bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

7 1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 9 1.1 Định lý Lax Milgram.. 15 1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2.. 25 2 Bài toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình

elliptic 4

2 Ký hiệu và kiến thức bổ sung 6

2.1 Ký hiệu 6

2.2 Các không gian hàm 6

2.3 Một số kiến thức bổ sung 7

1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 9 1.1 Định lý Lax Milgram 9

1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 11

1.2.1 Không gian Sobolev H10(Ω) 11

1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng 12

1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet 14

1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 15

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 20 1.3.1 Điều kiện "bức" 23

1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 25

2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29

2.1.1 Bất đẳng thức Garding 29

2.1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

cấp cao 342.2 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder và bài toán Dirichlet thuầnnhất 362.2.1 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder 362.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp 2 442.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp cao 50

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một phần quan trọng trong lýthuyết phương trình đạo hàm riêng Mặc dù nhiều mô hình toán học của các bàitoán cơ học và vật lý được mô tả bởi những phương trình vi phân không tuyếntính, nhưng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính được bắtđầu từ hàng thế kỷ nay và được tiếp tục đến tận bây giờ Những kết quả củaviệc nghiên cứu này vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàmriêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải quyết không chỉ những vấn đềliên quan đến vật lý cơ học mà còn nhằm giải quyết nhiều vấn đề về tự nhiên,kinh tế và xã hội, chẳng hạn như mô hình quần thể sinh thái, mô hình pháttriển dân số,

Có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng để nghiên cứu phương trìnhđạo hàm riêng như phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trìnhtích phân, giải tích hàm,

Trong luận văn này chúng tôi trình bày một vài ứng dụng phương pháp giảitích hàm để nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyếntính

Nội dung luận văn bao gồm:

Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram và áp dụng của định lý vào chứngminh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trìnhLaplace và phương trình elliptic cấp hai

Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bàitoán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng của lýthuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất của phươngtrình elliptic tuyến tính

Trong quá trình viết luận văn, tác giả được sự hướng dẫn nhiệt tình củaPGS.TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ giải tích củakhoa Toán -Cơ -Tin học đã giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận vănđúng hạn

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũtạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn

có dạng:

F (x, u(x), Du(x), , Dku(x)) = 0, (x ∈ Ω) (1.1)Trong đó F : Ω × R × Rn× Rnk → R là hàm cho trước và u : Ω → R là hàmcần tìm

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình Ở đây (1.1) là phương trình cấp k

Ta nói rằng phương trình (1.1) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số

(iv) Phương trình (1.1) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộckhông tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.

Định nghĩa 1.3 Xét toán tử vi phân A(x, D) = X

Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu đẳng thức Au = fđược thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω

Định lý 1.5 Nếu số chiều của không gian Rn lớn hơn 2 thì bậc của phươngtrình elliptic là chẵn

Định nghĩa 1.6 Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.2) sao cho u(x) =g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptictuyến tính Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.2) gọi là bàitoán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính

2 Ký hiệu và kiến thức bổ sung

2.1 Ký hiệu

(i) Rn là không gian Euclide n chiều

(ii) Ω là tập mở trong Rn, ∂Ω là biên của Ω,

(iv) C0∞(Ω) = {u ∈ C∞(Ω)| supp u compact trong Ω}

(v) Lp(Ω) = {u : Ω → R| u là đo được Lebesgue, ||u||L p (Ω) < +∞} trong đó

, 1 ≤ p < +∞

(vi) Hk(Ω) (k = 0, 1, 2, ), ký hiệu không gian Sobolev Hk(Ω) là bổ sung đủcủa C∞(Ω) theo chuẩn

2.3 Một số kiến thức bổ sung

2.3.1 Không gian Banach

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng dãy {uk}∞k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X nếu

lim

k→∞||uk − u|| = 0,

ký hiệu uk → u

Định nghĩa 2.2

(i) Dãy {uk}∞k=1 ⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại

N > 0 sao cho ||uk − ul|| < ε với mọi k, l ≥ N

(ii) X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

(iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ

2.3.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 2.3

(i) Không gian Wm,p(Ω) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ Lp(Ω) saocho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp(Ω) vàđược trang bị chuẩn

(ii) Khi p = 2, không gian Wm,p(Ω) = Wm,2(Ω) ký hiệu là Hm(Ω) Như vậy

Hm(Ω) = {u ∈ L2(Ω), ∀ α : |α| ≤ m, Dαu ∈ L2(Ω)}

Trong Hm(Ω) đưa vào tích vô hướng

2.3.3 Định lý vết

Giả sử Ω bị chặn và ∂Ω là C1 Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn:

T : H1(Ω) → L2(∂Ω)sao cho:

(i) T u = u|∂Ω nếu u ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω)

(ii) ||T u||L2 (Ω) ≤ c||u||H1 (Ω) với mọi u ∈ H1(Ω) và c là hằng số

Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω

2.3.4 Định lý nhúng

Giả sử Ω ⊂ Rn là tập đóng, bị chặn và có biên trơn Nếu s > n

2 + j (j ∈ N)thì Hs(Ω) ⊂ Cj(Ω) có nghĩa là nếu s > n

2 + j và u ∈ H

s(Ω) thì u khả vi liên tụcđến cấp j, u ∈ Cj(Ω)

2.3.5 Bất đẳng thức Poincare

Tồn tại γ > 0 sao cho

||Du||L2 (Ω) ≥ γ · ||u||L2 (Ω), với mọi u ∈ C0∞(Ω),trong đó

Chương 1

Bài toán Dirichlet đối với

phương trình elliptic tuyến tính cấp 2

1.1 Định lý Lax Milgram

Định lý 1.1 Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàmsong tuyến tính trên X Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện:

(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X

(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||2 với mọi u ∈ X

Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F (u) trên X đều tồn tại f ∈ X saocho

F (u) = a(u, f ), u ∈ X

Chứng minh Lấy u ∈ X cố định Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyếntính trên X Theo (i), ta có:

|a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi v ∈ X

Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Theo định

lý Riesz-Frech´et, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X, sao cho

u(v) = (Au, v), ∀ v ∈ X

Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X, và ta có một toán tử

Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X bởi vậy A tuyến tính Theo giả thiết ii, ta có:

||Au||2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c||u|| · ||Au||, ∀u ∈ X

⇒ ||Au|| ≤ c||u||, ∀u ∈ X

Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục Hơn nữa với

u1, u2 ∈ X mà

Au1 6= Au2 ⇒ u1 6= u2 (1.1)Mặt khác, với mọi u ∈ X ta có

ta chứng minh A(X) đóng trong X Thật vậy, giả sử {Auj} là dãy hội tụ đến

v ∈ X Vì {Auj} là dãy Cauchy trong X nên ta có

Điều này chứng tỏ {uj} là dãy Cauchy trong X, cho nên tồn tại u ∈ X saocho lim

j→+∞uj = u trong X Do A là ánh xạ liên tục nên Au = v ∈ A(X), tức làA(X) đóng trong X

Ta chứng minh A(X) = X Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng Ta lấy u ∈ X mà

u /∈ A(X), trực giao với A(X), tức là

(u, Au) = a(u, u) = 0

Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g Do đó

F (u) = (g, u) = (Af, u) = a(f, u) ∀ u ∈ X

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.2 Đẳng cấu A : X → X xây dựng trong định lý Lax-Milgramsao cho

(Au, v) = a(u, v), ∀ u, v ∈ X (1.4)được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gianHilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết vớitoán tử A

1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace

1.2.1 Không gian Sobolev H10(Ω)

Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian Rn với biên ∂(Ω) trơn C0∞(Ω)

là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

, ∀u ∈ C0∞(Ω), (1.5)

||u||H1 (Ω) = (u, u)

1 2

(DuDv + uv)dx, ∀u ∈ C0∞(Ω)

Ký hiệu H10(Ω) là không gian nhận được bằng cách bổ sung không gian

C0∞(Ω) theo chuẩn || · ||1

Khi đó H10(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.6) và nhúng liêntục và compact trong L2(Ω) H10(Ω) gồm các hàm suy rộng u ∈ H1(Ω) triệt tiêutrên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0, ∂u

∂xi = 0 trên

∂Ω theo nghĩa vết)

1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng

Ta xét bài toán Dirichlet:

(

−∆u = f (x) trong Ω,

u = 0 trên ∂Ω (1.7)Trong đó f (x) là hàm liên tục trong Ω

Giả sử u ∈ C2(Ω) là nghiệm của bài toán (1.7) Khi đó với mỗi ϕ(x) ∈ C0∞(Ω)

Áp dụng công thức Green cho vế trái đẳng thức (1.8) ta có:

ϕ(x)dx

= −Z

ϕ(x)dx

= −Z

=Z

Nếu f (x) là hàm không liên tục trong Ω thì bài toán (1.7) nói chung không

có nghiệm trong C2(Ω) Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.7) cần hiểu theo nghĩasuy rộng Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau:

Định nghĩa 1.3 Giả sử f (x) ∈ L2(Ω) Khi đó hàm u ∈ H10(Ω) được gọi lànghiệm suy rộng của bài toán (1.7) nếu:

(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)hay

(u, ϕ)1 = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

Trong đó (u, ϕ)1 là tích vô hướng trong H10(Ω)

Chú ý 1.4 Nếu nghiệm suy rộng u ∈ H10(Ω) ∩ C2(Ω) ta có:

(1) u ∈ H10(Ω) nên

(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

(2) u ∈ C2(Ω) nên

(Du, Dϕ) = (−∆u, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

Do đó

(−∆u, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

Từ đó suy ra −∆u = f trong Ω

Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.7)

1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet

Định nghĩa 1.5 Không gian đối ngẫu của H10(Ω) được ký hiệu là H−1(Ω):

f ∈ H−1(Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H10(Ω)

(−∆u, v) = (Du, Dv), ∀u, v ∈ H10(Ω),miền xác định:

= −Z

Toán tử −∆ được xây dựng như trên được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet(1.7).

Từ định nghĩa ta có các tính chất của toán tử −∆:

(1) (−∆u, v) = (Du, Dv) = (u, −∆v), ∀u, v ∈ D(−∆), suy ra −∆u là toán

tử tự liên hợp

(2) (−∆u, u) = (Du, Du) = ||u||21 ≥ 0, ∀u ∈ D(−∆), suy ra −∆ là toán tửxác định dương (−∆u, u) = 0 khi và chỉ khi u = 0

Vậy −∆ là toán tử tự liên hợp xác định dương

1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Định lý 1.6 Toán tử −∆ : H10(Ω) → H−1(Ω) là ánh xạ 1-1 lên

Chứng minh Theo định nghĩa ta có:

(−∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||2L2 (Ω) ≥ k||u||2L2 (Ω), ∀u ∈ H10(Ω)

Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f Từ đó suy ra tồn tại u ∈ H10(Ω)sao cho

−∆u = f,nên f ∈ R(−∆) ⇒ R(−∆) đóng

Bây giờ ta chứng minh −∆ là ánh xạ lên

Giả sử u0 ∈ H10(Ω) trực giao với R(−∆) ⊂ H−1(Ω) Ta có

Điều đó có nghĩa u0 là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet (1.7)

Định nghĩa 1.8 Giá trị λ được gọi là giá trị riêng của toán tử −∆ nếu tồn tạihàm ϕ(x) 6= 0, ϕ(x) ∈ H10(Ω), sao cho:

−∆ϕ = λϕ

Hàm ϕ được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ

Ký hiệu T : H−1(Ω) → H10(Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆ Giả sử

về 0 khi j → +∞, tức là

T uj = µjuj, µj ↓ 0 khi j → +∞ (1.10)Hơn nữa, vì

T : L2(Ω) → H10(Ω) ⊂ L2(Ω)nên từ đẳng thức trên uj ∈ H10(Ω) với mọi j = 1, 2, Tác động −∆ vào hai vếcủa (1.10) ta có

(−∆)T uj = µj(−∆uj) ⇒ uj = µj(−∆uj)hay là

−∆uj = λjuj, j = 1, 2, , với λj = 1

µj.Như vậy toán tử (−∆) có dãy các hàm riêng µj trong H10(Ω) tương ứng vớidãy các giá trị riêng {λj}∞

j=1 đơn điệu tăng khi j → ∞, nghĩa là

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λj ≤ · · · , λj → +∞ (j → +∞)

Vì {uj}∞

j=1 (j = 1, 2, ) cũng là các hàm riêng của T nên ta đi đến khẳngđịnh sau:

Định lý 1.9 Tồn tại một cơ sở Hilbert gồm những hàm riêng {ui} (i = 1, 2, )của toán tử −∆ tương ứng với dãy các giá trị riêng {λi} đơn điệu tăng khi

i → ∞

Liên quan đến giá trị đầu tiên λ1 của toán tử −∆ ta có định lý sau:

Định lý 1.10 Nếu λ1 là giá trị riêng đơn đầu tiên của toán tử −∆ thì:

||(−∆)−1|| = 1

λ1.Chứng minh Giả sử µ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử T = (−∆)−1 trong

L2(Ω)

µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µj → 0, (j → +∞),

ta sẽ chứng minh

||T || = µ1.Thật vậy ta có:

T u1 = µ1u1, ||u|| = 1 nên ||T u1|| = µ1||u1||

Hệ quả 1.11 Hàm riêng u1 của toán tử −∆ thỏa mãn

||Du1||2

L 2 (Ω) = λ1.Chứng minh Ta có

||Du1||2L2 (Ω) = (Du1, Du1) = (−∆u1, u1) = (λ1u1, u1) = λ1||u1||2L2 (Ω).Như vậy

||Du1||2L2 (Ω) = λ1

và ta có điều phải chứng minh

Liên quan đến hàm riêng uj ta có kết quả khác mà sẽ trình bày trong định

lý tiếp theo Tuy nhiên ta cần kết quả về tính trơn của bài toán Dirichlet Định

lý sau chỉ đưa ra nhưng không chứng minh

Xét toán tử vi phân L dạng:

Lu = −∆u + Xutrong đó X là toán tử vi phân cấp 1 với hệ số trơn trong Ω

Định lý 1.12 Cho f ∈ Hk−1(Ω) với k = 0, 1, 2, Khi đó nghiệm u0 ∈ H10(Ω)của phương trình

Lu = fthuộc Hk+1(Ω) Hơn nữa ta có ước lượng tiên nghiệm

||u||2Hk+1 (Ω) ≤ c||Lu||2Hk−1 (Ω) + ||u||2Hk (Ω)



trong đó c là hằng số dương nào đó và u ∈ Hk+1(Ω) ∩ H10(Ω) bất kỳ

Hệ quả 1.13 Hàm riêng ui (i = 1, 2, ) của toán tử −∆ thuộc C∞(Ω)∩H10(Ω).Chứng minh Xét toán tử L dưới dạng:

L = −∆ − λi.Khi đó ta có đánh giá

Lui = (−∆ − λi)ui = −∆ui− λiui = 0

Do 0 ∈ H10(Ω) nên theo định lý ta đi đến kết luận

ui ∈ C∞(Ω) ∩ H10(Ω)

Trở lại bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace Ta xét bài toán

− ∆u = 0 trong Ω,u|∂Ω = f trên ∂Ω (1.13)Trong đó f ∈ C∞(∂Ω) là hàm cho trước

Giả sử F ∈ C∞(Ω) sao cho

F |∂Ω = f

Đặt u = F + v hay v = u − F Khi đó bài toán (1.13) được đưa về bài toán

− ∆v = g = ∆Fv|∂Ω = 0 (1.14)Với g ≡ ∆F ∈ C∞(Ω) tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.14) có dạng:

v = T g ∈ H10(Ω)

Hơn nữa theo định lý 1.12 nghiệm v = T g ∈ C∞(Ω) Như vậy với mỗi

f ∈ C∞(∂Ω) tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C∞(Ω) của bài toán Dirichlet (1.12)

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình

Giả sử a(u, v) là dạng song tuyến tính liên tục

Theo công thức Green

||Au||2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ ||u|| · ||Au|| ⇒ ||Au|| ≤ ||u|| ∀ u ∈ V.

Định lý 1.14 Tồn tại hằng số λ0 ∈ R sao cho với mọi λ ≥ λ0 thì toán tử

A + λI là một đẳng cấu từ H10(Ω) lên H−1(Ω)

Chứng minh Theo giả thiết về tính elliptic, ta có

Ω

bi ∂u

∂xiudx

+ Z

Ω

b0iu∂u

∂xidx

≤ c ... data-page="27">

1.3.2 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic cấp

Điều có nghĩa u0 nghiệm suy rộng toán (1.20) − (1.21)

Ta xét toán biên Dirichlet miền bị chặn... Rn Tốn tử vi phân tuyếntính elliptic cấp xác định theo công thức (1.15) dạng song tuyến tínha(u, v) xác định cơng thức (1.17).

(a) Toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) đẳng... miền bị chặn

Giả sử Ω tập mở bị chặn Trong Ω cho toán tử A xác định (1.15) vàdạng song tuyến tính a(u, v) xác định (1.17)

Với Ω miền bị chặn, ánh xạ nhúng H10(Ω)