Luận văn sư phạm Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại Hypecbolic

Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p U M Tốn h c m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n S phát tri n c a Toán h c đ c đánh d u b i nh ng ng d ng c a Toán h c vào vi c gi i quy t toán th c ti n Trong l nh v c toán h c ng d ng th nhi u toán liên quan đ n ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Ra đ i t nh ng n m 60, ph kh ng đ nh đ ng g p r t ng trình đ o hàm riêng nhanh chóng c v trí t m quan tr ng c a khoa h c nói chung Tốn h c nói riêng c bi t ph ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic có ng d ng r t l n khoa h c th c ti n Chúng ta bi t r ng, vi c nghiên c u tính ch t đ nh tính vi c tìm nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic r t khó kh n ph c t p V i kh n ng ng d ng r ng rãi khoa h c th c ti n, v y nhà Toán h c t p trung nghiên c u tìm đ gi i toán v ph cs h c nhi u ph ng pháp đ g trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic ng d n t n tình c a T.S Tr n V n B ng v i lòng u thích mơn em xin m nh d n nghiên c u đ tài: Bài toán biên ban đ u đ i v i ph ng trình Hypecbolic Khố lu n g m ph n Ph n I : M đ u Ph n II : N i dung *Ch ng : Nh ng ki n th c ch n b *Ch ng : Ph ng trình lo i Hypecbolic Bài tốn Cauchy *Ch ng : Ph ng trình lo i Hypecbolic Bài tốn h n h p *Ch ng 4: M t s toán áp d ng Ph n III : K t lu n Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p L IC M N hồn thành khóa lu n t t nghi p này, tơi xin bày t lòng bi t n chân thành t i th y giáo cô giáo khoa Toán – Tr ng iH cS ph m Hà N i 2, t n tình giúp đ ch b o su t th i gian theo h c t i khoa th i gian làm khóa lu n c bi t tơi xin bày t lòng bi t n sâu s c t i T.S Tr n V n B ng – Gi ng viên khoa Toán - Tr h ng i H c S Ph m Hà N i 2, ng ng d n tôi, t n tâm ch b o đ nh h làm khóa lu n đ tơi có đ i tr c ti p ng cho su t trình c k t qu nh ngày hơm M c dù có r t nhi u c g ng, song th i gian kinh nghi m b n thân nhi u h n ch nên khóa lu n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô giáo, b n sinh viên b n đ c Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Thu Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Ch Ph Khóa lu n t t nghi p ng Nh ng ki n th c chu n b ng trình đ o hƠm riêng n tính 1.1 Các khái ni m t ng quát nh ngh a ph 1.1.1 ng trình đ o hƠm riêng ng trình liên h gi a n hàm u1,…,uN, bi n s đ c l p x1,…, Ph xn đ o hàm riêng c a n hàm đ c g i ph ng trình đ o hàm riêng Nó có d ng u1 uN u1  kui F ( x1 , x2 , , xn ; u1 , u2 , , un ; , , ; , , k )0 x1 x1 x2  x1  k xn F m t hàm s c a nhi u bi n s C p c a ph ph ng trình đ o hàm riêng c p cao nh t c a đ o hàm có m t ng trình  2u  x  y ph Ví d : xy 1.1.2 Ph nh ngh a ph ng trình đ o hàm riêng c p ng trình đ o hƠm riêng c p ng trình đ o hàm riêng c p có d ng F ( x1 , x2 , , xn , u, u u u , , , )0 x1 x x n (1.1) Trong u  u  x1 , x2 , , xn  hàm ph i tìm c a n bi n s đ c l p x1 , x2 , xn F hàm cho c a đ i s m t mi n khơng gian (2n+1) chi u Nghi m c a ph ng trình (1.1) hàm u  u  x1 , x2 , , xn  xác đ nh liên t c v i đ o hàm riêng u u u m t mi n bi n thiên đ y , , , x1 x x n c a bi n s x1 , x2 , xn bi n ph ng trình (1.1) thành đ ng nh t th c ta gi thi t giá tr c a x1 , x2 , xn mà t i hàm u xác đ nh nh giá Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i tr t Khóa lu n t t nghi p ng ng c a hàm u đ o hàm c a n m mi n xác đ nh c a hàm F 1.1.3 Ph Ph ng trình đ o hƠm riêng c p n tính khơng thu n nh t ng trình có d ng u1 u u  X2 ( x1 , x2 , , xn , u )   Xn ( x1 , x2 , , xn , u) x1 x2 xn X1 ( x1 , x2 , , xn , u )  f ( x1 , x2 , , xn , u) đ c g i ph (1.2) ng trình đ o hàm riêng n tính c p (không thu n nh t ) N u v ph i c a ph ng trình (1.2) đ ng nh t b ng khơng ( f  ) hàm s Xi (i=1,n ) không ph thu c hàm s ph i tìm u, ph ng trình (1.2) có d ng X1 ( x1 , x2 , , xn , u ) u u u  X2 ( x1 , x2 , , xn , u )   Xn ( x1 , x2 , , xn , u ) 0 x1 x x n (1.3) nh t Khi ph Ví d : Ph x x ng trình (1.3) đ c g i ph ng trình n tính thu n ng trình u u  y  ph x y ng trình n tính thu n nh t ph u u u u  y  2u ho c x  yu  đ u ph x y x y ng trình ng trình n tính khơng thu n nh t 1.2 Ph ng trình n tính thu n nh t Xét ph ng trình (1.3) u u u X1 ( x1 , x2 , , xn , u )  X2 ( x1 , x2 , , xn , u )   Xn ( x1 , x2 , , xn , u ) 0 x1 x x n Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Gi s r ng X1,X2,…,Xn xác đ nh liên t c v i đ o hàm riêng c p c a chúng theo t t c bi n  x , x , , x  n lân c n c a m không đ ng th i b ng không t i m ch ng h n Xn  x10 , x20 , , xn0   (1.4) Nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng n tính c p thu n nh t hàm u  u  x1 , x2 , , xn  tho mãn u ki n sau a u  u  x1 , x2 , , xn  xác đ nh D b Kh vi liên t c lân c n m  x10 , x20 , , xn0  (t n t i đ o hàm riêng u liên t c D) x i c Thay u  u  x1 , x2 , , xn  đ o hàm riêng u vào ph x i ng trình (1.3) tr thành đ ng nh t Rõ ràng ph ng trình (1.3) bao gi c ng có nghi m u=c (1.5) v i c h ng s tu ý Ta g i nghi m (1.5) nghi m t m th v i ph ng trình (1.3) Ta xét h ph ng c a ph ng trình vi phân th ng trình ng d ng đ i x ng sau dx1 dx2 dxn    X1 ( x1 , x2 , , xn ) X1 ( x1 , x2 , , xn ) X1 ( x1 , x2 , , xn ) ng trình (1.6) g i h đ i x ng t H ph nh ngh a : Hàm s  ( x1 , x2 , , xn ) đ m t mi n c a ng ng v i ph (1.6) ng trình (1.3) c g i tích phân c a h (1.6) bi n s x1,x2,…,xn n u    X1  X2   Xn  x1 x2 xn nh lí Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p 1) N u hàm s  ( x1 , x2 , , xn ) tích phân kh vi liên t c c a h (1.6) hàm s u=  ( x1 , x2 , , xn ) nghi m c a ph ng trình (1.3) 2) N u hàm u = ( x1 , x2 , , xn )  const nghi m c a ph ng trình (1.3) hàm s  ( x1 , x2 , , xn ) tích phân c a h (1.6) Ch ng minh 1) Hi n nhiên (d a vào đ nh ngh a tích phân c a h (1.6)) 2) L y vi phân toàn ph n c a hàm     d  dx1  dx2   dxn x1 x2 xn d a vào h (1.6) ta đ c   X1  X2  Xn   dxn     x X x X x Xn      n n n        X1  X2   Xn  X dxn    x x x  n  n (Ta gi thi t thêm r ng Xn ( x10 , x20 , ., xn0 )  ) Khi t (1.5) ta có d  t c   c tích phân đ u c a h (1.6) T đ nh lí ta suy r ng vi c tìm nghi m c a (1.3) t ng đ vi c tìm tích phân c a h (1.6) Ta gi thi t r ng h (1.6) có (n-1) ph ng v i ng trình vi phân c p sau dx1 X1 dx2 X2 dx X  ;  ; ; n1  n1 dxn Xn dxn Xn dxn Xn (1.8) Trong v ph i c a h (1.8) hàm s xác đ nh kh vi liên t c lân c n c a m  x10 , x20 , , xn0  Ta l p m t hàm kh vi liên t c c a tích phân (1.7) u   (1 ,2 , ,n1 ) Bùi Th Th y (1.9) K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Khi hàm s xác đ nh b i (1.9) c ng tích phân c a (1.6) c ng nghi m c a ph ng trình (1.3) Ta g i nghi m (1.9)  hàm s b t kì (kh vi liên t c c a tích phân c a ) ngh êm t ng quát c a ph Ví d : Cho ph ng trình x u u u  y z 0 x y z ng trình vi phân đ i x ng t H ph ng trình (1.3) ng ng dx dy dz   x y z Ta có dx dy   ln x  ln y  ln c1 x y  c1 x  y  c1  y/x= 1 dx dz   ln x  ln z  ln c2 x z  c2 x  z  c2  V y nghi m t ng quát c a ph 1.3 Ph z  2 (c1 , c2 h ng s ) x ng trình cho u   ( y / x, z / x) ng trình n tính khơng thu n nh t Ta xét ph ng trình d ng (1.2) X1 ( x1 , x2 , , xn , u ) u1 u  X2 ( x1 , x2 , , xn , u )   x1 x2  Xn ( x1 , x2 , , xn , u) Bùi Th Th y u1  f ( x1 , x2 , , xn , u) xn (1.10) K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Trong hàm s Xi ( i  1, n ) f xác đ nh liên t c đ o hàm riêng c p c a chúng Ngoài Xn ( x10 , x20 , , xn0 , u )  Ta s ch ng t r ng nghi m c a ph (1.11) ng trình (1.10) có d ng n V( x1 , x2 , , xn , u)  (1.12) Trong V hàm s kh vi liên t c theo đ i s tho mãn V 0 ( x1 , x2 , , xn0 , u )  u (1.13) Th t v y ta l y vi phân h th c (1.12) theo xk (k  1, n) u hàm c a x1,x2,…,xn ta đ c u V V : , k  1, n  x k x k u t (1.14) vào (1.10) ta đ X1 Ph (1.14) c V V V V  X2   Xn f 0 x1 x2 xn u ng trình (1.15) ph (1.15) ng trình n tính thu n nh t v i hàm s ph i tìm V H ph ng trình đ i x ng t ng ng c a (1.15) s dx1 dx2 dx du    n  X1 X2 Xn f (1.16) H (1.16) có n tích phân đ c l p 1 ( x1 , x2 , , xn , u),2 ( x1, x2 , , xn , u), ., n ( x1, x2, , xn ,u ) Khi hàm s ph (1.17) V   (1 ,2 , ,n ) (1.18) nghi m t ng quát c a ng trình (1.15) N u đ t (1.18) vào (1.12) ta đ c nghi m c a ph ng trình (1.10) d ng V   (1 ,2 , ,n ) =0 (1.19) ó u ph i ch ng minh Chú ý: Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p 1) Nghi m (1.19) nghi m t ng quát c a ph 2) N u t ph ng trình (1.19) ta tìm đ ng trình (1.10) c u   ( x1 , x2 , , xn ) (1.20)  hàm s tu ý, kh vi liên t c (1.20) nghi m t ng quát minh c a ph ng ng trình (1.10) Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a ph a) y d ng t ng trình sau z z  x  x  y (*) x y b) xy z z  x2  yz (**) x y L i gi i: a) y z z  x  x  y (*) x y H ph ng trình đ i x ng t ng ng dx dy dz   y x y  x Ta có dx dy 1   xdx  ydy  x2  y2  c1 2 y x  c1  x2  y2   T ng t dx dz   c2  x  y  z   y y  x V y nghi m t ng quát c a ph ng trình(*) u   ( , ) hay F(x2-y2,x-y+z)=0 b) xy z z  x2  yz (**) x y Bùi Th Th y K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i H ph Khóa lu n t t nghi p ng trình đ i x ng t ng ng dx dy dz   xy  x2 yz Ta có dx dx    xdx  ydy xy  x2 1   x2  c1  y2  c1  x2  y2   2 T ong t dx dz   ln x  ln y  ln c2 xy yz  c2 x  z  c2  z  x z V y nghi m t ng quát c a (**) : F( x2  y2 , )=0 x 1.4 Bài toán biên Bài toán biên c a ph ng trình đ o hàm riêng tốn tìm nghi m c a mi n đ y tho mãn u ki n biên c a mi n g i u ki n biên nh lí liên quan t i s t n t i nh t nghi m c a tốn biên g i đ nh lí t n t i nh t nghi m Ví d : u u   v i u(0,y)=8e-3y x y 1.5 Nguyên lí c ng nghi m vƠ ph Bùi Th Th y 10 ng pháp tách bi n K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Khi nghi m t ng quát c a (2.1.8) X(x)=ax+b  X (0)  b    X ( )  a   b  T (2.1.10) ta có T a=0, b=0 X ( x)  ta l i đ c nghi m t m th ng c)  >0 Khi nghi m t ng quát c a (2.1.8) X ( x)  C1cos  x  C2sin  x i u ki n (2.1.10) cho ta X (0)  C1  X ()  C2 sin    (2.1.12) Rõ ràng C2  n u C2=0 X ( x)  ta l i ch đ c nghi m t m th ng Vì C2  nên (2.1.12) cho ta k 2 sin        k     V i k nguyên , t c X ( x)  C2 sin Các giá tr  k x l (2.1.13) cho nghi m c a ph mãn u ki n (2.1.10) nghi m không t m th riêng nghi m t ng ng X(x) đ (2.1.13) ng đ ng trình (2.1.8) tho c g i giá tr c g i hàm riêng c a toán (2.1.8), (2.1.10) Hàm X(x) ph thu c k, v y ta kí hi u Xk(x) C2 ta kí hi u Ck : Xk ( x)  Ck sin V i giá tr  k x  (2.1.14) (2.1.13) thay th vào (2.1.9) ta có k 2 2 T ''(t )  a T (t )   Bùi Th Th y 42 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i T Khóa lu n t t nghi p Tk (t )  Dk cos k k at  Ek sin at   T (2.1.6), (2.1.14), (2.1.15), ta th y r ng ph (2.1.15) ng trình (2.1.1) th a nh n t p nh ng nghi m : uk ( x, t )  ( Ak cos k k k at  Bk sin at )sin x    (2.1.16) V i Ak=CkDk, Bk=CkEk nh ng h ng s tu ý Nh ng nghi m đ u tho mãn u ki n (2.1.4), (2.1.5) Ta xây d ng chu i   k 1 k 1 u ( x, t )   uk ( x, t )   ( Ak cos k k k at  Bk sin at )sin x    Và xác đ nh h s Ak, Bk cho chu i (2.1.17) tho mãn ph ng trình (2.1.1) u biên (2.1.2), (2.1.3) i u ki n (2.1.2) cho ta  u ( x,0)   Ak sin k 1 k x    x  (2.1.18) N u chu i (2.1.17) có th đ o hàm t ng h ng th c, (2.1.3) cho ta  k a k u ( x,0)   Bk sin x    x t   k 1 (2.1.19) Gi s   x ,  x nh ng hàm có th khai tri n thành chu i Phuarie  k  theo sin  đo n 0, Khi h s Ak, Bk, đ    c xác đ nh b i công th c 2 k Ak     x sin xdx 0  Bk     x sin k a Bùi Th Th y 43 k xdx  (2.1.20) (2.1.21) K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Nh v y n u tốn có nghi m, nghi m ph i đ (2.1.17) Ak, Bk đ c bi u di n b i c xác đ nh b i (2.1.20), (2.1.21) qu th c nghi m c a toán đ t kh ng đ nh đ c t ng u(x,t) c a (2.1.17) tho mãn u ki n (2.1.2), (2.1.4) (2.1.5) ch c n ch ng minh x  ho c x  l ho c t  ta có   k 1 k 1 lim  uk  x, t    lim uk  x, t  Do ch c n ch ng minh chu i (2.1.17) h i t đ u D th y r ng uk  x, t   Ak  Bk Và d u hi u Vây strat ch c n ch ng minh s   A k 1 k  Bk h i t c a chu i  (2.1.22) Mu n cho t ng u(x,t) c a (2.1.17) có th đ o hàm t ng h ng th c tho mãn u ki n (2.1.3), ch c n ch ng minh chu i  u  x, t   k a  u k k  k  at  Bk cos at  sin x h it  x, t  ฀  k   Ak sin l  l l l t t k 1 k 1  đ u ch c n ch ng minh s h i t c a chu i:   A k 1 k  Bk  H n n a, mu n cho t ng u(x,t) c a (2.1.17) tho mãn ph (2.1.23) ng trình (2.1.1), ch c n (2.1.17) có th đ o hàm t ng h ng th c hai l n theo x hai l n theo t, ch c n ch ng minh s  uk  x, t   2u       x, t  ฀  2 x x l  k k 1  uk  x, t   2u a     x, t  ฀   2 t t  l  h i t đ u c a chu i k k  k  at  Bk sin at  sin x  Ak co s l l l    k k 1 Và v y ch c n ch ng minh s k k  k  at  Bk sin at  sin x  Ak co s l l l   h i t c a chu i  k  A k 1 k  Bk  (2.1.24) Bùi Th Th y 44 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i ch ng minh  k k 1 Khóa lu n t t nghi p a k h i t ch c n a Hàm  (x) [0,l] có đ o hàm liên t c cho t i c p hai, đ o hàm c p ba liên t c t ng khúc  (0) =  (l) = (2.1.25)  ’’(0) =  ’’(l) = Mu n cho  k  k 1 k h i t ch c n b Hàm  (x) [0,l] hàm kh vi liên t c, đ o hàm c p hai liên t c t ng khúc  (0) =  (l) = (2.1.27) Nh v y đ i v i u ki n a, b v a nêu chu i (2.1.17) cho ta nghi m c a tốn Bài tốn 2: Tìm nghi m c a ph ng trình  2u  u a   f ( x, t ) t x2 (2.2.1) V i u ki n ban đ u u ki n biên u(x,0) = 0 xl (2.2.2) u ( x,0)  t 0 xl (2.2.3) u(0,t) = u(l,t) =0 (2.2.5) Gi thi t chu i (2.2.6) h i t đ u, rõ ràng hàm u(x,t) đ c xác đ nh b i (2.2.6) tho mãn u ki n biên (2.2.4), (2.2.5) Bây gi ta xác đ nh Tk(t) đ cho (2.2.6) nghi m ph ng trình (2.2.1) u ki n ban đ u (2.2.2), (2.2.3) Gi thi t r ng chu i (2.2.6) có th đ o hàm đ f(x,t) tri n khai đ Bùi Th Th y c t ng h ng th c hàm  c thành chu i Phuarie: f ( x, t )   fk  t  sin k 1 45 k x l (2.2.7) K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p 2l k x Trong fk  t    f ( x, t )sin dx Khi đó, đ t (2.2.6) vào (2.2.1) ta l0 l có k a k x  k x ''     fk  t  sin sin T t T v i k       k k k  l l l k 1 k 1  So sánh h s c a sin k x l hai v , ta đ c ph ng trình vi phân đ i v i Tk(t) Tk''  t   k2Tk  t   fk  t  , k = 1,2,3 (2.2.8) hàm u(x,t) xác đ nh b i (2.2.6) tho mãn u ki n ban đ u (2.2.2), (2.2.3) ch c n : Tk(0) = (k = 1,2,3…) Tk’(0) = (2.2.9) Nh v y Tk(t) tho mãn ph ng trình (2.2.8) u ki n (2.2.9) B ng cách th tr c ti p có th th y r ng hàm đ th c : Tk  t   k  t c bi u di n b i công fk   sin k  t    d (2.2.10) Hay sau thay fk( ) b ng bi u th c c a Tk  t    sin   t    d  l t k l f ( x, )sin k k x dx l (2.2.11) 3.5 BƠi toán h n h p t ng quát Xét toán: Tìm nghi m c a ph ng trình:  2u  u a   f ( x, t ) (2.3.1) t x2 tho mãn u ki n ban đ u u(x,0) =  (x)  x  l (2.3.2) Và u ki n biên Bùi Th Th y u(0,t) =  (t) (2.3.4) u(l,t)= (t) (2.3.5) 46 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p u ( x, t )    t   x   t     t   l u(0,t) =  (t) Rõ ràng u(l,t) =  (t) N u ta đ t u(x,t) = v +  + u (2.3.6) Trong v(x,t) nghi m c a tốn : 2v  v a 0 t x2 v( x,0)    x  0 xl  v x x   ( ,0) ( )   t v(0, )   v(, t )   * ( x)    x  u * ( x,0) V i u  ( x)    x  ( x,0) t * * Thì rõ ràng hàm w(x,t) s tho mãn ph v i ng trình  2   a  f * ( x, t ) 2 t x   2u*  u*  f *  x, t   f  x, t     a 2  tho mãn u ki n x   t   x,0        x,0    t 0 x    0, t      , t   V y bi u th c (2.3.6) cho ta nghi m c a toán h n h p t ng quát Bùi Th Th y 47 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Ch Khóa lu n t t nghi p ng M t s bƠi tốn áp d ng 4.1 Bài tốn Tìm nghi m u(x,t) c a ph   x  , t  0 tho mãn  2u  u mi n a t x2 ng trình u  x,0   2; u  x,0   cosx t L i gi i Áp d ng cơng th c alembe ta có nghi m c a tốn có d ng : u ( x, t )  Trong Khi   x  at     x  at   x+at    d 2a xat u ( x,0)    x u ( x,0)   ( x) t 1 x at u ( x, t )  cos  x+at   cos  x-at     2d  2a xat  cosx.cosat+ 2 2a  cosx.cosat+2t x at x at V y nghi m c a tốn c n tìm u(x,t)=cosx.cosat+2t Bài tốn Gi i ph ng trình  2u  2u 5 t x v i u ki n :  x   ; t>0 u (0, t )  0; u ( t )  u u ( x,0)  0; ( x,0)  sinx t L i gi i Trong ta có a2=5 ,    ,  x  sinx,  x   Khi nghi m c a tốn có d ng : Bùi Th Th y 48 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i  u ( x, t )   ( Ak cos k 1 Khóa lu n t t nghi p k k k at  Bk sin at )sin x    2 k 2 k v i Ak     x sin xdx =  0.sin xdx  0  0  Bk   k a   x sin 2  k k sinx.sin xdx  xdx    5k k  1  I   sinx.sin xdx     cos  x-kx   cos  x+kx  dx 0   2  Tính  1  1  c os x-kx d x-kx cos  x+kx  d  x+kx         k 0   k 0   1 1 sin  x-kx   sin  x+kx    1 k  k  0  0; k  1 1 sin  1  k   sin  1  k     1 k  1 k 1; k  1 0; k    Bk    ;k 1  V y nghi m c a toán : u ( x, t )  sinx.sin 5t Bài toán Tìm nghi m c a ph ng trình :  2u  u a t x2 mi n 0  x  1,0  t  T v i u ki n ban đ u : u(x,0)=0 ;  x0 ; x   c   , c    u ,0 x     t 0; x  (0, c   )   c   ,   u ki n biên : u ( x,0)  0; u (, t )  L i gi i Bùi Th Th y 49 K32A-Khoa Toán Tr ng H S Ph m HƠ N i Khóa lu n t t nghi p Khi nghi m c a tốn có d ng :  u ( x, t )   ( Ak cos k 1 k k k at  Bk sin at )sin x    2 k 2 k Ak     x sin xdx =  0.sin xdx  0  0  V i k xdx   c   c  k k k  sin sin sin       x xdx x xdx x xdx              k a  c  c  Bk   2    x sin k a  c   k a c  v0 sin 2v   k k k xdx  02 cos  c     cos  c       k a  V y nghi m c a ph ng trình k  c-  k  c+   k a 2v0   k x  cos t sin cos  sin 2     k 1 k  a    u ( x, t )   k  c-  k  c+     cos cos     2v0     sin k a t sin k x      a k 1 k 4 Bài toán Gi i ph  2u  2u 4 t x v i u ki n ng trình : 0