Ứng dụng của các định lý về các hàm khả vi vào giải các bài toán sơ cấp

Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THU HIỀN ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ VỀ CÁC HÀM KHẢ VI VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Phạm Thu Hiền HÀ NỘI - 2012 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận: “Ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp” hoàn thành nhờ vào gợi ý, hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Khuất Văn Ninh em thời gian viết khoá luận Cùng với giúp đỡ tạo điều kiện thầy cô giáo khoa toán trường ĐHSP Hà Nội Hôm khoá luận tới tay bạn đọc em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, thầy cô giáo khoa toán bạn sinh viên Do hạn chế trình độ thời gian nên khoá luận không tránh khỏi sai sót Rất mong thầy cô bạn góp ý để khoá luận hoàn thiện hơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2012 Sinh viên Phạm Thu Hiền Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận kết trình học tập, nghiên cứu nỗ lực em với giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong trình làm khoá luận em có tham khảo tài liệu có liên quan thống kê mục tài liệu tham khảo Khoá luận “Ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp” trùng lặp với khoá luận khác Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2012 Sinh viên Phạm Thu Hiền Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh MỤC LỤC Tran g Mở đầu…………………………………………………………………… Chương 1: Cơ sở lý luận đề tài………………………………… Chương 2: Ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp………………………………………………………………… 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange, Rolle, Cauchy để chứng minh phương trình có 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange, Rolle để giải phương 20 nghiệm…………………………………………………… trình……… 2.3 Ứng dụng định lý Lagrange, Rolle chứng minh bất đẳng 27 thức… 2.4 Ứng dụng định lý Lagrange, Rolle để giải hệ phương 41 trình…… 2.5 Ứng dụng định lý Lagrange vào việc tìm giới hạn dãy 48 số… Kết luận Tài liệu tham khảo Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đạo hàm nội dung Giải tích nói riêng toán học nói chung Các định lý hàm khả vi định lý Rolle, Lagrange, Cauchy,…, có vai trò đặc biệt quan trọng Giải tích toán học Nhờ có định lý mà nhiều kết toán học chứng minh, đời Trong môn toán trung học phổ thông, đạo hàm đưa vào giảng dạy xem nội dung quan trọng Đối với học sinh thường coi định lý hàm khả vi định lý Rolle, Lagrange, Cauchy,…, mang tính chất lý thuyết mà chưa biết vận dụng vào thực hành giải toán Bên cạnh toán có liên quan đến định lý lại hay xuất kỳ thi đại học, thi học sinh giỏi,… Ở số sách tham khảo có xuất toán giải định lý Lagrange, Rolle,…Song với học sinh lời giải mang tính chất ngẫu nhiên, lại giải Vì để giúp học sinh vận dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp phương pháp cần thiết Được PGS.TS Khuất Văn Ninh gợi ý, hướng dẫn trình nghiên cứu thân em chọn đề tài “Ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp” nhằm đáp ứng yêu cầu Mục đích, yêu cầu đề tài Đề tài đưa số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp như: Chứng minh phương trình có nghiệm, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phương trình việc tìm giới hạn dãy số Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp có cách giải ví dụ cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Một số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu  Nghiên cứu, phân tích tài liệu  Hệ thống, khái quát vấn đề  Sưu tầm, giải toán  Tổng kết kinh nghiệm Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Hàm khả vi 1.1 Các định nghĩa a, Nếu tỉ số y f ( x   x )  f ( x )  có giới hạn hữu hạn ∆x→0 x x giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0; kí hiệu f’(x0) và: f '( x0 )  lim x 0 f ( x0  x)  f ( x0 ) x Khi ta nói hàm f khả vi x0 b, Cho U tập hợp mở R, f: U→R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi hàm số f’: U→R, x→f’(x) gọi đạo hàm hàm số f U Nếu f’ liên tục U ta nói f khả vi liên tục U hay f thuộc lớp C1(U) 1.2 Các định lý Định lý Rolle Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a,b]; khả vi (a,b) f(a) = f(b) tồn c  (a,b) cho f’(c) = Chứng minh Hai trường hợp xảy : 1, Hàm f [a,b] tức f(x) = f(a) = f(b) = số Khi f’(x) = x (a,b) 2, Hàm f không [a,b] Vì f liên tục [a,b] nên f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ [a,b] hai giá trị đạt điểm c khoảng mở (a,b) f(a) = f(b) Theo định lý Fermat giả thiết đạo hàm tồn điểm (a,b) ta có: f’(c) = Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Định lý Lagrange Nếu y = f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c (a,b) cho : f(b) - f(a) = f’(c)(b - a) Hệ Cho hàm số f(x) xác định liên tục [a,b], khả vi (a,b); f’(x) = x (a,b) f(x) = const x [a,b] Chứng minh x0, y0 [a,b], x0  y0 f(x0) = f(y0) Thật vậy, giả sử: x0  y0  [x0,y0  [a,b]; Ta thấy f(x) thoả mãn tất điều kiện định lý Lagrange [x0,y0  c  (x0,y0) để f '(c)  f (x )  f (y ) Do  c  (x0,y0)  f’(c) =  f(x0) = f(y0)  đpcm x0  y0 Hệ Nếu hàm số f(x) xác định liên tục [a,b], khả vi (a,b) phương trình f’(x) = có không n nghiệm phân biệt (a,b) phương trình f(x) = có không n + nghiệm phân biệt [a,b] Chứng minh Giả sử ngược lại phương trình f(x) = có n + nghiệm phân biệt [a,b] Nghĩa phương trình f(x) = có n + nghiệm phân biệt [a,b] Ta xét n + nghiệm nghiệm x1, x2,…, xn+2; xi [a,b] (i=1, n  ) Giả sử x1  x2 ,…,  xn+2 Khi áp dụng định lý Rolle [xi,xi+1  [a,b] (i= 1, n  )  yi  (xi,xi+1)  [a,b] cho: f’(yi) = Phạm Thu Hiền f ( x i 1 )  f ( x i ) =0 x i 1  x i K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh nghĩa phương trình f’(x) = có n nghiệm [a,b] mâu thuẫn với giả thiết  đpcm Định lý Cauchy Nếu hàm f(x), g(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) g(x)   c  (a,b) cho f ' (c) f (b)  f (a)  g ' (c) g (b)  g (a ) Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ VỀ CÁC HÀM KHẢ VI VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Ứng dụng định lý: Lagrange, Rolle, Cauchy để chứng minh phương trình có nghiệm 2.1.1 Phương pháp chung Bài toán: Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm (a,b) với f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) Phương pháp giải Để áp dụng định lý: Lagrange, Rolle, Cauchy vào việc giải toán này, điều quan trọng nhận hàm F(x) Cụ thể ta thực bước sau: Bước 1: Xác định hàm số F(x) khả vi, liên tục [a,b] thoả mãn:  F’(x) = f(x)  F(b) - F(a) = Bước 2: Khi  x0  (a,b) cho F’(x0) = F (b)  F (a)  f(x0) = ba  phương trình f(x) = có nghiệm x0 (a,b) 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ Cho n nguyên dương, ak ; bk R (k = 1, 2,…, n) CMR: n x+  (a k sin kx  bk cos kx ) = có nghiệm (-,) k 1 ( Olympic sinh viên 1994 ) Phạm Thu Hiền K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Giải hệ  x  y s inx e  sin y   10 x   3( y  2)  5   x; y   (1) (2) (3) Hướng dẫn ex ey  (1)  s inx siny et 5 Xét hàm f (t )  với t  ( , ) , sin t et (sin t  cos t ) 5 f '(t )    t  ( , ) sin t Theo bổ đề ta có x = y thay vào (2) ta có 10 x   3( x  2) Giải phương trình ta suy nghiệm hệ cho Giải hệ  x  21  y   y   y  21  x   x Hướng dẫn Từ hai phương trình hệ ta suy ra: x  21  x   x  y  21  y   y 2 Xét hàm f (t )  t  21  t   t với t   f’(t)  với t  Theo bổ đề suy x = y từ dẫn tới phương trình x  21  x   x , giải phương trình suy nghiệm hệ Giải hệ Phạm Thu Hiền 46 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh  x  y     y  x   Giải hệ  x  y       y  2z     z  2x    (I) Hướng dẫn  x4 y     y  z   Hệ (I)    z x    (1) (2) (3) Dễ thấy x, y, z  Từ (1) (2): x4 y    4 t4 Xét hàm số f (t )   với t  , f’(t) = 2t3 với t  nên theo bổ đề có x = y Tương tự ta có x = z ; y = z Vậy hệ cho tương đương với hệ sau x  y  z    x  x   (*) 2 Giải (*)  ( x  1)  2( x  )  Ta giải phương trình suy nghiệm hệ cho Phạm Thu Hiền 47 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 2.5 Ứng dụng định lý Lagrange vào việc tìm giới hạn dãy số 2.5.1 Phương pháp chung Trong mục ta nêu lên phương pháp chung để giải hai toán:  Bài toán 1: Chỉ tồn dãy số thoả mãn số điều kiện cho trước Ta cần chứng minh tồn dãy số (an) R, n N thoả mãn điều kiện F(an) cho trước với F(an) biểu thức phụ thuộc vào an Giả sử trình biến đổi biểu thức F(an) có xuất dạng định lý Lagrange hàm số f(x) vận dụng định lý để giải toán  Bài toán 2: Tìm giới hạn dãy số Cho trước dãy số (an)  R, n N xác định hệ thức truy hồi an+1 = f(an) ( n N), f(x) hàm xác định [,] (,   R) Giả sử thêm hàm f(x) khả vi [,] phương trình (t) = t có nghiệm t0  [,] (dễ thấy giới hạn dãy số có nghiệm phương trình (t) = t Khi theo định lý Lagrange ta có an 1  t0  f (a n )  f (t0 )  f '(cn ) an  t0 với cn  (an,t0) an  t0 cn  (t0,an) an  t0 Nhờ biểu diễn ta chuyển việc ước lượng đánh giá an 1  t0 thông qua f’(cn) để tồn hay không tồn giới hạn dãy chứng minh 2.5.2 Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:  x1  2007   x   xn , n  N *  n 1 xn2   Phạm Thu Hiền 48 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Tìm giới hạn dãy số n tiến dần tới dương vô Giải * Ta có xn  3, n  N Xét hàm số f(x) = f '( x )   ( x  1)3  f '( x)  2 3 x x2 1 , ta có: , x  ( 3; ) Nếu (xn) có giới hạn giới hạn nghiệm lớn phương trình f ( x )  x Ta có: f ( x)  x  x   x x2   ( x  3)2  x2 x2 1  ( x  x)  2( x  x)    x  x  1  15  x 2  x  x  Đặt a   15 , theo định lý Lagrange, tồn cn  ( xn ; a) (a; xn ) thỏa mãn: f ( xn )  f (a)  f '(cn ) xn  a  xn 1  a  f ( xn )  f (a)  f '(cn ) xn  a  Mà lim( 2 2 xn  a   ( ) n x1  a  , limxn = a = 2 )n x1  a  15 Nhận xét Phạm Thu Hiền 49 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong toán việc giải phương trình f ( x )  x không thiết phải trình bày, ta cần chọn nghiệm thỏa mãn Ví dụ Chứng minh tồn dãy số thực (an), n = 1, 2,… thoả mãn lim an  n   sin n an  n an cos n an  an sin an sin n an  n =1, 2,… Giải  cos x Xét hàm số f n ( x)  x sin n x.e với n cố định nN* fn(x)  1 khả vi 0,   n f n '( x)  sin n x+n x.cos n x  x.s inx.sin n x  e cos x x ( 0, ) n 1 Ngoài f n (0)  f n ( ) Theo định lý Rolle cn ( 0, ) cho n n f’n(cn) =  sin n cn +n cn cos n cn  cn sincn sin n cn .e  cos cn 0 Vậy với nN* ta chọn an = cn sin n an +n an cos n an  an s ina n sin n an .e cos a n 0 1 an  Mặt khác an = cn ( 0, )   an   lim n  n n Vậy với dãy số an xác định thoả mãn toán Nhận xét Qua ví dụ ta tổng quát thành toán: Cho hai hàm số f(x,n), g(x) xác định khả vi [0,1] nN* tham số hàm số f(x,n) thoả mãn điều kiện f(0,n) = f( ,n) ,n =1, 2,… Chứng minh tồn dãy số n (an)  R, n  N thoả mãn Phạm Thu Hiền 50 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh lim an  n    f '(an , n)  g '( an ) f ( an , n)  Với cách giải tương tự ví dụ cách xét hàm số h( x, n)  f ( x, n).e g ( x) Đặc biệt g(x) = const [0,1] ta (an) thoả mãn lim an  n    f '(an , n)  Ví dụ Cho hàm số f(x) khả vi [a,b] thoả mãn f(a) = f(b) = 0, f(x)  x (a,b) Chứng minh  dãy (xn), xn (a,b) cho: f ( xn )  2002 n  ( e  1) lim n (Olympic toán sinh viên 2002 ) Giải 2002( Xét hàm số g n ( x )  f ( x ).e n e 1) x với n N gn(x) xác định khả vi [a,b] có g n '( x)   f '( x)  2002( n e  1) f ( x)  e2002( n e 1) x x  [a,b], nN* Ngoài g(a) = g(b) = nên theo định lý Rolle n N, cn(a,b) cho g’n(cn) =  f '(cn )  2002( n e  1) f (cn )  Do cn (a,b)  f(cn)  suy f '(cn ) f '(cn )  2002  lim n  2002 n  ( e  1) f (c ) ( e  1) f (cn ) n n Vậy với nN chọn xn = cn dãy xn thoả mãn điều kiện toán Ví dụ Phạm Thu Hiền 51 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Cho số thực a dãy số thực (xn) xác định bởi: * x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008, n  N Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n tiến dần đến dương vô (Dự bị VMO 2008) Giải Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008, ta có: f '( x)  cos x  sin x , x  R  sin x  cos x Mà | cos x  sin x | , | sin x  cos x | , suy ra: | f ' ( x) | 3  q  Theo định lý Lagrange: với cặp hai số thực x, y (x < y), tồn z  ( x; y ) thỏa mãn: f(x) – f(y) = f’(z)(x - y) Từ suy |f(x) – f(y)|  q|x – y| với x, y thuộc R Áp dụng tính chất với m > n  N, ta có : |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)|  q|xm-1- xn-1|  … qn-1|xm-n+1 – x1|  qN-1|xm-n+1 – x1| Mặt khác dãy (xn) bị chặn q < nên với  > tồn N đủ lớn cho: qN-1|xm-n+1 – x1| <  Như dãy (xn) thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy, (xn) hội tụ Ví dụ 10 10  n  x n  x n 1   x  Cho số thực a > f n ( x)  a x a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình f n ( x)  a có nghiệm dương Kí hiệu nghiệm xn Phạm Thu Hiền 52 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh b) Chứng minh dãy (xn) có giới hạn a 1 n dần đến vô a Giải Đặt Fn ( x)  f n ( x)  a , ta có Fn ( x) liên tục, đồng biến [0; ) Fn (0)   a  0, Fn (1)  a10  n   a  Suy phương trình f n ( x)  a có nghiệm xn dương Đặt b  a 1 a  f n (b)  b n (a  1)[(a  1)9  1]  a  f n (b)  a  b  xn , n  N * Theo định lí Lagrange, tồn cn  ( xn , b) thỏa mãn: f n (b)  f n ( xn )  f '(cn )(b  xn ) Mà f '(cn )  nên b  xn  f n (b)  f n ( xn )  b n (a  1)[(a  1)9  1]  lim x n  b  b  b n ( a  1)[(a  1)9  1]  xn  b  lim x n  b (vì b  (0;1) ) Nhận xét Bài toán khó khăn nhiều đề không cho trước giới hạn dãy số Khi câu hỏi đặt giới hạn bao nhiêu? Ta trả lời câu hỏi sau: Trước hết giới hạn dãy số phải thuộc khoảng (0;1), giả sử giới hạn dãy số b ta có: f n (b)  b n (a10b10  mà f n ( xn )  a   1  1)   lim f n (b)   (vì b  (0;1) ) b 1 b 1 b 1 a 1 ab b 1 a Ví dụ Phạm Thu Hiền 53 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Cho n số nguyên dương, chứng minh phương trình: 1 1     có nghiệm xn  x 1 4x 1 n x 1 Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn n Giải Đặt f n ( x )  1 1     x 1 4x 1 n x 1 Ta có fn(x)  + f n ( x)   x   dễ thấy với nN*, fn(x) liên tục, nghịch biến (1,  )  n N* phương trình cho có nghiệm xn 1 Với n N* ta có: f n (4)   1 1 1 1          (2n  1)(2n  1)  16  4n  1.3 3.5 1 1 1 1 (       ) 3 2n  2n    = fn(xn) 2(2n  1) Lại fn(x) nghịch biến (1,  )  xn  (*) Mặt khác fn(x) khả vi (1,  ) nên theo định lý Lagrange nN*,  t(xn,4) cho f n (4)  f n ( xn ) 1 4 n   f '(t )     2 2   xn (t  1) (4t  1) (n t  1) nN* hay 1    xn   2(2n  1)(4  xn ) 2(2n  1) Từ (*), (**) suy  (**) xn   xn  , nN*  lim n  2(2n  1) Ví dụ Phạm Thu Hiền 54 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Tính giới hạn A  lim n ((1  n  n 1 )  (1  ) n ) n 1 n Giải x Xét hàm số f ( x)  (1  ) x (0,  ) Với nN*, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f [n,n+1] cn (n,n+1) cho n f '(cn ) f(n+1) – f(n) = f’(cn) Ta cần tính nlim  Ta có f '(cn )  (1  cn 1 ) (ln(  1)  ) Vì cn(n,n+1) suy cn cn cn  f '(cn )  (1  cn 1 ) (ln(  1)  ) cn n n2 n f '(cn )  lim n (1  Do  nlim n   (1  (Vì nlim  cn 1 ) (ln(  1)  )0 cn n n2 cn n )  e lim (ln(  1) n   1)  ) n  ( n  2) cn n Vậy A = Ví dụ Cho dãy số (xn) xác định sau xn     ; n  1, n N Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn Giải Dễ thấy xn  ; n  1, n N Mặt khác xn          Vậy xn[0,2] n = 1, 2,… Viết lại dãy (xn) sau xn 1   xn , n = 1, 2,… Phạm Thu Hiền 55 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Xét hàm f ( x )  x  với x  [0,2] có f '( x)  1  x  [0,2]  x2 2 xn  Xét phương trình x = f(x)  x  x   x =  [0,2]  lim n  2.5.3 Bài tập Cho hàm số f liên tục [a,b] có đạo hàm (a,b) thoả mãn f(a) = f(b) = f(x)  , x(a,b), k số thực cho trước CMR: Tồn dãy (xn) với xn  (a,b) cho: lim f '( xn ) k ( n e  1) f ( xn ) Hướng dẫn Xét hàm số Fn ( x)  e  kx n f ( x) , x[a,b], nN ta có Fn liên tục [a,b], có đạo hàm (a,b) Fn(a) = Fn(b) nên theo định lý Rolle  xn(a,b) cho F’n(xn) = ta có: kx kx n k  n Fn '( xn )   e n f ( xn ).e n f '( xn ) n  f '( xn ) k  f ( xn ) n  lim f '( xn )  lim n e f ( xn ) k n k n(e  1) f ( x )  a lim x f '( x) tồn Cho hàm số f: R R khả vi, giả sử xlim  x  x f '( x) Tìm giới hạn xlim  Hướng dẫn Giả sử n  N hai số tự nhiên Áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(x) = x.f(x) [n,N] Khi cn(n,N) cho Phạm Thu Hiền 56 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh g '(cn )  Vì Nlim  Nf ( N )  nf (n) N n Nf ( N )  nf (n)  a nên với n đủ lớn: g '(cn )  a  n N n cn   , g’(x) = f(x) + x.f’(x) có giới hạn hữu hạn nên Ta lại có nlim  lim g '( x)  lim g '(cn )  a x  n  xf '( x)  lim g '( x)  lim f ( x)  a  a  Vậy xlim  x  x  Cho hai hàm số f(x) g(x) xác định khả vi [a,b] thoả mãn f(a) = f(b) = m (g’(x)  0), x  (a,b) CMR: Với dãy số (bn )n 1  R, bn   ,  n = 1, 2,…, cho trước tồn dãy (an ) n1  (a,b) thoả mãn lim n  f '( an )  bn g '( an ) f ( an )  m bn g '( an ) Hướng dẫn b g ( x) Với bn R ta xét hàm f n ( x )  ( f ( x)  m).e n hàm xác định khả vi [a,b] fn(a) = fn(b) = f 'n ( x)   f '( x)  bn g '( x)( f ( x )  m)  ebn g ( x ) Theo định lý Rolle cn (a,b) cho f’n(cn) =  f n '( x)  bn g '( x ) f (cn ) m bn g '( x) Chọn an = cn ta có đpcm Cho dãy số thực (xn) xác định  x1  a   xn 1  ln n  xn  2012 n  Chứng minh xn có giới hạn Phạm Thu Hiền 57 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Cho phương trình n  i  nx  i 1 CMR: Với số nguyên dương n phương trình có nghiệm dương Kí hiệu nghiệm xn Tìm giới hạn xn Chứng minh dãy sau hội tụ  a0  0; an 1   an  a1  1; an 1  , n N 2(2an  1) , n N an  Tìm lim( Phạm Thu Hiền n )  2n i 1  sin i 2n 58 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh KẾT LUẬN Bản khoá luận kết thúc với hai chương đạt nhiệm vụ đặt cho khoá luận Trong chương khoá luận nêu lên năm ứng dụng định lý hàm khả vi vào việc giải toán sơ cấp Đó hướng phát triển tiếp khoá luận Mặt khác đề tài sưu tập nhiều đề thi mang tính chất khó nên tài liệu bổ ích cho bạn thi học sinh giỏi, Olympic toán giúp cho bạn hiểu ứng dụng định lý hàm khả vi cách dễ dàng Tuy nhiên, khoá luận không tránh khỏi sai sót mong đóng góp ý kiến cho khoá luận hoàn thiện Phạm Thu Hiền 59 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Lưu Cường, Nguyễn Nam Bắc, Tô Anh Dũng, Huỳnh Bá Lân (2000), Toán Olympic cho sinh viên, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Duy, Nguyễn Văn Lộc, Vũ Văn Thoả (2003), Tuyển tập 200 thi vô địch toán, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Đễ, Hoàng Đức Chính (2001), Tuyển tập đề thi vô địch toán 19 nước có Việt Nam (sách dịch), NXB Hải phòng [4] Đề thi toán Olympic sinh viên toàn quốc (từ năm 1994 đến năm 2010) [5] Nguyễn Phụ Hy, Ứng dụng đạo hàm vào giải toán phổ thông, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2002), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [7] Phan Huy Khải (2000), 10000 toán sơ cấp - 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, NXB Hà Nội [8] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1981), Giải tích toán học, NXB Giáo dục [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 kỳ 8, NXB Giáo dục [10] Jean Marie Monier (2001), Giáo trình giải tích toán học, NXB Giáo dục Phạm Thu Hiền 60 K34A Toán [...]... K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 2.2 Ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle để giải phương trình 2.2.1 Phương pháp chung Các bài toán ở phần này có thể cho ở dạng trực tiếp hay gián tiếp song mỗi phương trình bằng các phép biến đổi tương đương ta luôn đưa được về dạng: f(x) = 0 và nếu tập xác định của f(x) là X  R thì X cũng là tập xác định của phương trình Vi c giải. .. dẫn tới xét tính liên tục, khả vi của hàm số f(x) trên X Nhờ đó vận dụng định lý Lagrange, Rolle 2.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1 Cho 3 số dương a, b, c; b  a và f(x) là hàm số xác định trên R Chứng minh rằng nghiệm của phương trình: (a  c) f ( x )  b f ( x)  a f ( x )  (b  c) f ( x) (1) nếu có cũng là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) = 1 Giải Giả sử x0  R là nghiệm của phương trình (1) nghĩa... xét: Người ta có thể sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán trên Chẳng hạn ta dùng phương pháp định lý đảo tam thức bậc hai (phương pháp này bạn đọc tự làm) Ví dụ 3 Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] và thoả mãn:  f(a) = 1 (a - b) 2  f(b) = 1 (b - a) 2  f( ab )0 2 CMR: Tồn tại các số đôi một khác nhau c1, c2, c3 (a,b) sao cho : f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 Giải Theo định lý Lagrange, c1  (a,b)... nghiệm thuộc (a,b) Ví dụ 5 Giả sử hàm số f(x) khả vi trên [0,1] và thoả mãn: f(0) = 0; f(1) = 1; 0 f(x)  1;  x R CMR: Tồn tại a, b (0,1), a  b, sao cho f’(a).f’(b) = 1 Giải Xét hàm số: g(x) = f(x) + x - 1 là hàm số khả vi trên [0,1] Khi đó: g(0) = -1, g(1) = 1 suy ra  c (0,1) sao cho g(0) = 0  f(c) + c - 1 = 0 hay f(c) = 1 - c Áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên các đoạn [0,c] và [c,1] ta được:... như sau: Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức m  f ( a )  f (b )  M với a, b, m, M R a b (a b) Thông thường ta xét hàm f(x), nếu hàm số này liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) nên theo định lý Lagrange c (a,b): f '(c )  f (b )  f ( a ) ba Vì thế ta cần chứng minh m  f’(c)  M với vi c chứng minh m  f’(c)  M sẽ đơn giản hơn Ví dụ 2 Chứng minh: ex  1 + x Giải  Nếu x = 0 thì ex =... hàm f (t )  t k  (1  t ) k  1  f '(t )  k t k 1  (1  t ) k 1   f’(t) = 0  t  1 2 Vậy theo định lý Rolle f(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm Dễ thấy t = 0, t = 1 là nghiệm Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0, x = b Phạm Thu Hiền 26 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 2.3 Ứng dụng của định lý Rolle, Lagrange chứng minh bất đẳng thức 2.3.1 Phương pháp chung Giả sử ta cần chứng... chung Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A  0 hoặc A  0 mà đại lượng tham gia vào bất đẳng thức này cần được đánh giá có liên quan đến các giá trị f(a), f(b), f(c),…, của một hàm số f(x) nào đó xác định, khả vi trên tập X  R trong đó a, b, c  X và các đoạn [a,b], [b,c], [a,c],…, bao hàm trong X Khi đó theo định lý Lagrange c1  [a,b], c2  [b,c], c3  [a,c],…, để f '(c1 )  f (b)  f (a ) ,... sơ cấp của tác giả Phan Huy Khải  Nếu cho p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R) cho a = 1 chứng minh rằng: Nếu p(x)  0 thì: F ( x)  p( x)  p (1) ( x)  p (2) ( x)  p (3) ( x)  p (4) ( x)  0 x R Đây là bài toán trong cuốn sách “200 bài toán thi vô địch” 2.1.3 .Bài tập 1 Cho f là hàm liên tục trên [a,b], f(a) = f(b) = 0 và có đạo hàm cấp hai trên đó Chứng minh: c(a,b) thì  (a,b)...  c ) (2) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) trên [c,b] và [b,a] thì  t1(c,b), t2(b,a) để f '(t1 )  f (b )  f ( c ) f ( a)  f (b) , f '(t2 )  bc ab Hiển nhiên t1  t2 và theo giả thiết bài toán ta có: f’(t2)  f’(t1) do đó (2) được chứng minh  (1) cũng được chứng minh Phạm Thu Hiền 30 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Nhận xét:  Nếu giả thiết bài toán cho f’(x)... (a,b) : f (c )  1 (c  a )(c  b)  f ''( ) 2 Hướng dẫn  Xét hàm F ( x)  f ( x)  ( x  a )( x  b) f (c ) (c  a )(c  b) thì F liên tục và khả vi trên (a,c) và (c,b) Phạm Thu Hiền 17 K34A Toán Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Theo định lý Lagrange d1 (a,c) ; d2 (c,b)  Áp dụng định lý Lagrange trên [d1,d2 cho đạo hàm F’ thì  (d1,d2) … f(c) 2 Cho (1) k a k c0k ( 2 n N, ... chọn đề tài Ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp nhằm đáp ứng yêu cầu Mục đích, yêu cầu đề tài Đề tài đưa số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp như: Chứng minh phương... nghiên cứu Nghiên cứu số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp có cách giải ví dụ cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Một số ứng dụng định lý hàm khả vi vào giải toán sơ cấp Phương pháp nghiên... CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ VỀ CÁC HÀM KHẢ VI VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Ứng dụng định lý: Lagrange, Rolle, Cauchy để chứng minh phương trình có nghiệm 2.1.1 Phương pháp chung Bài toán: