1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp
1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2
2
Giả sử Ω là một miền không bị chặn với biên ∂Ω trơn. Xét bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2:
Au =− n X i,j=1 ∂ ∂xj aij ∂u ∂xi + n X i=1 bi ∂u ∂xi− n X i=1 ∂ ∂xi(b 0 iu) +cu= f trong Ω, (1.20) u ∂Ω = 0, u(x)→0 khi |x| → +∞. (1.21)
Định nghĩa 1.17. Với f ∈L2(Ω), hàm u0 ∈ H10(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.20)−(1.21) nếu
a(u0, v) = (f, v)L2(Ω), ∀v ∈C0∞(Ω).
Từ định lý 1.16 ta suy ra:
Định lý 1.18. Giả sử tồn tại hằng số δ > 0 sao cho
c(x)− 1
2div(B +B
0)≥ δ, ∀x∈ Ω.
Khi đó với mọi f ∈ L2(Ω) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng u0 ∈H10(Ω) của bài toán (1.20)−(1.21).
Chứng minh. Với điều kiện của định lý, toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) là đẳng cấu từ H10(Ω) lên H−1(Ω).
Giả sử f ∈ L2(Ω), f ∈ H−1(Ω), tồn tại u0 ∈ H10(Ω) sao cho Au0 = f trong
L2(Ω), tức là
(Au0, v) = (f, v), ∀v ∈C0∞(Ω).
Do đó
a(u0, v) = (f, v), ∀v ∈C0∞(Ω).
Điều đó có nghĩa là u0 là nghiệm suy rộng của bài toán (1.20)−(1.21). Ta xét bài toán biên Dirichlet trong miền bị chặn.
Giả sử Ω là tập mở bị chặn. Trong Ω cho toán tử A xác định bởi (1.15) và dạng song tuyến tính a(u, v) xác định bởi (1.17).
Với Ω là miền bị chặn, ánh xạ nhúng H10(Ω) vào L2(Ω) là compact. Ta có định lý sau.
Định lý 1.19. Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong Rn. Toán tử vi phân tuyến tính elliptic cấp 2 được xác định theo công thức (1.15) và dạng song tuyến tính
a(u, v) được xác định bởi công thức (1.17).
(a) Toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) là một đẳng cấu từ H10(Ω) lên H−1(Ω) nếu
c− 1
2div(B+B
0)≥ 0, ∀x ∈ Ω.
(b) Toán tử A là toán tử Fredholm với chỉ số 0 từ H10(Ω) lên H−1(Ω). Chứng minh. (a) Theo giả thiết
c− 1
2div(B+B
0)≥0, ∀x ∈Ω.
Từ bất đẳng thức chứng minh trên đây:
a(u, u)≥ γ||Du||2L2(Ω) + Z Ω c− 1 2div (B +B 0)|u|2dx. Suy ra a(u, u)≥γ||Du||2L2(Ω), ∀u ∈H10(Ω). Áp dụng bất đẳng thức Poincare ||Du||2L2(Ω) ≥ k||u||L22(Ω), ∀u ∈ H10(Ω), k > 0.
Ω là tập mở bị chặn, ta nhận được ước lượng
a(u, u)≥γ||Du||2L2(Ω) ≥ γ 2||Du||2L2(Ω) + γk 2 ||u||2L2(Ω) ≥α||u||2H1 0(Ω) ∀ u ∈H10(Ω), α= minγ 2, γk 2 .
Suy ra a(u, u) là thỏa mãn điều kiện bức.
Theo định lý Lax-Milgram, A là đẳng cấu từ H10(Ω) lên H−1(Ω).
(b) Ta có, A+λI là đẳng cấu từ H10(Ω) lên H−1(Ω) với λ đủ lớn, còn λI là toán tử compact từ H10(Ω) vào H−1(Ω). Do đó
A= (A+λI)−λI
là tổng của một đẳng cấu và một toán tử compact nên A là toán tử Fredholm với chỉ số 0.
Định lý 1.20. Giả sử Ω mở bị chặn ⊂ Rn. Toán tử A xác định bởi (1.15) và dạng song tuyến tính a(u, v) xác định bởi (1.17). Giả thiết a(u, v) thỏa mãn điều kiện "bức" trên H10(Ω). Khi đó, với f ∈ H−1(Ω), w ∈ H1(Ω), tồn tại duy nhất một hàm u ∈H1(Ω) sao cho
Au =f trong Ω, u−w = 0 trên ∂Ω.
Chứng minh. Đặt v = u−w, suy ra
Av = Au−Aw= f −Aw∈ H−1(Ω).
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm v ∈H10(Ω) của bài toán
Av = f −Aw trong Ω, v = 0 trên ∂Ω,
hay
A(v+w) = f, u= v+w.
Vậy tồn tại duy nhất một hàm u ∈H1(Ω) thỏa mãn điều kiện của định lý
Au= f trong Ω, u−w =v ∈H10(Ω).
Định lý 1.21. Giả sử Ω là tập mở bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn, A là toán tử xác định bởi (1.15). Khi đó
(a) Ánh xạ u7−→(Au, T u) là một toán tử Fredholm với chỉ số 0 từ H1(Ω) lên H−1(Ω)×H12(∂Ω).
(b) Với giả thiết
c(x)− 1
2div(B +B
0)≥0, ∀x∈ Ω,
ánh xạ u 7−→(Au, T u) là một đẳng cấu từ H1(Ω) lên H−1(Ω)×H
1 2(∂Ω), có nghĩa là với f ∈ H−1(Ω) và h ∈ H 1 2(∂Ω), tồn tại duy nhất u ∈ H1(Ω) sao cho Au= f trong Ω, T u= h trên ∂Ω.
Chứng minh. (a) Toán tử (A, T) là tổng của toán tử ((A+λI), T)với λ đủ lớn là một toán tử đẳng cấu với toán tử compact (−λI,0). Vậy nên
(A, T) = ((A+λI), T) + (−λI,0)
là một toán tử Fredholm với chỉ số 0.
(b) Với điều kiện (b) thì a(u, v) có tính chất "bức". Do đó áp dụng Định lý 1.20 với w ∈ H1(Ω) sao cho T w = h, tồn tại duy nhất u∈ H1(Ω) sao cho
Au= f,
u−w ∈H10(Ω),
Chương 2
Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao
Trong chương này chúng ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài toán Dirichlet tuyến tính cấp cao.
Chúng ta cũng thảo luận áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.
2.1 Bất đẳng thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao