Bài toán dưới thác triển đối với lớp e

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - NGUYN TH SEN BI TON DI THC TRIN I VI LP Ey LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN 2017 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH SEN BI TON DI THC TRIN I VI LP Ey Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s:60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN-2017 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Nguyn Th Sen i LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng o to- B phn Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng THCS Phỳ Lõm- Bc Ninh cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 04 nm 2017 Tỏc gi ii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc lun Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu hũa di 1.2 Hm a iu hũa di cc i 1.3 Hm cc tr tng i 10 1.4 Toỏn t Monge-Ampốre phc 14 1.5 Nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor 16 Chng BI TON DI THC TRIN TRONG LP E y ( W) 21 2.1 Cỏc lp Cegrell 21 2.2 Di thỏc trin lp F (W) 24 2.3 Di thỏc trin lp Ey 26 KT LUN 40 TI LIU THAM KHO 41 iii M U Lý chn ti % l cỏc C n v u ẻ PSH (W) Mt hm Cho Wè W %) c gi l di thỏc trin ca u nu vi mi z ẻ W thỡ u%ẻ PSH (W u%(z ) Ê u(z ) Nm 1980, Elmir [9] ó a vớ d v hm a iu hũa di trờn song a n v m hn ch lờn mt song a nh hn khụng cú di thỏc trin lờn ton b khụng gian Bi toỏn di thỏc trin lp F (W) ó c gii thiu bi Cegrell v gn õy bi toỏn ny nhn c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc Nm 2003, Cegrell v A.Zeriahi % l cỏc siờu li b chn C n vi [7], ó chng minh rng nu W, W %) cho u%Ê u trờn W v % v u ẻ F (W) thỡ tn ti u%ẻ F (W Wé W ũ (dd u%) c n % W Ê ũ (dd u ) Nm c n 2005, U Cegrell, S Kolodziej v A Zeriahi W [6, nh lý 5.1] ó ch rng cỏc hm a iu hũa di lp F (W) cú di thỏc trin ton cc ti C n vi cp tng logarithm ti vụ cựng i vi lp Ep (W), p > , bi toỏn di thỏc trin c nghiờn cu bi P.H.Hip [13] Tỏc % C n l cỏc siờu li v gi ó chng minh rng nu Wè Wè %) cho u%< u trờn W v u ẻ Ep (W), p > thỡ tn ti mt hm u%ẻ Ep (W e p (u%) = ũ (- u%) (dd u%) p % W c n Ê ũ (- u ) (dd u ) Nm 2009, S.Belnekourchi [2] ó p c n W t c kt qu v di thỏc trin cỏc lp nng lng a phc cú trng Ec (W) Bi toỏn di thỏc trin liờn quan ti cỏc giỏ tr biờn c quan tõm nhng nm gn õy Nm 2008,R Czyz v L Hed [8] ó ch rng nu W1 v W2 l hai siờu li b chn cho W1 è W2 è Cn , n v u ẻ F (W1 ) vi cỏc giỏ tr biờn F ẻ E(W1 ) cú thỏc trin v ẻ F (W2 ) vi cỏc giỏ tr biờnG ẻ E(W2 ) I MPSH (W2 ) , ú MPSH (W) l lp cỏc hm a iu hũa di cc i trờn W Nm 2006, J.Wiklund [15] ó chng minh rng bi toỏn di thỏc trin khụng th thc hin lp E(W) C th l, vi mt siờu li W tựy ý, tỏc gi ó xõy dng mt hm u E(W) khụng cú di thỏc trin ti mt rng hn Gn õy, da trờn ý tng ca J.Wiklund [15], L Hed ó cho vớ d ch rng bi toỏn di thỏc trin khụng thc hin c lp hp hn N (W) ca E(W) (xem vớ d 5.2 [10]) Nh vy, bi toỏn di thỏc trin luụn thc hin c F (W), Epp (W) v Ec (W) , nhng khụng phi lỳc no cng thc hin c E(W) Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn Bi toỏn di thỏc trin lp Ey lm ti nghiờn cu ca mỡnh Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn di thỏc trin lp F (W) v bi toỏn di thỏc trin lp Ey 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: + Trỡnh by mt s tớnh cht v kt qu c s lý thuyt a th v + Trỡnh by mt s kt qu v bi toỏn di thỏc trin cỏc lp F (W) v Ey Phng phỏp nghiờn cu S dng phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 42 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho, c vit ch yu da vo cỏc ti liu [1], [7] v [12] Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh Bedford v Taylor Chng 2: L ni dung chớnh ca lun trỡnh by mt s kt qu v cỏc lp Cegrell, bi toỏn di thỏc trin lp F (W) , bi toỏn di thỏc trin lp Ey C th l mc 2.1, trỡnh by mt vi lp cỏc hm a iu hũa di ó c gii thiu v nghiờn cu bi Cegrell cựng vi lp E y (W) Bi toỏn di thỏc trin lp F (W) , c trỡnh by mc 2.2 Trong mc 2.3, chỳng tụi trỡnh by mt s kt qu v lp E y (W) v bi toỏn di thỏc trin lp Ey Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di nh ngha 1.1.1 Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ ộ- Ơ , Ơ ờở ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ Wv b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Kớ hiu PSH (W) l lp tt c cỏc hm a iu ho di W Sau õy l mt vi tớnh cht ca hm a iu ho di: Mnh 1.1.2 Nu u, v ẻ PSH (W) v u = v hu khp ni W, thỡ u v Mnh 1.1.3 Hm a iu ho di tho nguyờn lý cc tr b chn, tc l nu W l mt m liờn thụng b chn ca Ê n v u ẻ PSH (W) , thỡ hoc u l hng hoc vi mi z ẻ W, u (z ) < sup lim sup u (y ) wẻ ả W y đ w yẻ W nh lý 1.1.4 Cho Wl mt m Ê n Khi ú i ) H PSH (W) l nún li, tc l nu a , b l cỏc s khụng õm v u, v ẻ PSH (W) , thỡ a u + b v ẻ PSH (W) ii ) Nu W l liờn thụng v {u } j jẻ Ơ è PSH (W) l dóy gim, thỡ u = lim u j ẻ PSH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j } jẻ Ơ è PSH (W) hi t u ti u trờn cỏc compact ca W, thỡ u ẻ PSH (W) iv ) Gi s {u a } aẻ A è PSH (W) cho bao trờn ca nú u = sup u a l b aẻ A chn trờn a phng Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu ho di W Mnh 1.1.5 Gi s Wè Ê n l m, w è W l m thc s, khỏc rng ca W Gi s u ẻ PSH (W), v ẻ PSH ( w) v lim supx đ y v(x ) Ê v(y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi ú ỡù m ax{u, v } t rong w w = ùớ ùù u W\ w ợ l hm a iu ho di trờn W Chng minh Rừ rng w l na liờn tc trờn trờn W Ch cn chng t nu a ẻ W, b ẻ Ê n cho {a+ l b, l Ê r } è W thỡ w(a ) Ê 2p 2p ũ w(a + re iq b)d q Vi a ẻ W, b ẻ Ê n , chn r > {a+ l b, l Ê r } è w ũ - y (dd v ) (dd v ) (dd u ) c c c n- W ũ - y (dd v ) = c (dd cu )n - W Tip tc quỏ trỡnh ny ta s c kt qu nh mong mun Mnh 2.3.3.[3] Cho Wè C n l siờu li v y ẻ PSH - (W), y Khi ú: a ) E y l mt nún li b) Nu u , v ẻ Ey thỡ max(u , v ) ẻ E y Mnh 2.3.4 [3] Cho y 1, y ẻ PSH - (W), y 0, y v y Ê y trờn W h* Khi ú Ey è Ey v F è E K ,W vi mi compact K è W, ú hK* ,W l hm cc tr tng i ca cp (K , W) : { hK ,W(z ) = sup v(z ) : v ẻ PSH - (W), v K } Ê - v hK* ,Wl chớnh qui húa na liờn tc trờn ca hK ,W Mnh 2.3.5.Cho Wè C n l siờu li v y ẻ PSH - (W), y Gi s u ẻ PSH - (W) Khi ú, nu u ẻ Ey thỡ ũ (- y )(dd u ) c n < + Ơ Ngc li , nu W u ẻ N v ũ (- y )(dd u ) c n < + Ơ thỡ u ẻ Ey W Chng minh iu kin cn: Gi s u ẻ Ey Khi ú tn ti mt dóy {u j } è E0 , u j ] u cho sup ũ (- y )(dd cu j )n < + Ơ j W 28 Vỡ u ẻ E nờn (dd cu j )n hi t yu ti (dd cu )n Mt khỏc, vỡ - y l na liờn tc di nờn ũ (- y )(dd u ) c n Ê lim inf ũ (- y )(dd cu j )n < + Ơ j W W W iu kin : Gi s u ẻ N v ũ (- y )(dd u ) c n < + Ơ T nh lớ 2.1 W [3] suy racú th chn mt dóy gim {u j } è E0, cho lim u j = u trờn W j Vỡ u j u v u j , u ẻ N nờn theo bt ng thc (2.3)ta cú: ũ (- y )(dd u ) c n j Ê W ũ (- y )(dd u ) c n W Suy sup ũ (- y )(dd cu j )n < + Ơ Vy u ẻ Ey W j W Mnh 2.3.6.Cho Wè Ê n l siờu li v y ẻ PSH - (W), y Khi ú a ) Cỏc khng nh sau l tng ng: i ) y ẻ LƠ (W) ; ii ) ũ (- y )(dd u ) c n < + Ơ , vi mi u ẻ F (W) ; W iii ) $C > cho ũ (- y )(dd u ) c n < C ũ (dd cu )n vi mi u ẻ F (W) ; W W ỡù ỹ ù c n c n ù iv ) sup ũ - y (dd u ) : u ẻ F (W), ũ (dd u ) Ê 1ùý < Ơ ùù W ùù W ợ ỵ b) Cỏc khng nh sau l tng ng: i ) $ A > B > cho - B < y (z ) Ê - A vi z ẻ W ii ) Ey = F 29 ũ (dd u ) Chng minh a ) i ) ị ii ) vỡ u ẻ F (W) nờn suy c n < Ơ Do ú W i ) ị ii ) l hin nhiờn ii ) ị iii ) Gi s iii ) khụng xy Khi ú tn ti mt dóy u k ẻ F (W) cho c ũ - y dd u k ( n n > 2kn ũ dd cu k ) ( W ) " k (2.4) W uk 2k Chỳ ý rng u k t vk = ũ (dd u ) c n n Khi ú vk ẻ F (W) Ta cú k W ũ (dd v ) c n k 2kn = W (2.5) ,"k > v theo (2.4) ũ - y (dd u ) c n k ũ - y (dd v ) c n W kn = k W c n ũ (dd uk ) > W t v = Ơ k vk Vỡ k= k vj ẻ F , j=1 v j ] v , nờn theo Mnh 2.3.1 ta cú: j=1 n n ổ c k ữ ỗỗdd ữ v ũ ỗỗố ồj = j ứữữ Ê W k k n ũ (dd v ) c n = j j=1 W Ê 1, j j=1 suy v ẻ F (W) Ta cú Ơ (dd v ) c n (dd cvk )n k= Do ú theo gi thit ii ) +Ơ > ũ - y (dd v) c W n Ơ ũ - y (dd v ) c n k k= W 30 Ơ > k= 1= +Ơ Mõu thun ny ó chng minh iii ) xy iii ) ị iv ) l hin nhiờn iv ) ị i ) Gi s y khụng b chn trờn W Khi ú tn ti mt dóy {z k } è W cho y (z k ) đ - Ơ k đ + Ơ Ta cú hm Green gW,z (z ) ẻ F (W) v k n ổ g ữ ỗỗ c W,zk ữ ũ ỗỗỗdd 2p ữữữ = ứ Wố n ổ g ỗ W, z k ữ ữ Do ú, theo gi thit sup ũ - y ỗỗdd c < + Ơ , iu ny l vụ lý, vỡ ữ ữ ỗỗ k p ữ ố ứ W n ổ g ữ ỗỗ c W,zk ữ sup ũ - y ỗdd = sup (- y (z k )) = + Ơ ữ n ữ ỗỗ k k (2p ) p ữ ố ứ W b) i ) ị ii ) Gi s u ẻ F (W) Khi ú tn ti {u j } ẻ E0 (W), u j ] u v sup ũ (dd cu j )n < Ơ j W Do ú ũ - y (dd u ) c n j Ê B ũ (dd cu j )n < Ơ vi mi j W W Suy u ẻ Ey (W) Chng minh tng t ta cú nu u ẻ Ey thỡ u ẻ F Do ú F = Ey ii ) ị i ) Trc tiờn ta ch y b chn di Theo (a ) ta ch cn kim tra ũ - y (dd u ) c n < Ơ vi mi u ẻ F Tht vy, ly u ẻ F Theo gi thit u ẻ Ey W Do ú, theo Mnh 2.3.5ta cú ũ - y (dd u ) c n < Ơ v ta suy kt lun Tip W theo ta phi chng minh sup y < Gi s sup y = Khi ú tn ti mt dóy W W 31 W vi y (z k ) đ k đ Ơ Ta cú th gi s y (z k ) Ê {z }è k vi (2p )n 2kn mi k t gk = gW,z l hm Green cú cc ti z k Khi ú ta cú: k ũ - y (dd g ) c n k = (2p )n (- y (z k )) = (2p )n - y (z k ) Ê W Ơ t g = 2kn y gk Ta chng minh g ẻ E nhng g ẽ F v suy mõu thun k= k Tht vy, vỡ gk ẻ F nờn g j ẻ F , j=1 k gj ] g Theo Mnh 2.3.1ta cú j=1 n n ổ c k ữ ỗ ũ - y ỗỗỗốdd ồj = gj ữữữứ Ê W k ũ - y (dd g ) c n j=1 n j W k Ê Ê j j=1 y Do ú, theo chỳ ý 2.1.4suy g ẻ E Tuy nhiờn, g ẽ F vỡ n ũ (dd g) c W Ơ n ũ (dd g ) c k (2p )n = + Ơ k= W Mnh 2.3.6 c chng minh Nh ó bit, nu u ẻ F (W) thỡ u W n = v ũ (dd cu ) < + Ơ Tuy nhiờn, ảW W lp Ey kt qu khụng cũn ỳng na Xột vớ d sau: Vớ d 2.3.7 Tn ti u ẻ Ey vi y ẻ PSH - (W) cho u | ả W= nhng ũ (dd u ) c n = +Ơ W 32 { } Tht vy, Cho W= B = B(0,1) = z ẻ Cn : z < l hỡnh cu n v C n Ly y (z ) = log z ẻ F ( B) Vi mi k 1, t { } - y k (z ) = max log z , - k Khi ú ũ (dd y c k )n = (2p )n W Hn na, y k ẻ E0(W), y k ] y k đ Ơ Vi mi j = 1,2, , t ùỡ ùỹ u j (z ) = max ùớ log z , - j ùý ùùợ ùùỵ Khi ú u j ẻ E0(W) v c n ũ (- y )(dd u j ) < W (2p )n đ j đ Ơ j Ta xõy dng dóy n < n < < n k < cho n ổ ổk ử n ỗỗdd c ỗỗ u ữ ữữ ữ vi mi k y < p ( ) ( ) ữ ữ ũ nj ữ ỗỗ ỗỗ ữ ố ứ j=1 ố ứ W Ta chn n = Khi ú ( c ũ (- y ) dd un W n ) = c ũ (- y ) dd u1 ( n ) W Ê n n 2p ) < (2p ) ( Gi s n < n < < n k ó c chn Khi ú n ổ ổk ử n ỗỗdd c ỗỗ u ữ ữữ ữ y < p ( ) ( ) ữ ũ ỗỗ ỗỗồ n j ữ ữ ữ ố ứ j = ố ứ W 33 k t v = un Vi m > n k , q v j = 0,1, , n - ta cú j j=1 j ổ Ê ỗỗỗũ (- y q ) dd cv ỗố W n- j ũ (- y )(dd v ) (dd u ) c c q ( m W ổ Ê ỗỗỗũ (- y ) dd cv ỗố W ( n n ) ữ ữ ữ ữ ứ ổ ỗỗ - y dd cu m ỗũ ( q ) ốỗ W ( j n ửn ổ ữ ỗỗ - y dd cu ữ ữ m ỗũ ( ) ứữ ốỗ W ) ( 1- nử ữ ữ ữ ứữ ) n- j n ) ửữ n ữ ữ ứữ j n Cho q đ Ơ ta nhn c 1- j n- j ũ (- y )(dd v ) (dd u ) c c m j Ê (2p ) W n ự ộ ờ(2p ) ỳ m ỳ ờ2 ỳ ờở ỳ ỷ j n đ m đ Ơ Tuy nhiờn, n ũ (- y )(dd (v + u )) c m W = n = j= ( ) ( n- j ) W n ũ (- y )(dd v ) c j (nj ) ũ (- y ) dd cv dd cu m n- + j= W j C jn ũ (- y ) dd cv dd cu m ( ) ( n- j ) W T gi thit quy np v c lng trờn, ta cú n ũ (- y )(dd v ) c n < (2p ) W v n- j= (nj ) ũ (- y ) dd cv ( j n- j ) (dd u ) c m W 34 đ m đ + Ơ T ú, ta cú th chn m = n k + ln cho n ổ ổk + ửữ ỗỗdd c ỗỗ u ữ ữ ữ y = ( ) ữ ũ ỗỗ ỗỗồ n j ữ ữ ữ ố ứ j = ố ứ W ũ (- y )(dd c ( n v + un k+1 )) n < (2p ) W t ổ ỗỗlog z , - ữ ữ max ồj = nj ữ ỗố ứ ữ Ơ Ơ u= un = j=1 j k Khi ú vk = un ] u trờn W v t xõy dng trờn ta suy rng j j=1 u ẻ Ey , u |ả W= Tuy nhiờn, ta cú: ũ( c dd u W n ) k j=1 ( dd cu n n j ) n = k (2p ) đ + Ơ k đ + Ơ Chỳ ý2.3.8.Vi u v y nh vớ d2.3.7, cho gW,a l hm Green vi cc ti a Khi ú gW,a ẻ F ( B) Theo Mnh 2.3.5, ta cú gW,a ẻ Ey Do ú v = u + gW,a ẻ Ey nhng v ẽ F U U Ep Tht vy, nu v ẻ F thỡ p> max {u, v } = u ẻ F , iu ny khụng th xy vỡ ũ (dd u ) c n = + Ơ Hn W na, vỡ (dd cv )n (dd cgW,a )n = (2p )n da , nờn suy v ẽ Ep vi mi p > vỡ nu y c n v ẻ Ep thỡ (dd v ) trit tiờu trờn mi a cc iu ny ch rng lp E hon ton khỏcvi cỏc lp F v Ep , p > Bõy gi ta s nghiờn cu di thỏc trin lp E y Nh vớ d2.3.7, chỳ ý rng lp E y khỏc vi cỏc lp F v Ep T ú, vic nghiờn 35 cu di thỏc trin lp E y l cú th thc hin c Ta chng minh nh lý sau: %), y v % C n l cỏc siờu li, y ẻ PSH - (W nh lớ 2.3.9 Cho Wè Wé %) cho u%Ê u trờn W v u ẻ E y (W) Khi ú, tn ti u%ẻ E y (W ey (u%) = ũ (- y )(dd u%) c n Ê % W ũ (- y )(dd u ) c n = e y (u ) W Chng minh T nh ngha ca E y suy rng tn ti {u j } è E0 (W), u j ] u trờn W v a = sup ũ (- y )(dd cu j )n < + Ơ j W C nh j 1.Vỡ u j ẻ E0(W) nờn theo nh ngha ca lp E0 (W) , ta suy %, (dd cu j )n (W) < + Ơ T ú, mj = 1W(dd cu j )n l mt o Borel W %, ú l hm o ny hu hn v trit tiờu trờn cỏc a cc ca W W c trng ca W Theo B 5.14 [3], tn ti nht mt hm %) vi (dd cg )n = (dd cu )n l o trờn W % Ta chng minh gj ẻ F (W j W j gj Ê u j trờn W nh Theo ổ% c y j ẻ E0 (W), Ê f j ẻ L1 ỗỗW , dd y j ố ( n ) ứữữữ lớ 5.11 [3] tn ti cho mj = f j (dd c y j )n l o Borel % Cho {W } l mt dóy vột cn tng cỏc m compact tng i trờn W k k ca W, Wk é Wk + é W, UW k = W Vi mi k , t k mj ,k = 1W inf {k, f j }(dd c y j )n k 36 % nh lớ (C ) [14] ch rng tn ti mt hm l o Borel trờn W u j ,k ẻ E0(W) cho n (dd u ) c ( = 1Winf {k , f j } dd c y j j ,k n ) %) , cho trờn W v gj ,k ẻ E0(W n (dd g ) c j ,k ( = 1Winf {k , f j } dd c y j n % trờn W ) Tht vy, s tn ti ca gj ,k l rừ rng chng minh s tn ti ca u j ,k ta s dng phng phỏp sau õy Vi mi k , xột hm { } y%j ,k = sup j ẻ PSH - (W) : j Ê y j t rờn W Khi ú, y j Ê y%j ,k trờn W v y%j ,k = y j trờn Wk Chỳ ý rng y%j ,k ẻ E0(W) bi vỡ y%j ,k y j LƠ (Wk ) hW ,W , ú y j j LƠ (Wk ) { } = sup y j (z ) : z ẻ Wk v hW ,W l j hm cc tr tng i ca cp (Wk , W) Ta cú ( 1Winf {k , f j } dd c y j n ) = 1Winf {k , f j } dd c y%j ,k ( n ) Ê k dd c y%j ,k ( n ) V suy kt lun ũi hi T nguyờn lý so sỏnh suy {u j ,k } v {g j ,k } l cỏc k k %) tng ng dóy gim cỏc hm a iu hũa di cỏc lp E0 (W) v E0 (W Mt khỏc, nu x ẻ ả W thỡ ta cú lim inf(u j ,k (z ) - gj ,k (z )) = - gj ,k ( x) v W' z đ x ( dd cu j ,k n ) ( Ê dd cg j ,k n ) trờn W Theo nguyờn lý so sỏnh ta cú gj ,k Ê u j ,k trờn W.Gi s gj ,k ] h j k đ Ơ %) Tht vy, ta cú Khi ú h j ẻ F (W 37 sup ũ dd cg j ,k k ( n ) % W Ê n ũ f (dd y ) c j W j % W = n ũ f (dd y ) c j j n ũ f (dd y ) Ê c j j < +Ơ % W W v suy kt lun ũi hi Hn na n (dd h ) c j ( = f j 1W dd c y j n ) ( = 1Wmj = 1W dd cu j n ) ( = dd cg j n ), % Tng t, u ] u v B 5.14 [3] kộo theo h j = gj trờn W j ,k j k đ Ơ trờn W Vi mi j 1, t g%j = (sup gk ) * k j %) , v t g% g suy g% ẻ F (W %) Ta d thy {g%} l Khi ú, g%j ẻ PSH - (W j j j j % nờn bng cỏch tớch phõn tng phn suy dóy gim Mt khỏc vỡ g%j gj trờn W ũ (- y )(dd g%) c n j Ê % W ũ (- y )(dd g ) c n j % W = ũ (- y )1 (dd u ) c n W j % W = ũ (- y )(dd u ) c n j W T ú, sup ũ (- y )(dd cg%j )n Ê a < + Ơ j % W Vi k j , chỳ ý rng gk Ê uk Ê u j trờn W Do ú g%j = (sup gk )* Ê u j trờn W k j %) Hin nhiờn, u%ẻ PSH - (W) t u%= lim g%j Ta chng minh rng u%ẻ E y (W j Theo [3], tn ti dóy {j j }è %) cho j ] u%trờn W %.Bng cỏch thay th E0(W j 38 j j %) v u% ] u%, ta cú th gi s j g% trờn W % bi u%j = max {j j , g%j } ẻ E0(W j j j Khi ú, ũ (- y )(dd j c j )n Ê % W ũ (- y )(dd g%) c n j % W Ê ũ (- y )(dd u ) c n j Ê a < +Ơ W Nh vy sup ũ (- y )(dd cj j )n < + Ơ j % W %) Vỡ g% Ê u trờn W, nờn suy u%Ê u trờn W Mt khỏc, T ú u%ẻ E y (W j j ey (u%) = ũ (- y )(dd u%) c % W n Ê lim inf ũ (- y )(dd cj j )n j % W Ê lim inf ũ (- y )(dd cu j )n = ey (u ) j % W nh lớ 2.3.9 c chng minh W 39 KT LUN Lun ó trỡnh by: Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, hm cc tr tng i, toỏn t MongeAmpốre, nguyờn lý so sỏnh Bedford v Taylor Mt s kt qu v cỏc lp Cegrell, bi toỏn thỏc trin lp F (W) (nh lý 2.2.2), bi toỏn thỏc trin lp Ey (nh lý 2.3.9) 40 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi (2009), C s lý thuyt a th v , Nxb i hc s phm H Ni TING ANH [2] Benelkourchi S (2009), Weighted pluricomplex energy, Potential Anal., 31, 1-20 [3] Cegrell U.(2004), The general definition of the complex MongeAmp`ere operator, Ann Inst Fourier(Grenoble), 54, 159-179 [4] Cegrell U (2000), Two examples in pluripotential theory, Dep Math., Mid - Sweden Univ., Research Report no 14(2000) [5] Cegrell U.(2008), A general Dirichlet problem for the complex Monge- Amp`ere operator, Ann.Polon Math., 94, 131-147 [6] Cegrell U., Kolodziej S and Zeriahi A (2005), Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities, Math Z., 250, 7-22 [7] Cegrell U and Zeriahi A.(2003), Subextension of plurisubharmonic functions withbounded Monge-Amp`ere operator mass, C R Acad Sci Paris, 336, 305-308 [8] Czyz R and Hed L (2008), Subextension of plurisubharmonic functions without increasing the total Monge - Amp`ere mass, Ann Polon Math., 94, 275-281 [9] Mir H El (1980), Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires, Seminaire Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math 822, Springer-Verlarg, 61-76 [10] Hed L (2010), Approximation of negative plurisubharmonic functionswith given boundary values, Internat J Math., 21, 1135-1145 41 [11] Hai L.M.,Hiep P.H (2011), Some weighted energy classes of plurisubharmonic functions, Potential Anal., 34, 43-56 [12] Hai L.M., Long T V (2011), The Subextension Problem for the Class E y , V.J Math 39:3 251-266 [13] Hiep P.H (2008), Pluripolar sets and the subextension in Cegrells classes, Complex Var Elliptic Equ., 53, Vol 7, 675-684 [14] Kolodziej S (1995), The range of the complex Monge-Amp`ere operator II, Indiana U Math J., 44(3), 765-782 [15] Wiklund J (2006), On subextension of pluriharmonic and plurisubharmon-ic functions, Ark Math., 44, 182-190 42 ... Vit E = IntE ẩ ả E Khi ú 15 m (E ) = m(int E ) Ê lim inf mj (int E ) Ê lim inf mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ Mt khỏc m (E ) lim sup mj (E ) lim sup mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ T ú m (E ) lim sup mj (E ) ị m (E )... ặ Khi ú cú e > cho {u < v + ey } ặ v ú nú cú o Lebesgue dng Theo nh lớ 1.5.1 ta cú ũ (dd cu )n {u < v + ey } ũ (dd c (v + ey ))n {u < v + ey } 19 ũ {u < v + ey } ũ ũ (dd cv )n + en (dd c y... sau ca Cegrell Ec (W) = F (W) nu c b chn v c (0) p Ec (W) = Ep (W), p > , nu c (t ) = - (- t ) Cho y ẻ PSH - (W), y Tng t nh ngha ca Cegrell [4], ta cú nh ngha 2.1.3 ỡù ỹ ù c n ù E = E (W) =