Bài toán biên thứ nhất đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm

ì ì P P Pì P ì ì ìP P Pì P ì số ữớ ữợ ổ r tr tr tr tỹ ổ trũ ợ t ổ ụ r sỹ ú ù tỹ ữủ ỡ tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ữớ t P ữủ t ữợ sỹ ữợ t t sỹ ỷ ỡ t s s ổ ổ ụ ỷ ỡ t t ổ tr trữớ ữ P ụ ữ t ổ t õ ỳ ữớ t t t sỹ t t tr ú tổ tự ố ũ ỷ t ỡ ố ỡ ỡ ỗ ổ ỗ ú ù tổ tr sốt q tr t ự ụ ữ tr q tr tỹ t ữớ t P ử ỡ ử ữỡ tự Pữỡ tr r t t ổ H () () ổ Hloc ổ H () ổ H 1,0 (QT ) 1,0 ổ H (QT ) t tự t ố ợ ữỡ tr t t tự t ố ợ ữỡ tr t tờ qt t tự t ố ợ ữỡ tr t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr r t ộ ủ tự t s rở t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr tr t t t ợ số số ữỡ t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ Pữỡ tr r t t ợ trữ ổ t tự t P tr Pt t tự t trủ ổ tự r t tỷ ỹ tỗ t s rở t tự t t tr Lp () ỹ tỗ t s rở t tự t tr ổ Lp () t t é ổ ữỡ tr r ữỡ tr t ỵ t ởt ổ t ỡ ứ t ỵ tt ứ t ự rở t õ ỹ ỵ tt t Pữỡ tr t t ự q tr ổ t tớ q tr ứ ữỡ tr r r t ự q tr õ t tớ q tr ổ ứ ữỡ tr ữớ t ỹ t tr t t tớ t = 0, t q tr r ổ t t ữỡ tr ố ợ ữủ t ứ ộ t ữủ trỏ rt q trồ tt ỵ tt ữỡ tr r ố ữủ s ữỡ tr r t ữỡ tr r t t t t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ ự ởt số t t ỡ ữỡ tr r tr tờ q ỵ tt t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ ỗ õ ữỡ ợ t ữ s ữỡ r ởt số tự ỡ ổ ữ H () , 0 1,0 H () , H (QT ) , H (QT ) , t tự t ố ợ ữỡ tr t t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr r ữỡ r t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ sỹ tỗ t s rở t t tự t ữỡ tr r t t ợ trữ ổ ự t ữỡ tr t r ữ ỳ 1 Hloc () , 1,0 trữớ ủ t ữỡ tự r ữỡ tr ởt số tự ỡ ổ t tự t ố ợ ữỡ tr t t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr r ữỡ ữủ t tứ t [2] , [3] , [4] Pữỡ tr r t t ởt tr ổ Rn ợ x = (x1 , x2 , , xn ) ởt ổ Rn Dxi = t tỷ r t xi xi sỷ = (1 , , , n ) t ủ số tr õ i số ổ || = n i õ i=1 D = Dx11 Dx22 Dxnn = uxi xj || ỡ ổ t ũ x11 x22 xnn 2u r = xi xj Pữỡ tr r t t ữỡ tr õ n 2u L (u) a (x) + x x i j i,j=1 n (x) i=1 u + a (x) u = f (x) , xi tr õ ởt ởt tỡ t tr Rn , u ởt t tỷ t t tr , [aij (x)] tr ỗ số t tỷ tọ a (x) = aji (x) , i, j = 1, n P ữỡ tr r t t ự ữỡ tr t t r õ ữỡ tr r t t õ r ữớ t ữỡ tr ỡ ữỡ tr t ữỡ tr r ữỡ tr r t ữỡ tr r t t t A (x) = [a (x)] , a (x) ữủ tỹ i, j = 1, n sỷ x0 ởt tũ ỵ (x0 ) , (x0 ) , , n (x0 ) tr r tỹ tr A (x0 ) n+ = n+ (x0 ) số tr r ữỡ n = n (x0 ) số tr r n0 = n0 (x0 ) số tr r ổ n = n+ + n + n0 õ Pữỡ tr ữủ ữỡ tr t t x0 t t x0 n+ = n n = n Pữỡ tr ữủ ữỡ tr r t x0 r t x0 n+ = n n = n+ = n = n Pữỡ tr ữủ ữỡ tr r t x0 r t x0 n0 > Pữỡ tr ữủ ữỡ tr t r r tr t tữỡ ự õ t r r t ộ t ữỡ tr r 2u 2u + a(x ) = f (x), x21 x22 ự t ợ ữủ s r tứ tự n n a j y Fxl k ys Fxsj Fxp Fxp kj a k j = k,j=1 k,j=1 n a j Fxl k Fxsj j s Fxp Fxp = (yn yn ), k,j=1 tr ữỡ tr ỏ = , n tỡ t tr ỡ tr tr ổ (y1 , , yn ) , , t ữủ s r tứ t t ỵ ữủ ự ổ tự r t tỷ v C ( ) tỷ ữủ t ữợ sỷ n n n kj L (u) = k k,j=1 akj xj )uxk + Cu, (b (a uxk )xj + j=1 k=1 tr õ t tt r t ữỡ n akj (x) k j ổ k,j=1 ổ ữỡ t ộ x n t k akj xj ), t õ k = (b j=1 n n kj L (x) = a vxk xj k k,j=1 v xk + Cv k=1 n n kj L (u) v L (v) u = a uxk v xj k,j=1 n kj a vxk k,j=1 xj k + uv x k j=1 tự tr sỷ ổ tự strrs t ữủ (L (u) v L (v) u) dx = n n akj uxk v ( k,j=1 n akj vxk )j + k uvk d, j=1 k,j=1 ợ = (1 , , n ) tỡ t tr ỡ tr , d tỷ t tr n ó r tr t õ akj j = 0, k = 1, n j=1 n t sỷ x , akj x0 k j = 0 k,j=1 n õ t tt t ữỡ akj x0 k j ổ k,j=1 õ ổ ữỡ t õ ợ õ t ữỡ n akj x0 k j t ỹ t t = r õ t k,j=1 k = tt akj = ajk r t ữỡ n t k akj j j=1 n ỏ tr , = (1 , , n ) = 0, k = n a j t b = kj j=1 k k k=1 ứ tự s r (L (u) v L (v) u) dx = v v u u d buvd , n tr õ akj j k,j=1 xk ứ õ t ự ữủ s sỷ t tỷ õ n n kj L (u) = tr õ t ữỡ akj xj )uxk + Cu, (b (a uxk )xj + k,j=1 n k k=1 n akj x0 k j k,j=1 t ởt x ( ) j=1 ổ ữỡ ổ v C ( ) , akj = ajk , (L (u) v L (v) u) dx = v k, j = 1, n u v u õ tr õ buvd, d n akj j k,j=1 xk ổ tự ữủ ổ tự r t tỷ ụ ổ tự r ữỡ tr ỹ tỗ t s rở t tự t t tr Lp () r t t trỡ t n n bk (x) uxk + Cu = f , kj a (x) uxk xj + L (u) = k=1 k,j=1 u = tr t ữủ sỷ ự ỵ sỹ tỗ t s rở t tự t p p |u| dx u Lp () = u Lp (i ) = p p |u| d , i = 0, i sỷ u C ( ) , u = tr 3, tr ữỡ tũ ỵ s õ p +, sỷ tỗ t số C ( ) tọ L () + (p 1) C > õ max p || u Lp () [L () + (p 1) C] L (u) Lp () ự ổ tự r u2 + p ợ > tr tũ ỵ t õ p p L () u2 + dx L u2 + dx u2 + p 2 b u + d = u + p d p u2 + p d d, u + p 2 =p u + p n akj uxk xj = tr u k,j=1 t L u2 + p d b u2 + d = p = u2 + p uL (u) + C u2 + n akj uxk uxj p u2 + + p 2 p (1 p) u2 + (p 1) u2 + k,j=1 tr t tự tọ r t õ n akj uxk uxj 0, p 0, k,j=1 r p L () u2 + u2 + p C (1 p) u2 + dx p p u2 + p bd 2 d p uL (u) dx + r t tự t t t p t u2 + t 21 u2 + |u|p2 u t p t lim u + p L () C u2 + (1 p) u2 + = |u|p [L () (1 p) ] tứ t tự t ữủ pmax || p |u| dx [L () + (p 1) C] |u|p1 |L (u)| dx |u| |L (u)| dx r pmax || |u| dx [L () + (p 1) C] t tự r t tr t õ pmax || u Lp () [L () + (p 1) C] L (u) Lp () ữủ ự ỵ tr t ợ tr ợ s C + (1 p) C > tr tr t õ u Lp () u C ( ) tọ s p L (u) [C + (1 p) C] Lp () C < tr t tọ ợ s C + (1 p) C > tr C < t tọ ợ p ợ u C ( ) tr ự ợ = 1, L () = C s r u Lp () p L (u) [C + (1 p) C] Lp () ú ỵ C < 0, u C ( ) u = tr t tr t tự t õ t q ợ p t sỷ õ ởt số p0 s C + (1 p0 ) C > p > p0 t õ C + (1 p) C > C (p0 p) t tự ữủ t ữợ u Lp () p L (u) (p p0 ) |C| Lp () q ợ p tr t tự t ữủ ỹ s ợ t u C ( ) ũ ợ u = tr tọ t tự max |L (u)| |u| |C| ỵ sỷ tr õ tọ p tỗ t tọ s < 0, L () + (p 1) C > tr , = tr õ ợ t u C ( ) s L (u) = tọ t tự u C (2 ) u Lp () kp u Lp (2 ) ợ + kp u Lp (3 ) kp = p max |b| |L () + (p 1) C| , kp = n akj xk j max p k,j=1 |L () + (p 1) C| ự ổ tự r số u2 p ợ ọ tũ ỵ t õ p p L () u2 + dx p p 2 b u + d = L u2 + L u2 + dx = p u2 + p u + d p uL (u) + C u2 + n p akj uxk uxj p u2 + + p (1 p) u2 + (p 1) u2 + k,j=1 t õ p L () u2 + dx p u2 + p uL(u)dx C u2 + (1 p) u2 + dx n kj p 2 a uxk uxj p u + p (p 1) u2 + dx k,j=1 b u2 + d+ p p b u2 + d+ b u2 + p d p b u2 + d p u2 + d q ợ t tự tr t õ u p b|u|p d + [L () + (p 1) + C] dx |u|p d t kp = p max |b| |L ()| + (p 1) C kp = õ u Lp () n max akj xk j k,j=1 p |L ()| + (p 1) C kp u Lp ( 2) + kp u Lp ( 3) ỵ ữủ ự ỹ tỗ t s rở t tự t tr ổ Lp () sỷ u C ( ) tr ợ v C ( ) , v = tr õ tứ ổ tự r s r uL (v) dx = vL (u)dx u Lp () s rở t L (u) = f u = 0, tr , ợ v V t tự s tọ uL (v)dx vf dx = ỵ sỷ tỗ t C ( ) cho L () + (q 1) C > , tr õ < q < + số ủ ợ q tự p1 + 1q = õ ợ t f Lp () ổ tỗ t s rở t tọ t tự inf u + u0 Lp () u0 z k f Lp () , k = const é t u0 tở Lp () s ợ v V t s tọ u0 L (v) dx = ự v C ( ) s v = tr , q t t õ max q || v Lq () [L () + (q 1) C ] L (v) Lq () trỏ t tỷ L (v) tr t ủ õ trỏ t tỷ L (u) tr t ủ t f vdx ữ ố ợ tr ổ LP () 1 + = p q t tự r t ữủ f vdx f Lp () v Lq () kq L (v) Lq () max q || kq = [L () + (q 1) C ] f Lp () , sỷ Lq () ổ ổ Lq () ữủ tứ ổ Lq () L (v) , v V t ổ Lq () ợ ổ tữỡ Lp () /Z s L (v) zdx = 0, ợ v V t z Lp () tr Lq () õ t t tr tr Lq () tr Lq () õ t t ữợ uL (v) dx; u Lp () ó r ợ ổ tữỡ Lp () /Z ữ r ởt t õ tr Lq () ứ t tự s r f vdx t t tử ố ợ x Lq () õ õ t t ữợ r uL (v) dx ợ u Lp () /Z f vdx = õ t tự ố ợ uL (v) dx f Lp () v Lq () kq L (v) Lq () f Lp () Lp () tr ổ Lq () s r inf u + u0 u0 z Lp () kq f Lp () , u0 Z t k = kq ỵ ữủ ự t rữớ ủ ố ợ ữỡ tr t t tr Rn ợ õ Pữỡ tr õ t t ữợ n n kj L (u) = a (x) uk k,j=1 xj bj (x) uxj + c (x) u = f (x) , + j=1 ợ bj (x) ữủ t ởt tữỡ ự = (1 , , , n ) tỡ t tr ỡ tr x0 , x0 = n õ akj x0 k j > = k,j=1 ứ õ s r = , = t tự t ữỡ tr s ữủ t ữ s số tr tọ L (x) = f tr u = g tr r trữớ ủ t tr t tự t ữỡ tr t ữủ tr tr ữỡ tr Rn ợ õ õ QT = ì [0, T ] trử õ t q T = {(x, t) ; x , < t < T } tr QT T = {(x, t) ; x , t = T } ữợ QT = {(x, t) ; x , t = 0} = (1 , , , n , n+1 ) tỡ t tr ỡ tr QT r o t õ = (0, 0, , 0, 1) r T t õ = (0, 0, , 0, 1) r T t õ = (1 , , , n , 0) , = rữớ ủ ố ợ ữỡ tr r n õ t õ x T : akj x0 k j = 0; k,j=1 n akj x0 k j = 0; x T : k,j=1 õ = T ; = T r trử QT sỷ ữỡ tr r n n kj L (x) = ut a (x) uxk xj bj (x) uxj + c (x) u = f (x) + j=1 k,j=1 ữỡ tr ợ t ữủ ữỡ tr ợ trữ ổ s n n kj ut a (x) uxk xj bj (x) uxj c (x) u = f (x) j=1 k,j=1 xn+1 = t õ = (1 , n , n+1 ) r õ s n n k akj ) (k n+1 ) xj (b b (x) = k=1 j=1 õ b (x) = > tr T b (x) = < tr t s õ = T = T = {(x, T ) ; x } ; = = {(x, 0) ; x } ; = T = {(x, t) ; x , < t < T } t tự t ữỡ tr s ữủ t ữ s tr tọ L (u) = f tr ; u (x, 0) = u0 (x) , x ; u (x, t) = (x, t) , (x, t) T ữ t tr trữớ ủ ữỡ tr t ộ ủ tự t t ữỡ tr r ữủ tr tr ữỡ ó r t t r ợ ữỡ tr ợ trữ ổ ự ữỡ tr t r ữ trữớ ủ t tr ởt số t q t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ r tr ỳ s r tờ q ởt số ỡ q ữ ổ t tự t ố ợ ữỡ tr t t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr r r t tự t ữỡ tr r t t ợ trữ ổ t trỡ t tự t ự ỵ sỹ tỗ t s rở t tự t t t [1] t t [2] ữỡ r r Pữỡ tr r t [3] ứ ủ tr ữỡ tr r t [4] ũ Pữỡ tr r t ố t [5] s r rt Pss rrr r r [6] rr qt t t r s Prs t Prt rt