bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge-ampere elliptic

Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho bài toán biên thứ hai của phương trình * mà được xét trong toàn không gian n R và dáng điệu của nghiệm ở vô hạn được cho trước.. Trong chương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI - 2012

Mục lục Trang

Mở đầu - 2

Ch-¬ng 1 Bài toán biên thứ hai đối với phương trình det(u ) ij  g(x) R(Du) - 4

1.1 Một số kiến thức bổ trợ - 4

1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi - 4

1.1.2 Siêu mặt lồi và hàm lồi - 5

1.1.3 Nón tiệm cận - 8

1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi - 9

1.1.5 Phương trình Monge-Ampere - 14

1.2 Bài toán biên thứ hai đối với phương trình ( ) det( ) ( )  ij g x u R Du - 17

1.2.1 Các nghiệm yếu và nghiệm suy rộng - 17

1.2.2 Bài toán biên thứ hai - 17

1.2.3 Bài toán biên thứ hai trong lớp các đa diện lồi - 20

Ch-¬ng 2 Bài toán biên thứ hai đối với phương trình tổng quát - 26

2.1 Phát biểu định lý về sự tồn tại nghiệm - 26

2.1.1 Những giả thiết cơ bản - 26

2.1.2 Định lý về sự tồn tại nghiệm - 25

2.2 Xây dựng không gian nghiệm - 28

2.3 Chứng minh Định lý - 33

Kết luận - 43

Tài liệu tham khảo - 44

Mở đầu

Phương trình Monge-Ampere loại elliptic trong không gian n

R có dạng:

det(u ij) f x u Du( , , ), (*) trong đó xx x1, 2, ,x nR u n, u x là ẩn hàm,

i

ij x x

u u và f x u Du là hàm  , , 

số nhận giá trị dương được cho trước

Nghiệm cổ điển của phương trình (*) là hàm lồi u(x), thuộc lớp 2

C Nhưng việc tìm lớp nghiệm cổ điển là một vấn đề khó

Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho bài toán biên thứ hai của phương trình (*) mà được xét trong toàn không gian n

R và dáng điệu của nghiệm ở

vô hạn được cho trước Nghiệm này dựa trên ứng dụng của nguyên lý điểm bất động

trong không gian hàm không tầm thường Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation của tác giả Ilya J.Bakelman

Bố cục luận văn chia làm 2 chương:

Chương 1: Bài toán biên thứ hai đối với phương trình det( u ) ij  g( x )

R( Du ) Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát

Trong chương 1 ta sẽ xây dựng định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere ( )

det( )

ij

g x u

R Du

 trong tập các nghiệm suy rộng lồi Điều kiện của định lý này là điều kiện cần và đủ Những kết quả này thực sự có ý nghĩa khi dùng cho việc nghiên cứu tính giải được của bài toán biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát :

det(u ij) f x u Du( , , )Chương 2 chúng ta nghiên cứu tỉ mỉ về bài toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere tổng quát trong lớp các nghiệm suy rộng lồi, cụ thể là định lý tồn tại

và duy nhất nghiệm của bài toán đó Trong phần trình bày có đưa ra một số giả thiết

về nón lồi chấp nhận được, các công thức ước lượng…Bên cạnh đó, vì ta xét với các hàm lồi không bị chặn trên toàn bộ không gian n

E nên ứng dụng của nguyên lý điểm bất động yêu cầu chúng ta xây dựng một không gian hàm đặc biệt mà bài toán biên thứ hai có thể được nghiên cứu chi tiết

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm

ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 2009-2011 Toán giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy,

cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Tác giả

Chương 1

Bài toán biên thứ hai đối với phương trình

ij

g(x) det(u )

Một tập KL được gọi là lồi nếu a b,   K, t  0;1   x t (1 t a tb)  K

Định nghĩa 1.1.1.2: Một tập lồi chứa hợp của các tia với một đỉnh chung được gọi

là nón lồi Đỉnh chung của tất cả các tia đó gọi là đỉnh của nón.

Định nghĩa 1.1.1.3: Một thể lồi F trong n 1

E  được gọi là một (n+1)-khối đa diện lồi nếu F là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng

Nếu khối đa diện F là một tập bị chặn trong n 1

E  thì biên F của chúng được gọi là

một khối đa diện lồi đóng

Nếu F là một khối đa diện lồi hữu hạn thì F được gọi là đa diện lồi hữu hạn

Định lý 1.1.1.4 Mọi đa diện lồi bị chặn là bao lồi của các đỉnh Hơn nữa, một đa

diện như thế với đỉnh cho trước là duy nhất

Định lý 1.1.1.5 Mọi khối đa diện lồi hữu hạn là một bao lồi của các đỉnh và góc đa

diện lồi tiệm cận của nó được đặt tại một trong các đỉnh của nó

Định lý 1.1.1.6 Cho M là một hệ hữu hạn các điểm A A1, 2, ,A trong m E n1 Nếu có (n+2) điểm tại một vị trí tổng quát trong M, khi đó PC M o là một (n+1)-khối đa diện lồi bị chặn, và đỉnh của P có thể là một trong các điểm A A1, 2, ,A m

Điểm A i , ( i=1, 2,…, m) là gốc của P khi và chỉ khi A i không thuộc vào bao lồi của tất cả các điểm khác của M

Định lý 1.1.1.7 Cho A A1, 2, ,A là hệ các điểm đã cho trong m E n1 Khi đó tồn tại một đa diện n-lồi đóng trong n 1

E với các đỉnh khi và chỉ khi các điểm A A1, 2, ,A m ở tại một vị trí tổng quát và điểm A k bất kỳ không thuộc vào bao lồi của các điểm

1, 2, , k 1, k 1, , m

A A A A A , (k=1,2,…,m) Hơn nữa, một đa diện như thế là duy nhất

Định lý 1.1.1.8 Cho M là một hệ hữu hạn các điểm trong n 1

E , thỏa mãn các điều kiện sau :

i) có k+1 điểm tại một vị trí tổng quát trong M

ii) không có k+2 điểm tại một vị trí tổng quát trong M , ở đây k = 0, 1, 2,…, n+1

Khi đó PC M là một khối đa diện k-lồi bị chặn và các đỉnh của P chỉ có thể là o các điểm thuộc tập M Một điểm A M là gốc của P khi và chỉ khi A không thuộc 

bao lồi của tất cả các điểm khác trong tập M

Định lý 1.1.1.9 Cho A A1, 2, ,A là hệ hữu hạn các điểm, và V là một góc đa diện m (n+1)-lồi trong E n1mà các đỉnh của nó là một trong các điểm A A1, 2, ,A m

Cho M  A1A2  A mV

Khi đó PC M o là một khối đa diện vô hạn (n+1) lồi trong n 1

E , V là góc tiệm cận của P và các đỉnh của P chỉ có thể là các điểm A A1, 2, ,A m Hơn nữa, một điểm

1.1.2 Siêu mặt lồi và hàm lồi

Tập F được gọi là một mặt lồi n-chiều (hoặc một siêu mặt lồi) trong n

E nếu F

là một miền gồm biên của một thể lồi (n+1)-chiều H trong n 1

E nghĩa là F là một tập con mở, liên thông của H trong tô pô của H cảm sinh bởi E n1

Tương tự, với miền con G bất kỳ chứa biên của một thể lồi (k+1)-chiều H thì được gọi là một mặt lồi k chiều Nếu k=1 thì G được gọi là một đường cong lồi

F được gọi là chóp lồi n-chiều nếu F là một siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kiện:

i) F nằm trên một siêu phẳng P trong n 1

E  ii) F có phép chiếu trực giao 1-1 trên P

Cho H là một tập lồi trong n 1

E  và Q H là một siêu mặt lồi hoàn toàn Ta cố định một đường L và kí hiệu ULlà tập các đường song song với L, đi qua tất cả các điểm trong của H Các đường nằm trong U thỏa mãn một và chỉ một trong ba khả Lnăng dưới đây:

1 Mọi đường cắt Q chỉ một điểm

2 Mọi đường cắt Q tại hai điểm phân biệt

3 Không đường nào cắt Q

Ta kí hiệu F là tập tất cả các điểm là giao của H với các đường thẳng của tập U LTrong trường hợp thứ 3 thì F 

Ta xét trường hợp thứ nhất:

Cho L là một tia của của đường L mà giao với Q Ta kí hiệu UL là tập gồm các tia cùng hướng với L và xuất phát từ các điểm trong của H Khi đó F chứa tất cả các điểm là giao của H với các tia của tập UL

Cho P là siêu phẳng trực giao với L Khi đó hình chiếu của F trên P là một miền lồi, mở G Rõ ràng G là hình chiếu của tập IntH trên cùng một siêu phẳng P Cho

Rõ ràng F là đồ thị của một hàm f x , ,x xác định trong G Bây giờ ta  1 n

chứng minh rằng hàm f x , ,x này là liên tục trong G  1 n

Cho X là một điểm bất kỳ của G và dãy các điểm o X mG hội tụ đến X Ta o

kí hiệu Y i i 0 1 2, , , là điểm của F mà chiếu lên trên  X i, thỏa mãn

Do Y m H, giới hạn của một dãy con hội tụ của dãy các điểm Y thuộc vào m H

Hơn nữa, nó phải nằm trên một tia của tập UL Rõ ràng Y là một điểm duy nhất o

thỏa mãn những điều kiện này Vì vậy,

trong G Do F là đồ thị của một hàm liên tục f x , ,x xác định trong một miền  1 n

lồi, mở G và F H , F là một siêu phẳng lồi

Bây giờ ta xét trường hợp thứ hai:

Khi đó F phân tích thành hai thành phần Phần thứ nhất gồm các điểm là giao của

H với các tia của tập UL, và phần thứ hai gồm các điểm là giao của H với các tia

xuất phát từ các điểm trong của H và có hướng ngược với tia L

Vì vậy, mọi điểm AH có một lân cận U  H mà được chiếu tương ứng 1-1 lên

một siêu phẳng

Cho W G là tập các siêu phẳng lồi trong   E n1 mà chiếu trực giao và tương

ứng 1-1 lên một miền lồi, mở GP Cho x ,x , ,x ,x1 2 n n1z là tọa độ Đề các trong

X ,z  x ,x , ,x ,z E  Rõ ràng X là hình chiếu trực giao của (X,z) lên siêu phẳng P

Cho X , f X  là một điểm của F Khi đó tồn tại ít nhất một siêu phẳng tựa Q

đi qua điểm đó, ở đây X x ,x , ,x1 2 nG Nếu X ,zx ,x , ,x ,z1 2 n Q, khi

đó z f X  f x ,x , ,x 1 2 n hoặc z f X  f x ,x , ,x 1 2 n đúng với mọi

b) Nếu f X là một hàm lõm trong G, với   t 0 1, khi đó bất đẳng thức :

A M và chứa trong M Nếu không có tia nào như thế thì ta đặt K A M A

Định lý 1.1.3.1 Nếu M là một tập lồi thì tập K A M cũng là tập lồi Hơn nữa, nếu

 

A

K M A thì K A M là một nón lồi

Chứng minh : Cho B và C là các điểm thuộc K M A

Với 0 t 1; 0, ta chứng minh X t A nằm trong M, ở đó 

Định lý 1.1.3.2 Cho M là một tập lồi đóng trong n

E và L L là hai tia xuất phát từ A, B

hai điểm phân biệt A, B của tập M Nếu L A M và L AL thì B L B M

Chứng minh: Cho C là một điểm bất kỳ thuộc L A Do M là tập lồi nên đoạn thẳng

Định nghĩa : Nếu M là một tập lồi, đóng trong E thì nón n K B M có thể thu được

bằng cách tịnh tiến song song nón K A M , ở đây A và B là hai điểm bất kỳ thuộc

Chứng minh : Giả sử rằng định lý trên không đúng

Khi đó tồn tại một dãy điểm X nM sao cho độ dài của đoạn thẳng AXntăng vô hạn Do đó ta có thể chọn được 1 dãy con từ dãy AXn mà hội tụ đến tia L

M lồi AXn M Do M là tập đóng  L M , nghĩa là K A M chứa tia L

hàm lõm định nghĩa trên G Nếu z x W G hoặc z x W G thì S z được gọi là một siêu mặt lồi hoặc siêu mặt lõm

pR nào đó R nđược gọi là không gian Gradient

Bây giờ cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G,  là siêu phẳng tựa tùy ý của S z

Z z  p X, x  p X x   p X x là phương trình của , thì điểm  o o

 là ảnh chuẩn tắc của điểm x oứng với hàm z(x) ), ở đây x olà một điểm bất

kỳ của G,  là siêu phẳng của S z tại điểm x z x o, ( o)S z Rõ ràng z  xo là tập con lồi của n

R Nếu z  xo chứa một điểm thì siêu mặt lồi S z có một siêu phẳng tiếp xúc tại điểm x z x o, ( o) , điểm  x z x o, ( o) được gọi là trơn đối với  S z Ví dụ với hàm z(x) là một hàm lồi tuyến tính từng khúc, khi đó z  xo là một khối đa diện lồi đóng trong không gian Gradient n

Định nghĩa : Ánh xạ z mà qua đó đồ thị của các tập e G nằm trong tập

  n

  , được gọi là chuẩn tắc

1.1.4.3 Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi

Cho G là một tập lồi, mở, bị chặn trong n

E

A) Cho z x z1   , 2 x là các hàm lồi xác định trên G sao cho z1 G z2 G và

   

z x z x với mọi x Khi đó z2 G  z1 G

B) Cho z(x) là hàm lồi bất kỳ xác định trên G Khi đó z  F là một tập đóng, bị chặn trong không gian Gradient n

R , ở đây F là tập con đóng của G

Nếu Q z   thì S z được gọi là một siêu mặt lồi ngặt

D) Nếu e là tập con Borel bất kỳ của G, thì tập z  G là tập đo được Lơ be trong không gian Gradient R n

E) Nếu     1 

W

z x   G C G , thì ánh xạ chuẩn tắc có thể được quy về một ánh xạ của các điểm mà đồng nhất với ánh xạ tiếp tuyến

1.1.4.4 Một số tính chất đối với ánh xạ chuẩn tắc của hàm lồi

A) Giả sử u x   là một hàm lồi bất kỳ, khi đó hàm :

v x u x a x b

là lồi, ở đó a a1, 2, ,a n, b là những hằng số, và tậpv  e có thể thu được từu  e

bằng cách tịnh tiến song song gradient không gian n

E được thực hiện như là gốc, chỉ xét những nón tiệm cận không suy biến là đủ, mà các đỉnh của chúng được chiếu lên điểm E n Phương trình của những nón như thế là

( )

zk x b,

ở đó b là một hằng số bất kỳ

1.1.4.5 Độ cong R của các hàm lồi

Nếu e là một tập con Borel của G, ta sẽ chứng minh được rằng z  e là tập đo được Lơbe trong n

Định nghĩa : Hàm tập R z e được gọi là độ cong R của hàm lồi z(x) Độ cong R , , 

chỉ nhận giá trị không âm

1.1.4.6 Các tính chất của hàm lồi liên quan đến độ cong R của chúng Định lý 1.1.4.6.1 Cho z x z1   , 2 x W G và z x1 z2 x trên G , trong đó G

là một tập lồi, mở, bị chặn trên n

E Với mọi tập con Borel e của G, giả sử

R z e1  R z e2 

 , ,   , , Khi đó z x1 z2 x , x G

Chứng minh Định lý này dựa vào những Bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.4.6.2 Cho z x W G và C là hằng số bất kỳ Khi đó, với mọi tập con Borel e của G ta có : R z, C e,  R z e, , 

Bổ đề 1.1.4.6.3 Cho z x z1   , 2 x W G và Q là một miền con của G sao cho:

ii) intz1 Q intz2 Q ,

ở đó intzi Q là phần trong của tập zi Q , i=1,2

Định lý 1.1.4.6.4 Cho z x z1   , 2 x W G và z x1 z2 x , x G. Với mọi tập con Borel e của G, R z e, ,1  R z e, 2,  Khi đó, z x1 z2 x , x G.

1.1.5 Phương trình Monge-Ampere

1.1.5.1 Các phương trình Monge-Ampere cổ điển (n=2)

Các phương trình Monge-Ampere cổ điển có liên quan đến các hàm với hai biến độc lập x1 và x2 Các phương trình này có dạng

12

2

u u u Au  Bu Cu D

trong đó A,B,C,D là các hàm của x1,x2,u,u1,u2

Biểu thức   D ACB2 được gọi là biệt thức của phương trình (II2)

(u C u)( A) (  u B)  D ACB (II ) đúng Đồng nhất thức này cho ta

tính elliptic ( hyperbolic) của phương trình (II2)

1.1.5.2 Phương trình Monge-Ampere n- chiều đơn giản nhất

det(u ij) D x u gradu( , , )

Ở đây quan hệ giữa đồ thị của nghiệm và kiểu của phương trình (II6) chỉ đúng cho nghiệm elliptic của Pt(II6) Nghiệm elliptic của phương trình tất nhiên là hàm lồi hoặc lõm Nó là đủ chỉ xem xét các nghiệm lồi của phương trình (II6) Nếu pt(II

6)

có các nghiệm lồi thì hàm D chỉ nhận giá trị dương

Trong phần II chúng ta quan tâm nghiên cứu các bài toán giá trị biên ( Bài toán biên)nghiệm yếu và nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere (II6) các nghiệm này nói chung là các hàm lồi hoặc lõm Lý thuyết hình học của phương trình Monge-Ampere là đúng là hộ của các khái niệm, kỹ thuật và kết quả của các nghiên cứu này

Đúng vậy trong một nhánh khác của toán học hiện đại sự nghiên cứu về các đối tượng trơn mà có mặt các trường hợp nghiệm yếu và nghiện suy rộng của phương trình (II6) không là mục đích chính, chúng tôi đưa ra sự hiểu biết sâu sắc hơn về các vấn đề trơn Định lý của nghiệm yếu và nghiệm suy rộng của các bài toán biên khác nhau cho phương trình (II6) là một ví dụ minh hoạ hơn hẳn của sự phát biểu này, bởi

vì các chứng minh của tất cả các định lý tồn tại cho nghiệm yếu và nghiệm suy rộng của bài toán giá trị biên có cơ sở trong nguyên lý đơn giản của tính compact trong các không gian hàm thích hợp Hơn nữa các định lý này được chứng minh dưới dạng tổng quát và các điều kiện tự nhiên hơn các định lý tương ứng cho các nghiệm cổ điển

Từ đó nghiệm yếu và nghiệm suy rộng của PT (II

6) ở trong tập của tất cả các hàm lồi và hàm lõm nói chung, câu hỏi của Cm-trơn (m 2)

của các nghiệm xuất hiện như vậy Câu hỏi này phải được xem xét theo hai hướng Cho G là một miền xác định của PT (II6) Thứ nhất chúng ta muốn tìm các điều kiện trên hàm D x u p( , , )

mà làm đủ cho Cm- trơn của nghiệm yếu và nghiệm suy rộng của phương trình (II6) trên G Hướng thứ hai của bài toán là tìm các điều kiện biên trên hàm D x u p( , , )

và các dữ kliệu biên mà làm cho Cm- trơn của các nghiệm tương tự trên G  G G

Nghiệm chắc chắn ủa bài toán này mở ramột con đường ứng dụng của các kỹ thuật

và các kết quả của lý thuyết hình học của phương trình và toán tử Monge-Ampere cho các bài toán cổ điển trong PDE và hình học vi phân Chúng tôi xem xét Cm- trơn của các nghiệm cho PT (II6) trong chương 6

1.2 Bài toán biên thứ hai đối với phương trình det(u ) ij  g(x)

R(Du) 1.2.1 Các nghiệm yếu và nghiệm suy rộng

Cho G là một tập lồi, mở, bị chặn trong E n, ta xem xét phương trình Ampere:

Monge-( )det( )

ij

g x u

R Du

 , (1.1) trong đó g(x) là hàm khả tích, không âm trên G, và R(p) là hàm dương, khả tích địa phương trong không gian Gradient n

Chú ý rằng giá trị của độ cong R được cho bởi hàm tập không âm, liên tục tuyệt đối

   

e

e g x dx

 

Ta gọi hàm lồi z x W G là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere

(1.1) nếu độ cong R R z e thỏa mãn phương trình , ,     

e

R u e g x dx

 , ,  Với mọi hàm z x W G có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 hầu khắp nơi, ta có

thể định nghĩa khác về nghiệm suy rộng

Hàm z x W G được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (1.1) nếu z(x)

thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi và R z e là hàm liên tục tuyệt đối Rõ , , 

ràng cả hai định nghĩa về nghiệm suy rộng là tương đương

Nếu độ cong R của hàm lồi z x W G là không liên tục tuyệt đối thì z(x) không

là nghiệm suy rộng của phương trình (1.1) Ví dụ cho trường hợp này là các hàm mà

đồ thị của nó là nón lồi hay đa diện lồi

Bây giờ ta mở rộng các lớp nghiệm chấp nhận được của phương trình (1.1) tới tất cả các hàm lồi Cho  e là hàm tập hoàn toàn cộng tính, không âm trên vành các

tập con Borel của G Khi đó ta kết hợp phương trình R z e, ,     e với phương

trình (1.1) Rõ ràng mọi hàm lồi xác định trên G có thể xem như nghiệm của phương trình như thế với một hàm tập  e thích hợp Phương trình R z e, ,     e là mở

rộng nhất của phương trình Monge-Ampere (1.1) Các hàm lồi thỏa mãn phương trình R z e, ,     e được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.1) Như vậy rõ

ràng các hàm mà đồ thị của nó là nón lồi hay đa diện lồi chỉ là các nghiệm yếu của phương trình (1.1)

1.2.2 Bài toán biên thứ hai

1.2.2.1 Phát biểu bài toán biên thứ hai

Chúng ta chỉ xét nghiệm suy rộng lồi u(x) của phương trình Monge – Ampere det( ) uij  f x u Du ( , , ), (1.2) trong toàn bộ không gian n

E Như vậy những nghiệm thoả mãn phương trình (1.2) hầu khắp nơi trong n

E và hàm tập ( , , )u e liên tục tuyệt đối Chú y rằng ( , , )u e meas u( )e , (1.3) với tập con Borel bất kỳ e của n

E Dưới đây chúng ta giả sử rằng f x u p( , , ) liên tục

và không âm trong E n R R n

Nón tiệm cận K được gọi là không suy biến nếu K  chiếu tương ứng 1-1 trên toàn không gian E n Đối với nón tiệm cận không suy biến nó tiện cho việc thay thế chúng bởi biên của chúng Trong trường hợp này kí hiệu K sẽ được

sử dụng cho các biên của một thể nón lồi và chúng ta sẽ nói rằng K là nón tiệm cận của hàm u(x)

Bài toán biên thứ hai được trình bày như sau: Cho K là một nón lồi không

suy biến Tìm điều kiện đủ rộng để phương trình (1.2) có ít nhất một nghiệm suy rộng mà K là nón tiệm cận Trước tiên ta giới thiệu nghiệm của bài toán này cho tập riêng biệt của phương trình Monge - Ampere

1.2.2.2 Điều kiện cần và đủ về tính giải được của bài toán biên thứ hai

Giả sử g x( )0là một hàm khả tích trong n

E và giả sử R p    0 là hàm khả tích địa phương trong n

Chứng minh phần tồn tại nghiệm suy rộng được đưa ra ở Định lý 1.2.4.2.1 có thể được chứng minh bằng tính xấp xỉ của đa diện lồi Nếu có thể đặt thêm vào giả thiết rằng tất cả đa diện đứng đi qua một và một điểm tương tự trong n 1

E  Ảnh chuẩn tắc của tất cả đa diện này là bị chặn đều trong không gian Gradient n

R Do đó tất cả các hàm lồi mà đồ thị của chúng là các đa diện lồi đã xét ở trên, có dạng một

họ các hàm lồi thoả mãn điều kiện Lipschitz thứ nhất với hằng số Lipschitz chung

Họ các hàm này là compact trong không gian các hàm liên tục Tuy nhiên, độ cong R của dãy hội tụ các hàm lồi hội tụ yếu Từ tất cả các điều trên suy ra rằng phần trình bày sự tồn tại được đưa ra ở Định lý 1.2.4.2.1 có thể được chứng minh nếu như phần trình bày này được chứng minh đối với đa diện lồi

1.2.3 Bài toàn biên thứ hai trong lớp các đa diện lồi

Cho K là một góc đa diện lồi không suy biến trong n 1

E  và a a1, 2, ,a m là một

hệ các điểm cố định cho trước trong n 1

E  Ta xét đa diện lồi mà các đỉnh của nó chỉ được chiếu trong các điểm a a1, 2, ,a m và nón tiệm cận của chúng trùng với góc đa diện lồi K quy định đã giới thiệu ở trên Theo tính chất A,B,C ( xem phần tiểu mục 1.1.4.4) không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng gốc  ' của R nlà một điểm trong của tập  n n

K E R

  Tất nhiên, ta giả sử rằng một vài đỉnh của đa diện này có thể suy biến Khi đó độ đo ảnh chuẩn tắc của đỉnh cùng với giá trị của độ cong R triệt tiêu Ta kí hiệu W a a1, 2, , a Km,  là tập tất cả các hình đa diện lồi này Tập

 1, 2, , m, 

W a a a K là không trống (rỗng) bởi vì góc đa diện lồi K với đỉnh a1 là một phần tử của W a a1, 2, , a Km, 

Bây giờ cho các đỉnh của một đa diện lồi P, W a a1, 2, , a Km,  là các điểm

 a A1, 1  , a A2, 2  , , a Am, m Khi đó P có thể thu được là biên của một bao lồi kéo dài đến đỉnh của P và góc đa diện K với đỉnh  a A1, 1

Bây giờ kết hợp một số i 0 với mọi điểm a i i , 1, 2, ,m và xét tập các hàm sau

 

i

i

a e e

ở đó e là một tập con Borel như trước bất kỳ trong n

E Do vậy, vế phải của phương trình (1.6) chỉ có thể là tập các hàm    e mà nó được xây dựng bởi công thức (1.7) nếu ta xét phương trình (1.6) trong lớp các đa diện lồi W a a1, 2, , a Km, 

Do đó, phần trình bày bài toán biên thứ hai cho phưong trình (1.6) có thể được phát biểu lại theo cách sau : chứng minh sự tồn tại của đa diện lồi