Số phức và ứng dụng trong các bài toán số học và tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG QUANG TRÀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG QUANG TRÀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Hồng Quang Trà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cúu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ LÝ THUYẾT VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 1.3 CÔNG THỨC MOA-VRƠ(MOIVRE) 1.4 DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC 1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.6 SỐ NGUYÊN PHỨC .10 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 20 2.1 BÀI TỐN TÍNH TỔNG .20 2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC 31 2.3 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 42 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN .60 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 68 3.1 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT SỐ 68 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN .84 KẾT LUẬN 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Z+ Tập hợp số nguyên dương Z[i] Tập hợp số phức nguyên R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức |X| Số phần tử tập hợp hữu hạn X S (X) Tổng tất phần tử tập hợp hữu hạn X DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ƯCLN Ước chung lớn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Số phức nội dung quan trọng lý thú Hiện nay, chương trình tốn học bậc Trung học phổ thông hầu giới có kiến thức phần số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách nội dung số phức đưa vào chương trình Giải tích 12 đơn giản bước đầu giúp học sinh tiếp cận với số phức hoàn thiện tập số Ứng dụng số phức rộng rãi khơng tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học khác Đặc biệt tốn học số học tổ hợp hai mảng lớn, khó quan trọng Việc sử dụng số phức để giải tốn số học tổ hợp, khơng giúp ta có thêm cơng cụ hiệu để giải toán mà nhiều toán giảm mức độ khó tốn Vì vậy, với đề tài luận văn : “Số phức ứng dụng toán số học tổ hợp” Luận văn sâu vào nghiên cứu ứng dụng số phức toán số học tổ hợp Mục tiêu đề tài Nêu số lý thuyết kết số phức, sâu vào nghiên cứu ứng dụng số phức toán số học tổ hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu lý thuyết số kết số phức, số học, tổ hợp Nghiên cứu ứng dụng số học toán tổ hợp Nghiên cứu ứng dụng số học toán số học Trong phần đưa vào ví dụ minh họa số toán tiêu biểu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số phức ứng dụng số phức toán số học tổ hợp Phạm vi nghiên cứu đề tài tốn số học tổ hợp dùng công cụ số phức để giải Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức Thu thập tài liệu, báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến ứng dụng số phức toán số học tổ hợp, trao đổi qua email, với chuyên gia ứng dụng số phức toán số học tổ hợp Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến ứng dụng số phức số học tổ hợp nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho quan tâm vấn đề Bên cạnh đó, luận văn đưa nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia, học sinh giỏi quốc tế nhằm làm tài liệu tham khảo cho em học sinh chuyên toán Cấu trúc luận văn Nội dung: Luận văn trình bày chương: – Chương 1: Một số lý thuyết kết – Chương 2: Ứng dụng số phức toán tổ hợp – Chương 3: Ứng dụng số phức toán số học CHƯƠNG MỘT SỐ LÝ THUYẾT VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Định nghĩa 1.1 Số phức biểu thức dạng a + bi a, b ∈ R số i thỏa mãn i2 = −1, kí hiệu z = a + bi * Với số phức z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, ký hiệu Re z b gọi phần ảo (ký hiệu Im z) Phần ảo phần thực số phức số thực Tập hợp số phức kí hiệu C * Mỗi số thực a coi số phức có phần ảo 0, nghĩa z = a + bi = a ∈ R * Số phức có phần thực gọi số ảo (còn gọi ảo) z = + bi = bi (b ∈ R ); i = + i * Biểu thức (a; b) = a + bi gọi dạng đại số hay dạng Descartes số phức * Xét mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a, b) Số thực biểu diễn trục Ox nên trục Ox gọi trục thực; số ảo biểu diễn trục Oy nên trục Oy gọi trục ảo Mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Định nghĩa 1.2 Hai số phức z = a + bi, z = a + b i(a, b, a , b ∈ R) ⇔ a = a ; b = b , z=z 1.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC dạng lượng giác Dạng lượng giác số phức z = kí hiệu z = r(cos ϕ + i sin ϕ), 1.2.1 Số phức (1.1) với r > 0, ϕ acgumen z, xác định số đo góc lượng giác với tia đầu tia Ox, tia cuối tia OM (M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức) Argumen số phức z đo radian, argumen z sai khác k2π tức có dạng ϕ + k2π(k ∈ Z) Ta có z = a + bi ⇔ z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , √ b a r = a2 + b2 ; cos ϕ = ; sin ϕ = r r Với z = a + bi (a, b ∈ R) dạng đại số số phức z 1.2.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) với r, r Khi z.z = r.r [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] ; z r = [cos(ϕ − ϕ ) + i sin(ϕ − ϕ )], (r = 0) z r Nhận xét 1.1 Để tìm dạng lượng giác r(cos ϕ + i sin ϕ) số phức z = a + bi (a, b ∈ R) khác cho trước ta phải √ a) Tìm r: r = |z| = a2 + b2 , (r = OM ) b) Tìm ϕ: acgumen z(ϕ ∈ R), cho cos ϕ = (Ox,OM) a b sin ϕ = , ϕ =sđ r r Nhận xét 1.2 *Muốn nhân số phức dạng lượng giác, ta nhân môđun cộng acgumen * Muốn chia số phức dạng lượng giác ta chia môđun lấy hiệu acgumen * Nếu điểm M, M theo thứ tự biểu diễn số phức z, z = z acgumen số đo góc lượng giác (OM, OM ) z 1.3 CƠNG THỨC MOA -VRƠ (MOIVRE) Có thể nói cơng thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Để đến với công thức Moivre tổng quát, trước hết ta xét số công thức sau (cos x + i sin x) (cos y + i sin y) = cos (x + y) + i sin (x + y) Thật vậy, (cos x + i sin x) (cos y + i sin y) = cos x cos y + i2 sin x sin y + (sin x cos y + cos x sin y) i Thay i2 = −1 vào, ta có (cos x + i sin x) (cos y + i sin y) = = (cos x cos y − sin x sin y) + (sin x cos y + cos x sin y) i = cos (x + y) + i sin (x + y) Cho x = y vào công thức, ta thu (cos x + i sin x)2 = cos 2x + i sin 2x (cos x + i sin x)3 = (cos x + i sin x)2 (cos x + i sin x) = (cos 2x + i sin 2x) (cos x + i sin x) = cos 3x + i sin 3x Quy nạp lên ta có cơng thức Moivre ứng với r = (cosϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ (n ∈ N∗ ) Hay tổng quát hơn, cho số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ), [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)(n ∈ N∗ ) (1.2) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học Với n = 1: (1.2) Giả sử (1.2) đến n = k ( k ∈ N∗ ), tức z k = [r (cosϕ + i sin ϕ)]k = rk (cos kϕ + i sin kϕ) Ta chứng minh (1.2) n = k + 1, tức z k+1 = [r (cosϕ + i sin ϕ)]k+1 = rk+1 (cos (k + 1) ϕ + i sin (k + 1) ϕ) (1.3) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có 88 nπ (n + 1) π yn = xn − xn+1 = cos − cos 2 3 (n + 1) π nπ − cos = cos 3 √ nπ nπ nπ = cos −2 cos − sin 3 √ nπ = sin nπ Suy yn = √ sin 3 nπ nπ Vậy xn = cos yn = √ sin 3 Bài tốn 3.27 Tìm số hạng tổng qt xn dãy số (xn ) thỏa xn−1 + , ∀n ≥ xn = −xn−1 + x0 = Giải Xét hệ phương trình   y = 2, z0 =   yn = yn−1 + zn−1    zn = −yn−1 + zn−1 Từ hệ suy yn = yn−1 + zn−1 = yn−1 − yn−2 + zn−2 = yn−1 − yn−2 + yn−1 − yn−2 = 2yn−1 − 2yn−2 với y1 = y0 + z0 = Vậy yn = 2yn−1 − 2yn−2 , y0 = 2, y1 = (*) (*) có phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + = có hai nghiệm phức liên hợp 1±i= √ 1±i √ = √ π π cos ± i sin 4 89 Nghiệm tổng quát (*) có dạng yn = √ n A.cos nπ nπ + B sin 4 Thay y0 = 2, y1 = vào, ta có: y0 = A = √ π π y1 = 2.cos + B sin =3⇔B=1 4 √ n nπ nπ 2.cos Vậy yn = + sin 4 Từ hệ cho suy zn = yn+1 − yn √ n+1 √ n (n + 1) π (n + 1) π nπ nπ = − 2 cos + sin 2 cos + sin 4 4 √ n+1 nπ π nπ π π nπ π nπ 2 cos = cos − sin sin cos + cos sin + sin 4 4 4 4 √ n nπ nπ 2 cos − + sin 4 √ n nπ nπ cos − sin = 4 √ n √ n nπ nπ nπ nπ Vậy yn = 2.cos + sin zn = cos − sin 4 4 Vậy số hạng tổng quát xn nπ nπ cos + sin yn 4 xn = = nπ nπ zn cos − sin 4 nπ + tan = tan nπ + a = nπ − tan với = tan a Bài toán 3.28 a) Chứng minh số phức z thỏa mãn z + với số nguyên dương n ta có zn + = 2cosnϕ zn = 2cosϕ (ϕ ∈ R) z 90 b) Chứng minh đa thức z sau (cosα + z sin α)n − cos nα − z sin nα với (α ∈ R cho trước) chia hết cho đa thức z2 + 1(n ≥ 2) c) Chứng minh đa thức z sau z n sin α − ρn−1 z sin nα + ρn sin(n − 1)α (ρ, α ∈ R cho trước) chia hết cho đa thức z2 − 2ρzcosα+ρ2 (n ≥ 2) Giải a) Cách Phương trình cho viết lại z − 2(cosϕ)z + = Phương trình có hai nghiệm z1 = cosϕ + i sin ϕ, z2 = cosϕ − i sin ϕ z1n = cos nϕ + i sin nϕ 1 = cos nϕ − i sin nϕ = n z1 cos nϕ + i sin nϕ ⇒ z1n + n = cos nϕ z1 n z2 = cos nϕ − i sin nϕ 1 = = cos nϕ + i sin nϕ z2n cos nϕ − i sin nϕ ⇒ z2n + n = cos nϕ z2 Vậy : z n + n = cos nϕ z Cách Phương pháp quy nạp Giả sử công thức đến n, ta chứng minh công thức với n+1, Ta có 1 1 z n+1 + n+1 = z n + n z+ − z n−1 + n−1 z z z z = cos nϕ.2 cos ϕ − cos (n − 1) ϕ = [2 cos nϕ cos ϕ − cos (n − 1) ϕ] = [cos (n + 1) ϕ + cos (n − 1) ϕ − cos (n − 1) ϕ] = cos (n + 1) ϕ 91 b) Đặt P (z) = (cosα + z sin α)n − cos nα − z sin nα Ta có z + = ⇔ z = ±i Xét P (i) = (cosα + i sin α)n − cos nα − i sin nα = cos nα + i sin nα − cos nα − i sin nα = Vậy i nghiệm P (z) = P (−i) = (cosα − i sin α)n − cos nα + i sin nα = (cos(−α) + i sin(−α))n − cos nα + i sin nα = cos nα − i sin nα − cos nα + i sin nα = Vậy −i nghiệm P (z) = Từ đa thức P(z) chia hết cho đa thức z2 + 1(n ≥ 2) c) Có thể coi ρ = 0, Đặt Q(z) = z n sin α − ρn−1 z sin nα + ρn sin(n − 1)α Xét phương trình theo z: z2 − 2ρzcosα+ρ2 = Phương trình có hai nghiệm z1,2 = ρ (cosα ± i sin α) Với z = z1 = ρ (cosα + i sin α) vào đa thức Q(z) [ρ (cosα + i sin α)]n sin α − ρn−1 (ρ (cosα + i sin α)) sin nα + ρn sin (n − 1) α = ρn [(cosnα + i sin nα) sin α − (cosα + i sin α) sin nα + sin (n − 1) α] (cosnα sin α − cosα sin nα) + = ρn i (sin α sin nα − sin α sin nα) + sin (n − 1) α = ρn [sin (1 − n) α + sin (n − 1) α] = Vậy z1 nghiệm Q(z) = Tương tự ta có z2 nghiệm Q(z) = Từ đa thức Q(z) chia hết cho đa thức z2 − 2ρzcosα+ρ2 (n ≥ 2) Nhận xét 3.7 Với ρ = ta có tốn sau Bài tốn 3.29 (Rumani,1962) Chứng minh với số tự nhiên n lớn số thực α thỏa mãn sin α = đa thức xn sin α − x sin nα + sin (n − 1) α chia hết cho đa thức x2 − 2xcosα + Bài toán 3.30 (New York,1973; Bỉ, 1981)Chứng minh với giá trị n ∈ N, đa thức P (x) = (x + 1)2n+1 + xn+2 chia hết cho đa thức 92 Q (x) = x2 + x + Giải Các nghiệm Q (x) = x2 + x + : √ đa thức√ −1 + i −1 − i x1 = , x2 = 2 Vì x1 , x2 hai số phức liên hợp nên ta cần tìm n cho P (x2 ) = (khi P (x1 )sẽ 0) Ta có √ 2π 2π x2 = − + i = cos + i sin 2√ 3 π π x2 + = + i = cos + i sin 2 3 π π 2n+1 2π n+2 2π P (x2 ) = cos + i sin + cos + i sin 3 3 (2n + 1) π (n + 2) 2π (n + 2) 2π (2n + 1) π + i sin + cos + i sin = cos 3 3 π 2nπ 5π π 2nπ 5π + cos − + sin + cos − i = cos 6 Vậy P (x2 ) = 0, với n ∈ N Hay nói cách khác, đa thức P (x) chia hết cho đa thức Q (x) với n ∈ N Bài tốn 3.31 Tìm số tự nhiên n cho đa thức P (x) = (x + 1)n − xn − chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + x + Giải Các nghiệm đa thức Q(x) = x2 + x + : √ √ −1 − i −1 + i x1 = , x2 = 2 Vì x1 , x2 hai số phức liên hợp nên ta cần tìm n cho P (x2 ) = (khi đóP (x1 )sẽ 0) Ta có √ 2π 2π x2 = − + i = cos + i sin 2√ 3 π π x2 + = + i = cos + i sin 2 3 93 π π n 2π 2π n P (x2 ) = cos + i sin − cos + i sin −1 3 3 nπ nπ 2nπ 2nπ = cos + i sin − cos − i sin −1 3 3 nπ 2nπ nπ 2nπ = cos − cos − + i sin − i sin 3 3  nπ nπ 2nπ nπ    cos  cos − cos −1=0 − 2cos =0 3 3 P (x2 ) = ⇔ ⇔ nπ nπ    sin nπ − sin 2nπ =  sin − 2cos =0 3 3 nπ ⇔ − 2cos = ⇔ n = 6k ± (k ∈ Z) 3n Vậy đa thức (x + 1) − xn − chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + x + n nguyên dương có dạng n = 6k + n = 6k − với k ∈ Z Bài toán 3.32 Chứng minh với ba số nguyên không âm m, n, k đa thức P (x) = x3m +x3n+1 +x3k+2 chia hết cho đa thức Q(x) = x2 +x+1 Giải Các nghiệm đa thức Q(x) = x2 + x + : √ √ −1 − i −1 + i x1 = , x2 = 2 2π 2π 3m 2π 2π + cos + i sin P (x2 ) = cos + i sin 3 3 2π 2π + cos + i sin 3 3n+1 3k+2 = cos2πm + i sin 2πm + (cos2πn + i sin 2πn) cos 2π 2π + i sin 3 2π 2π + (cos2πk + i sin 2πk) cos + i sin 3 √ 4π 4π =1+ − + i + cos + i sin 2 3 √ √ 1 3 =1+ − + i− − i=0 2 2 Vậy x2 nghiệm P(x) nên x1 = x2 nghiệm P(x) nên P(x) chia hết cho Q(x) với ba số nguyên không âm m, n, k 94 Bài toán 3.33 (Mỹ,1976) Chứng minh P(x), Q(x), R(x) S(x) đa thức P x5 + xQ x5 + x2 R x5 = x4 + x3 + x2 + x + S (x) , (3.9) x − ước P(x) Giải Ta cần chứng minh P (1) = Xét phương trình x5 = ⇔ x5 − = có nghiệm k2π k2π xk = cos + i sin , k = 0, 5 Gọi x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm phức phương trình Suy x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm phương trình x4 + x3 + x2 + x + = Ta có x5k = 1, k = 1, x4k + x3k + x2k + xk + = 0, k = 1, Thế x1 , x2 , x3 , x4 vào (3.10), ta có   P x51 + x1 Q x51 + x21 R x51 =      P x5 + x2 Q x5 + x2 R x5 = 2 2 5  P x3 + x3 Q x3 + x3 R x3 =      P x54 + x4 Q x54 + x24 R x54 = hay P (1) + xk Q (1) + x2k R (1) = 0, k = 1, Vậy xk , k = 1, nghiệm phương trình P (1) + xQ (1) + x2 R (1) = Vế trái có bậc cao hai lại có nghiệm khác nên suy P (1) = Q(1) = R(1) = Vậy x = nghiệm P(x) hay P(x) chia hết cho x − (điều phải chứng minh) Bài toán 3.34 a) Cho m n số nguyên dương phân biệt Chứng minh tồn 95 vô hạn ba số nguyên dương (x, y, z) cho x2 + y = m2 + n2 z b) Chứng minh phương trình x2 + y = 132 có vơ hạn nghiệm ngun dương Giải Lấy k số nguyên dương bất kì, xét khai triển k k Ckj mk−j (ni)j = (m + in) = j=0 = Ck0 mk + Ck1 mk−1 in + Ck2 mk−2 (in)2 + + Ckk (in)k Ta có   j = 4l      i j = 4l + j i =  − j = 4l +      − i j = 4l + Vậy (m + in)k = Ck0 mk − Ck2 mk−2 n2 + Ck4 mk−4 n4 − Ck6 mk−6 n6 + + i Ck1 mk−1 n − Ck3 mk−3 n3 + Ck5 mk−5 n5 − = Ak + iBk , Với Ak , Bk số nguyên Lấy modun hai vế ta có (m + in)k = A2k + Bk2 k mà (m + in)k = |(m + in)|k = m2 + n2 Vậy m2 + n2 k = A2k + Bk2 Nên (|Ak | , |Bk | , k) nghiệm phương trình cho Mà k ∈ Z+ nên ứng với giá trị k = k0 ta nghiệm (|Ak0 | , |Bk0 | , k0 ).Vì có vơ hạn ba số nguyên dương (x, y, z) z cho x2 + y = m2 + n2 b) Đây trường hợp ứng với m = 2, n = câu a Bài tốn 3.35 Tính 1 1 1 A= + + ; B = + + π π 2π 3π 2π 3π 4 6 cos4 cos6 cos cos cos cos 7 7 7 96 1 + + , ∀n ≥ π 2π 3π 2n 2n 2n cos cos cos 7 nguyên dương chia hết cho Giải π π Theo công thức Moivre ta có cos + i sin = −1 7 π Đặt x = cos Vậy x thỏa mãn 64x7 − 112x5 + 56x3 − 7x + = hay Từ chứng minh dãy un = (x + 1)(8x3 − 4x2 − 4x + 1)2 = 2π 3π Do x = nên 8x3 − 4x2 − 4x + = Tương tự cos , cos 7 1 nghiệm phương trình Đặt y1 = , y = , y = , π 3π 5π 2 cos2 cos cos 7 ta có 8x3 − 4x2 − 4x + = ⇔ y − 24y + 80y − 64 = Khi y1 , y2 , y3 nghiệm phương trình Khi  2 2  2      +  +   = π 2π 3π 2 cos cos cos 7 y12 + y22 + y32 = (y1 + y2 + y3 )2 − (y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 ) = 242 − 2.80 = 416 B = y13 + y23 + y33 = (y1 + y2 + y3 ) y12 + y22 + y32 − y1 y2 − y2 y3 − y3 y1 + 3y1 y2 y3 = 24 (416 − 80) + 3.64 = 8256 Ta có un = y1n + y2n + y3n với n nguyên dương u1 = y1 + y2 + y3 = 24 nên chia hết cho u2 = A = 416 nên chia hết cho u3 = B = 8256 nên chia hết cho Theo định lí Vi-et ta có   y + y2 + y3 = 24   y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = 80    y1 y2 y3 = 64  A=  97 Và công thức truy hồi dãy un+3 = 24un+2 − 80un+1 + 64un , ∀n ∈ N∗ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh dãy un nguyên dương chia hết cho Nhận xét 3.8 Nếu dùng cơng thức + tan2 x = toán cos2 x giải π π + i sin = −1, ta cân 7 phần ảo tốn liên quan đến hàm sin Nhận xét 3.9 Nếu từ đẳng thức cos BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài toán 3.36 Chứng minh đa thức (x + 1)4n+2 + (x − 1)4n+2 chia hết cho đa thức x2 + với số tự nhiên n Bài tốn 3.37 Tìm giá trị a b để đa thức P (x) = a.xn+1 +b.xn +1 chia hết cho (x − 1)2 Bài tốn 3.38 Tìm số ngun dương n cho đa thức x2n − xn + chia hết cho đa thức x2 − x + Bài toán 3.39 Cho dãy số xn xác định x0 = 0, x1 = 6, x2 = −2, xn = −xn−1 + 2xn−3 , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm cơng thức tổng qt tính xn Bài tốn 3.40 Tìm số nguyên dương n cho đa thức (x − 1)n − xn + chia hết cho đa thức x2 − x + Bài tốn 3.41 Có tồn hay không số nguyên dương n cho đa thức (x + 1)2n + (x − 1)2n − 2x2n chia hết cho đa thức x4 − Bài toán 3.42 Hãy tìm số tự nhiên n cho P (x) = x4n − x3n + x2n − xn − chia hết cho đa thức P (x) = x4 − x3 + x2 − x + 98 Bài tốn 3.43 Hãy tìm số tự nhiên n cho đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x): a)P (x) = x2n + xn + 1, Q (x) = x2 + x + 1; b)P (x) = (x − 1)n − xn − 1, Q (x) = x2 − x + 1; c)P (x) = xn + (x − 2)n , Q (x) = x2 − 2x + 2; d)P (x) = x2n + xn + 1, Q (x) = x4 + x2 + 1; e)P (x) = 3n (1 − x)n − (1 + x)2n , Q (x) = x2 − x + 1; 1 + + π 3π 5π 6 sin6 sin sin 7 1 Bài toán 3.45 Cho dãy số un = + + ∀n ∈ N 2π 4π 8π cosn cosn cosn 7 Chứng minh dãy số (un ) nhận giá trị nguyên chia hết cho 32 với n 1 Bài toán 3.46 Cho dãy số un = + , ∀n ∈ N + π 3π 5π n n n cos cos cos 7 Chứng minh dãy số (un ) nhận giá trị nguyên chia hết cho 32 với n Bài toán 3.44 Tính A = Bài tốn 3.47 Cho dãy số xn xác định x0 = 1, x1 = 2, xn+1 = xn − xn−1 , ∀n = 1, 2, Tìm cơng thức tổng qt tính xn Bài toán 3.48 Cho dãy số xn xác định x0 = 4, x1 = 2, xn = 2xn−1 − 2xn−2 , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm cơng thức tổng qt tính xn Bài tốn 3.49 Cho dãy số xn xác định x0 = 13, x1 = 1, x2 = −7, xn = xn−1 − xn−2 + xn−3 , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm cơng thức tổng qt tính xn Bài tốn 3.50 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn ) thỏa xn − , ∀n ≥ xn + x0 = xn = 99 Bài toán 3.51 Cho p số nguyên tố, p > Khi đó, với số tự nhiên p−1 thỏa (a, p) = 1, ta có: n2 + a2 = (modp) với p = 4k + n=1 p−1 n=1 n2 + a2 = với p = 4k + (modp) 100 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu, luận văn SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Luận văn nghiên cứu đầy đủ ứng dụng số phức số học tổ hợp Qua ví dụ lựa chọn kĩ càng, luận văn trình bày nhiều dạng toán liên quan đến ứng dụng số phức số học tổ hợp Qua đó, phần thể tính ưu việt số phức việc giải toán Tuy nhiên, với mảng đề tài rộng, khn khổ luận văn có giới hạn nên có phần trình bày với số ví dụ áp dụng tiêu biểu Tác giả hi vọng luận văn tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm đến vấn đề • Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán cấp ba, em học sinh giỏi toán cấp ba, đối tượng quan tâm đến ứng dụng số phức số học tổ hợp Bên cạnh đó, phần khơng thể thiếu luận văn đề cập đến nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia, học sinh giỏi quốc tế • Mảng kiến thức số học tổ hợp rộng khó Câu hỏi đặt ta khai thác hết tính ưu việt số phức để giải toán số học tổ hợp chưa Tác giả cố gắng, tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu thời gian tới 101 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Việt Anh (2012), "Sử dụng số phức để giải toán tổ hợp", Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học, Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, tr 149 -158 [2] Nguyễn Văn Dũng (2010), Phương pháp giải toán số phức ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia HN [3] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Bài tập nâng cao số chuyên đề Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phương, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, HN [5] Nguyễn Văn Mậu (2006), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, Nhà xuất Giáo dục, HN [6] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, Nhà xuất Giáo dục, HN [7] Lê Hồnh Phị (2010), Chun khảo đa thức, NXB Đại học Quốc gia TPHCM [8] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp, Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, HN [9] Lê Xuân Trường (2008), Số Phức ứng dụng chiến lược giải toán bậc THPT, Luận văn thạc sỹ khoa học, Đại học ĐN [10] Võ Thanh Văn (chủ biên), T.S Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang, Chuyên đề ứng dụng số phức giải toán THPT, Nhà xuất Đại học Sư phạm TPHCM 102 [11] Nguyễn Chu Gia Vượng, "Các số ngun Gauss", Thơng tin Tốn học, 15 (1), tr 21-27 ... .20 2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC 31 2.3 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 42 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN .60 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC ... mà nhiều toán giảm mức độ khó tốn Vì vậy, với đề tài luận văn : ? ?Số phức ứng dụng toán số học tổ hợp? ?? Luận văn sâu vào nghiên cứu ứng dụng số phức toán số học tổ hợp Mục tiêu đề tài Nêu số lý thuyết... ứng dụng số học toán tổ hợp Nghiên cứu ứng dụng số học toán số học Trong phần đưa vào ví dụ minh họa số tốn tiêu biểu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số phức ứng dụng số