Bài Toán Dưới Thác Triển Đối Với Lớp E

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - NGUYỄN THỊ SEN BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THỊ SEN BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số:60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Nguyễn Thị Sen i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm- Bắc Ninh đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2017 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm đa điều hòa cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 10 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 14 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 Chương BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN TRONG LỚP E y ( W) 21 2.1 Các lớp Cegrell 21 2.2 Dưới thác triển lớp F (W) 24 2.3 Dưới thác triển lớp Ey 26 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài % miền C n u Ỵ PSH (W) Một hàm Cho WÌ W %) gọi thác triển u với z Î W u%Î PSH (W u%(z ) £ u(z ) Năm 1980, Elmir [9] đưa ví dụ hàm đa điều hòa song đĩa đơn vị mà hạn chế lên song đĩa nhỏ khơng có thác triển lên tồn khơng gian Bài toán thác triển lớp F (W) giới thiệu Cegrell gần toán nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Năm 2003, Cegrell A.Zeriahi % miền siêu lồi bị chặn C n với [7], chứng minh W, W %) cho u%£ u W % u Ỵ F (W) tồn u%Ỵ F (W WÐ W ị (dd u%) c n % W £ ò (dd u ) Năm c n 2005, U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi W [6, Định lý 5.1] hàm đa điều hịa lớp F (W) có thác triển toàn cục tới C n với cấp tăng logarithm vô Đối với lớp Ep (W), p > , toán thác triển nghiên cứu P.H.Hiệp [13] Tác % C n miền siêu lồi giả chứng minh WÌ WÌ %) cho u%< u W u Ỵ Ep (W), p > tồn hàm u%Ỵ Ep (W e p (u%) = ò (- u%) (dd u%) p % W c n £ ò (- u ) (dd u ) Năm 2009, S.Belnekourchi [2] p c n W đạt kết thác triển lớp lượng đa phức có trọng Ec (W) Bài tốn thác triển liên quan tới giá trị biên quan tâm năm gần Năm 2008,R Czyz L Hed [8] W1 W2 hai miền siêu lồi bị chặn cho W1 Ì W2 Ì Cn , n ³ u Ỵ F (W1 ) với giá trị biên F Ỵ E(W1 ) có thác triển v Ỵ F (W2 ) với giá trị biênG Ỵ E(W2 ) I MPSH (W2 ) , MPSH (W) lớp hàm đa điều hịa cực đại W Năm 2006, J.Wiklund [15] chứng minh tốn thác triển khơng thể thực lớp E(W) Cụ thể là, với miền siêu lồi W tùy ý, tác giả xây dựng hàm u E(W) khơng có thác triển tới miền rộng Gần đây, dựa ý tưởng J.Wiklund [15], L Hed cho ví dụ tốn thác triển không thực lớp hẹp N (W) E(W) (xem ví dụ 5.2 [10]) Như vậy, tốn thác triển ln thực F (W), Epp (W) Ec (W) , lúc thực E(W) Theo hướng nghiên cứu chọn “Bài toán thác triển lớp Ey ” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán thác triển lớp F (W) toán thác triển lớp Ey 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị + Trình bày số kết toán thác triển lớp F (W) Ey Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, viết chủ yếu dựa vào tài liệu [1], [7] [12] Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor Chương 2: Là nội dung luận văn trình bày số kết lớp Cegrell, toán thác triển lớp F (W) , toán thác triển lớp Ey Cụ thể mục 2.1, trình bày vài lớp hàm đa điều hòa giới thiệu nghiên cứu Cegrell với lớp E y (W) Bài toán thác triển lớp F (W) , trình bày mục 2.2 Trong mục 2.3, chúng tơi trình bày số kết lớp E y (W) toán thác triển lớp Ey Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà Định nghĩa 1.1.1 Cho W tập mở £ n u : W® é- ¥ , ¥ êë ) hàm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ Wvà b Ỵ £ n , hàm l a u (a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Kí hiệu PSH (W) lớp tất hàm đa điều hoà W Sau vài tính chất hàm đa điều hồ dưới: Mệnh đề 1.1.2 Nếu u, v Ỵ PSH (W) u = v hầu khắp nơi W, u º v Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức W tập mở liên thơng bị chặn £ n u Ỵ PSH (W) , u với z Ỵ W, u (z ) < sup lim sup u (y ) wẻ ả W y đ w W Định lý 1.1.4 Cho Wlà tập mở £ n Khi i ) Họ PSH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ PSH (W) , a u + b v Ỵ PSH (W) ii ) Nếu W liên thụng v {u } j jẻ Ơ è PSH (W) dãy giảm, u = lim u j Ỵ PSH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ iii ) Nếu u : W® ¡ , {u j } jẻ Ơ è PSH (W) hi t tới u tập compact W, u Ỵ PSH (W) iv ) Giả sử {u a } A Ì PSH (W) cho bao u = sup u a bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà W Mệnh đề 1.1.5 Giả sử WÌ £ n tập mở, w Ì W tập mở thực sự, khác rỗng W Giả sử u Ỵ PSH (W), v Ỵ PSH ( w) lim supx ® y v(x ) £ v(y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi ú ìï m ax{u, v } t rong w w = ïí ïï u W\ w ỵ hàm đa điều hoà W Chứng minh Rõ ràng w nửa liên tục trên W Chỉ cần chứng tỏ a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a+ l b, l £ r } Ì W w(a ) £ 2p 2p ị w(a + re iq b)d q Với a Ỵ W, b Î £ n , chọn r > đủ bé để {a+ l b, l £ r } Ì w ò - y (dd v ) Ù (dd v ) Ù (dd u ) ³ c c c n- W ò - y (dd v ) = c  Ù (dd cu )n - W Tiếp tục trình ta kết mong muốn Mệnh đề 2.3.3.[3] Cho WÌ C n miền siêu lồi y Ỵ PSH - (W), y ¹ Khi đó: a ) E y nón lồi b) Nếu u , v Ỵ Ey max(u , v ) Ỵ E y Mệnh đề 2.3.4 [3] Cho y 1, y Ỵ PSH - (W), y ¹ 0, y ¹ y £ y W h* Khi Ey Ì Ey F Ì E K ,W với tập compact K Ì W, hK* ,W hàm cực trị tương đối cặp (K , W) : { hK ,W(z ) = sup v(z ) : v Ỵ PSH - (W), v K } £ - hK* ,Wlà qui hóa nửa liên tục hK ,W Mệnh đề 2.3.5.Cho WÌ C n miền siêu lồi y ẻ PSH - (W), y Gi s u Ỵ PSH - (W) Khi đó, u Ỵ Ey ị (- y )(dd u ) c n < + ¥ Ngược lại , W u Ỵ N ị (- y )(dd u ) c n < + Ơ thỡ u ẻ Ey W Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử u Ỵ Ey Khi tồn dãy {u j } Ì E0 , u j ] u cho sup ò (- y )(dd cu j )n < + ¥ j W 28 Vì u Ỵ E nên (dd cu j )n hội tụ yếu tới (dd cu )n Mặt khác, - y nửa liên tục nên ò (- y )(dd u ) c n £ lim inf ò (- y )(dd cu j )n < + ¥ j W W W Điều kiện đủ: Giả sử u Ỵ N ị (- y )(dd u ) c n < + ¥ Từ Định lí 2.1 W [3] suy racó thể chọn dãy giảm {u j } Ì E0, cho lim u j = u W j Vì u j ³ u u j , u Ỵ N nên theo bất đẳng thức (2.3)ta có: ị (- y )(dd u ) c n j £ W ò (- y )(dd u ) c n W Suy sup ò (- y )(dd cu j )n < + Ơ Vy u ẻ Ey W j W Mệnh đề 2.3.6.Cho WÌ £ n miền siêu li v y ẻ PSH - (W), y Khi a ) Các khẳng định sau tng ng: i ) y ẻ LƠ (W) ; ii ) ò (- y )(dd u ) c n < + Ơ , vi mi u ẻ F (W) ; W iii ) $C > cho ò (- y )(dd u ) c n < C ò (dd cu )n với u Ỵ F (W) ; W W ìï ü ï c n c n ï iv ) sup í ị - y (dd u ) : u Ỵ F (W), ị (dd u ) £ 1ïý < Ơ ùù W ùù W ợ ỵ b) Cỏc khẳng định sau tương đương: i ) $ A > B > cho - B < y (z ) £ - A với z Ỵ W ii ) Ey = F 29 ò (dd u ) Chứng minh a ) i ) Þ ii ) u Ỵ F (W) nên suy c n < Ơ Do ú W i ) ị ii ) hiển nhiên ii ) Þ iii ) Giả sử iii ) khơng xảy Khi tồn dãy u k Ỵ F (W) cho c ò - y dd u k ( n n > 2kn ò dd cu k ) ( W ) " k ³ (2.4) W uk 2k Chú ý u k ¹ Đặt vk = ị (dd u ) c n n Khi vk Ỵ F (W) Ta có k W ị (dd v ) c n k 2kn = W (2.5) ,"k > theo (2.4) ò - y (dd u ) c n k ò - y (dd v ) c n W kn = k W c n ò (dd uk ) > W Đặt v = ¥ å k å vk Vì k= k vj Ỵ F , å j=1 v j ] v , nên theo Mệnh đề 2.3.1 ta có: j=1 n n ổ c k ữ ỗỗdd ữ v ũ ççè åj = j ø÷÷ £ W k k n å ò (dd v ) c n = j j=1 W £ 1, j j=1 å suy v ẻ F (W) Ta cú Ơ (dd v ) ³ c n å (dd cvk )n k= Do theo giả thiết ii ) +¥ > ị - y (dd v) c W n ¥ ³ å ò - y (dd v ) c n k k= W 30 ¥ > å k= 1= +¥ Mâu thuẫn chứng minh iii ) xảy iii ) Þ iv ) hiển nhiên iv ) Þ i ) Giả sử y khơng bị chặn W Khi tồn dãy {z k } Ì W cho y (z k ) ® - ¥ k ® + ¥ Ta có hàm Green gW,z (z ) Ỵ F (W) k n ổ g ữ ỗỗ c W,zk ữ ũ ỗỗỗdd 2p ữữữ = ứ Wố n ổ g ỗ W, z k ữ ữ Do ú, theo gi thit sup ũ - y ỗỗdd c < + ¥ , điều vơ lý, ữ ữ ỗỗ k p ữ ố ứ W n ổ g ữ ỗỗ c W,zk ữ sup ũ - y ỗdd = sup (- y (z k )) = + Ơ ữ n ữ ỗỗ k k (2p ) p ÷ è ø W b) i ) ị ii ) Gi s u ẻ F (W) Khi tồn {u j } Ỵ E0 (W), u j ] u sup ò (dd cu j )n < ¥ j W Do ò - y (dd u ) c n j £ B ị (dd cu j )n < ¥ với j ³ W W Suy u Ỵ Ey (W) Chứng minh tương tự ta có u Ỵ Ey u Ỵ F Do F = Ey ii ) Þ i ) Trước tiên ta y bị chặn Theo (a ) ta cần kiểm tra ò - y (dd u ) c n < Ơ vi mi u ẻ F Thật vậy, lấy u Ỵ F Theo giả thiết u Ỵ Ey W Do đó, theo Mệnh đề 2.3.5ta có ị - y (dd u ) c n < ¥ ta suy kết luận Tiếp W theo ta phải chứng minh sup y < Giả sử sup y = Khi tồn dãy W W 31 W với y (z k ) đ k đ Ơ Ta cú thể giả sử y (z k ) £ {z }Ì k với (2p )n 2kn k ³ Đặt gk = gW,z hàm Green có cực z k Khi ta có: k ị - y (dd g ) c n k = (2p )n (- y (z k )) = (2p )n - y (z k ) £ W ¥ å Đặt g = 2kn y gk Ta chứng minh g Î E g Ï F suy mâu thuẫn k= k Thật vậy, gk Ỵ F nên å g j Ỵ F , j=1 k å gj ] g Theo Mệnh đề 2.3.1ta có j=1 n n ổ c k ữ ỗ ũ - y çççèdd åj = gj ÷÷÷ø £ W k å ò - y (dd g ) c n j=1 n j W k £ £ j j=1 å y Do đó, theo ý 2.1.4suy g Î E Tuy nhiên, g Ï F n ò (dd g) c W ¥ ³ n å ò (dd g ) c k ³ (2p )n å = + ¥ k= W Mệnh đề 2.3.6 chứng minh Như biết, u Ỵ F (W) u W n = ị (dd cu ) < + Ơ Tuy nhiờn, ảW W lớp Ey kết khơng cịn Xét ví dụ sau: Ví dụ 2.3.7 Tồn u Ỵ Ey với y Ỵ PSH - (W) cho u | ¶ W= ị (dd u ) c n = +¥ W 32 { } Thật vậy, Cho W= B = B(0,1) = z Ỵ Cn : z < hình cầu đơn vị C n Lấy y (z ) = log z Ỵ F ( B) Với k ³ 1, đặt { } - y k (z ) = max log z , - k Khi ị (dd y c k )n = (2p )n W Hơn nữa, y k ẻ E0(W), y k ] y k đ ¥ Với j = 1,2, , đặt ïì ïü u j (z ) = max ïí log z , - j ùý ùùợ ùùỵ Khi u j Ỵ E0(W) c n ị (- y )(dd u j ) < W (2p )n đ j đ Ơ j Ta xây dựng dãy n < n < < n k < cho n æ ổk ử n ỗỗdd c ỗỗ u ữ ữữ ÷ với k ³ y < p ( ) ( ) ÷ å ÷ ị nj ữ ỗỗ ỗỗ ữ ố ứ j=1 ố ứ W Ta chọn n = Khi ( c ò (- y ) dd un W n ) = c ò (- y ) dd u1 ( n ) W £ n n 2p ) < (2p ) ( Giả sử n < n < < n k chọn Khi ú n ổ ổk ử n ỗỗdd c çç u ÷ ÷÷ ÷ y < p ( ) ( ) ữ ũ ỗỗ ỗỗồ n j ÷ ÷ ÷ è ø j = è ø W 33 k Đặt v = å un Với m > n k , q ³ j = 0,1, , n - ta có j j=1 j ổ Ê ỗỗỗũ (- y q ) dd cv çè W n- j ò (- y )(dd v ) Ù (dd u ) c c q ( m W ổ Ê ỗỗỗũ (- y ) dd cv ỗố W ( n n ) ÷ ÷ ÷ ÷ ứ ổ ỗỗ - y dd cu m ỗũ ( q ) ốỗ W ( j n ửn ổ ữ çç - y dd cu ÷ ÷ m çị ( ) ứữ ốỗ W ) ( 1- nử ữ ữ ÷ ø÷ ) n- j n ) ö÷ n ÷ ữ ứữ j n Cho q đ Ơ ta nhận 1- j n- j ò (- y )(dd v ) Ù (dd u ) c c m j £ (2p ) W n ù é ê(2p ) ú ê m ú ê2 ú êë ú û j n ® m ® ¥ Tuy nhiên, n ò (- y )(dd (v + u )) c m W = n = å j= ( ) ( n- j ) W n ò (- y )(dd v ) c j (nj ) ò (- y ) dd cv Ù dd cu m n- + å j= W j C jn ò (- y ) dd cv Ù dd cu m ( ) ( n- j ) W Từ giả thiết quy nạp ước lượng trên, ta có n ị (- y )(dd v ) c n < (2p ) W n- å j= (nj ) ò (- y ) dd cv ( j n- j ) Ù (dd u ) c m W 34 ® m ® + ¥ Từ đó, ta chọn m = n k + đủ lớn cho n æ ổk + ửữ ỗỗdd c ỗỗ u ữ ữ ữ y = ( ) ữ ũ ỗỗ ỗỗồ n j ÷ ÷ ÷ è ø j = è ø W ò (- y )(dd c ( n v + un k+1 )) n < (2p ) W t ổ ỗỗlog z , - ữ ữ max ồj = nj ữ ỗố ứ ÷ ¥ ¥ å u= un = j=1 j k Khi vk = å un ] u W từ xây dựng ta suy j j=1 u ẻ Ey , u |ả W= Tuy nhiên, ta có: ị( c dd u W n ) k ³ å j=1 ( dd cu n n j ) n = k (2p ) ® + ¥ k ® + ¥ Chú ý2.3.8.Với u y ví dụ2.3.7, cho gW,a hàm Green với cực a ¹ Khi gW,a Ỵ F ( B) Theo Mệnh đề2.3.5, ta có gW,a Ỵ Ey Do v = u + gW,a Ỵ Ey v Ï F U U Ep Thật vậy, v Ỵ F p> max {u, v } = u Ỵ F , điều khơng thể xảy ị (dd u ) c n = + ¥ Hơn W nữa, (dd cv )n ³ (dd cgW,a )n = (2p )n da , nên suy v Ï Ep với p > y c n v Î Ep (dd v ) triệt tiêu tập đa cực Điều lớp E hoàn toàn khácvới lớp F Ep , p > Bây ta nghiên cứu thác triển lớp E y Như ví dụ2.3.7, ý lớp E y khác với lớp F Ep Từ đó, việc nghiên 35 cứu thác triển lớp E y thực Ta chứng minh Định lý sau: %), y ¹ % C n miền siêu lồi, y Ỵ PSH - (W Định lí 2.3.9 Cho WÌ WÐ %) cho u%£ u W u Ỵ E y (W) Khi đó, tồn u%Ỵ E y (W ey (u%) = ị (- y )(dd u%) c n £ % W ò (- y )(dd u ) c n = e y (u ) W Chứng minh Từ định nghĩa E y suy tồn {u j } Ì E0 (W), u j ] u W a = sup ò (- y )(dd cu j )n < + ¥ j W Cố định j ³ 1.Vì u j Ỵ E0(W) nên theo định nghĩa lớp E0 (W) , ta suy %, độ (dd cu j )n (W) < + ¥ Từ đó, mj = 1W(dd cu j )n độ đo Borel W %, hàm đo hữu hạn triệt tiêu tập đa cực W W đặc trưng W Theo Bổ đề 5.14 [3], tồn hàm %) với (dd cg )n = (dd cu )n độ đo W % Ta chứng minh gj Î F (W j W j gj £ u j W Định Theo ỉ% c y j Ỵ E0 (W), Ê f j ẻ L1 ỗỗW , dd y j è ( n ) ø÷÷÷ lí 5.11 [3] tồn cho mj = f j (dd c y j )n độ đo Borel % Cho {W } dãy vét cạn tăng tập mở compact tương đối W k k³ W, Wk Ð Wk + Ð W, UW k = W Với k ³ , đặt k mj ,k = 1W inf {k, f j }(dd c y j )n k 36 % Định lí (C ) [14] tồn hàm độ đo Borel W u j ,k Ỵ E0(W) cho n (dd u ) c ( = 1Winf {k , f j } dd c y j j ,k n ) %) , cho W gj ,k Ỵ E0(W n (dd g ) c j ,k ( = 1Winf {k , f j } dd c y j n % W ) Thật vậy, tồn gj ,k rõ ràng Để chứng minh tồn u j ,k ta sử dụng phương pháp sau Với k , xét hàm { } y%j ,k = sup j Ỵ PSH - (W) : j £ y j t rên W Khi đó, y j £ y%j ,k W y%j ,k = y j Wk Chú ý y%j ,k Ỵ E0(W) y%j ,k ³ y j L¥ (Wk ) hW ,W , y j j L¥ (Wk ) { } = sup y j (z ) : z Ỵ Wk hW ,W j hàm cực trị tương đối cặp (Wk , W) Ta có ( 1Winf {k , f j } dd c y j n ) = 1Winf {k , f j } dd c y%j ,k ( n ) £ k dd c y%j ,k ( n ) Và suy kết luận đòi hỏi Từ nguyên lý so sánh suy {u j ,k } {g j ,k } k k %) tương ứng dãy giảm hàm đa điều hòa lớp E0 (W) E0 (W Mt khỏc, nu x ẻ ả W thỡ ta có lim inf(u j ,k (z ) - gj ,k (z )) = - gj ,k ( x) ³ W' z ® x ( dd cu j ,k n ) ( £ dd cg j ,k n ) W Theo nguyên lý so sánh ta có gj ,k £ u j ,k W.Giả sử gj ,k ] h j k đ Ơ %) Thật vậy, ta có Khi h j Ỵ F (W 37 sup ò dd cg j ,k k ( n ) % W £ n ò f (dd y ) c j W j % W = n ò f (dd y ) c j j n ò f (dd y ) £ c j j < +¥ % W W suy kết luận địi hỏi Hơn n (dd h ) c j ( = f j 1W dd c y j n ) ( = 1Wmj = 1W dd cu j n ) ( = dd cg j n ), % Tương tự, u ] u Bổ đề 5.14 [3] kéo theo h j = gj W j ,k j k đ Ơ trờn W Vi mi j 1, đặt g%j = (sup gk ) * k³ j %) , từ g% ³ g suy g% Ỵ F (W %) Ta dễ thấy {g%} Khi đó, g%j Ỵ PSH - (W j j j j % nên cách tích phân phần suy dãy giảm Mặt khác g%j ³ gj W ò (- y )(dd g%) c n j £ % W ò (- y )(dd g ) c n j % W = ò (- y )1 (dd u ) c n W j % W = ò (- y )(dd u ) c n j W Từ đó, sup ị (- y )(dd cg%j )n £ a < + ¥ j % W Với k ³ j , ý gk £ uk £ u j W Do g%j = (sup gk )* £ u j W k³ j %) Hiển nhiên, u%Ỵ PSH - (W) Đặt u%= lim g%j Ta chứng minh u%Ỵ E y (W j Theo [3], tồn dãy {j j }Ì %) cho j ] u%trên W %.Bằng cách thay E0(W j 38 j j %) u% ] u%, ta giả sử j ³ g% W % u%j = max {j j , g%j } Ỵ E0(W j j j Khi đó, ị (- y )(dd j c j )n £ % W ò (- y )(dd g%) c n j % W £ ò (- y )(dd u ) c n j £ a < +¥ W Như sup ị (- y )(dd cj j )n < + ¥ j % W %) Vì g% £ u W, nên suy u%£ u W Mặt khác, Từ u%Ỵ E y (W j j ey (u%) = ò (- y )(dd u%) c % W n £ lim inf ò (- y )(dd cj j )n j % W £ lim inf ò (- y )(dd cu j )n = ey (u ) j % W Định lí 2.3.9 chứng minh W 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử MongeAmpère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor Một số kết lớp Cegrell, toán thác triển lớp F (W) (Định lý 2.2.2), toán thác triển lớp Ey (Định lý 2.3.9) 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Benelkourchi S (2009), “Weighted pluricomplex energy”, Potential Anal., 31, 1-20 [3] Cegrell U.(2004), “The general definition of the complex MongeAmp`ere operator”, Ann Inst Fourier(Grenoble), 54, 159-179 [4] Cegrell U (2000), “Two examples in pluripotential theory”, Dep Math., Mid - Sweden Univ., Research Report no 14(2000) [5] Cegrell U.(2008), “A general Dirichlet problem for the complex Monge- Amp`ere operator”, Ann.Polon Math., 94, 131-147 [6] Cegrell U., Kolodziej S and Zeriahi A (2005), “Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Z., 250, 7-22 [7] Cegrell U and Zeriahi A.(2003), “Subextension of plurisubharmonic functions withbounded Monge-Amp`ere operator mass”, C R Acad Sci Paris, 336, 305-308 [8] Czyz R and Hed L (2008), “Subextension of plurisubharmonic functions without increasing the total Monge - Amp`ere mass”, Ann Polon Math., 94, 275-281 [9] Mir H El (1980), “Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires”, Seminaire Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math 822, Springer-Verlarg, 61-76 [10] Hed L (2010), “Approximation of negative plurisubharmonic functionswith given boundary values”, Internat J Math., 21, 1135-1145 41 [11] Hai L.M.,Hiep P.H (2011), “Some weighted energy classes of plurisubharmonic functions”, Potential Anal., 34, 43-56 [12] Hai L.M., Long T V (2011), “The Subextension Problem for the Class E y ”, V.J Math 39:3 251-266 [13] Hiep P.H (2008), “Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes”, Complex Var Elliptic Equ., 53, Vol 7, 675-684 [14] Kolodziej S (1995), “The range of the complex Monge-Amp`ere operator II”, Indiana U Math J., 44(3), 765-782 [15] Wiklund J (2006), “On subextension of pluriharmonic and plurisubharmon-ic functions”, Ark Math., 44, 182-190 42 ... “Weighted pluricomplex energy”, Potential Anal., 31, 1-20 [3] Cegrell U.(2004), “The general definition of the complex MongeAmp`ere operator”, Ann Inst Fourier(Grenoble), 54, 159-179 [4] Cegrell... (2000), “Two examples in pluripotential theory”, Dep Math., Mid - Sweden Univ., Research Report no 14(2000) [5] Cegrell U.(2008), “A general Dirichlet problem for the complex Monge- Amp`ere operator”,... trị tương đối 10 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 14 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 Chương BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN TRONG LỚP E y ( W) 21 2.1 Các lớp Cegrell 21 2.2 Dưới thác triển lớp F (W)