Bài toán biên thứ 2 đối với phưong trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

2 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI - - Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tự thân thực hiện, có hỗ LÊ HOÀNG trợ hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn ANH Mạnh Hùng không chép công trình nghiên cứu người khác đế làm sản phẩm riêng Các nội dung sử dụng luận văn có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực nguyên luận văn BIÊN ĐỐI VỚI Neu BÀI phát TOÁN có sựTHỨ gian lận xin PHƯƠNG hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, kết luận văn TRÌNH HYPERBOLIC CẨP TRONG TRỤ VÔ HẠN Hà Nội, ngày 16 thảng năm 2013 Tác giả Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng - - Mục lục Phần I : Mỏ’ đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần II: Nội dung nghiên cứu .6 Chưong I : Các không gian hàm 1.1 Không gian Banach .6 1.1.1 Không gian định chuấn 1.1.2 .Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 .Tích vô hướng 1.2.2 K hông gian Hilbert 11 1.3 Không gian Sobolev .14 1.3.1 Đạo hàm suy rộng .14 1.3.2 Không gian Sobolev .15 Chương II Bài toán CauchyNeumann phương trình Hyperbolic trụ vô hạn .19 2.1 Giới thiệu: 19 2.2 .Thiết lập toán 20 2.2.1 .Đặt toán 21 2.2.2 .Sự tồn nghiệm 23 Chưong III Bài toán biên thứ đối vói phương trình Hyperbolic Phần III: Danh mục tài liệu tham kháo 45 Phân 1: Mở đâu Lý chọn đề tài Lí thuyết toán biên phương trình, hệ phương trình dừng không dừng tuyến tính miền trơn nghiên cứu gần hoàn thiện vào kỉ XX Tuy nhiên, vấn đề quan trọng đặt tính trơn biên bị phá vỡ, tức biên miền xét toán chứa điếm kì dị Các kết nghiên cúư mang tính chất móng V.A Kondrative năm 1967 giải số vấn đề mang tính nguyên lí đế khắc phục điểm biên kì dị toán biên tổng quát phương trình Elliptic Từ kết quan trọng V.A Kondrative nhà toán học tiếp tục nghiên cún hệ phương trình Elliptic hướng nghiên cứu hoàn thiện vào năm chín mươi kỉ XX Nghiên cúư toán biên phương trình hệ phương trình không dừng trụ có đáy miền với biên không trơn nghiên cứu cách hệ thống với hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic Schrodinger Trong đó, kết toán biên tống quát phương trình hệ phương trình Hyperbolic có úng dụng thực tiễn quan trọng vật lí, học hóa học lượng tử Chình “Bài toán biên thứ phưong trình Hyperbolic cấp trụ vô hạn” đề tài mà lựa chọn nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cửu đề tài Đối tượng nghiên cứu đề tài Phương trình hyperbolic bậc với điều kiện Cauchy-Neumann trụ - - Phần 2: Nội dung nghiên cứu Chưong1 Các không gian hàm 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuân Định nghĩal.1.1 Giả sử X không gian tuyến tính trường số thực hay số phức K, p nửa chuấn xác định X , tức p ánh xạ X —» i thỏa mãn hai điều kiện : a) p Ảx = |Ắ|/7 X VxeX,V/leK b) p x + y < p x + p y Vx, ỵ e X Theo nhận xét p X >0 Vxe X Ta có p =0, xảy p X - vói x^o Neu p thoa mãn them điều kiện: c) p X = => X = , p gọi chuấn X Khi ta kí hiệu ||x|| thay cho p X Như chuấn ||.|| thỏa mãn ba điều kiện: 11 agian làTôpô không gian Banach Jt m x=gian dãy với phép toán đại số thông thường với chuấn : HI = maxlx t I II II tes I I Ví dụ 4: C l không gian Banach Ta chứng minh cho Từ (1.1.3) suy0 ra: x < VAI không gian C0 ; chứng minh tương tự (1.1.5) m0 Tức xn = lim* / Ví dụ 6: / ư,z? /?> không gian Banach Định lý Fisher-Riesz lý thuyết tích phân Lebesgue /, a,b không gian Banach Tính đầy đủ không gian / ci,b p> chứng minh tương tự y= ĩlvrỊ2, ,rỊk : x,y + =ỉ l Tj,+ậ Jì giữ vai trò quan trọng khái niệm ứng dụng rộng rãi toán học, học, vật lý, Biết tích vô hưóng cặp vectơ có - 10 - vectơ với nó) góc hai vectơ (cosin góc tích vô hướng hai vectơ chia cho tích độ dài chúng) Thành thử khái niệm tích vô hướng bao hàm khả đo độ dài, đo góc, từ đến khái niệm quan trọng khác tính trực giao, hình chiếu thang, Ta xét xem làm đưa khái niệm tích vô hướng vào không gian định chuấn Ta nhận thấy tích vô hướng X, y hai vectơ X, y i k có tính chất cốt yếu sau đây: x,y = y,x x + y , z = x,z + y,z ax,ỵ =a x,y với số thực a x,x >0nếux^0; x,x =0nếux=0 Vả lại tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) vecto- hệ thức * _ II \\2 ||x+y||2 + ||x-y||2 = ||x||2 + ||y||2 -11 - Đắng thức có nghĩa là: tống bình phương cạnh hình bình hành tồng bình phương hai đường chéo, thường gọi điều kiện bình hành Vậy muốn đưa tích vô hướng vào không gian định chuấn không gian phải thỏa mãn điều kiện bình hành Ngược lại có thê chứng minh ( không khó ) không gian định chuấn thoa mãn điều kiện bình hành cách đặt x,y =ị ||x+y||2-||x-x||2 (1.2.2) ta có hàm hai biến X, y với tính chất đến Tóm lại, không gian Hilbert chang qua không gian định chuấn thoa mãn điều kiện bình hành (1) Nhưng phần lớn úng dụng, khái niệm tích vô hướng trước khái niệm chuẩn, lý thuyết không gian Hilbert người ta thường xuất phát từ không gian tuyến tính (chưa định chuấn ),lấy tính chất - làm tiên đề đế định nghĩa tích vô hướng không gian đó, định nghĩa chuẩn Tức ịxị = yj x,x (đương nhiên cần chứng minh chuấn, nghĩa thỏa mãn đủ tiên đề chuẩn) 1.2.2 Không gian Hilbert Một không gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert, có xác định hàm hai biến X, y , gọi tích vô hướng - 12 - Trước hết, với số thực a ta có 0< x-aỵ,x-aỵ = x,x -2a x+ỵ +a y,y , tam thức bậc hai theo a phải có biệt số < : I x,y \2 - x,x y,y ([...]... 2 t Từ (2. 2 .26 ) và (2. 2 .27 ) ta thu được r (s)là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào ỊẤũ,jLi và + iC c,r) Ôs-t(0 c 5- Ả' 7.(0 = Ký hiệu O.T-.Ũ íì (2. 2 .23 ) Y ; i=l ,2, 3 k -’r IL Jt=0 + k o.r:L2 n (2. 2 .24 ) Trong đó là/J_fc(í) đa thức của t bậc 1-k với các hệ số chỉ phụ thuộc vào jư0,jU C,T)* _ + \ < e/TỲp T / Từ (2. 2 .28 ) ta được: và ỵ, ỵ > ỹỉ 0.7;Z? 2 Từ P (2. 2.13) ta được (2. 2 .24 ) với 1 = 0 Giả sử rằng (2. 2 .24 )... đó cùng với (2. 2.14), (2. 2.18)- (2. 2 .20 ) (2. 2 .20 ) ' k=ỉ\SJ +2Re Ẻ|* í(v' ul-’r ’ T *=lvV " - 32 33 +C 2% [ k- — B us,us ĩ + Ẳn u .,T L.Q Zọ o (2. 2 .22 ) = 2Re(v,.*£)0i -2Re(/;,,«;1}„r _ V ( ìt\ /í Ị ,r , u trong đó (s)là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào /J0,JU và s ; i=l ,2 - X ReẺ * i(% < , (2s+\)nu -2 9 9 + 1 + k = /.7=1 2ysjij=\\ 2 c 1 Chọn ... P (2. 2.13) ta (2. 2 .24 ) với = Giả sử (2. 2 .24 ) với Trong hk (í) đa thức với hệ số phụ thuộc vào jLi0,jLí r, r>rs Sau đóTừ T^ ^với 0