bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời mở đầu 3 Kiến thức chuẩn bị 4 1. Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Ký hiệu và kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1. Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 9 1.1 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Không gian Sobolev H 1 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 15 1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 . 20 1.3.1 Điều kiện "bức" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 . . . 25 2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Bất đẳng thức Garding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 2.1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder và bài toán Dirichlet thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp 2 . 44 2.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp cao 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 2 LỜI MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một phần quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Mặc dù nhiều mô hình toán học của các bài toán cơ học và vật lý được mô tả bởi những phương trình vi phân không tuyến tính, nhưng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính được bắt đầu từ hàng thế kỷ nay và được tiếp tục đến tận bây giờ. Những kết quả của việc nghiên cứu này vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải quyết không chỉ những vấn đề liên quan đến vật lý cơ học mà còn nhằm giải quyết nhiều vấn đề về tự nhiên, kinh tế và xã hội, chẳng hạn như mô hình quần thể sinh thái, mô hình phát triển dân số, Có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng như phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trình tích phân, giải tích hàm, Trong luận văn này chúng tôi trình bày một vài ứng dụng phương pháp giải tích hàm để nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính. Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram và áp dụng của định lý vào chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace và phương trình elliptic cấp hai. Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng của lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất của phương trình elliptic tuyến tính. Trong quá trình viết luận văn, tác giả được sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ giải tích của khoa Toán -Cơ -Tin học đã giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn đúng hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn. 3 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này chúng ta sẽ làm quen với các định nghĩa về phương trình đạo hàm riêng, các ký hiệu và kiến thức bổ sung được sử dụng trong phần sau. 1. Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic Định nghĩa 1.1. Cho k là một số nguyên dương, Ω là một tập mở trong R n . Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , x 2 , , x n ), các biến độc lập x i và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn và sẽ viết tắt là phương trình ĐHR). Nó có dạng: F (x, u(x), Du(x), , D k u(x)) = 0, (x ∈ Ω). (1.1) Trong đó F : Ω × R × R n × R n k → R là hàm cho trước và u : Ω → R là hàm cần tìm. Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình. Ở đây (1.1) là phương trình cấp k. Ta nói rằng phương trình (1.1) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số u thỏa mãn (1.1). Định nghĩa 1.2. (i) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng:  |α|≤k a α (x)D α u = f(x) trong đó a α (x), f(x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0. (ii) Phương trình (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng  |α|=k a α (x)D α u + a 0 (x, u, Du, , D k−1 u) = 0. (iii) Phương trình (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng  |α|=k a α (x, u, Du, , D k−1 u)D α u + a 0 (x, u, Du, , D k−1 u) = 0. 4 (iv) Phương trình (1.1) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất. Định nghĩa 1.3. Xét toán tử vi phân A(x, D) =  |α|≤m a α (x)D α , ở đó a α (x) là hàm có giá trị phức đo được, x ∈ R n . Nếu a α (x) = 0 với α nào đó mà |α| = m nguyên dương thì m được gọi là bậc của A. Đa thức đặc trưng của toán tử A là A 0 (x, ξ) =  |α|=m a α (x)ξ α ở đây ξ = (ξ 1 , , ξ n ) và ξ α = ξ α 1 1 · ξ α 2 2 · · · ξ α n n . Đó là đa thức của ξ với các hệ số phụ thuộc vào x. Toán tử A được gọi là elliptic tại điểm x 0 nếu A 0 (x 0 , ξ) khác 0 với mọi ξ ∈ R n \ {0}. Toán tử A được gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dưới dạng: |A 0 (x, ξ)| ≥ γ 0 |ξ| m ở đó γ 0 = const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |A 0 (x, ξ)| ≥ γ 0 và A 0 là hàm thuần nhất bậc m đối với ξ. Hằng số γ 0 được gọi là hằng số elliptic. Định nghĩa 1.4. Giả sử Ω là một miền trong R n . Phương trình A(x, D)u = f(x), x ∈ Ω (1.2) được gọi là phương trình elliptic trong miền Ω nếu A là toán tử elliptic trong miền Ω. Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu đẳng thức Au = f được thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω. Định lý 1.5. Nếu số chiều của không gian R n lớn hơn 2 thì bậc của phương trình elliptic là chẵn. Định nghĩa 1.6. Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.2) sao cho u(x) = g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính. Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.2) gọi là bài toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính. 5 2. Ký hiệu và kiến thức bổ sung 2.1. Ký hiệu (i) R n là không gian Euclide n chiều. (ii) Ω là tập mở trong R n , ∂Ω là biên của Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω. (iii) Ký hiệu Du =  ∂u ∂x 1 , , ∂u ∂x n  = (D x 1 u, , D x n u), ∆u là toán tử Laplace, ∆u = n  i=1 ∂ 2 u ∂x 2 i = ∂ 2 u ∂x 2 1 + · · · + ∂ 2 u ∂x 2 n . (iv) Ký hiệu α = (α 1 , , α n ) với α i ∈ N (i = 1, 2, , n), được gọi là một đa chỉ số bậc |α| = α 1 + · · · + α n . Ta có D α u = D α 1 x 1 D α 2 x 2 . . . D α n x n với α 1 + α 2 + · · · + α n = |α|. 2.2. Các không gian hàm (i) C k (Ω) = {u : Ω → R| u liên tục khả vi k lần}. (ii) C ∞ (Ω) = {u : Ω → R| u khả vi vô hạn trong Ω}, C ∞ (Ω) = ∞ ∩ k=0 C k (Ω). (iii) C k 0 (Ω) = {u ∈ C k (Ω)|supp u compact trong Ω}. (iv) C ∞ 0 (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω)| supp u compact trong Ω}. (v) L p (Ω) = {u : Ω → R| u là đo được Lebesgue, ||u|| L p (Ω) < +∞} trong đó ||u|| L p (Ω) =   Ω |u(x)| p dx  1 p , 1 ≤ p < +∞. 6 (vi) H k (Ω) (k = 0, 1, 2, ), ký hiệu không gian Sobolev. H k (Ω) là bổ sung đủ của C ∞ (Ω) theo chuẩn ||u|| k =   Ω  |α|≤k |D α u| 2 dx  1 2 . 2.3. Một số kiến thức bổ sung 2.3.1. Không gian Banach Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng dãy {u k } ∞ k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X nếu lim k→∞ ||u k − u|| = 0, ký hiệu u k → u. Định nghĩa 2.2. (i) Dãy {u k } ∞ k=1 ⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại N > 0 sao cho ||u k − u l || < ε với mọi k, l ≥ N. (ii) X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. (iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. 2.3.2. Không gian Sobolev Định nghĩa 2.3. (i) Không gian W m,p (Ω) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L p (Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L p (Ω) và được trang bị chuẩn ||u|| W m,p (Ω) =   0≤|α|≤m  Ω |D α u(x)| p dx  1 p . (ii) Khi p = 2, không gian W m,p (Ω) = W m,2 (Ω) ký hiệu là H m (Ω). Như vậy H m (Ω) = {u ∈ L 2 (Ω), ∀ α : |α| ≤ m, D α u ∈ L 2 (Ω)}. 7 Trong H m (Ω) đưa vào tích vô hướng (u, v) m =  |α|≤m  Ω D α uD α vdx =  |α|≤m (D α u, D α v) L 2 (Ω) , với mọi u, v ∈ H m (Ω). Do đó ||u|| 2 m = (u, u) m =  |α|≤m (D α u, D α u) =  |α|≤m ||D α u|| 2 L 2 (Ω) . (iii) Khi m = 0 có H 0 (Ω) = L 2 (Ω). 2.3.3. Định lý vết Giả sử Ω bị chặn và ∂Ω là C 1 . Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn: T : H 1 (Ω) → L 2 (∂Ω) sao cho: (i) T u = u| ∂Ω nếu u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω). (ii) ||T u|| L 2 (Ω) ≤ c||u|| H 1 (Ω) với mọi u ∈ H 1 (Ω) và c là hằng số. Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω. 2.3.4. Định lý nhúng Giả sử Ω ⊂ R n là tập đóng, bị chặn và có biên trơn. Nếu s > n 2 + j (j ∈ N) thì H s (Ω) ⊂ C j (Ω) có nghĩa là nếu s > n 2 + j và u ∈ H s (Ω) thì u khả vi liên tục đến cấp j, u ∈ C j (Ω). 2.3.5. Bất đẳng thức Poincare Tồn tại γ > 0 sao cho ||Du|| L 2 (Ω) ≥ γ · ||u|| L 2 (Ω) , với mọi u ∈ C ∞ 0 (Ω), trong đó Du =  ∂u ∂x 1 , ∂u ∂x 2 , , ∂u ∂x n  . 8 [...]... 2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao Trong chương này chúng ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài toán Dirichlet tuyến tính cấp cao Chúng ta cũng thảo luận áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic. .. v = u − F Khi đó bài toán (1.13) được đưa về bài toán − ∆v = g = ∆F (1.14) v|∂Ω = 0 Với g ≡ ∆F ∈ C ∞ (Ω) tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.14) có dạng: v = T g ∈ H1 (Ω) 0 Hơn nữa theo định lý 1.12 nghiệm v = T g ∈ C ∞ (Ω) Như vậy với mỗi f ∈ C ∞ (∂Ω) tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) của bài toán Dirichlet (1.12) 1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 Giả sử...Chương 1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 1.1 Định lý Lax Milgram Định lý 1.1 Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàm song tuyến tính trên X Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện: (i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X (ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||2 với mọi u ∈ X Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên... sao cho (Au, v) = a(u, v), ∀ u, v ∈ X (1.4) được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gian Hilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với toán tử A 1.2 1.2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace Không gian Sobolev H1 (Ω) 0 ∞ Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian Rn với biên ∂(Ω) trơn C0 (Ω) là không gian các hàm khả vi vô... song tuyến tính a(u, v) là thỏa mãn điều kiện bức a(u, u) ≥ c0 ||u||2 1 (Ω) H 0 ∀ u ∈ H1 (Ω), 0 c0 = min(γ, δ) Định lý 1.16 Giả thiết tồn tại hằng số δ > 0 sao cho 1 c − div(B + B ) ≥ δ 2 ∀ x ∈ Ω Khi đó, toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) là một đẳng cấu từ H1 (Ω) lên H−1 (Ω) 0 24 1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 Giả sử Ω là một miền không bị chặn với biên... nghiệm suy rộng của bài toán (1.20) − (1.21) Ta xét bài toán biên Dirichlet trong miền bị chặn Giả sử Ω là tập mở bị chặn Trong Ω cho toán tử A xác định bởi (1.15) và dạng song tuyến tính a(u, v) xác định bởi (1.17) Với Ω là miền bị chặn, ánh xạ nhúng H1 (Ω) vào L2 (Ω) là compact 0 Ta có định lý sau 25 Định lý 1.19 Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong Rn Toán tử vi phân tuyến tính elliptic cấp 2 được... Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao Giả sử A(x, D) là toán tử elliptic cấp 2m: Dβ (aαβ Dα u) A(x, D)u = |α|≤m,|β|≤m trong miền bị chặn Ω ⊂ Rn , với biên ∂Ω đủ trơn, aαβ ∈ C ∞ (Ω) Khi đó có bất đẳng thức Garding a(u, u) + c2 ||u||2 2 (Ω) ≥ c1 ||u||2 m (Ω) với mọi u ∈ Hm (Ω) 0 L H0 Toán tử vi phân A∗ (x, D) trong Ω được gọi là liên hợp hình thức của toán tử vi phân A(x,... được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet (1.7) Từ định nghĩa ta có các tính chất của toán tử −∆: (1) (−∆u, v) = (Du, Dv) = (u, −∆v), ∀u, v ∈ D(−∆), suy ra −∆u là toán tử tự liên hợp (2) (−∆u, u) = (Du, Du) = ||u||2 ≥ 0, ∀u ∈ D(−∆), suy ra −∆ là toán tử 1 xác định dương (−∆u, u) = 0 khi và chỉ khi u = 0 Vậy −∆ là toán tử tự liên hợp xác định dương 1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. .. là với f ∈ H−1 (Ω) và h ∈ H 2 (∂Ω), tồn tại duy nhất u ∈ H1 (Ω) sao cho Au = f trong Ω, T u = h trên ∂Ω 27 Chứng minh (a) Toán tử (A, T ) là tổng của toán tử ((A + λI), T ) với λ đủ lớn là một toán tử đẳng cấu với toán tử compact (−λI, 0) Vậy nên (A, T ) = ((A + λI), T ) + (−λI, 0) là một toán tử Fredholm với chỉ số 0 (b) Với điều kiện (b) thì a(u, v) có tính chất "bức" Do đó áp dụng Định lý 1.20 với. .. H1 (Ω) bất kỳ 0 Hệ quả 1.13 Hàm riêng ui (i = 1, 2, ) của toán tử −∆ thuộc C ∞ (Ω)∩H1 (Ω) 0 Chứng minh Xét toán tử L dưới dạng: L = −∆ − λi Khi đó ta có đánh giá Lui = (−∆ − λi )ui = −∆ui − λi ui = 0 Do 0 ∈ H1 (Ω) nên theo định lý ta đi đến kết luận 0 ui ∈ C ∞ (Ω) ∩ H1 (Ω) 0 19 Trở lại bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace Ta xét bài toán − ∆u = 0 trong Ω, (1.13) u|∂Ω = f trên ∂Ω Trong đó . phương trình elliptic cấp 2 . . . 25 2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính. của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace và phương trình elliptic cấp hai. Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic. 7 1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 9 1.1 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình