Bài toán tối ưu với ràng buộc là bài toán bù tổng quát

ì ì P ì ề ò ì ì P ì ề t số ò ữớ ữợ ổ r t q tr tr tỹ ổ trũ ợ t số t q tr ữủ tổ t tr tứ t t ữớ t ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ t t tọ ỏ t ỡ s s ữớ t tr ởt tớ tứ ữợ t t q ợ ổ ỵ tt tố ữ tr t ỳ tr ự t ữủt q ỳ õ tr ổ số ụ tọ ỏ t ỡ s s tợ sữ t ổ trữớ ữ P ỳ ữớ t t t ú ù t tr sốt q tr t ự t ố ũ t ố tọ ỏ t ỡ s s tợ t ỳ ữớ t tr ổ s t õ t t ổ t ự t ữớ t ử ỡ ử ởt số tự ởt số tự ỡ t t ổ ữỡ t t ổ Pữỡ Pữỡ t ỹ tr tờ qt t ũ t ũ t t t ũ t t ũ tờ qt t ỹ tr ợ r t ũ tờ qt Pt t Pữỡ t t r t t ũ õ ự tr ỹ t t tt t ỵ s t tố ữ ự t ũ tớ sỹ t t r ữỡ t ũ ữủ t q t t ũ ố ữủ t f : Rn Rn x Rn+ s f ( x) Rn+ < x, f ( x) >= 0, (0.1) tr õ Rn ổ Rn+ = {x = (x1 , x2 , , xn ) Rn+ , xi 0, i = 1, 2, n} r ỳ ữớ t tờ qt t t x Rn s g( x) 0, h( x) < g( x), h( x) >= t ởt tờ q t tố ữ ợ r tờ qt ữ s C Rn t õ S1, S2 Rn t t x C S s ( x) = (y), C = C S, (0.2) yC tr õ t õ ỗ tr ổ Rn S = S1 S2 S1 = x Rn : g(x) 0, h(x) =0 , S2 = {x Rn : g(x) 0, h(x) 0, g(x), h(x) (0.3) Rq = 0} tỹ : Rn R, g : Rn Rm, h : Rn Rp Rn Rq tử ỵ y = (y1, y2, , ym) õ yi 0, i = 1, 2, n tt t rộ rữớ ủ m = n, g(x) = x, h(x) = F (x) ợ F : Rn Rn F (x) = M x + q, M Rnìn , q Rn , t ữủ t ũ t t ỵ Pq t tr t t ữủ t q s ỵ M Rnìn P tr ợ tt tự ữỡ t Pq õ ởt ợ q Rn ỵ q ổ t t ũ t t LCP (q, M ) ổ ữủ x = ởt t tữớ õ ự ố q ỳ t ũ t t t t tự ỵ t t ởt tỡ x K Rn s y x, F (x) 0, y K F : K Rn tử K t õ ỗ t õ t ữủ t q s ỵ F = M x + q, M Rnìn , q Rn , x Rn+ t VI (F, Rn+ ) t ũ t t Pq õ t trũ rữớ ủ n = m, g(x) = x, h(x) = F (x) ợ F t tứ Rn Rn t ữủ t ũ t ỵ P õ t t tỡ x Rn s x 0, F (x) 0, x, F (x) = 0, (0.4) t r rt ữỡ t t ữỡ ữ r tợ ởt t ỹ t ởt ữỡ tr tữỡ ữỡ t tố ữ ợ r t ũ tờ qt ữỡ rữợ t t ởt số ữỡ t ũ tờ qt tr Pữỡ sỷ ị tữ ữỡ t ũ t P t tố ữ q sỷ ổ t t tt õ : R2 R tọ t t (a, b) = ab = 0, a 0, b õ ởt số s N R (a, b) = {a, b} ; M S (a, b) = ab + 21 (max{0, a b}2 a2 +max {0, b a}2 b2), > 1; F B (a, b) = a2 + b2 a b ữủ ỹ tr N R ữủ số ữ tỹ F B ổ tr R2 ữủ ỹ tr õ r ữủ ữ ữ sr F B ữủ sr ỹ tr F B rở ự ữ r ởt số ợ õ t t tốt ỡ s ữ r ởt ợ ợ f : Rn R n f(x) = ( x, F (x) Rn ) i (xi , Fi ), + i=1 : [0, ) i : R2 [0, ) , i = 1, 2, , n tử ị tữ ợ ữủ st s sỷ ỹ ợ Pữỡ sỷ ữỡ t ởt t t ữủ ỗ tr ố ợ t ũ ỗ t x 0, F (x) 0, x, F (x) Rn = 0, (0.5) F(x) = F (x) + x t số ữỡ tử tợ Pữỡ t ủ t t ỹ tr H tứ ổ Rn+1 tợ Rn+1 ữủ ỹ H (, z) = = 0, x S , tr õ S t z := (, x) R ì Rn , H(, z) := , G(, z) (0.6) t ố q LICQ ACQ GCQ sỷ X ữủ t số ố ợ x X ữ s Ig (x ) := {i | gi (x ) = 0} , i (x ) > , I0+ (x ) := i gi (x ) = 0, h i (x ) = , I00 (x ) := i gi (x ) = 0, h i (x ) = I+0 (x ) := i gi (x ) = 0, h x ữủ t P x ữủ ứ õ õ Rm, Rp, , Rq s p m f (x ) + i gi (x ) + i=1 i=1 q q i (x ) = i h i gi (x ) i=1 i (x ) ài h i=1 i 0, i gi (x ) = (i = 1, 2, , m) , i = (i I+0 (x )) , i = (i I0+ (x )) ; C ứ õ ứ ii i I00 (x) M ứ õ ứ i > 0, i > ii = ợ i I00 (x ) ; ứ õ ứ i > 0, i > ợ i I00 (x ) ; B ứ f (x)T d ợ d TX (x) tr õ q t ứ M ứ C ứ ứ ởt ữủ x P ữủ tọ P rts i (x ) |i = 1, 2, , p { gi (x ) |i Ig (x )} h i (x ) |i I00 (x ) I+0 (x ) { gi (x ) |i I00 (x ) I0+ (x )} h t t P TX (x)o = LM P EC (x)o, ||LM P EC (x ) := {d Rn gi (x )T d 0, i Ig (x ) , i (x )T d = 0, i = 1, 2, , p, h gi (x )T d = 0, i I0+ (x ) , i (x )T d = 0, i I+0 (x ) , h i (x )T d 0, i I00 (x ) , gi (x )T d 0, h gi (x )T d i (x )T d = 0, i I00 (x )} h t P r sst r sỷ ữỡ t t ỳ ũ i (x) 0, gi (x) , h i (x) = 0, i = 1, 2, , q, gi (x) 0, h i (x) t, gi (x) t, h i (x) t 0, i = 1, 2, , q gi (x) t, h ợ số t > t ỵ tt ữỡ tốt ỡ s ợ ữỡ trữợ õ t t ữủ t t rớ r t ởt số t õ ọ ỳ ữủ rt ỹ ữỡ ợ tử tợ M ứ ữ s : Rn R ab a + b 0, (a, b) := a + b < a2 + b ỹ tử : Rn Rq s i (x) t i (x; t) : = gi (x) t, h i (x) t gi (x) + h i (x) 2t, gi (x) t, h = 2 ( i (x) t gi (x) + h i (x) < 2t, g (x) t) + h i t ởt t số tũ ỵ õ õ t ỹ t Pt t ữ s f (x) ợ r gi (x) i = 1, 2, , m, gi (x) i = 1, 2, , q, i (x) i = 1, 2, , q, h i (x; t) i = 1, 2, , q ũ i (x) 0, i (x; t) i = 1, 2, , q gi (x) 0, h số Ig(x) := {i | gi (x) = 0} , Ig(x) := {i | gi (x) = 0} , i (x) = , Ih (x) := i h I (x; t) := {i |i (x; t) = 0} , ợ t x ữủ ố ợ Pt P t số I (x; t) s i (x) t = , I00 (x; t) := i I (x; t) gi (x) t = 0, h i (x) t > , I0+ (x; t) := i I (x; t) gi (x) t = 0, h i (x) t = I+0 (x; t) := i I (x; t) gi (x) t > 0, h ứ t s r i (x) t 0, ( i (x) t = i (x; t) = gi (x) t 0, h gi (x) t) h t {tk } t ữủ t q s ỵ {tk } xk , k , àk , k , k , k ởt N LP (tk ) ợ xk x P ú t x t x ởt t P ỵ {tk } xk , k , àk , k , k , k ởt N LP (tk ) ợ xk x P ú t x õ K N s gi xk tk , hi xk tk ợ k K ợ i I00 (x ) ú t x ởt ứ t P Pữỡ t t r t ỹ tr ợ r t ũ tờ qt t t (x) t t ỹ tr x C S tọ g (x) = g (x) , h (x) = h ( x) = (y) , yCS C t õ ỗ tr ổ Rn S = S1 S2 tr õ (x) = , S1 = x Rn : g (x) 0, h S2 = {x Rn : g (x) 0, h (x) 0, g (x) , h (x) Rm = 0} , tỹ : Rn R, g : Rn Rm, h : Rn Rp g h : Rn Rq tử tt t rộ S2 = Rn t ỹ tr t õ r tờ qt t ữủ ữỡ t ỹ t ổ r ữ s F (x ) = F (x) , > 0, n x F (x ) = F (x) + x x Rn m Rp àj j (x) + àm+1 (x) + j=1 , à1 à2 < < àm+1 < 1, F (x) = f1 (x) , f2 (x) , , fp (x) T i (x) , fi = h j (x) = max {0, gj (x)} t t ú tổ ữ r ữỡ ợ P t t j (x) = max {0, gj (x)} , j = 1, 2, , m, m+j (x) = max {0, gj (x)} , j = 1, 2, , q, m+q+j (x) = max {0, hj (x)} , j = 1, 2, , q, i (x) , i = 1, 2, , p, fi (x) = h fp+i (x) = gi (x)hi (x) , i = 1, 2, , q tt tử j fj ữ tr ợ j = 1, 2, , N (:= m + 2q) i = 1, 2, , M (:= p + q) tử r r g, h g, h, Sj := {x Rn : gj (x) 0} = {x Rn : j (x) = 0} , j = 1, m, Sm+j := {x Rn : gj (x) 0} = {x Rn : m+j (x) = 0} , j = 1, q, Sm+q+j := {x Rn : hj (x) 0} = {x Rn : m+q+j (x) = 0} , j = 1, m, j (x) ợ x Rn, j = 1, 2, , N t t (x) = 0, g (x) , h (x) S0 := x Rn : h Rn =0 , ó r S0 := {x Rn : fi (x) = 0, i = 1, 2, , M } ứ fi j tử Sj j = 1, 2, , N õ ỡ ỳ t õ S = Nj=0 Sj C = {x Rn : x PC (x) = 0} ỵ PC (x) tr tỷ x Rn C t P tữỡ ữỡ ợ t tố ữ õ r tự s t ởt tỷ x C Nj=0Sj s ( x) = (x) xC(N j=0 Sj ) t ữỡ tr t j (x) = 0, fi (x) = ợ j = 1, 2, , N, i = 1, 2, , M x Pc (x) = 0; ỹ t (x) tr t C Nj=0Sj ộ t ổ ỗ tớ t ú tổ ỹ t trỡ tr t ổ Rn t ú tổ t ởt tỷ x Rn s F (x ) = minn F (x) , xR F (x) = x Pc (x) RM N j (x) + (x) + x x + Rn , j=1 ợ ộ t số ố > F (x) = (f1 (x) , f2 (x) , .fM (x))T , (0, 1) ởt số ố x tỷ õ tr Rn sỷ (x) ợ x Rn õ õ t ự ợ t {x Rn : (x) c} ợ ợ c > t ý ữ t tr t õ ởt g, h õ x ợ > ỡ ỳ , g, h, ú tổ ự ữủ sỹ tử q ỵ s ỵ k 0, k t xk xk := xk ởt ợ t k õ ởt tử ợ tử ởt t õ ởt t ỵ x t lim xk = x k xk ởt ỹ t F (x) tứ t õ ự k k x PC x Rn k + F x RM N j (xk ) + kà xk + j=1 + k xk x Rn y PC (y) Rn + F (y) RM N j (y) + kà (y) + k y x + Rn , j=1 ợ tỷ ố y Rn t ý y C Nj=0Sj t õ y PC (y) = = F (y) j xk 0, j = 1, 2, , N ứ s r xk (y) + k1à y x n R ứ t xk xl xk s xl x l s ự x ởt ứ t t j t õ x k PC x k Rn , F xl RM , j xl (y) + l y x Rn l t tự ố t t tử PC ([17]) F j r x = PC ( x) , F ( x) = = j ( x) x C N j=0 Sj ự r x ứ t k l t ữủ ( x) (y) ợ y t ý tở C N j=0 Sj õ x ó r x t t x = x tt xk tử tợ x k sỷ t {, C, fi, j } , C , j s (x) (x) , H (C , C) , fi (x) fi (x) , i = 1, 2, , M, j (x) j (x) , j = 1, 2, , N, x Rn , 0, g, h ữủ fi j ữủ ữ fi j tr g, h, H (C , C) sr ỳ t õ ỗ C C t t tố ữ ổ r s ởt tỷ x tr Rn s F x = minn F (x) , > 0, 0, xR F (x) = x PC (x) Rn + F (x) RM N j (x) + j=1 + (x) + x x 2Rn é F (x) = f1 (x) , f2 (x) , , fM (x) T ợ ộ > t õ ỵ x ú tổ t t ữủ t q s ỵ k , k s k k k t xk xk := xkk ởt ợ ữủt t k k õ ởt tử ợ tử ởt õ ởt t ỵ x t lim xk = x k ự k ứ t õ k x PCk x + F n k x R + F (y) RM N jk xk + j=1 + k k xk + k xk x k RM k Rn y PCk (y) Rn N jk (y) + kà k (y) + k y x + Rn , j=1 ợ tỷ y Rn t ý y C Nj=0Sj t õ y PC (y) 0, F (y) = j xk j (y) = 0, j = 1, 2, , N ứ s r k k x PCk x + F k xk n R PC (y) PCk (y) RM Rn + F k (y) + kà k xk RM N jk (y) j (y) + kà k (y) + k y x + = Rn j=1 ứ s r k k x k (1 + M ) k2 1à y x + N (y) + à + k k k k Rn , t k (1 + M ) k2 + N + k1à y x k k xk (y) + 2k + Rn ứ k , k , k ự t xk xl xk s xl x l s ự x t tứ (x) ợ x Rn t õ k k xl PCl xl (1 + M ) l2 2 Rn 2l + l l + F x n R + (y) + N + l y x Rn l tr t tự ố t t tử PC , F, l , l t õ x PC ( x) = = F ( x) x C S0 ự r x Sj ợ j = 1, 2, , N ợ tỷ t ý y C Nj=0Sj j (y) = fi (y) = tứ j xl 0, t õ i l xl + l xl PC (y) PCl (y) + F l (y) F (y) n R RM + i l (y) N + l (y) + l y x jl (y) jl xl + Rn j=i PC (y) PCl (y) l + F (y) F (y) n R RM + i l (y) N jl (y) j (y) + j xl jl xl + + l (y) + l y x Rn j=i t tứ xl t õ i xl (1 + M ) l2 + 2l + (N 1) l + i l (y) + l (y) + (xl ) l xl + l y x Rn (1 + M ) l2 + 2l + (N 1) l + i l (y) + l (y) + l + l y x Rn l t tự ố t õ i (x) i (y) = x Si ố ũ ự x (2.7) ữ tr ợ t ý tỷ y C Nj=0Sj tứ s r (x) (y) y C N t t xk tử tợ x j=0 Sj ó r x k ỵ ữủ ự t (x) = (x1 3)2 + (x2 2)2 + x23 , g (x) ữủ s g (x) ợ x R3, h(x) = Ax b, A tr ổ õ a22 = 1, aij = ợ i, j = b = (b1 , b2 , b3 )T = (0, 1, 0)T , g, h : R3 R2 õ ữ s g (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 25, x1 + , h (x1 , x2 , x3 ) = (x1 3)2 + x22 + x23 4, x1 , t C = x R3 : (x1 3)2 + x22 + x3 t t õ t x = 3, 1, = 12 ợ x = (0, 0, 0) t số k = (1 + k)1 trữớ ủ k = x0 = (20, 45, 15) ỹ t trỡ Fk (x) = x PC (x) R3 + F (x) R3 j (x) + k2 (x) + k x + R3 j=1 (x1 3)2 + x22 + x23 , (x1 + 3) (x1 4) F (x) = x2 1, x21 + x22 + x23 25 x21 + x22 + x23 25 (x) = (x) = x21 + x22 + x23 25 > x21 + x22 + x23 25 0, x2, x3 t ý x2, x3 t ý , (x1 3)2 + x22 + x23 (x1 3)2 + x22 + x23 > (x) = (x) = (x1 3)2 + x22 + x23 0, (x1 4)2 x1 > x2 , x3 t ý (x) = (x) = x1 x2, x3 t ý r trữớ ủ {C, fi, i, } õ k ú tổ t C , fi , ợ (x) = 22 (x) (x1 3)2 = x1 > x1 k k Ck = x R : (x1 3) + x22 + x3 (1 + k )2 , k k (x) = (x) + k , g k (x) = g (x) , bk = b + k , g k (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 25 + k , x1 + + k , hk (x1 , x2 , x3 ) = (x1 3)2 + x22 + x23 + k , x1 + k t t t ổ t b1 b3 t ữỡ tr Ax=b ổ õ õ t ụ s ổ ữủ ợ ữỡ ợ t xk ỹ t s k k k Fkk (x) = x PCk (x) + F k (x) R jk (x) + k2 k (x) + k x + R3 R3 , j=1 ữủ t t ợ k = (1 + k)2 k = (1 + k)1, F k (x) = k , x2 + k , k , f4k , f5k , f4k = x21 + x22 + x23 25 + k , (x1 3)2 + x22 + x23 + k , f5k = (x1 + + k ) (x1 + k ) , j k (x) , ữủ ữ j (x) tr t r ữỡ ợ t ữỡ t ỹ tr ợ r t ũ tờ qt t õ t ũ õ ự tr tỹ t õ t r ữỡ r õ rt q trồ r ợ t t ỹ tr ợ r t ũ tờ qt t õ r ú tổ ợ t ỳ t q s ởt số tự q ữ P P0 P ỡ ỡ r t ũ ữỡ tr trữớ ủ t ũ t t t ũ t r t ũ tờ qt ữỡ õ r ữỡ t ũ tờ qt r ữỡ t tố ữ ợ r t ũ tờ qt t rt r str tr t t ts ss t t t Ps rrt r tt rrs t r trt strts t t t s r trr rtrrrtr t rt r t t r trt r t Prr P P ts st ts r t r trt r t t tt r rt ts r r trt rs tr t st st t ts r r trt rs t P0 t t t sr t t trt r s t st ts t Prr r t rst t trt rs t t r sst P r rrt s r tt rrs t trt strts t r t tt ts r trt rrs t r P ts r s tt rt rrt t r tt rrs t trt strts t str r rrts t t t t ts r r trt rs t r s sts rt ts r t st st rs s sr r rt rt r st ts r str t trt rrts t t ss r trt r ts ts rr s t rrt t ts r s r trt rrs t t s P r ts r s tr rs s