Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại Hypecbolic

Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung Tốn học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic khó khăn phức tạp Với khả ứng dụng rộng rãi khoa học thực tiễn, nhà Tốn học tập trung nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải tốn phươg trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic Được hướng dẫn tận tình T.S Trần Văn Bằng với lòng u thích mơn em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Bài toán biên ban đầu phương trình Hypecbolic Khố luận gồm phần Phần I : Mở đầu Phần II : Nội dung *Chương : Những kiến thức chẩn bị *Chương : Phương trình loại Hypecbolic Bài tốn Cauchy *Chương : Phương trình loại Hypecbolic Bài tốn hỗn hợp *Chương 4: Một số toán áp dụng Phần III : Kết luận Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Tốn LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán – Trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng – Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho suốt q trình làm khóa luận để tơi có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy giáo, bạn sinh viên bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Thuỷ Chương Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 1.1 Các khái niệm tổng quát 1.1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Phương trình liên hệ ẩn hàm u1,…,uN, biến số độc lập x1,…, xn đạo hàm riêng ẩn hàm gọi phương trình đạo hàm riêng Nó có dạng n u1 F(x , x , , x ;u ,u , ,u u1 k , uN ,  i ) 0 ; u , , k k ; n x  x  x x x 1 n F hàm số nhiều biến số Cấp phương trình đạo hàm riêng cấp cao đạo hàm có mặt phương trình u Ví dụ : 2x phương trình đạo hàm riêng cấp x y y 1.1.2 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình đạo hàm riêng cấp có dạng u u F (x , x , , x ,u, , , , ) u 0 n x x x (1.1) n Trong u u x1, x2 , , xn là hàm phải tìm n biến số độc lập x1, x2 , xn F hàm cho đối số miền khơng gian (2n+1) chiều Nghiệm phương trình (1.1) hàm u u x1, x2 , , xn xác định liên tục với đạo hàm riêng u , u x1  x2 , , u miền biến thiên x n biến số x1, x2 , xn biến phương trình (1.1) thành đồng thức Ở ta giả thiết giá trị x1, x2 , xn mà hàm u xác định giá trị tương ứng hàm u đạo hàm nằm miền xác định hàm F 1.1.3 Phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính khơng Phương trình có dạng  u1 X (x , x , , x ,u) (x , x , , x ,u)  u1 X 1 n 2 x  X n (x , x , , x ,u) n x n f (x1 , x2 , , xn ,u)  u1 x n (1.2) gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp (không ) Nếu vế phải phương trình (1.2) đồng khơng ( f 0 ) hàm số Xi (i=1, n ) khơng phụ thuộc hàm số phải tìm u, phương trình (1.2) có dạng X1 (x1 , x2 , , xn ,u)  X (x1 , x2 , , u x ,u)  n x1   X n (x1, x2 u , , xn ,u)  x2 u xn  (1.3) Khi phương trình (1.3) gọi phương trình tuyến tính Ví dụ : Phương trình u phương trình tuyến tính phương trình x y u 0 x u x u y y 2u u x yu u 0 phương trình tuyến tính x y x y khơng 1.2 Phương trình tuyến tính Xét phương trình (1.3) X1 (x1 , x2 , , xn ,u)  X (x1 , x2 , , u x ,u)  n x1   X n (x1, x2 u , , xn ,u)  x2 u xn  Giả sử X1,X2,…,Xn xác định liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng theo tất biến lân cận điểm x  Xn  , x2 , , x 0 không đồng thời không điểm chẳng hạn x1 , x2 , , x n 0  (1.4) Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hàm u u x1, x2 , , xn thoả mãn điều kiện sau a u u x1, x2 , , xn  xác định D Khả vi liên tục lân cận điểm  x   u liên tục D) riêng  xi  Thay , x , , x (tồn đạo hàm n u u u x1, x2 , , xn  đạo hàm riêng  xi vào phương trình (1.3) trở thành đồng Rõ ràng phương trình (1.3) có nghiệm u=c (1.5) với c số tuỳ ý Ta gọi nghiệm (1.5) nghiệm tầm thường phương trình với phương trình (1.3) Ta xét hệ phương trình vi phân thương dạng đối xứng sau dxn  X1 (x1 , x2 , , xn  X1 (x1 , x2 , , xn  X1 (x1 , x2 , , xn ) ) ) dx1 dx2 (1.6) Hệ phương trình (1.6) gọi hệ đối xứng tương ứng với phương trình (1.3) Định nghĩa : Hàm số (x , x , , x ) gọi tích phân hệ (1.6) miền  X1  X      x1 x Định lí  X n 0   xn biến số x1,x2,…,xn (x , x , , tích phân khả vi liên tục hệ (1.6) 1) Nếu hàm số x) n hàm số u= (x , x , , nghiệm phương trình (1.3) x) n 2) Nếu hàm u =(x , x , , x ) nghiệm phương trình (1.3)  const n hàm số (x , x , , x ) tích phân hệ (1.6) n Chứng minh 1) Hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân hệ (1.6)) 2) Lấy vi phân toàn phần hàm d     dx dx     dựa vào hệ (1.6) ta dxn   x1    x2 xn   X   X n .dx   X1 x x X n x X X  n n n  n   X  x   X X  x n  dx  x n  X n n (Ta giả thiết thêm X (x0 , x0 , ., x0 ) 0 ) n Khi từ (1.5) ta có n tích phân đầu hệ (1.6) d0 tức c Từ định lí ta suy việc tìm nghiệm (1.3) tương đương với việc tìm tích phân hệ (1.6) Ta giả thiết hệ (1.6) có (n-1) phương trình vi phân cấp sau X dx  ; ; n1 ;  X dx2  n1 dxn Xn dxn dxn Xn dx1 X1 (1.8) Xn Trong vế phải hệ (1.8) hàm số xác định khả vi liên tục lân cận điểm  x , x , , x  Ta lập hàm khả vi liên tục 0 n tích phân (1.7) n1 u  ( ,  , ,  ) x u(x,t)  t   t  t   l u(0,t) =  Rõ ràng (t) u(l,t) = (t) Nếu ta đặt u(x,t) = v + + u (2.3.6) Trong v(x,t) nghiệm toán : t v(x,0)  x   v (x,0) (x)   t  v 2 v a 20  x 2 x l v(0, ) 0   v(,t) 0 * (x) x u* (x,0) Với u * (x)  x  * (x,0) Thì rõ ràng hàm w(x,t) thoả mãn phương trình với f * x,t a 2  t  u f x,t   u    a  t  x * f (x,t)   *    t x,    0  t * thoả mãn điều kiện x    x,00    ,t 0 x   , t  0 Vậy biểu thức (2.3.6) cho ta nghiệm toán hỗn hợp tổng quát Chương Một số tốn áp dụng 4.1 Bài tốn Tìm nghiệm u(x,t) phương trình x u ,t 0thoả mãn t  u a   x t  u 2 miền x,02;u x,0cosx Lời giải Áp dụng cơng thức Đalembe ta có nghiệm tốn có dạng : xat x+at x     at     u(x,t)   d xat u(x,0) x  Trong u (x,0) (x) t Khi u(x,t)  cos  x+at  cos  x-at   xat a  cosx.cosat+ 2 2a cosx.cosat+2t 2d  xat xat xat Vậy nghiệm tốn cần tìm u(x,t)=cosx.cosat+2t Bài tốn Giải phương trình  u  u 5 t với điều kiện : x x t>0  ; u(0,t) 0;u(.t) 0 u u(x,0) 0; (x,0) sinx t Lời giải Trong ta có a =5 ,  ,xsinx, x 0 Khi nghiệm tốn có dạng : u(x,t)   ( A cos  k k 1 k  at B sin  xdx  x si =   với A   k n 0 B  k Tính ka 0   xsin  kxdx      I  k sinx.sin  0  x 5k xdx k sinx.sin    1 xdx   cosx kxcosx+kxdx  2   2  cos  x-kx  d  x-kx   2 k k k 0.sin    at)sin  xdx 0 2  k k      cos  x+kx  d x+kx 2 k 0   sin  x2 sin  x+kx    1 kx  2  k 0 k 0;k 1  sin1 k sin 1 k    1 1;  k 1      k k 1 0; k    Bk  ;k 1   Vậy nghiệm toán : u(x,t)  sinx.sin 5t Bài tốn Tìm nghiệm phương trình :  u 2 t a x  u 2 với điều kiện ban đầu : u(x,0)=0  ; miền T  u x,0  t điều kiện biên : u(x,0) 0;u(,t) 0 Lời giải 0 x 1,0 t   x ; x   c ,c 0; x (0, c )  c  ,  Khi nghiệm tốn có dạng :  k k k ( A cos at B sin at)sin x  u(x,t)  k k    1  xdx 0 2 Với A  xsin k k xdx = 0.sin  k B  k 0   0 k xdx xsin k  x  x sin  k xd  a  xsin  k  k  x  sin xd x c xdx  c      ka      c  c  xd x sin k c v   2v0    k a a  c  cos k c   2  k    cos c k          Vậy nghiệm phương trình cos  kc+ ka k c2v  kx u(x,t) t sin       cos sin k 1 k     a  k c-  cos kc+  cos         2v0    a k 1  k2  sin ka t sin kx  4 Bài tốn Giải phương trình :  u2 u 4 2 t x với điều kiện u 0,t u t 0