L là giải tích trong lân cận u của gốc tọa độ Khi đó, tồn tại £o(> 0) sao cho với £ thỏa mãn 0 < £ < £o nếu

u ( x , t ) e C m{ D e) thỏa mãn

L u — 0 trong D s

( ỡ í ) U^X' = ° ’ 0 = ^ • • • ’ m “ 1) ’ X e D e n { t = 0 },

thì u( x, t) = 0 trong D e.

C h ú ý Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửa không gian

Trong trường hợp này, ta giả thiết u( x, t ) xác định trên D'e = D e n { t > 0 }

và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.

Chứng minh Ta định nghĩa một loại phép biến đổi đặc biệt mà cần thiết

trong phần tiếp theo Phép biến đổi Holmgren là phép biến đổi được xác

định bởi = Xj ( j = 1 , 2 , , n ), t' = t + xỊ + ■ ■ ■ + x 2 n, và ánh xạ từ

nửa không gian t ^ 0 vào miền íỉ = { ( x r,t') G M"+1; í / — \x'\2 ^ 0} Lưu

ý, hàm u( x' , t ' ) bằng 0 trên siêu m ặt, t' — \x'\2 = 0 sau phép biến đổi trở

thành đạo hàm bậc m của nó.

Do đó, nếu ta mở rộng hàm u bằng cách đặt giá trị bằng không của nó ngoài Í2, thì hàm được mở rộng có giá thuộc rỉ và là m ột hàm lớp c m Các

toán tử vi phân được biến đổi thành các toán tử vi phân khác trong một

lân cận đủ nhỏ, ta viết ( x , t ) thay vì Khi đó, ta có phương trình mới

£[«]=(!) u + EM *.i)(ẳ) (I ) « = 0

trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Q.

Bây giờ ta định nghĩa m ột toán tử quan trọng Một toán tử được gọi là

toán tử chuyển vị nếu nó thỏa mãn

Lưu ý, ở đây t L có dạng như (1.11), và các hệ số của v ( x , t ) giải tích.

Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện

/ Q \ m - 1

\ d t ) v { x , h ) = P { x ) ,

với P ( x ) là m ột đa thức, vào điều kiện ban đầu giả định trước, thì nghiệm của phương trình tL[v] = 0 tồn tại trong lân cận của D = íỉ n {0 ^ t ^ h } với mọi h thỏa mãn 0 < h < /lo, hữ > 0, và hữ đủ nhỏ h ữ có thể được chọn độc lập với đa thức p ( x ) Từ đó, suy ra J u( x, h ) p { x ) d x = 0 với bất kỳ

đa thức P ( x ) , tức là cho u ( x , h ) là hàm liên tục có giá compắc theo X thì

u ( x , h ) trực giao với bất kỳ p ( x )

Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u( x, h) = 0, do đó

u ( x , t ) = 0, trong ( x : t) € ri n {0 ^ t ^ ho} Nếu t ^ 0, thì ta thay t bởi

—t.

Đ ịn h lý 1 4 2 (Calderón) Cho tất cả các hệ số của a uj ( x , t ) ( l ^l +j = m )

trong lãn cận u của gốc tọa độ (ơ là một số dương tùy ý), và cho các hệ số khác bị chặn trong u Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưng của L tại gốc tọa độ

p (a , o = a ™ + < * , j ( 0 , 0 ) r v = 0 ( 1 2 1 )

\v\ + j = m

CÓ các nghiệm A¿(£), (i = 1 , 2 , , rrì) phân biệt với mọi £ E £ 7^ 0,

2.2 T ín h giải được của bài to á n C auchy

2 2 1 K h á i n iệ m v ề t í n h g iả i đ ư ợ c đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b à i t o á n

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 1 (Tính giải được địa phương) Ta nói phương trình

(2.2) là giải được địa phương tại gốc tọa độ trong c , nếu với bất kỳ

f ( x , t ) G C ( U ) và với mọi dữ kiện ban đầu ^ = (u ữ( x ) , , um- i ( x ) ) G c ,

tồn tại một lân cận -D(/$) của gốc tọa độ, u ( x , t ) ẽ C ( D ự q /)) thỏa mãn

L[m] = / với (a:,í) G -D(/$) và

( ẳ ) u (x ’ °) = ^ e D Ư,*) n = ° } ’ (j = 0 , l , , m - 1) Điều kiện ta áp dụng ở trên ở dạng khá mạnh, ta có thể sử dụng một định nghĩa yếu hơn như sau.

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 2 Ta nói phương trình (2.2) giải được địa phương tại gốc tọa độ trong c m, nếu với bất kỳ f ( x , t ) G C ( U ) và với mọi giá trị ban đầu ^ € c , tồn tại m ột lân cận D ự và u là hàm khả vi liên tục m lần trong D ự n { t > 0 } và thỏa mãn L u = / , và trong D ự $) n { í ^ 0}, u

là hàm khả vi liên tục (m — 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0.

Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩa trong Định nghĩa 2.2.2.

Cuối cùng, từ điều trên, với u ữ( x ì y ) nếu ta chọn một hàm sao cho hạn

chế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bài

toán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tại

gốc tọa độ.

Ta chứng minh A ủ — 0 trong Bỹ Đây chính là định lý cổ điển của

nguyên lý phản xạ Schwartz Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của

nó là: cho íp G và cho

(ủ, A ip) = / ủ( x, y, z ) A( p( x, y, z ) d x d y d z

= lim { - / a ^ d x d y d z + í ( ? ! + S f ) p i x d y d z }

Khi đó, ta có thể thấy rằng ũ( x, y, z ) e C ( B g ) theo [1] (Hệ quả của Định

lý 3.22), tức là ũ là hàm giải tích và điều hòa.

Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: B ất kỳ hàm điều hòa xác định trên tập mở íỉ c Kn là giải tích Đầu tiên, ta có

và đặt vế phải = g( x) Khi đó, g €E ^ (Í 2 ).

Nhân E ( x ) vào hai vế của phương trình thu được

Bây giờ, ta lấy ổ (> 0) đủ nhỏ và xét a { x ) trong \x — X q \ < ỏ Thì ta

thấy a ( x ) = 1 Ngoài ra, g ( x ) không có giá trong cùng lân cận, do đó

( n — 2) S n J ị „

u (x ) =

n |y-z0|^<5 \x - y I n —2 d y , (|a; - x 0| <

Từ đây, ta thấy u ( x ) là giải tích trong lân cận của x ữ, trong đó x ữ là tùy

ý Do đó, u ( x ) là giải tích trong Q.

Nếu n = 2, ta sử dụng

để thu được kết quả tương tự.

Ta sẽ kết thúc mục này bằng chú ý về sự tồn tại nghiệm toàn cục Ta đưa ví dụ mà chỉ ra kết quả rằng nếu các hệ số của toán tử L, / và \1/ giải tích, thì theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại m ột nghiệm địa phương, mặc dù, trong trường hợp tổng quát, nghiệm địa phương không thể mở rộng thành m ột nghiệm toàn cục.

V í d ụ 2 2 2 (Hadamard) Cho L = (ỡ 2/ d x 2) + (d 2/ d y 2) trong R 2 Trong

trường hợp này,

thỏa mãn L[u\ = 0 Hiển nhiên, giá trị ban đầu u ( 0 , y ) và ( d / d x ) u ( 0 , y )

là giải tích đối với y Nhưng, do tính kỳ dị của nghiệm tại (a , 0), ta không thể coi nghiệm này là nghiệm toàn cục cho phương trình L\u\ — 0 trong

X ^ 0 Mặt khác, nghiệm của A u = 0 là giải tích, nên nghiệm của phương

trình L[u] = 0 với dữ liệu ban đầu cho trước tại X = 0 không là một nghiệm trong nửa không gian X ^ 0.

2 2 2 T ín h g iả i đ ư ợ c đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b à i t o á n C a u c h y

Trong mục trước, ta đã chứng minh rằng tính giải được của bài toán

Cauchy không được thỏa mãn nếu L = A Mặt khác, trong mục này, ta sẽ

thu được điều kiện cần của tính giải được từ quan điểm tổng quát Trong phần tiếp theo, ’Tính giải được địa phương’ được hiểu theo nghĩa của Định nghĩa 2.2.1 Trước tiên, ta trình bày kết quả thu được bởi Lax.

M ệ n h đ ề 2 2 1 Cho các hệ số của (2.2) là giải tích Giả sử bài toán

Cauchy liên quan đến L là giải được địa phương tại gốc tọa độ Trong trường hợp này, tồn tại ô ( > 0); và với bất kỳ dữ kiện ban đầu \1/ = (uữ( x ) , , wm_ i( x ) ) e c , tồn tại duy nhất mộ t nghiệm u ( x , t ) e C m( D s ) thỏa mãn

{ d ỳ

L u = 0 trong Dỹ, ( ) u ( x , 0) = Uj(x), X € Dỹ n { t = 0}.

C h ú ý Ta vừa đưa định nghĩa D ị trước định lý của Holmgren, tức là

Dỹ — { ( x , t ) e Mn+1 : \x\2 + |í| < ổ} Trong định nghĩa của tính giải được

địa phương, mỗi miền giá trị của m ột nghiệm phụ thuộc giá trị ban đầu

Mặt khác, bổ đề trên nói rằng mọi u tương ứng với ty có chung miền

khi và chỉ khi:

(1) Tồn tại u ( x , t ) € Ị ^2n]+1+m (_DeJ sao cho

{ ( ẳ ) w^ , 0 ) j = X £ D ek n ụ = oỳ, L u = 0 trong D Ek,

( 2 ) | K M ) | | [ i n ] + l + m <

V-Ta thấy Akp đối xứng, tức là, nếu Ỹ G Akp thì —Ỹ G Akp, và lồi

Từ giả thiết của tính giải được địa phương, ta có u A *,p - n c { R n).

kp

Ngoài ra, A kp cũng đóng (ta sẽ chứng minh sau) Cho tyj G A kp —> ^ 0

t r o n g n C ' ( R n ) U j ( x , t ) t ư ơ n g ứ n g v ớ i \l/j t ạ o t h à n h m ộ t t ậ p b ị c h ặ n c ủ a

Do đó, tồn tại dãy con Uj là dãy hội tụ yếu Hơn nữa, theo [1] (Hệ quả

của Định lý 3.7) U j có thể được giả sử là một dãy hội tụ của w ị ị ^ m( D ek)

Vì vậy, nếu ta viết giới hạn của hội tụ yếu của Uj là Uo thì ta thấy

u 0( x , t ) e W ^ nì+1+m{ D Sk) và ||M0||[in]+i+m < p (theo [1], Bổ đề 2.5)

Thêm vào đó, ujp( x , t ) -> u Q( x , t ) trong w ị ị ^ m( D Ek) Để thấy A kjP đóng,

ta tiến hành như sau:

Từ Luj = 0, với bất kỳ ip G @ ( D Sk) ta có ( Luj ,ip) = (Uj * Lự)} = 0

do đó ( « o / L(p) = 0 Theo Bổ đề Sobolev, ta có

ujp(x, 0) -» u 0(x, 0) trong C m~1( D Ek n ụ = 0 }).

Do đó,

Ị ( a D M(x ’ ° ) | = ^ o (^ ), x & D e k n { t = 0},

tức là ỸQ G Akp, vì vậy Akp là tập đóng.

Theo Định lý phạm trù của Baire (xem [1], Định lý 2.2), một trong

xứng và lồi (như m ột tập), nó chứa một lân cận nhất định của gốc tọa

độ Cho nên, nếu ta viết \l/ là giá trị ban đầu, thì với A (^ 0) đủ nhỏ, A\l/

thuộc AkữPữ Do đó, m ột nghiệm