Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Lời cảm ơn Trước hết, xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô trường Đại học sư phạm Hà Nội II, phòng sau đại học, đặc biệt thầy cô tận tình dạy LÊ HOÀNG ANH bảo cho suốt thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Giáo sư – Tiến sĩ khoa học Nguyễn Mạnh Hùng, người dành nhiều thời gian, tâm huyết, tạo điều kiện, động viên giúp đỡ hoàn thành tốt khóa luận Sự hiểu biết sâu sắc TOÁN BIÊNcủa THỨ ĐỐIlà VỚI khoa học, BÀI kinh nghiệm thầy 2chính tiền đềPHƢƠNG giúp đạt TRÌNH HYPERBOLIC CẤP thành tựu kinh nghiệm quý báu TRONG TRỤ VÔ HẠN Bên cạnh đó, quên gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn ngành Toáncông giải sức tích để trao đổi, thảo luận Thị Bích Liên khôngChuyên quản ngại thời :gian, Mã số : 60 46 01 đưa dẫn, đề nghị cho luận văn LUẬN VĂN THẠC TOÁN Cuối cùng, xin cảm ơnSĨbạn bè, gia GIẢI đình TÍCH đồng nghiệp bên tôi, cổ vũ động viên lúc khó khăn để vượt qua hoàn thành tốt luận văn Mặc dù hƣớng có nhiều cốhọc gắng: GS.TSKH hoàn thiện luận văn Mạnh tất nhiệt Ngƣời dẫn khoa Nguyễn Hùng tình lực mình, nhiên tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quí báu quí thầy cô bạn Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2013 Học viên Lê Hoàng Anh HÀ NỘI, 2013 -2- Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tự thân thực hiện, có hỗ trợ hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng không chép công trình nghiên cứu người khác để làm sản phẩm riêng Các nội dung sử dụng luận văn có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực nguyên luận văn Nếu phát có gian lận xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, kết luận văn Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2013 Tác giả Lê Hoàng Anh -3- Mục lục I.1 Lý chọn đề tài 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Tích vô hướng 1.2.2 Không gian Hilbert 11 1.3 Không gian Sobolev 14 1.3.1 Đạo hàm suy rộng 14 1.3.2 Không gian Sobolev 15 Chƣơng II Bài toán CauchyNeumann phƣơng trình Hyperbolic trụ vô hạn 19 2.1 Giới thiệu: 19 2.2 Thiết lập toán 20 2.2.1 Đặt toán 21 2.2.2 Sự tồn nghiệm 23 Chƣơng III Bài toán biên thứ phƣơng trình Hyperbolic cấp điều kiện ban đầu 36 3.1 Giới thiệu 36 3.2 Kết 38 -4- Phần III : Danh mục tài liệu tham khảo 45 1 Lý chọn đề tài Lí thuyết toán biên phương trình, hệ phương trình dừng không dừng tuyến tính miền trơn nghiên cứu gần hoàn thiện vào kỉ XX Tuy nhiên, vấn đề quan trọng đặt tính trơn biên bị phá vỡ, tức biên miền xét toán chứa điểm kì dị Các kết nghiên cứu mang tính chất móng V.A Kondrative năm 1967 giải số vấn đề mang tính nguyên lí để khắc phục điểm biên kì dị toán biên tổng quát phương trình Elliptic Từ kết quan trọng V.A Kondrative nhà toán học tiếp tục nghiên cứu hệ phương trình Elliptic hướng nghiên cứu hoàn thiện vào năm chín mươi kỉ XX Nghiên cứu toán biên phương trình hệ phương trình không dừng trụ có đáy miền với biên không trơn nghiên cứu cách hệ thống với hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic Schrodinger Trong đó, kết toán biên tổng quát phương trình hệ phương trình Hyperbolic có ứng dụng thực tiễn quan trọng vật lí, học hóa học lượng tử Chình “Bài toán biên thứ phƣơng trình Hyperbolic cấp trụ vô hạn” đề tài mà lựa chọn nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu luận văn tồn nghiệm suy rộng tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian toán biên ban đầu tổng quát phương trình Hyperbolic trụ vô hạn đáy miền có biên không trơn -5- Phƣơn Sử phương pháp giải tích hàm : phương pháp ước lượng tiên nghiệm phương pháp Galerkin -6- Chƣơng 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa1.1.1 Giả sử X không gian tuyến tính trường số thực hay số phức K , p nửa chuẩn xác định X , tức p ¡ thỏa mãn hai điều kiện : ánh xạ X a) p x b) p x p x y x p x p y Theo nhận xét p x p x x, y x X, K X X Ta có p 0 , xảy với x Nếu p thỏa mãn them điều kiện: c) p x x , p gọi chuẩn X Khi ta kí hiệu x thay cho p x Như chuẩn thỏa mãn ba điều kiện: với 1) x 2) 3) x x y x x với x y X x x X, với x, y x K X Từ ta suy : x y x y, x, y X Định nghĩa1.1.2 Không gian tuyến tính thực (hay phức) với chuẩn xác định X gọi không gian định chuẩn thực (hay phức) -7- 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa1.1.3 Nếu không gian định chuẩn X không gian Metric đầy đủ (với khoảng cách d x, y x y ) X gọi không gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ Ví dụ 1: Không gian Euclide n – chiều ¡ n trở thành không gian định chuẩn với chuẩn: n x xi 2 x x1 , , xn ¡ n i Không gian ¡ n không gian Banach Ví dụ 2: Gọi C a, b tập hợp tất hàm giá trị thực (hay giá trị phức) liên tục khoảng đóng a,b ¡ C a, b trở thành không gian định chuẩn với chuẩn : x max x t a t b Không gian C a, b không gian Banach Ví dụ 3: Giả sử C S tập hợp tất hàm giá trị thực (hay phức) liên tục không gian Tôpô compact (S) C S không gian định chuẩn với phép toán đại số thông thường với chuẩn : x max x t t S Ví dụ 4: C0 l không gian Banach Ta chứng minh cho không gian C0 ; l chứng minh tương tự Giả sử xm nghĩa m dãy Cauchy C0 , xm 0, m0 , m m0 , p nguyên dương, xm xm p m , m , có -8- Vì xm sup m , ta có : n n m n n cố định (1.1.1) n dãy số Cauchy Do đó, tồn m n m p n m n lim m m n (1.1.1) ta thu được: Cho p m n n Bởi lim m m0 n , n m0 n n n0 , n n0 , m0 n x0 (1.1.2) n , 20 , c0 Từ (1.1.2) suy xm x0 x0 m m0 lim xn không gian c0 n Ví dụ 5: l p p không gian Banach Giả sử xm l p , xm m , m , Do m dãy Cauchy 0, m0 , m m0 , r nguyên dương: xm xm r tức m n m r p n p (1.1.3) n m n m p n n, m m0 (1.1.4) N (1.1.5) Từ (1.1.3) suy ra: N m n n m r p n p -9- Từ (1.1.4) suy với n, tồn giới hạn: m lim m n n (1.1.5) ta nhận Cho r N m n n p p N n ta nhận Cho N m n m n p p (1.1.6) n y: x0 , m , m , , , m lp m , 1 , m 2 , xm y lp Từ (1.1.6) suy ra: y Tức x0 xm x0 m m0 lim xm l p m Ví dụ 6: l p a, b p không gian Banach Định lý Fisher-Riesz lý thuyết tích phân Lebesgue l1 a, b không gian Banach Tính đầy đủ không gian l p a, b p chứng minh tương tự 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Tích vô hướng Trong không gian ¡ y , , , k k tích vô hướng hai vectơ x , , , k , : x, y 1 2 k k giữ vai trò quan trọng khái niệm ứng dụng rộng rãi toán học, học, vật lý, … Biết tích vô hướng cặp vectơ suy độ dài vectơ (bình phương độ dài vectơ tích vô hướng - 10 - vectơ với nó) góc hai vectơ (cosin góc tích vô hướng hai vectơ chia cho tích độ dài chúng) Thành thử khái niệm tích vô hướng bao hàm khả đo độ dài, đo góc, từ đến khái niệm quan trọng khác tính trực giao, hình chiếu thẳng,… Ta xét xem làm đưa khái niệm tích vô hướng vào không gian định chuẩn Ta nhận thấy tích vô hướng x, y hai vectơ x, y ¡ k có tính chất cốt yếu sau đây: x, y x y, x y, z x, z x, y với số thực x, y x, x y, z x ; x, x x Vả lại tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) vectơ hệ thức x, x x Như phải làm xác định không gian định chuẩn hàm hai biến x, y với tính chất – liên hệ với chuẩn hệ thức Một không gian định chuẩn mà xác định hàm hai biến x, y với điều kiện gọi không gian Hilbert (hay không gian unita) Từ tính chất 1, 3, ta có x y, x y x y, x y x, x y, y kết hợp với 5, ta suy chuẩn không gian tiền Hilbert phải thỏa mãn điều kiện x y x y 2 x y (1.2.1) - 32 - ut s , 2Re B ut , ut s L2 ut , utN s k s s k s aijt u xN k i, j i ts k ts j k s 2Re k k s s 2Re k s s , , u xN , , uxN ts j aijt i, j uxN k j t s k , , uxN , , uxN j aijt uxN k i, j j aijt uxN i i, j 2Re k k s s 2Re k t s k t s , u xN i i, j aijt k aijt k uxN j t k s s k 1 ts , j t , n s s Re aijttt u xN i, j s i s k , uxN j t aijt s k u xN j s k , u xN s k , u xN t j i, j u xN j t 2Re s , u xN s k k j k s t aijt u xN k s at utN , , utN , k s at u N k s k s at k uN s k t , utN 2Re s j k t j s utN , s L2 k ts k , utN s W1 2s n , u xN i ts ts ts s Từ (2.2.6), (2.2.21) bất đẳng thức Cauchy ta utN , t s n s 2Re ts n 2Re autN , utN s , n n k s , ts i n 2s Re s = L2 n n s s Re aijtt uxN i, j s ut , 2Re f t , utN s 2Re s utN s 2 L 2s n utN s W ft , ft s s (2.2.21) - 33 - s N C1 ut k , k N ut , k L s W utN , C2 k k utN , k L W1 (2.2.22) Ci ( ) số dương phụ thuộc vào Với , tồn s s , ; i=1,2 (2s 1)n cho: ( )2 (2s 1)n (2s 1)n Chọn ( ) Ta có: 2s n 2s n 0 2s n Đặt J s (t ) 2s n utN , s utN , s L W1 Từ (2.2.22) ta được: s Js ( ) J s (t )dt C1 utN , k k s C2 k 0 utN , k k L2 utN , k L utN , W W1 dt C3 Ci ( ) số dương phụ thuộc vào fs L 0,T :L2 , (2.2.23) ; i=1,2,3 Ta sử dụng quy nạp để chứng minh rằng: utN , l utN , l L l W et Pl k k t ft k L 0,T ; L2 (2.2.24) Trong Pl k (t ) đa thức t bậc l-k với hệ số phụ thuộc vào , , l Từ (2.2.13) ta (2.2.24) với l = Giả sử (2.2.24) với l s s Sau l với l thuyết quy nạp ta s Js ( ) J s (t )dt C1e Ps k k ft k L 0,T ; L2 s Từ (2.2.23) giả - 34 - s C2 e k Ps k t f t k dt C3 L 0,T ; L2 fs Cs ,i số dương phụ thuộc vào s Ký hiệu: (t ) C1e Ps k ft k 0 e k Từ (2.2.25) ta có (2.2.25) L 0,T :L2 , ; i=1,2 k L 0,T ; L2 s C2 Ps k t f t Js ( ) k dt C3 L 0,T ; L J s (t )dt fs L 0,T :L2 ( ) Từ với bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta Js e e e (2.2.26) t dt Dễ thấy tồn đa thức Qs k (t ) với hệ số phục thuộc vào , thỏa mãn: s Qs k k t ft k L 0,T ; L2 e (2.2.27) t dt Từ (2.2.26) (2.2.27) ta thu utN (., ) s Ký hiệu 2s n s L2 ( ) Ps k (t ) s utN (., ) W e Qs ft k k k L 0,T ; L2 (2.2.28) Qs k (t ) (2s 1)n min{1, } Từ (2.2.28) ta được: utN (., ) s L2 ( ) s utN (., ) W s e Ps k k ft k L 0,T ; L2 Trong Pl k (t ) đa thức với hệ số phụ thuộc vào , , s Từ ta thu (2.2.24) Từ (2.2.24) với l=s chứng minh tương tự phần chứng minh bổ đề 2.2.3 với bất đẳng thức (2.2.13), ta thu được: - 35 - ut s s W 1,1 e t , T C k ft k L 0,T ; L2 Trong C số dương độc lập với u f Định lý chứng minh - 36 - Chƣơng Bài toán biên thứ phƣơng trình Hyperbolic cấp điều kiện ban đầu Bài toán Neumann cho phương trình Hyperbolic cấp miền không trơn Tóm tắt Trong luận văn này, nghiên cứu Bài toán Neumann cho phương trình Hyperbolic cấp kiện ban đầu miền không trơn Sâu chứng minh tồn nghiệm tổng quát cho toán cách áp dụng kết toán cho kiện ban đầu 3.1 Giới thiệu Chúng ta quan tâm đến toán biên giá trị cho phương trình hyperbolic miền không trơn Bài toán với điều kiện biên Dirichlet kiện ban đầu làm rõ [2, 3, 4] Bài toán biên kiện ban đầu cho phương trình parabolic làm rõ [5, 6, 7, 8] Mục tiêu việc chứng minh tồn nghiệm tổng quát toán Neumann mà kiện ban đầu miền không trơn ¡ Đặt Qh h, , Sh ¡ ,Q , S h, n L x, t ; n Cho h ¡ , tập ¡ Đặt n aij x, t i i, j toán tử riêng biệt cấp 2, n bi x, t j i c x, t i i xi , aij , bi , c hàm bị chặn C Q Chúng ta nghiên cứu phương trình hyperbolic utt L x, t; D u với điều kiện biên Neumann f Q (3.1.1) - 37 - u x, t vL 0, u x, t vL x, t n j j (3.1.2) S u x, t aij x, t vi x, t Đặt m, k số nguyên không âm Kí hiệu H m không gian Sobolev [1] Qua kí hiệu , hiểu phép nhân L2 Kí hiệu H H H không gian đối ngẫu H 1 kí hiệu , Đặt X không gian Banach, L2 a, t hàm số thực Chúng ta kí hiệu , ; X , không gian hàm f : a, f Lp a , , ;X Tích vô hướng f t a X e X với chuẩn t t dt Cuối cùng, giới thiệu không gian Sobolev H*1,1 Qa , bao gồm tất hàm u xác định Qa , ; H G , ut u L2 a, L2 a, utt , ; L2 L2 a, , ;H với chuẩn u H*1,1 Qa , u L2 a , ut , ;H G L2 a , utt , ; L2 Để đơn giản hóa kí hiệu, đặt L2 Q, L2 a , , ;H L2 ¡ , ; L2 Chúng ta giả định toán tử L elliptic, tồn sô 0 cho n aij x, t ¡ , x, t , Q i, j Hãy để giới thiệu dạng song tuyến tính sau n B u, v; t n aij x, t i, j j u iv bi x, t i i uv c x, t uv dx (3.1.3) - 38 - Sau từ công thức Green cổ điển ta có B u, v; t u vds , u, v C vL L x, t ; D u , v Định nghĩa 3.1.1 Cho f L2 Q, , hàm H*1,1 Q, gọi nghiệm tổng quát toán (3.1.1) – (3.1.2) đẳng thức utt , v f , v hầu khắp nơi t ¡ B u, v; t cố định cho tất v H (3.1.4) 3.2 Kết Định lí 3.2.1 Giả sử hệ số toán tử L thỏa mãn sup aij , aijt , bi , c : i, j 1, , n; x, t Q , số Sau cho t t t t , t ¡ , toán (3.1.1) – (3.1.2) có nghiệm tổng quát u không gian H*1,1 Q, ước lượng cố định sau u H*1,1 Q, C f L2 Q , (3.2.1) C số độc lập u f Chứng minh Để chứng minh định lí, xây dựng họ nghiệm gần u h nghiệm u toán (3.1.1) – (3.1.2) Nó biết đến hàm trơn t nhận giá trị 1, ,0 nhận giá trị [0.1] với t tất đạo hàm hàm số nguyên Đặt f h x, t , giá trị 0.1 Hơn nữa, giả sử t tập hợp bị chặn Cho h t h f x, t ,0 - 39 - Hơn nữa, f neá u t h neá u t h f fh L2 Q, , fh L2 h, , ; L2 , fh L2 Q, fh Cố định f L2 Q, L2 Qh ; fh L2 Qh ; f L2 Qh ; (3.2.2) , xem xét toán sau trụ Qh : utt L x, t , D u u x, t vL u 0, x, t 0, ut t h f h x, t Qh t h (3.2.3) Sh (3.2.4) (3.2.5) Đây giá trị biên ban đầu phương trình hyperbolic trụ Qh Một hàm u h gọi nghiệm tổng quát toán H*1,1 Qh , (3.2.3) – (3.2.5) u h , h 0, uth , h utth , v Cố định cho t đẳng thức B u h , v; t f h ,v , hầu khắp nơi tất v H h, Bổ đề 3.2.1 Cho h không đổi, tồn nghiệm toán (3.2.3) – (3.2.5) Trước hết, chứng minh tồn phương pháp xấp xỉ Galerkin Cho k x k hệ trực chuẩn L2 ma trận trực giao sở H Đặt N u N x, t CkN t k x k với CkN t , k 1, , N , nghiệm hệ phương trình vi phân sau : uttN , k B uN , k ;t f h, k , k 1, , N (3.2.6) - 40 - Với điều kiện ban đầu CkN h 0, CktN h 0, k 1, , N (3.2.7) Chúng ta nhân (3.2.6) với CktN t , sau lấy tổng với k từ N có uttN , utN Từ uttN , utN d utN dt B u N , utN ; t f h , utN , có L2 d utN dt 2 B u N , utN ; t L2 f h , utN (3.2.8) Cùng với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có f h , utN fh utN L2 (3.2.9) L2 Hơn nữa, ta viết n B u N , utN ; t n Aij x, t D j u N dx Bi x, t Diu N utN dx : B1 i, j B2 (3.2.10) i Dễ dàng thấy B1 d A u N ,u N ,t dt 2 n Aij D ju N Diu N dx (3.2.11) i, j hàm song tuyến tính dạng n A u N ,u N ,t Aij D ju N Diu N dx i, j Đẳng thức (3.2.11) có nghĩa B1 d A u N ,u N ,t dt uN H1 (3.2.12) ta lưu ý B2 uN H utN L2 Kết hợp công thức (3.2.8) – (3.2.13), ta (3.2.13) - 41 - d utN dt A u N ,u N ,t L2 utN 2 utN L2 A u N ,u N ,t a L2 Ta dùng công thức (3.1.3), max , uN fh fh H1 L2 (3.2.14) L2 Giờ ta viết: t : utN , t A u N ,u N ,t ; L2 f h , t t : L2 ,t h, Khi (3.2.14) hiểu ' t t , cho t t hầu khắp nơi h, Do dạng khác bất đẳng thức Gronwall-belmann ước lượng t t C e t s s ds,t (3.2.15) h, h Ta kết từ (3.2.15) (3.1.3) theo ước lượng utN , t Khi uN L2 H C e 1 t s fh , cho t nhân hai vế bất đẳng thức với e t t ds Ce L2 h t t t 0, t s fh L2 Q , cho t Bây , tích phân chúng từ t tới h tới , ta utN , t Khi t , L2 h , , , L2 uN cho t C fh L2 h , , , H t 0, L2 Q , cho t (3.2.16) 0 - 42 - Cố định v H v1 v1 N span k v H1 k 1 viết v v1 v N v1 span 0, k 1, , N , k k Chúng ta có Sử dụng (3.2.6), có H1 uttN , v1 Từ u N x, t v , , với vH2 B u N , v1; t N CkN t k f h , v1 cho t hầu khắp nơi h, , thấy k uttN , v Kết uttN , v1 uttN , v f h , v1 C fh B u N , v1; t uN L2 Từ bất đẳng thức cố định với v H H1 , v H1 , từ bất đẳng thức suy uttN Nhân (3.2.17) với e t t H C fh uN L2 H1 , tích hợp chúng từ t tới h tới (3.2.17) , sử dụng công thức (3.2.16), uttN L2 h , , , H C fh L2 Q , (3.2.18) Kết hợp (3.2.16) (3.2.18), uN H*1,1 Qh , C fh L2 Q , (3.2.19) với C số không đổi Từ phương trình (3.2.19), với tiêu chuẩn hội tụ yếu, kết luận trình tự u N uh H*1,1 Qh , N có dãy hội tụ đến hàm , nghiệm tổng quát toán (3.2.6) – (3.2.8) Cho k số nguyên nhỏ h, ý u k nghiệm tổng quát toán (3.2.6) – (3.2.8) ta thay h k Chúng ta định nghĩa u k - 43 - trụ Qk u h x, t cho k t h Đặt u hk u h u k , f hk fh f k , u hk nghiệm tổng quát toán utthk L x, t , D u hk u hk Sk , j 1, , m u hk 0, uthk t k f hk x, t Qk (3.2.20) (3.2.21) t k (3.2.22) Chúng ta có u hk H*1,1 C fh Qh , fk L2 Q , Và f u h h f u h k L2 Q , e t t h f f 2C e Q k, , L2 Q, t t h , e t t f Vì L2 Q , f h L2 dt e t t f dt L2 (3.2.23) dt Nó biểu h, k dt L2 k cho tất t h f 2 h dãy Cauchy Vì u h hội tụ đến u u h trụ Q hàm u h x, t fh f k k diễn dạng u h L2 h h Từ f k k k H*1,1 e f t t t h f h h L2 Q , e 0 t t f h f h hội tụ tới f L2 Q, L2 Qk , (coi h ) Bởi h dt L2 e h dt 1,1 H* e t t f t t L2 f L2 dt dt Từ u h nghiệm tổng quát toán (3.2.6) – (3.2.8), có utth , v B u h , v; t f h ,v - 44 - cho t h, hầu khắp nơi tất v H Cho h , thu (1.4) Với u nghiệm tổng quát toán (3.1.2) – (3.1.3) Sử dụng (3.2.23), cho N , có uh Cho h H*1,1 Qh , C fh L2 Q , thu (3.2.1) Định lý chứng minh - 45 - Phần 3: Danh mục tài liệu tham khảo [1] GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Nguyen Manh Hung and Jen-Chih Yao, Article “Cauchy-Neumann problem for second-order hyperbolic equations in cylinders with base containing conical points” [3] A Kokotov and B.A Plamenevskii, On the asymptotic on solutions to the Neumann problem for hyperbolic systems in domain with conical point, English transl., St Peterburg Math J 16(3) (2005), pp 477-506 [4] N.M Hung and N.T Anh, Regularity of solutions of initital-boundary value problem for parabolic equations in domains with conical points, J Diff Eqns 245(7) (2008), pp 1801-1818 [5] N.M Hung and J.C Yao, Cauchy-Dirichlet problem for secondorder hyperbolic equations in cylinder with non-smooth base, Nonlinear Anal 70 (2009),pp 741-756 [6] N.M Hung and N.T.K Son, Cauchy-Neumann prblem for secondorder general Schrodinger equations in cylinders with non-smooth bases, Boundary Value Problems, (2009) Article ID 231802, (13 pages) [7] N.M Hung and N.T Anh, The Cauchy – Neumann problem for parabolic equations in domains with conical point, Taiwanese J of Math 12:7 (2008), 1620 – 1635 [8] N.M Hung and V.T Luong, Unique solvability of intial boundary – value problem for hyperbolic systems in cylinders whose base is a cusp domain, Elec J of Diff Eq., 2008:138(2008), – 10 - 46 - [9] N.M Hung and N.T.K Son, Regularity of weak solution of Cauchy – Neumann problem for Schrodinger equation in infinite nonsmooth cylinders, J.Sci.HNUE, Vol.53, No.5.(2008), 31 – 40 [10] N.M Hung and N.T.K Son, Existence and smoothness of solutions to second intial boundary value problem for Schrodinger systems in cylinders with nonsmooth bases, Electronic Journal of Differential Equations, Vol.2008, No 35(2008), – 14