bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge-ampere elliptic

Học viên : Bùi Văn Toan - 1 - K19 Toán Giải Tích I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Bùi văn toan Bài toán biên thứ hai đối với phơng trình monge-ampere elliptic Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S KHOA HC Ngi hng dn: PGS.TS H Tin Ngon H NI - 2012 Học viên : Bùi Văn Toan - 2 - K19 Toán Giải Tích Mc lc Trang M u 2 Ch-ơng 1. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh ij g(x) det(u ) R(Du) 4 1.1. Mt s kin thc b tr 4 1.1.1. Nún li, a din li 4 1.1.2. Siờu mt li v hm li 5 1.1.3. Nún tim cn 8 1.1.4. nh x chun tc v cong R ca cỏc hm li 9 1.1.5. Phng trỡnh Monge-Ampere 14 1.2. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh () det( ) () ij gx u R Du 17 1.2.1. Cỏc nghim yu v nghim suy rng 17 1.2.2. Bi toỏn biờn th hai 17 1.2.3. Bi toỏn biờn th hai trong lp cỏc a din li 20 Ch-ơng 2. Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh tng quỏt 26 2.1. Phỏt biu nh lý v s tn ti nghim 26 2.1.1. Nhng gi thit c bn 26 2.1.2. nh lý v s tn ti nghim 25 2.2. Xõy dng khụng gian nghim 28 2.3. Chng minh nh lý 33 Kt lun 43 Ti liu tham kho 44 Học viên : Bùi Văn Toan - 3 - K19 Toán Giải Tích M u Phng trỡnh Monge-Ampere loi elliptic trong khụng gian n R cú dng: det( ) ( , , ) ij u f x u Du , (*) trong ú 12 , , , , n n x x x x R u u x l n hm, ij ij x x uu v ,,f x u Du l hm s nhn giỏ tr dng c cho trc. Nghim c in ca phng trỡnh (*) l hm li u(x), thuc lp 2 C . Nhng vic tỡm lp nghim c in l mt vn khú. Lun vn nghiờn cu lp nghim suy rng cho bi toỏn biờn th hai ca phng trỡnh (*) m c xột trong ton khụng gian n R v dỏng iu ca nghim vụ hn c cho trc. Nghim ny da trờn ng dng ca nguyờn lý im bt ng trong khụng gian hm khụng tm thng. Lun vn ch yu da vo ti liu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation ca tỏc gi Ilya J.Bakelman. B cc lun vn chia lm 2 chng: Chng 1: Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh ij g( x ) det(u ) R( Du) . Chng 2: Bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh tng quỏt . Trong chng 1 ta s xõy dng nh lý tn ti v duy nht nghim ca bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh Monge-Ampere () det( ) () ij gx u R Du trong tp cỏc nghim suy rng li. iu kin ca nh lý ny l iu kin cn v . Nhng kt qu ny thc s cú ý ngha khi dựng cho vic nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh Monge Ampere tng quỏt : det( ) ( , , ) ij u f x u Du Chng 2 chỳng ta nghiờn cu t m v bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh Monge-Ampere tng quỏt trong lp cỏc nghim suy rng li, c th l nh lý tn ti Học viên : Bùi Văn Toan - 4 - K19 Toán Giải Tích v duy nht nghim ca bi toỏn ú. Trong phn trỡnh by cú a ra mt s gi thit v nún li chp nhn c, cỏc cụng thc c lngBờn cnh ú, vỡ ta xột vi cỏc hm li khụng b chn trờn ton b khụng gian n E nờn ng dng ca nguyờn lý im bt ng yờu cu chỳng ta xõy dng mt khụng gian hm c bit m bi toỏn biờn th hai cú th c nghiờn cu chi tit. Lun vn c thc hin ti trng i hc Khoa hc T nhiờn di s hng dn tn tỡnh v nghiờm khc ca thy giỏo PGS. TS. H Tin Ngon. Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh n thy. Nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Sau i hc, Ban ch nhim khoa Toỏn-C-Tin hc ó nhit tỡnh ging dy v giỳp tỏc gi trong sut thi gian hc tp. Cui cựng xin cm n gia ỡnh, ng nghip, bn bố, c bit l cỏc bn trong lp Cao hc 2009-2011 Toỏn gii tớch ó cng tỏc, giỳp v ng viờn tỏc gi trong sut quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu. Mt dự ó cú nhiu c gng, nhng lun vn khụng trỏnh khi nhng hn ch, thiu sút. Tỏc gi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy, cụ giỏo v bn bố lun vn c hon thin hn. H Ni, ngy 26 thỏng 03 nm 2012 Tỏc gi Học viên : Bùi Văn Toan - 5 - K19 Toán Giải Tích Chng 1 Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh ij g(x) det(u ) R(Du) 1.1 . Mt s kin thc b tr. 1.1.1. Nún li, a din li. nh ngha 1.1.1.1: Mt tp KL c gi l li nu , , 0;1 (1 ) . t a b K t x t a tb K nh ngha 1.1.1.2: Mt tp li cha hp ca cỏc tia vi mt nh chung c gi l nún li. nh chung ca tt c cỏc tia ú gi l nh ca nún. nh ngha 1.1.1.3: Mt th li F trong 1n E c gi l mt (n+1)-khi a din li nu F l giao ca mt s hu hn cỏc na khụng gian úng. Nu khi a din F l mt tp b chn trong 1n E thỡ biờn F ca chỳng c gi l mt khi a din li úng. Nu F l mt khi a din li hu hn thỡ F c gi l a din li hu hn. nh lý 1.1.1.4. Mi a din li b chn l bao li ca cỏc nh. Hn na, mt a din nh th vi nh cho trc l duy nht. nh lý 1.1.1.5. Mi khi a din li hu hn l mt bao li ca cỏc nh v gúc a din li tim cn ca nú c t ti mt trong cỏc nh ca nú. nh lý 1.1.1.6. Cho M l mt h hu hn cỏc im 12 , , , m A A A trong 1n E . Nu cú (n+2) im ti mt v trớ tng quỏt trong M, khi ú o P C M l mt (n+1)-khi a din li b chn, v nh ca P cú th l mt trong cỏc im 12 , , , m A A A . im i A , ( i=1, 2,, m) l gc ca P khi v ch khi i A khụng thuc vo bao li ca tt c cỏc im khỏc ca M. Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 6 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch Định lý 1.1.1.7. Cho 12 , , , m A A A là hệ các điểm đã cho trong 1n E . Khi đó tồn tại một đa diện n-lồi đóng trong 1n E với các đỉnh khi và chỉ khi các điểm 12 , , , m A A A ở tại một vị trí tổng quát và điểm k A bất kỳ không thuộc vào bao lồi của các điểm 1 2 1 1 , , , , , , k k m A A A A A , (k=1,2,…,m). Hơn nữa, một đa diện như thế là duy nhất. Định lý 1.1.1.8. Cho M là một hệ hữu hạn các điểm trong 1n E , thỏa mãn các điều kiện sau : i) có k+1 điểm tại một vị trí tổng quát trong M. ii) không có k+2 điểm tại một vị trí tổng quát trong M , ở đây k = 0, 1, 2,…, n+1. Khi đó  o P C M là một khối đa diện k-lồi bị chặn và các đỉnh của P chỉ có thể là các điểm thuộc tập M. Một điểm AM là gốc của P khi và chỉ khi A không thuộc bao lồi của tất cả các điểm khác trong tập M. Định lý 1.1.1.9. Cho 12 , , , m A A A là hệ hữu hạn các điểm, và V là một góc đa diện (n+1)-lồi trong 1n E mà các đỉnh của nó là một trong các điểm 12 , , , m A A A . Cho 12      m M A A A V . Khi đó  o P C M là một khối đa diện vô hạn (n+1) lồi trong 1n E , V là góc tiệm cận của P và các đỉnh của P chỉ có thể là các điểm 12 , , , m A A A . Hơn nữa, một điểm   12, , , , k A k m là gốc của P khi và chỉ khi k A không thuộc vào   1 1 1       o k k m C A A A A V . 1.1.2. Siêu mặt lồi và hàm lồi. Tập F được gọi là một mặt lồi n-chiều (hoặc một siêu mặt lồi) trong n E nếu F là một miền gồm biên của một thể lồi (n+1)-chiều H trong 1n E nghĩa là F là một tập con mở, liên thông của H trong tô pô của H cảm sinh bởi 1n E . Tương tự, với miền con G bất kỳ chứa biên của một thể lồi (k+1)-chiều H thì được gọi là một mặt lồi k chiều. Nếu k=1 thì G được gọi là một đường cong lồi. F được gọi là chóp lồi n-chiều nếu F là một siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kiện: Học viên : Bùi Văn Toan - 7 - K19 Toán Giải Tích i) F nm trờn mt siờu phng P trong 1n E . ii) F cú phộp chiu trc giao 1-1 trờn P. Cho H l mt tp li trong 1n E v QH l mt siờu mt li hon ton. Ta c nh mt ng L v kớ hiu L U l tp cỏc ng song song vi L, i qua tt c cỏc im trong ca H. Cỏc ng nm trong L U tha món mt v ch mt trong ba kh nng di õy: 1. Mi ng ct Q ch mt im. 2. Mi ng ct Q ti hai im phõn bit. 3. Khụng ng no ct Q. Ta kớ hiu F l tp tt c cỏc im l giao ca H vi cỏc ng thng ca tp L U . Trong trng hp th 3 thỡ F . Ta xột trng hp th nht: Cho L l mt tia ca ca ng L m giao vi Q. Ta kớ hiu L U l tp gm cỏc tia cựng hng vi L v xut phỏt t cỏc im trong ca H. Khi ú F cha tt c cỏc im l giao ca H vi cỏc tia ca tp L U . Cho P l siờu phng trc giao vi L. Khi ú hỡnh chiu ca F trờn P l mt min li, m G. Rừ rng G l hỡnh chiu ca tp IntH trờn cựng mt siờu phng P. Cho 1 2 1 nn x ,x , ,x ,x z l ta cỏc trong 1n E sao cho siờu phng P cú phng trỡnh 0z . Rừ rng F l th ca mt hm 1 n f x , ,x xỏc nh trong G. Bõy gi ta chng minh rng hm 1 n f x , ,x ny l liờn tc trong G. Cho o X l mt im bt k ca G v dóy cỏc im m XG hi t n o X . Ta kớ hiu 01 2 i Y i , , , l im ca F m chiu lờn trờn i X , tha món om m Y limY . Ta thy rng m Y b chn. Do m YH , gii hn ca mt dóy con hi t ca dóy cỏc im m Y thuc vo H . Hn na, nú phi nm trờn mt tia ca tp L U . Rừ rng o Y l mt im duy nht tha món nhng iu kin ny. Vỡ vy, om m Y limY v hm 1 n f x , ,x liờn tc Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 8 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch trong G. Do F là đồ thị của một hàm liên tục   1 n f x , ,x xác định trong một miền lồi, mở G và FH , F là một siêu phẳng lồi. Bây giờ ta xét trường hợp thứ hai: Khi đó F phân tích thành hai thành phần. Phần thứ nhất gồm các điểm là giao của H với các tia của tập L U  , và phần thứ hai gồm các điểm là giao của H với các tia xuất phát từ các điểm trong của H và có hướng ngược với tia L  . Vì vậy, mọi điểm AH có một lân cận UH mà được chiếu tương ứng 1-1 lên một siêu phẳng. Cho   WG là tập các siêu phẳng lồi trong 1n E mà chiếu trực giao và tương ứng 1-1 lên một miền lồi, mở GP . Cho 1 2 1  nn x ,x , ,x ,x z là tọa độ Đề các trong 1n E sao cho siêu phẳng P có phương trình 0z . Khi đó một siêu phẳng lồi bất kỳ   F W G có thể được xác định bởi phương trình   z f X , ở đó   12 n X x ,x , ,x G . Ta kí hiệu     1 12 n n X,z x ,x , ,x ,z E   . Rõ ràng X là hình chiếu trực giao của (X,z) lên siêu phẳng P. Cho     X , f X là một điểm của F. Khi đó tồn tại ít nhất một siêu phẳng tựa Q đi qua điểm đó, ở đây   12 n X x ,x , ,x G . Nếu     12 n X,z x ,x , ,x ,z Q , khi đó     12 n z f X f x ,x , ,x hoặc     12 n z f X f x ,x , ,x đúng với mọi XG . Trong trường hợp thứ nhất, hàm   12 n f x ,x , ,x được gọi là lồi, và ở trường hợp thứ hai là lõm. Với 1o X ,X là hai điểm bất kỳ của miền lồi G. Khi đó, với mọi   01t, điểm   1 1 to X t X tX G    và cho       1 1 to z t f X tf X   . Ta thu được các kết luận sau: a) Nếu   fX là một hàm lồi trong G, với   01t, khi đó bất đẳng thức :           11 11 o t t o f t X tX f X z t f X tf X         đúng với mọi 1o X ,X G . Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 9 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch b) Nếu   fX là một hàm lõm trong G, với   01t, khi đó bất đẳng thức :           11 11 o t t o f t X tX f X z t f X tf X         đúng với mọi 1o X ,X G . 1.1.3. Nón tiệm cận Ta kí hiệu   A KM là tập hợp các điểm nằm trên những tia xuất phát từ điểm AM và chứa trong M. Nếu không có tia nào như thế thì ta đặt    A K M A . Định lý 1.1.3.1. Nếu M là một tập lồi thì tập   A KM cũng là tập lồi. Hơn nữa, nếu    A K M A thì   A KM là một nón lồi. Chứng minh : Cho B và C là các điểm thuộc   M KA . Với 0 1 0   ;t , ta chứng minh    t XA nằm trong M, ở đó   1   t X t B tC . Cho 0 1 0   ;t cố định. Do            ,, M B C K A B A C A M Do M là tập lồi và           11                           t X A t B tC A t B A t C A nên      t X A M . Định lý 1.1.3.2. Cho M là một tập lồi đóng trong n E và , AB LL là hai tia xuất phát từ hai điểm phân biệt A, B của tập M. Nếu  A LM và  AB LL thì  B LM . Chứng minh: Cho C là một điểm bất kỳ thuộc A L . Do M là tập lồi nên đoạn thẳng BC nằm trong M. Với mọi điểm  B XL , X là giới hạn của một dãy các điểm nằm trên đoạn n BC , ở đó  nA CL . Do M là tập đóng nên XM . Do đó  B LM . Häc viªn : Bïi V¨n Toan - 10 - K19 – To¸n Gi¶i TÝch Định nghĩa : Nếu M là một tập lồi, đóng trong n E thì nón   B KM có thể thu được bằng cách tịnh tiến song song nón   A KM , ở đây A và B là hai điểm bất kỳ thuộc vào M. Từ đó, nón   X KM được gọi là nón tiệm cận của một tập lồi đóng M, với X là một điểm bất kỳ của M. Nếu M là một tập lồi, đóng trong n E và chứa một đường L thì M là một hình trụ sinh bởi đường thẳng song song với L. Định lý 1.1.3.3. Cho A là một điểm bất kỳ thuộc tập lồi đóng M. Nếu    A K M A thì M là một tập bị chặn. Chứng minh : Giả sử rằng định lý trên không đúng. Khi đó tồn tại một dãy điểm  n XM sao cho độ dài của đoạn thẳng AX n tăng vô hạn. Do đó ta có thể chọn được 1 dãy con từ dãy AX n mà hội tụ đến tia L. M lồi AX n M . Do M là tập đóng LM , nghĩa là   A KM chứa tia L. Vô lý do    A K M A . 1.1.4. Ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi 1.1.4.1. Một số kí hiệu Cho 1 2 1 , , , , nn x x x x là tọa độ Đề các trong không gian Ơclit (n+1)-chiều 1n E  và cho n E là siêu phẳng 1 0 n x   . Ta kí hiệu 1n xz   và gọi   12 n x x x x , , , ,     12 n x z x x x z, , , , , là các điểm thuộc n E và 1n E  . Cho G là một miền lồi mở, bị chặn trong n E , ta kí hiệu z S là đồ thị của hàm z G R: . Cuối cùng,   W G  và   W G  là các lớp riêng biệt tất cả các hàm lồi và [...]... (a j ) Vỡ vy : Học viên : Bùi Văn Toan - 25 - K19 Toán Giải Tích j u1 ( a j ) R( p)dp u2 ( a j ) R( p)dp j v iu gi s ca chỳng ta ỳng Phn chng minh ca nh lý 1.2.5.1 c hon thnh Học viên : Bùi Văn Toan - 26 - K19 Toán Giải Tích Chng 2 Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh tng quỏt Trong chng ny ta nghiờn cu t m v bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh Monge-Ampere tng quỏt : det uij f x,u,Du , (2.1)... l hm lừm Mi nghim ca phng trỡnh Hypebolic (II5) cú th l im yờn nga Học viên : Bùi Văn Toan - 15 - K19 Toán Giải Tích 1.1.5.2 Phng trỡnh Monge-Ampere n- chiu n gin nht det(uij ) D( x, u, gradu ) õy quan h gia th ca nghim v kiu ca phng trỡnh (II6) ch ỳng cho nghim elliptic ca Pt(II ) Nghim elliptic ca phng trỡnh tt nhiờn l hm 6 li hoc lừm Nú l ch xem xột cỏc nghim li ca phng trỡnh (II6) Nu pt(II... x , z2 x W G v z1 x z2 x , x G Vi mi tp con Borel e ca G, R, z1 , e R, z2 , e Khi ú, z1 x z2 x , x G 1.1.5 Phng trỡnh Monge-Ampere 1.1.5.1 Cỏc phng trỡnh Monge-Ampere c in (n=2) Cỏc phng trỡnh Monge-Ampere c in cú liờn quan n cỏc hm vi hai bin c lp x1 v x2 Cỏc phng trỡnh ny cú dng 2 u11u22 u12 Au11 2Bu12 Cu22 D (1*) trong ú A,B,C,D l cỏc hm ca x1,x2,u,u1,u2 2 Biu thc D... thuyt hỡnh hc ca phng trỡnh v toỏn t Monge-Ampere cho cỏc bi toỏn c in trong PDE v hỡnh hc vi phõn Chỳng tụi xem xột Cm- trn ca cỏc nghim cho PT (II6) trong chng 6 1.2 Bi toỏn biờn th hai i vi phng trỡnh det(uij ) g(x) R(Du) 1.2.1 Cỏc nghim yu v nghim suy rng Cho G l mt tp li, m, b chn trong E n , ta xem xột phng trỡnh MongeAmpere: Học viên : Bùi Văn Toan - 16 - K19 Toán Giải Tích det(uij ) g ( x)... mt hm tp e thớch hp Phng trỡnh R, z, e e l m rng nht ca phng trỡnh Monge-Ampere (1.1) Cỏc hm li tha món phng trỡnh R, z, e e c gi l nghim yu ca phng trỡnh (1.1) Nh vy rừ rng cỏc hm m th ca nú l nún li hay a din li ch l cỏc nghim yu ca phng trỡnh (1.1) 1.2.2 Bi toỏn biờn th hai 1.2.2.1 Phỏt biu bi toỏn biờn th hai Chỳng ta ch xột nghim suy rng li u(x) ca phng trỡnh Monge Ampere det(uij... Học viên : Bùi Văn Toan - 18 - K19 Toán Giải Tích Bi toỏn biờn th hai c trỡnh by nh sau: Cho K l mt nún li khụng suy bin Tỡm iu kin rng phng trỡnh (1.2) cú ớt nht mt nghim suy rng m K l nún tim cn Trc tiờn ta gii thiu nghim ca bi toỏn ny cho tp riờng bit ca phng trỡnh Monge - Ampere det(uij ) g ( x) , R( Du ) (1.4) ú chỳng ta a vo iu kin cn v cho bi toỏn biờn th hai cho phng trỡnh (1.4) cú mt nghim... toỏn biờn th hai cho phong trỡnh (1.6) cú th c phỏt biu li theo cỏch sau : chng minh s tn ti ca a din li P W a1, a2 , , am , K sao cho ( R, P, ai ) i , (1.8) i = 1,2 ,, m , ú 1 0, 2 0, , m 0 l nhng s ó cho nh lý 1.2.3.1 Nu cỏc s 1 , 2 , , m l cỏc s khụng õm v ng thc Học viên : Bùi Văn Toan - 22 - K19 Toán Giải Tích n i i 1 k (E n ) R( p) , (1.9) ỳng, khi ú bi toỏn biờn th hai cú nghim... cho ta tớnh elliptic ( hyperbolic) ca phng trỡnh (II2) 0( 0) voi ( x1 , x2 ) G , u R, (u1 , u2 ) R 2 Cũn lý thuyt ca phng trỡnh Monge-Ampere c in n gin nht 2 u11u22 u12 D, (A=B=C=0) (II5 ) thỡ phong phỳ v cú cỏc ng dng sõu sc khỏc nhau cho phng trỡnh vi phõn hỡnh hc tuyn tớnh v hu tuyn tớnh, cỏc phộp tớnh ca bin ng dng trong toỏn hc v cỏc nghnh khỏc Tt c cỏc nghim ca phng trỡnh elliptic (II5)... G l nghim suy rng ca phng trỡnh Monge-Ampere (1.1) nu cong R R, z , e tha món phng trỡnh R, u , e g x dx e Vi mi hm z x W G cú vi phõn cp 1 v vi phõn cp 2 hu khp ni, ta cú th nh ngha khỏc v nghim suy rng Hm z x W G c gi l nghim suy rng ca phng trỡnh (1.1) nu z(x) tha món phng trỡnh (1.1) hu khp ni v R, z , e l hm liờn tc tuyt i Rừ rng c hai nh ngha v nghim suy rng l tng ng... nghim li thỡ hm D ch nhn giỏ tr dng Trong phn II chỳng ta quan tõm nghiờn cu cỏc bi toỏn giỏ tr biờn ( Bi toỏn biờn)nghim yu v nghim suy rng ca phng trỡnh Monge-Ampere (II6) cỏc nghim ny núi chung l cỏc hm li hoc lừm Lý thuyt hỡnh hc ca phng trỡnh Monge-Ampere l ỳng l h ca cỏc khỏi nim, k thut v kt qu ca cỏc nghiờn cu ny ỳng vy trong mt nhỏnh khỏc ca toỏn hc hin i s nghiờn cu v cỏc i tng trn m cú mt . Toan - 1 - K19 Toán Giải Tích I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Bùi văn toan Bài toán biên thứ hai đối với phơng trình monge-ampere elliptic Chuyờn. trường hợp thứ hai: Khi đó F phân tích thành hai thành phần. Phần thứ nhất gồm các điểm là giao của H với các tia của tập L U  , và phần thứ hai gồm các điểm là giao của H với các tia. ,x đúng với mọi XG . Trong trường hợp thứ nhất, hàm   12 n f x ,x , ,x được gọi là lồi, và ở trường hợp thứ hai là lõm. Với 1o X ,X là hai điểm bất kỳ của miền lồi G. Khi đó, với mọi