Bài toán tối ưu vectơ với các hàm khả vi fréchet và điều kiện tối ưu cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ HOÀI ANH BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ VỚI CÁC HÀM KHẢ VI FRÉCHET VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ HOÀI ANH BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ VỚI CÁC HÀM KHẢ VI FRÉCHET VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên – 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lê Thị Hoài Anh i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 23 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ để hoàn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lê Thị Hoài Anh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Điều kiện cần cấp hai cho toán tối ưu vectơ Jiménez– Novo 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập 1.3 Định lý luân phiên Motzkin suy rộng 11 1.4 Quy tắc nhân tử Lagrange 19 Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ cuả Ivanov 33 2.1 Các khái niệm định nghĩa 33 2.2 Điều kiện quy cấp hai kiểu Zangwill 38 iii 2.3 Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker (KKT) cấp hai cho cực tiểu yếu địa phương 42 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng tối ưu hoá Điều kiện tối ưu Karush–Kuhn–Tucker (KKT) công cụ hữu hiệu để giải toán tối ưu B Jiménez V Novo ([11], 2003) thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập với hàm khả vi Fréchet hai lần toán tối ưu với ràng buộc nón với điều kiện quy Abadie cấp hai V.I Ivanov ([10], 2015) nghiên cứu toán tối ưu vectơ với hàm khả vi liên tục Fréchet dẫn điều kiện KKT với điều kiện quy Zangwill cấp hai Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: “Bài toán tối ưu vectơ với hàm khả vi Fréchet điều kiện tối ưu cấp hai” Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai Jiménez–Novo (2003) cho toán có ràng buộc tập toán có ràng buộc nón với hàm khả vi Fréchet hai lần, điều kiện tối ưu cấp hai Ivanov (2015) cho toán tối ưu vectơ với hàm khả vi liên tục Fréchet Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Điều kiện cần cấp hai cho toán tối ưu vectơ JiménezNovo" Trình bày kết Jiménez–Novo [11] điều kiện cần tối ưu cấp hai cho cực tiểu yếu toán tối ưu vectơ với ràng buộc tập không gian định chuẩn với hàm mục tiêu khả vi Fréchet hai lần Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng đối ngẫu trình bày cho toán với tập ràng buộc xác định qua hàm không gian hữu hạn chiều Định lý luân phiên Motzkin suy rộng trình bày làm công cụ để dẫn quy tắc nhân tử Lagrange Chương 2: "Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ Ivanov" Trình bày kết Ivanov [10] điều kiện cần tối ưu cấp hai Karush–Kuhn–Tucker dạng nguyên thủy dạng đối ngẫu cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc bất đẳng thức với điều kiện quy kiểu Zangwill cấp hai Chương Điều kiện cần cấp hai cho toán tối ưu vectơ Jiménez–Novo Trong chương ta xét toán tối ưu vectơ: Min f (x), x ∈ S, (I.1) với f : X → Y , X Y không gian định chuẩn, S tập tùy ý X , thứ tự Y cho nón lồi D nhọn (D ∩ −D = {0}) có phần khác rỗng Đặc biệt ta xét toán quy hoạch sau không gian hữu hạn chiều: Min f (x), x ∈ S := g −1 (Q), (I.2) với f : Rn → Rp , g : Rn → Rm Q tập không thiết lồi Rm với nón tiếp tuyến lồi Hàm f g khả vi Fréchet hai lần điểm tối ưu Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu yếu toán (I.1) với hàm mục tiêu khả vi Fréchet hai lần Điều kiện cần dạng đối ngẫu trình bày cho toán (I.2) Định lí luân phiên Motzkin suy rộng trình bày để dẫn quy tắc nhân tử Lagrange Các kết trình bày chương B Jiménez – V Novo ([11], 2003) 1.1 Kiến thức chuẩn bị Cho X không gian định chuẩn S tập X Ta kí hiệu B(x0 , δ) hình cầu mở tâm x0 bán kính δ , int S phần tập S , cl S bao đóng tập S , cone S nón sinh tập S cone+ S = {αx : α > 0, x ∈ S} Nhắc lại điểm x0 ∈ S gọi cực tiểu địa phương (cực tiểu yếu địa phương) toán (I.1) Kí hiệu x0 ∈ LMin(f, S) (tương ứng x0 ∈ LWMin(f, S) điểm cực tiểu yếu địa phương), tồn lân cận U x0 cho (f (S ∩ U ) − f (x0 )) ∩ (−D) = {0}, tương ứng, (f (S ∩ U ) − f (x0 )) ∩ (−int D) = ∅ điểm cực tiểu yếu địa phương Đặc biệt, Y = R D = R+ , trở khái niệm cực tiểu địa phương biết Sau khái niệm tập tiếp tuyến mà ta sử dụng luận văn: Định nghĩa 1.1.1 Cho S ⊂ X x0 , v ∈ X (a) Nón tiếp tuyến S điểm x0 T (S, x0 ) = {u ∈ X : ∃tn → 0+ , ∃un → u cho x0 + tn un ∈ S ∀n ∈ N} số t với −δi < t < δi Khi ta có: ϕi (t) = ∇gi (¯ x + td + 0.5t2 z)(d + tz) Do ϕi (0) = ∇gi (¯ x)d Xét: 2t−2 [ϕi (t) − ϕi (0) − tϕi (0)] = 2t−2 [gi (¯ x + td + 0.5t2 z) − gi (¯ x) − t∇gi (¯ x)d] Ta chọn dãy {tk }∞ k=1 số dương, hội tụ đến Theo định lí giá trị trung bình, với số nguyên dương k, tồn θki ∈ (0, 1) với gi (¯ x + tk d + 0.5t2k z) = gi (¯ x + tk d) + ∇gi (¯ x + tk d + 0.5t2k θki z)(0.5t2k z) (2.3) Do gi ∈ C (2.3) ta suy ra: ϕi (0, 1) = limk→+∞ [∇gi (¯ x + tk d + 0.5t2k θki z)z + 2t−2 x + tk d) − gi (¯ x) − tk ∇gi (¯ x)d)] k (gi (¯ = ∇gi (¯ x)z + gi (¯ x, d) Do đó, ∇gi (¯ x)z + gi (¯ x, d) = ϕi (0, 1) (2.4) Từ (2.2) (2.4) ta có: ∇gi (¯ x)z + gi (¯ x, d) = limt→+0 2t−2 [gi (¯ x + td + 0.5t2 z) − gi (¯ x)] ≤ 0, Điều chứng tỏ A(¯ x, d) ⊆ B(¯ x, d) Ví dụ chứng tỏ khẳng định ngược lại Mệnh đề 2.2.1 không Ví dụ 2.2.2 Xét hàm g : R2 → R, xác định g(x1 , x2 ) := x31 Chọn x ¯ = (0, 0), d = (1, 0) 39 Ta có: A(¯ x, d) = {z ∈ R2 : ∇g(¯ x)d = ⇒ ∃δ > với g(¯ x + td + 0.5t2 z) ≤ 0, ∀t ∈ (0, δ)} B(¯ x, d) = {z ∈ R2 : ∇g(¯ x)d = ⇒ ∇g(¯ x)z + g (¯ x, d) ≤ 0}, ∇g(¯ x) = (0, 0), g (¯ x, d) = Nếu z = (1, 0) g(¯ x + td + 0.5t2 z) > với t > Vì z ∈ B(¯ x, d) z ∈ / A(¯ x, d) Định nghĩa 2.2.3 Xét hàm biến ϕ : (−a, a) → R hàm khả vi Fréchet t = tồn đạo hàm phải cấp hai: ϕ (0, 1) := limt→+0 2t−2 [ϕ(t) − ϕ(0) − tϕ (0)] Khi ta gọi ϕ giả lõm địa phương cấp hai t = bên phải tồn δ > cho: ϕ(t) > ϕ(0), < t < δ kéo theo ϕ (0) ≥ 0, ϕ(t) > ϕ(0), < t < δ, ϕ (0) = kéo theo ϕ (0, 1) > Điều kiện hàm ràng buộc gi , i ∈ I(¯ x) giả lõm x¯ với x¯ cực tiểu địa phương gọi ràng buộc đảo yếu [9, p.253] Điều kiện cấp hai tương ứng gi , i ∈ I(¯ x) giả lõm cấp hai x¯ Điều kiện yếu so với điều kiện cấp tương ứng hàm giả lồi giả lồi cấp hai, điều ngược lại không Điều kiện quy: Hàm biến ϕi (t) xác định đẳng thức ϕi (t) := gi (¯ x + td + 0.5t2 z), t ∈ R, (2.5) giả lõm địa phương cấp hai t = bên phải, điều kiện quy cấp hai yếu 40 Mệnh đề 2.2.4 Cho hàm ràng buộc thỏa mãn điều kiện (C) Giả sử x ¯ điểm chấp nhận toán (VP) d phương bất kỳ; với z ∈ Rn , hàm biến ϕi , i ∈ K(¯ x, d) xác định (2.5) giả lõm địa phương cấp hai t = bên phải Khi đó: A(¯ x, d) = B(¯ x, d) Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.1, ta cần chứng minh B(¯ x, d) ⊆ A(¯ x, d) Nếu K(¯ x, d) = ∅ điều hiển nhiên Ta chứng minh phản chứng: Giả sử có z ∈ B(¯ x, d) với z ∈ / A(¯ x, d) Do z ∈ / A(¯ x, d) ta suy tồn j ∈ K(¯ x, d) dãy {tk }∞ k=1 , tk → +0, với tính chất ϕj (tk ) > ϕj (0) với số dương k Từ tính giả lõm địa phương cấp hai ta nhận ϕj (0, 1) > Từ suy z ∈ / B(¯ x, d), mâu thuẫn Nếu x ¯ điểm chấp nhận tập B(¯ x, d) tập đóng, A(¯ x, d) không tập đóng ¯ = (0, 0), Ví dụ 2.2.5 Cho S := {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 − x2 ≤ 0}, x d = (0, 0) Khi đó, (1, z2 ) ∈ A(¯ x, d) với z2 số dương tùy ý, (1, 0) ∈ / A(¯ x, d) Do đó, A(¯ x, d) không tập đóng Định nghĩa 2.2.6 Nếu đưa điều kiện cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) với giả thiết ràng buộc không tích cực liên tục ta nói điều kiện điều kiện quy Zangwill cấp hai Trong phần này, ta chứng tỏ điều kiện cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) điều kiện quy cấp hai (SOCQ) Ta gọi điều kiện quy 41 Zangwill cấp hai, tương tự cấp hai điều kiện quy Zangwill cl Z(¯ x) = L(¯ x) (xem [18]) Ở đây: L(¯ x) := {d ∈ Rn : ∇gi (¯ x)d ≤ 0, i ∈ I(¯ x)} nón tuyến tính hóa toán (VP) điểm chấp nhận x ¯ Z(¯ x) := {d ∈ Rn : ∃δ > cho x¯ + td ∈ S, ∀t ∈ (0, δ)} ràng buộc nón phương chấp nhận S x ¯ với giả thiết ràng buộc không tích cực liên tục điểm chấp nhận x ¯ Khi d = 0, tập A(¯ x, d) quy nón phương chấp nhận Z(¯ x) B(¯ x, d) quy nón tuyến tính hóa L(¯ x) 2.3 Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker (KKT) cấp hai cho cực tiểu yếu địa phương Định lý 2.3.1 (Điều kiện nguyên thủy) Cho x ¯ cực tiểu yếu địa phương toán (VP) d phương tới hạn Giả sử điều kiện (C) thỏa mãn; điều kiện quy cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) Khi đó, không tồn vectơ z thỏa mãn: ∇fj (¯ x)z + fj (¯ x, d) < 0, j ∈ J(¯ x, d), (2.6) ∇gi (¯ x)z + gi (¯ x, d) ≤ 0, i ∈ K(¯ x, d) (2.7) Chứng minh Điều kiện (2.6) (2.7) xét hệ bất đẳng thức Hệ chứa bất đẳng thức, x ¯ nghiệm yếu địa phương Giả sử ngược lại, tồn vectơ z thỏa mãn (2.6) (2.7) Do z ∈ B(¯ x, d) Xét trường hợp sau: 42 1) Giả sử i ∈ K(¯ x, d): Từ điều kiện cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) ta suy tồn dãy {zl }∞ x, d) l=1 hội tụ đến z , cho zl ∈ A(¯ Lấy số nguyên dương l Khi tồn số δi > với gi (¯ x + td + 0.5t2 zl ) ≤ 0, t ∈ (0, δi ) 2) Giả sử i ∈ I(¯ x) \ K(¯ x, d) Ta có ∇gi (¯ x)d < Vì thế, ϕi (0) < 0, ϕi (t) := gi (¯ x + td + 0.5t2 zl ) Từ suy tồn δi > với ϕi (t) < ϕi (0), tức gi (¯ x + td + 0.5t2 zl ) < gi (¯ x) = với t ∈ (0, δi ) 3) Với i ∈ {1, 2, , m} \ I(¯ x) thỏa mãn bất đẳng thức gi (¯ x) < Theo giả thiết gi liên tục, tồn δi > cho: gi (¯ x + td + 0.5t2 zl ) < 0, ∀t ∈ (0, δi ) Do từ trường hợp ta có điểm x ¯ + td + 0.5t2 zl chấp nhận với t dương đủ nhỏ Ta xét trường hợp liên quan đến hàm mục tiêu: 1) Cho ∇fj (¯ x)d < Xác định hàm biến ψj (t) := fj (¯ x + td + 0.5t2 zl ) Khi ψj (0) < tồn εj > với fj (¯ x + td + 0.5t2 zl ) < fj (¯ x) với t tùy ý t ∈ (0, εj ) 2) Giả sử j ∈ J(¯ x, d), tức ∇fj (¯ x)d = Vì X tập mở x¯ điểm chấp nhận được, tồn số εj > cho ψj xác định với t: −εj < t < εj Khi đó, ta có: ψj (t) = ∇fj (¯ x + td + 0.5t2 zl )(d + tzl ) 43 Do đó, ψj (0) = ∇fj (¯ x)d Xét: 2t−2 [ψj (t) − ψj (0) − tψj (0)] = 2t−2 [fj (¯ x + td + 0.5t2 zl ) − fj (¯ x) − t∇fj (¯ x)d] Ta chọn dãy số dương {tk }∞ k=1 hội tụ tới Theo định lí giá trị trung bình, với số nguyên dương k , tồn θjk ∈ (0, 1) với fj (¯ x + tk d + 0.5t2k zl ) = fj (¯ x + tk d) + ∇fj (¯ x + tk d + 0.5t2k θjk zl )(0.5t2k zl ) (2.8) Do f ∈ C (2.8) ta suy ra: ψj (0, 1) = limk→+∞ [∇fj (¯ x + tk d + 0.5t2k θjk zl )zl + 2t−2 x + tk d) − fj (¯ x) − tk ∇fj (¯ x)d)] k (fj (¯ = ∇fj (¯ x)zl + fj (¯ x, d) Do ∇fj (¯ x)zl + fj (¯ x, d) = ψj (0, 1) Từ (2.6) ta suy ra: ∇fj (¯ x)zl + fj (¯ x, d) < với số l đủ lớn Do đó, ψj (0, 1) < Vì j ∈ J(¯ x, d), ta có: limt→+0 2[ψj (t) − ψj (0)] < t2 Từ suy tồn εj > cho fj (¯ x + td + 0.5t2 zl ) < fj (¯ x) với t tùy ý, t ∈ (0, εj ) Từ hai trường hợp trên, ta đến mâu thuẫn với giả thiết x ¯ cực tiểu yếu địa phương, từ bất đẳng thức fj (¯ x + td + 0.5t2 zl ) < fj (¯ x), thỏa mãn với t ∈ (0, ε), với ε số nhỏ số dương εj δj 44 Ta xét hệ với ẩn u ∈ Rn , v ∈ R d phương tới hạn tùy ý:    ∇fj (¯ x)u + vfj (¯ x, d) < 0, j = 1, 2, , n    (2.9) ∇gi (¯ x)u + vgi (¯ x, d) ≤ 0, i ∈ I(¯ x),      v > 0, hệ với ẩn u ∈ Rn : ∇fj (¯ x)u < 0, j = 1, 2, , n, ∇gi (¯ x)u ≤ 0, i ∈ I(¯ x), (2.10) điểm x ¯ phương d cho trước Bổ đề 2.3.2 Cho x ¯ nghiệm yếu địa phương toán (VP) d phương tới hạn khác không Giả sử hàm f, gi , i ∈ I(¯ x) khả vi Fréchet, hàm gi , i ∈ / I(¯ x) liên tục, trường hợp ∇fj (¯ x)d = ∇gi (¯ x)d = 0, i ∈ I(¯ x), tồn đạo hàm theo phương cấp hai fj (¯ x, d) gi (¯ x, d) Khi đó, điều kiện cần đủ để tồn nhân tử Lagrange λ = (λ1 , , λn ) µ = (µ1 , , µm ), λ ≥ 0, µ 0, thỏa mãn điều kiện KKT µi gi (¯ x) = 0, i = 1, 2, , m, ∇L(¯ x) = n L (¯ x, d) = µi gi (¯ x, d) ≥ 0, λj fj (¯ x, d) + j=1 (2.11) i∈I(¯ x) điều kiện để hai hệ (2.9) (2.10) không giải được, L m n λj fj + hàm Lagrange L := j=1 µ i gi i=1 Chứng minh Cho d phương tới hạn Xét toán quy hoạch tuyến tính: 45 Max 0, ∇fj (¯ x)u + vfj (¯ x, d) ≤ −1, j = 1, 2, , n, ∇gi (¯ x)u + vgi (¯ x, d) ≤ 0, i ∈ I(¯ x), v ≥ Đối ngẫu toán: n Min − λj , j=1 n λj ∇fj (¯ x) + j=1 n µi ∇gi (¯ x) = 0, i∈I(¯ x) µi gi (¯ x, d) ≥ 0, λj fj (¯ x, d) + j=1 λ i∈I(¯ x) 0, µi ≥ 0, ∀i ∈ I(¯ x) Giả sử hệ (2.9) (2.10) nghiệm Do đó, toán xuất phát không giải được, toán không chấp nhận Theo định lí đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, toán đối ngẫu không giải Bởi λ = 0, µi = 0, i ∈ I(x) điểm chấp nhận được, toán đối ngẫu không bị chặn Do đó, tồn nhân tử Lagrange thỏa mãn điều kiện Karush–Kuhn– Tucker cấp hai Ngược lại, giả sử tồn nhân tử Lagrange thỏa mãn điều kiện KKT Do vậy, toán đối ngẫu nghiệm hàm mục tiêu không bị chặn tập chấp nhận Từ định lý đối ngẫu suy toán xuất phát không giải toán không chấp nhận Vì không 46 tồn vectơ u ∈ Rn số v > để tạo thành nghiệm hệ (2.9) không tồn vectơ u ∈ Rn để tạo thành điểm chấp nhận cho toán xuất phát với số v = Từ hệ (2.10) không tương thích Cho S tập cho trước Nón tiếp tuyến Bouligand (hay nón tiếp liên) tập S điểm x ¯ ∈ cl S xác định sau: T (S, x) :={u ∈ Rn : ∃{tk }, tk > 0, tk → +0, ∃{uk } ⊂ Rn , uk → u cho x + tk uk ∈ S với số nguyên dương k} Nếu S tập chấp nhận toán (VP) điều kiện L(¯ x) = T (S, x¯) gọi điều kiện quy Abadie [2] Định lý 2.3.3 (Điều kiện đối ngẫu) Cho x ¯ cực tiểu yếu địa phương toán (VP) d phương tới hạn khác không Giả sử điều kiện (C) thỏa mãn, điều kiện quy cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) điều kiện quy Abadie Khi đó, tồn nhân tử Lagrange không âm λ = (λ1 , , λn ), λ = µ = (µ1 , , µm ) thỏa mãn điều kiện KKT cấp hai (2.11) Chứng minh Cho d phương tới hạn tùy ý Ta chứng minh hệ (2.9) nghiệm Giả sử ngược lại, hệ (2.9) giải (u, v) nghiệm Từ suy tồn điểm z thỏa mãn điều kiện (2.6) (2.7) Điều mâu thuẫn với Định lí 2.3.1 Ta chứng minh hệ (2.10) nghiệm Giả sử ngược lại u ∈ Rn nghiệm Do đó, từ định nghĩa nón 47 tuyến tính hóa, u ∈ L(¯ x) Từ điều kiện quy Abadie suy u ∈ T (S, x¯) Cho F nón: F := {d : ∇fj (¯ x)d < 0, j = 1, 2, , n} Ta biết F ∩ T (S, x ¯) = ∅ [9, Định lí 6.6.1] Mặt khác, từ điều kiện quy Abadie ta có u ∈ F ∩ T (S, x ¯) Điều mâu thuẫn Từ lý luận ta suy hai hệ (2.9) (2.10) không tương thích Khi đó, theo Bổ đề 2.3.2, tồn nhân tử Lagrange thỏa mãn điều kiện KKT cấp hai Xét toán vô hướng: Min f (x), gi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m, (P ) với hàm thực f, gi , i = 1, 2, , m xác định tập mở X X ⊂ Rs Bao lồi đóng nón tiếp tuyến Bouligand gọi nón giả tiếp tuyến: P T (S, x) := cl (conv T (S, x)) Nếu S tập chấp nhận toán (P) điều kiện L(¯ x) = P T (S, x¯) gọi điều kiện quy Guignard Hệ 2.3.4 (Điều kiện đối ngẫu cho toán vô hướng (P)) Cho x ¯ cực tiểu địa phương toán vô hướng (P) d phương tới hạn khác không Giả sử điều kiện (C) thỏa mãn, điều kiện quy cl A(¯ x, d) = B(¯ x, d) điều kiện quy Guignard Khi đó, tồn nhân tử Lagrange không âm µ1 , , µm thỏa mãn điều kiện KKT cấp hai (2.11) với n = 48 Chứng minh Ta phải chứng minh phần hệ (2.10) nghiệm Giả sử ngược lại, u ∈ Rn nghiệm Do đó, từ định nghĩa nón tuyến tính hóa, u ∈ L(¯ x) Từ điều kiện quy Guignard ta suy u ∈ P T (S, x ¯) Mặt khác ta biết (xem Bổ đề 5.1.2 [3]): ∇f (¯ x)d ≥ 0, ∀d ∈ T (S, x¯), T (S, x ¯) nón tiếp tuyến Bouligand tập chấp nhận S x¯ Từ suy ∇f (¯ x)d ≥ với d ∈ P T (S, x¯) Đặc biệt, ∇f (¯ x)u ≥ 0: mâu thuẫn với giả thiết u nghiệm hệ (2.10) Nhận xét 2.3.5 Trường hợp d = 0, Hệ 2.3.4 quy điều kiện tối ưu KKT cấp với điều kiện quy Guignard Thật vậy, phương tới hạn, tồn đạo hàm cấp hai chúng Tập A(¯ x, d) trùng với nón phương chấp nhận được, tập B(¯ x, d) trùng với nón tuyến tính hóa, điều kiện quy Zangwill cấp hai quy điều kiện quy Zangwill, điều kiện (2.11) quy điều kiện cần tối ưu KKT Do đó, điều kiện cần trường hợp đặc biệt Hệ 2.3.4 Chương trình bày số nội dung sau: – Khái niệm hàm giả lồi cấp hai Ivanov [10]; – Điều kiện quy Zangwill suy rộng cấp hai Ivanov [10]; – Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cấp hai dạng nguyên thủy đối ngẫu cho toán tối ưu vectơ (VP) Ivanov 49 Kết luận Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai Jiménez–Novo [11] cho toán có ràng buộc tập toán có ràng buộc nón với hàm khả vi Fréchet cấp hai điều kiện tối ưu cấp hai Ivanov [10] cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc bất đẳng thức với hàm khả vi liên tục Fréchet Luận văn bao gồm nội dung sau đây: – Các khái niệm tập tiếp tuyến cấp một, cấp hai, tập phương chấp nhận cấp một, cấp hai số tính chất chúng; – Khái niệm hàm giả lồi cấp hai Ivanov [10]; – Điều kiện quy Zangwill suy rộng cấp hai Ivanov [10]; – Điều kiện cần tối ưu cấp hai Jiménez–Novo [11] cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ (I.1) có ràng buộc tập; – Định lý luân phiên Motzkin suy rộng Jiménez–Novo [11]; – Quy tắc nhân tử Lagrange cho toán tối ưu (I.2) Jiménez–Novo [11]; – Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cấp hai dạng nguyên thủy đối ngẫu cho toán tối ưu vectơ (VP) Ivanov Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 50 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Tài liệu tiếng Anh [2] Abadie J (1967), "On the Kuhn-Tucker theorem", In: Abadie, J (ed.) Nonlinear Programming, pp 19 – 36 Amsterdam, North Holland [3] Bazaraa M.S., Shetty, C.M (1979), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, Wiley, New York [4] Bigi G Castellani M (2000), "Second order optimality conditions for differentiable multiobjective problems", RAIRO Oper Res, (34), pp 411 – 426 [5] Bonnans J-F, Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York [6] Craven B-D (1995), Control and Optimization, Chapman and Hall Mathematics, London 51 [7] Flett T-M (1980), Differential Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [8] Ginchev I., Ivanov, V.I (2007), "Higher-order pseudoconvex functions", In: Konnov, I.V., Luc, D.T., Rubinov, A.M (eds.) Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol 583, pp 247 – 264 Springer, Berlin [9] Giorgi G., Guerraggio, A., Thierfelder, J (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case, Elsevier Science, Amsterdam [10] Ivanov V.I (2015), "Second-order optimality conditions for vector problems with continuously Fréchet differentiable data and second order constraint qualifications", J Optim Theory Appl., 166, pp 777 – 790 [11] Jiménez B., Novo V (2003), "Second-order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization", Mathematical Methods of Operations Research., (58), pp 299 – 317 [12] Kawasaki H (1988), "Second-order necessary conditions of the KuhnTucker type under new constraint qualifications", J Optim Theory Appl., 57(2), pp 253 – 264 [13] Penot J-P (1999), "Second-order conditions for optimization problems with constraints", SIAM J Control Optim., 37(1), pp 303 – 318 [14] Rockafellar R-T (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [15] Rockafellar R-T, Wets R-J (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin 52 [16] Singh C (1987), "Optimality conditions in multiobjective differentiable programming", J Optim Theory Appl., 53(1), pp 115 – 123 [17] Still G, Streng M (1996), "Optimality conditions in smooth nonlinear programming", J Optim Theory Appl., 90(3), pp 483 – 515 [18] Zangwill W (1969), Nonlinear Programming: A Unified Approach, Prentice Hall, Englewood Cliff 53 ... giải toán tối ưu B Jiménez V Novo ([11], 2003) thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập với hàm khả vi Fréchet hai lần toán tối ưu với ràng buộc nón với điều kiện. .. đề tài: Bài toán tối ưu vectơ với hàm khả vi Fréchet điều kiện tối ưu cấp hai Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai Jiménez–Novo (2003) cho toán có ràng buộc tập toán có... toán có ràng buộc nón với hàm khả vi Fréchet hai lần, điều kiện tối ưu cấp hai Ivanov (2015) cho toán tối ưu vectơ với hàm khả vi liên tục Fréchet Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận