Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG THU HOI O HM TIP LIấN BC HAI V NG DNG TRONG CC BI TON TI U LUN VN THC S TON HC H NI, 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG THU HOI O HM TIP LIấN BC HAI V NG DNG TRONG CC BI TON TI U Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS NGUYN QUANG HUY H NI, 2017 LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca lun vn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS TS Nguyn Quang Huy, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun Cui cựng, tụi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, giỳp v to iu kin v mi mt quỏ trỡnh hc tụi hon thnh bn lun ny H Ni, ngy 01 thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Dng Thu Hoi LI CAM OAN Di s hng dn ca PGS TS Nguyn Quang Huy, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti o hm tip liờn bc hai v ng dng cỏc bi toỏn ti u c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca bn thõn, khụng trựng vi bt c lun no khỏc Trong nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy 01 thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Dng Thu Hoi BNG Kí HIU R s thc Rn khụng gian Euclide n chiu Y khụng gian tụ pụ i ngu ca Y C+ nún i ngu khụng õm ca nún C rng gph F th ca F dom F hu hiu ca F epi F trờn th ca F AìB tớch Descartes ca hai hp A v B x vi mi x A := B A c nh ngha bng B int S phn ca S cl S bao úng ca S cone S bao nún ca S x, y 0X tớch vụ hng ca x v y im gc ca X Mc lc M u 1 o hm tip liờn bc hai 1.1 Tp tip liờn bc hai 1.2 o hm tip liờn bc hai 1.3 Tớnh cht ca o hm tip liờn bc hai 11 iu kin ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai 15 2.1 iu kin cn ti u 16 2.2 iu kin ti u 30 Kt lun 32 Ti liu tham kho 33 M U Lý chn ti Trong na th k qua, bi toỏn ti u a tr c quan tõm rng rói v cỏc khỏi nim khỏc v o hm ó c xut v ỏp dng thit lp cỏc iu kin ti u Vic a iu kin cn v ti u FritzJohn cho bi toỏn ti u a tr l mt bc tin ln nghiờn cu i vi lp bi toỏn ny Gn õy, iu kin ti u bc hai cho bi toỏn ti u vộc t v vụ hng ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Trong cỏc nghiờn cu v iu kin ti u bc hai cho bi toỏn ti u vộc t v vụ hng, d nhn thy rng tip liờn bc hai c gii thiu bi Aubin [2] v nún tip liờn tim cn bc hai c gii thiu bi Penot [17] cú vai trũ quan trng Theo [7], Gutiộrrez v ng tỏc gi ó xut khỏi nim mi v o hm bc hai theo hng, nú tỏch bit c khỏi nim o hm tim cn Hadamard v o hm tim cn Dini ca hm mc tiờu, t ú thit lp cỏc iu kin cn v ti u thụng qua tip liờn bc hai v nún tip liờn tim cn bc hai i vi chp nhn c Jimộnez v Novo [13] ó nghiờn cu v iu kin cn v ti u bc hai cho bi toỏn ti u vộc t theo quan im ca tip liờn bc hai v nún tip liờn tim cn bc hai H cng tho lun v iu kin cn ti u bc hai Firtz- John vi u im ca iu kin chớnh quy mờ tric cú hng v iu kin hn ch rng buc bc hai Nh vy, o hm tip liờn cho ỏnh x a tr ln u tiờn c gii thiu bi Aubin [1] v thng c s dng biu th iu kin ti u bc nht cho bi toỏn ti u a tr Tuy nhiờn, iu kin cn v iu kin cho bi toỏn ti u a tr vi chp nhn c (xem [5, 16]) l khụng thng nht di iu kin chun gii quyt bi toỏn ny, Jahn v Rauh [12] ó xut khỏi nim trờn o hm tip liờn cho ỏnh x a tr v ng dng nú thit lp s thng nht gia iu kin cn v nhng s tn ti ca trờn o hm tip liờn cho ỏnh x a tr l mt cõu hi m Theo quan im ca Chen v Jahn [4] khỏi nim trờn o hm tip liờn suy rng cho ỏnh x a tr ó thit lp c s thng nht gia iu kin cn v ti u i vi cỏc bi toỏn ti u a tr m chp nhn c c nh ngha bi bt ng thc, iu kin ti u bc nht luụn c thit lp bng vic s dng quy tc toỏn t Lagrange tng quỏt di iu kin chớnh quy thớch hp Trong [5], Corley thit lp iu kin cn ti u bc nht Fritz- John bng cỏch s dng khỏi nim o hm c nh ngha iu kin ca nún tip tuyn Găotz v Jahn [6] m rng khỏi nim quy tc toỏn t Lagrange cho bi toỏn ti u a tr rng buc bng cỏch s dng khỏi nim trờn o hm tip liờn ng thi, h nhn c iu kin cn ti u Karush- Kuhn- Tucker, ú cng l iu kin di gi thit tớnh li suy rng Trong [10], Jahn v Khan m rng quy tc toỏn t Lagrange v gi l iu kin chớnh quy Kurcyusz- RobinsonZowe bng cỏch s dng khỏi nim ca trờn o hm tip liờn suy rng v trờn o hm tip liờn yu ca ỏnh x a mc tiờu H cng thit lp iu kin cn v ti u cho cỏc khỏi nim ti u khỏc bi toỏn ti u a tr Tuy nhiờn, iu kin ti u bc hai cho bi toỏn ti u a tr cn phi c gii quyt Trong [11], Jahn v ng tỏc gi xut khỏi nim trờn o hm tip liờn bc hai v trờn o hm tip liờn bc hai suy rng cho ỏnh x a tr ng thi ng dng cỏc khỏi nim ny thit lp iu kin ti u bc hai Li v ng tỏc gi [15] tỡm hiu mt vi tớnh cht ca tip tuyn bc cao v o hm bc cao c gii thiu [2], t ú thu c iu kin cn v ti u bc cao cho bi toỏn ti u a tr vi chp nhn c tng quỏt H cng thit lp iu kin cn v ti u Fritz- John bc cao cho bi toỏn ti u a tr vi chp nhn c c xỏc nh bi ỏnh x a tr Sau ú, Li v Chen [14] gii thiu trờn o hm tip liờn suy rng bc cao v trờn o hm lin k suy rng bc cao ca ỏnh x a tr, thit lp iu kin cn v ti u Fritz- John bc cao cho nghim hu hiu Henig ca bi toỏn ti u a tr rng buc Tuy nhiờn, trng hp tng quỏt o hm bc hai c nh ngha theo tip liờn bc hai ch l úng v khụng l nún Thm tip liờn bc hai l khụng li mc dự m chỳng ta xem xột l li Do ú so sỏnh vi o hm bc nht ó bit, cu trỳc ca o hm bc hai l cha y Trờn c s cỏc nghiờn cu ca mỡnh thỡ Zhu v ng tỏc gi [18] gii thiu v o hm tip liờn bc hai cho ỏnh x a tr, mi liờn h ca nú vi o hm tip liờn bc hai ó c bit n bi Aubin [2] v thu c mt s tớnh cht c bit u im ca o hm tip liờn bc hai theo ngha ca Zhu v ng tỏc gi l m rng c quy tc toỏn t Lagrange ó bit v iu kin chớnh quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bc hai cho bi toỏn ti u a tr cú rng buc, ng thi cng thu c iu kin cn v ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai cho bi toỏn ti u a tr vi chp nhn c c xỏc nh bi ỏnh x a tr di iu kin chớnh quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bc hai suy rng Hn na, iu kin ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai c khỏi quỏt v ci tin kt qu tng ng cho trờn o hm tip liờn [6] ti lun o hm tip liờn bc hai v ng dng cỏc bi toỏn ti u vi mc ớch nghiờn cu v cỏc khỏi nim v cỏc kt qu ó t c ca bi bỏo trờn Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu o hm tip liờn bc hai cho hm a tr khụng gian tuyn tớnh nh chun thc Nghiờn cu ng dng ca o hm tip liờn bc hai ú i vi s tn ti cc tiu (yu) ca bi toỏn giỏ tr ti u Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu khỏi nim v tớnh cht ca o hm tip liờn bc hai cho hm a tr khụng gian tuyn tớnh nh chun thc Nghiờn cu s tn ti cc tiu (yu) ca bi toỏn giỏ tr ti u i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: o hm tip liờn bc hai + Phm vi nghiờn cu: Nghiờn cu khụng gian tuyn tớnh nh chun thc: khỏi nim, tớnh cht, ng dng Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu i s tuyn tớnh, gii tớch a tr, gii tớch li v lý thuyt ti u úng gúp ca lun H thng húa cỏc tớnh cht, kt qu v o hm tip liờn bc hai cho hm a tr khụng gian tuyn tớnh nh chun thc v kh nng ng dng ca chỳng i vi s tn ti cc tiu (yu) ca bi toỏn giỏ tr ti 20 Do n + n + v vi mi n N, kn + k +, tn ti N2 N cho n > 1, n N2 , v cng nh vy, vi mi n N2 , tn ti K2 (n) N cho n kn 1 > 0, n kn 1, k K2 (n), tc l, n N2 , k K2 (n) Kt hp vi (2.15) v z D ta cú n max (N1 , N2 ) , k max (K1 (n) , K2 (n)) , n kn D int D znk z int D = int D (2.19) Khi ú, t (2.17) v (2.19) ta suy rng n max (N1 , N2 ) , k max (K1 (n) , K2 (n)) , z kn znk D int D D = int D (2.20) Do vi mi n N, xkn S v xkn x k +, ta cú vi mi n N v vi mi lõn cn U ca x, tn ti K3 (n) N cho xkn U S, k K3 (n) Cựng vi z kn G xkn v (2.20), ta cú z kn G xkn (D) , xkn U S, n max (N1 , N2 ) , k max (K1 (n) , K2 (n) , K3 (n)) , tc l, xkn E U Hn na, t y kn F xkn v (2.18) ta c F xkn ({y} int C) = , n N1 , k K1 (n) Nh vy, ta kt lun rng vi mi lõn cn U ca x, tn ti xkn E U vi n max (N1 , N2 ) , k max (K1 (n) , K2 (n) , K3 (n)) cho F xkn ({y} int C) = iu ny mõu thun vi gi thit rng (x, y) l cc tiu (yu) a phng ca (P) Bc 3: Ta s dng nh lớ tỏch chng minh phn th nht ca nh lớ T bc v bc ta cú M l li v tha tớnh cht (2.5) 21 Theo nh lớ tỏch cho cỏc li, tn ti cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc Y v Z vi (, à) = (0Y , 0Z ) v mt s thc cho (y)+à (z) < (y)+à (z) vi mi y int C, z int D, (y, z) M (2.21) T (y, z) (int C) ì (int D) v (2.21) ta suy rng (y) + (z) 0, (y, z) (int C) ì (int D) (2.22) v (y) + (z) 0, (y, z) M (2.23) Khi ú, t (2.22) ta cú (y) 0, y int C, (z) 0, z int D v Hn na, vỡ C v D l li nờn C cl C = cl int C v D cl D = cl int D Do ú, C + v D+ Vỡ im gc (0X , (0Y , 0Z )) T (T (gph (F + C, G + D) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) v x S , (0Y , 0Z ) M (0Y , z) ta ly x = x Vỡ th, (0Y , z) M Cựng vi (2.23), ta cú (z) ng thi, vỡ D+ v z D nờn (z) Do ú (z) = Nh vy, kt hp nh ngha ca M v (2.23) ta nhn c (y) + (z) 0, vi mi (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) v vi x S Vy phn th nht ca nh lý c chng minh Bc 4: Cui cựng ta chng minh rng = 0Y vi iu kin chớnh quy (2.3) Ly tựy ý z Z Khi ú tn ti x S , z D v cỏc s thc khụng õm , cho z = z + (z + z) (2.24) 22 ú (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) ( (x x)) Gi s rng = 0Y Bõy gi, ta xột hai trng hp ca Trng hp 1: Nu = thỡ (y) + (z) 0, vi mi (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (0X ) ta ly x = x (2.2) Khi ú, t (2.1), (2.2) v (2.24) ta cú (z) = (z) + (z + z) = (z) + (z) + (z) Vỡ z Z l tựy ý nờn (z) 0, z Z Nh vy = 0Z iu ny mõu thun vi gi thit (, à) = (0Y , 0Z ) Trng hp 2: Nu > 0, vỡ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) l thun nht dng nghiờm ngt theo nh lớ 1.1 nờn (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) ((x x)) Khi ú, tn ti ( y , z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) cho (y, z) = ( y , z) Do ú, t (2.1), (2.2) v (2.24) ta cú th kt lun rng (z) = (z) + (z + z) = ( z ) + (z) + (z) Vi lp lun tng t nh trng hp 1, ta cú = 0Z iu ny cng mõu thun vi gi thit (, à) = (0Y , 0Z ) Nh vy nh lớ c chng minh Nhn xột 2.1 T vic ta thu c iu kin cn ti u Karush- KuhnTucker bc hai cho cc tiu (yu) a phng ca bi toỏn (P) di iu 23 kin chớnh quy, v mt cc tiu (yu) cng c gi l cc tiu (yu) a phng, nh lý 2.1 c phỏt trin t nh lý 6.1 vi m=2 [15] Vớ d sau minh cho nh lý 2.1 Vớ d 2.1 Ly X = Y = Z = R, S = [1, 1] X v C = D = R+ Gi F : S 2Y vi F (x) = y Y | x2 y , v G : S 2Z vi G (x) = {z Z | 2x z 1} D dng thy rng F v G ln lt tng ng l hai ỏnh x a tr R+ li trờn li S Xột bi toỏn ti u a tr cú rng buc (P ): (P ) F (x) , cho x S, G (x) (D) = Ta cú E = {x S | G (x) (D) = } = {x [1, 1] | [2x 1, 1] (R+ ) = } = 1, , v F (E) = F (x) = [0, 1] xE Ly (u, (v, w)) = (1, (0, 1)) X ì (C) ì (D) v (x, y) = (0, 0) Khi ú, ta cú x E , y F (x) v F (E) ({y} int C) = Do ú, (x, y) l cc tiu yu a phng ca bi toỏn (P ) T nh ngha ca F v G ta nhn c epi (F, G) = (x, (y, z)) R ì R2 | y x2 , z 2x 1, x Chỳ ý rng G (x) (D) = [1, 1] (R+ ) = [1, 0] Theo nh ngha 1.1 ta cú {(x, (y, z)) R ì R2 | x R, y 0, z R} , nu < z T (epi (F, G) , (x, (y, z))) = {(x, (y, z)) R ì R2 | x R, y 0, z 2x} , nu z = 24 T nh ngha 1.1 v nh ngha 1.6 ta c T (T (epi (F, G) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) = (x, (y, z)) R ì R2 | x R, y 0, z R , vi mi z v D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) = (y, z) R2 | y 0, z R , vi mi z 1, x S Vỡ th, iu kin chớnh quy (2.3) z Z | (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S {x})) + cone (D + {z}) = R + R+ = R c tha Hn na, ta cú th kt lun rng C + v D+ vi (, à) = (0Y , 0Z ) tha iu kin (z) = v (y) + (z) 0, vi mi (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) v x S , nu v ch nu > v = Do ú, iu kin cn ti u Karush- KuhnTucker bc hai nh lý 2.1 c khng nh Do (0X , (0Y , 0Z )) X ì (C) ì (D), t Nhn xột 1.3 ta thu c iu kin cn ti u Karush- Kuhn- Tucker bc nht H qu 2.1 Cho F v G ln lt tng ng l C- li v D- li trờn li S Gi s rng (x, y) X ì Y vi x E v y F (x) l cc tiu (yu) a phng ca bi toỏn (P) Khi ú, vi mi z G (x) (D), cú cỏc phim hm tuyn tớnh, liờn tc C + v D+ vi (, à) = (0Y , 0Z ) cho (z) = 0, (y) + (z) 0, 25 vi mi (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z)) (x x) v x S Hn na, gi s rng iu kin chớnh quy z Z | (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z)) (cone (S {x})) +cone (D + {z}) = Z(2.25) c tha Khi ú = 0Y T Nhn xột 1.2 v H qu 2.1 ta nhn c mt dng khỏc ca iu kin cn ti u Karush- Kuhn- Tucker bc nht thụng qua khỏi nim trờn o hm tip liờn nh sau H qu 2.2 Cho F v G ln lt tng ng l C- li v D- li trờn li S Gi s rng (x, y) X ì Y vi x E v y F (x) l cc tiu (yu) a phng ca bi toỏn (P) Khi ú, vi mi z G (x) (D), cú cỏc phim hm tuyn tớnh, liờn tc C + v D+ vi (, à) = (0Y , 0Z ) cho (z) = 0, (y) + (z) 0, vi mi (y, z) = D (F, G) (x, (y, z)) (x x) v x S Hn na, gi s rng iu kin chớnh quy z Z | (y, z) D (F, G) (x, (y, z)) (cone (S {x})) +cone (D + {z}) = Z (2.26) c tha Khi ú = 0Y Chng minh Ta cú vi mi (x, (y, z)) gph (F, G) v vi mi x dom D (F, G) (x, (y, z)) thỡ D (F, G) (x, (y, z)) (x) D (F + C, G + D) (x, (y, z)) (x) Do ú, vi mi (y, z) = D (F, G) (x, (y, z)) (x x) v x S thỡ (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z)) (x x) 26 Theo H qu 2.1, vi mi z G (x) (D), cú cỏc phim hm tuyn tớnh, liờn tc C + v D+ vi (, à) = (0Y , 0Z ) cho (z) = 0, (y) + (z) 0, vi mi (y, z) = D (F, G) (x, (y, z)) (x x) v x S Hn na, nu iu kin chớnh quy (2.26) c tha món, thỡ vi tớnh thun nht dng ca D (F, G) (x, (y, z)) (xem [12]) v phng phỏp tng t bc ca nh lý 2.1, kt lun c khng nh v h qu c chng minh Nhn xột 2.2 Chỳ ý rng H qu 2.2 chớnh l nh lý 2.1 [6] Do ú nh lý 2.1 m rng iu kin cn ti u Karush- Kuhn- Tucker bc nht lờn bc hai Hn na, nu ta ly (u, (v, w)) = (0X , (0Y , 0Z )), iu kin chớnh quy bc hai (2.3) tr thnh iu kin chớnh quy bc nht (2.25) Nh vy, vi mi (x, (y, z)) gph (F, G) v mi x dom D (F, G) (x, (y, z)), ta cú D (F, G) (x, (y, z)) (x) D (F + C, G + D) (x, (y, z)) (x) D dng thy rng iu kin chớnh quy (2.25) yu hn so vi iu kin chớnh quy (2.26) ó c m rng t iu kin chớnh quy Kurcyusz- Robinson- Zowe [8] v yu hn iu kin Slater suy rng, xem B 2.3 [6] Do ú iu kin chớnh quy (2.3) m rng iu kin chớnh quy Kurcyusz- RobinsonZowe bc hai iu ỏng chỳ ý l iu kin chớnh quy bc hai (2.3) cng yu hn iu kin Slater bc hai suy rng ó bit Trc ht, ta xột vớ d ch rng iu kin chớnh quy (2.25) cú th c tha mc dự iu kin chớnh quy (2.26) khụng c tha Vớ d 2.2 Xột Vớ d 2.1 Ly (x, y, z) = (0, 0, 1) Bng cỏch tớnh tng t nh Vớ d 2.1, ta cú epi (F, G) = (x, (y, z)) R ì R2 | y x2 , z 2x 1, x v T (epi (F, G) , (x, (y, z))) = (x, (y, z)) R ì R2 | x R, y 0, z R 27 Khi ú, theo nh ngha ca o hm tip liờn ta c D (F + C, G + D) (x (y, z)) (x x) = (y, z) R2 | y 0, z R , trờn o hm tip liờn D (F, G) (x (y, z)) khụng tn ti Tht vy, t nh ngha ca trờn o hm tip liờn, nu D (F, G) (x (y, z)) tn ti thỡ epi D (F, G) (x (y, z)) = T (epi (F, G) (x (y, z))) = (x, (y, z)) R ì R2 | x R, y 0, z R Nhng ú l iu khụng th xy vỡ D (F, G) (x (y, z)) l ỏnh x n tr Do ú iu kin chớnh quy (2.26) khụng c tha Hn na, ta cú z R | (y, z) D (F + C, G + D) (x (y, z)) (cone (S {x})) +cone (D + {z}) = R + R+ = R, ú iu kin chớnh quy (2.25) c tha Nhn xột 2.3 Chỳ ý rng, vỡ trờn o hm tip liờn ca mt ỏnh x a tr l mt ỏnh x n tr nờn s tn ti ca nú cho ỏnh x a tr s thit lp chung l mt cõu hi m (xem [4]) Hn na, ta cú th d dng kim chng c rng H qu 2.1 c tha cho bi toỏn (P ) xột Vớ d 2.1, H qu 2.2 khụng ỏp dng c trờn o hm tip liờn D (F, G) (x (y, z)) khụng tn ti Do ú, t cỏc H qu 2.1 v 2.2, Vớ d 2.2, ta thy rng H qu 2.1 m rng nh lớ 2.1 [6] B tip theo ch rng iu kin Slater bc hai suy rng m rng iu kin chớnh quy bc hai (2.3) m khụng cú gi thit no v tớnh li B 2.1 Gi s rng int S = v ly tựy ý x E , y F (x), (u, (v, w)) X ì Y ì Z , z G (x) (D) Nu tn ti x int S m z+z int D vi (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) , thỡ iu kin chớnh quy (2.3) c tha 28 Chng minh Ly tựy ý z Z T z + z int D vi mi z Z , tn ti mt s > ln cho z z + z D T nh lý 1.1, D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) l thun nht dng nghiờm ngt Do (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) nờn ta cú (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) = D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) ( (x x)) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S x)) Vy ta cú th kt lun rng z = z + z z + z+z z | (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S {x})) + cone (D + {z}) Vỡ z Z l tựy ý nờn Z = z | (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S {x})) + cone (D + {z}) , vy iu kin chớnh quy (2.3) c tha Vớ d sau minh rng vic m rng iu kin chớnh quy bc hai (2.3) cú th c tha mc dự iu kin Slater bc hai suy rng B 2.1 khụng c tha Vớ d 2.3 Ly X = Y = R, Z = R2 , S = [1, 1] X , C = R+ v D = R+ ì {0} Cho F : S 2Y vi F (x) = y Y | x2 y , 29 v G : S 2Z vi G (x) = {z = (z1 , z2 ) Z | 2x z1 1, z2 R} Chc chn rng F l mt ỏnh x a tr R+ - li v G l ỏnh x a tr R+ ì {0}- li trờn li S Hn na, E = {x S | G (x) (D) = } = {x [1, 1] | [2x 1, 1] (R+ ) = } = 1, Ly (x, y) = (0, 0) Khi ú, ta cú x E , y F (x) T nh ngha ca F v G ta cú epi (F, G) = (x, (y, z)) R ì R ì R2 | y x2 , z1 2x 1, z2 R, x Ly z = (0, 0) Vỡ G (x) (D) = ([1, 1] ì R) ((R+ ) ì {0}) = (z1 , z2 ) R2 | z1 0, z2 = nờn z G (x) (D) p dng nh ngha 1.1, ta c T (epi (F, G) , (x, (y, z))) = (x, (y, z)) R ì R ì R2 | x R, y 0, z1 R, z2 R Ly (u, (v, w)) = (1, (0, (1, 0))) X ì (C) ì (D) Khi ú t nh ngha 1.1 v 1.6 ta cú, T (T (epi (F, G) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) = (x, (y, z)) R ì R ì R2 | x R, y 0, z1 R, z2 R v D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x x) = (y, z) R ì R2 | y 0, z1 R, z2 R , x S 30 Vỡ th, iu kin chớnh quy (2.3) z Z | (y, z) D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S {x})) +cone (D + {z}) = R2 + R+ ì {0} = R2 c tha Nhng vỡ int D=int (R+ ì {0}) = nờn hin nhiờn l B 2.1 khụng ỏp dng c 2.2 iu kin ti u nh lý 2.2 Cho F v G ln lt l C- li v D- li trờn li S Gi s rng tn ti x, u E , y F (x), z G (x) (D), v F (u) + C , w G (u) + D, s dng (hu hn) nghiờm ngt C + v D+ cho (z) = v (y) + (z) 0, vi mi (y, z) D (FE + C, GE + D) (x, (y, z) , u x, (v y, w z)) (x x) v x E Khi ú (x, y) l cc tiu (yu) ca (P) Chng minh Gi s rng (x, y) khụng l cc tiu (yu) ca (P) Khi ú, ta cú (F (E) {y}) (C \ {0Y }) = (F (E) {y}) (int C) = , tc l, tn ti x E v y F (x) cho y y C \ {0Y } yy int C Vỡ x E nờn tn ti z G (x) (D) Theo nh lớ 1.3(ii), ta c (y y, z z) D (FE + C, GE + D) (x, (y, z) , u x, (v y, w z)) (x x) Do ú, (y y) + (z z) (2.27) Vỡ C + l dng (hu hn) nghiờm ngt, D+ v (z) = nờn (y y) < v (z z) = (z) (z) = (z) 31 iu ny mõu thun vi (2.27) Vy (x, y) l cc tiu (yu) ca (P) v nh lý c chng minh T nh lý 1.3(i) v chng minh ca nh lý 2.2 ta cú h qu sau H qu 2.3 Cho F v G ln lt l C- li v D- li trờn li S Gi s rng tn ti x, u E , y F (x), z G (x) (D), v F (u) + C , w G (u) + D, s dng (hu hn) nghiờm ngt C + v D+ cho (z) = v (y) + (z) 0, vi mi (y, z) D2 (FE + C, GE + D) (x, (y, z) , u x, (v y, w z)) (x x) v x E Khi ú (x, y) l cc tiu (yu) ca (P) Thụng qua vic s dng o hm tip liờn bc hai theo ngha ca Zhu v ng tỏc gi, iu kin cn v ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai cho bi toỏn ti u a tr vi chp nhn c c xỏc nh bi ỏnh x a tr di iu kin chớnh quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bc hai suy rng ó c thit lp, ng thi m rng c iu kin chớnh quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bc hai cho bi toỏn ti u a tr cú rng buc 32 KT LUN Trờn c s mt bi bỏo ca cỏc tỏc gi S K Zhu S J Li K L Teo, lun ny tỡm hiu v o hm tip liờn bc hai theo ngha ca Zhu v ng tỏc gi ng thi s dng nú thit lp iu kin cn v ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai Cỏc ni dung chớnh ca lun bao gm: Trỡnh by c th tip liờn bc hai, nh ngha v tớnh cht ca o hm tip liờn bc hai theo ngha ca Zhu v ng tỏc gi S dng o hm tip liờn bc hai theo ngha ca Zhu v ng tỏc gi thit lp cỏc iu kin cn v ti u bc hai cho bi toỏn ti u a tr cú rng buc 33 Ti liu tham kho [1] J P Aubin, Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, Academic Press, New York (1981), In: Nachbin, L (ed.) Mathematics Analysis and Applications, part A, pp 160229 [2] J P Aubin, H Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhăauser, Boston (1990) [3] J F Bonnans, A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York (2000) [4] G Y Chen, J Jahn, Optimality conditions for set-valued optimization problems, Math Methods Oper Res 48, (1998), 187200 [5] H W Corley, Optimality conditions for maximizations of set-valued functions, J Optim Theory Appl 58, (1988), 110 [6] A Găotz, J Jahn, The Lagrange multiplier rule in set-valued optimization, SIAM J Optim 10, (1999), 331344 [7] C Gutierrez, B Jimenez, V Novo, New second-order directional derivative and optimality conditions in scalar and vector optimization J Optim Theory Appl 142, (2009), 85106 [8] J Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, 2nd edn, Springer, Berlin (1996) 34 [9] J Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications and Extensions, Springer, Berlin (2004) [10] J Jahn, A A Khan, Generalized contingent epiderivatives in setvalued optimization: optimality conditions, Numer Funct Anal Optim 23, (2002), 807831 [11] J Jahn, A A Khan, P Zeilinger, Second-order optimality conditions in set optimization, J Optim Theory Appl 125, (2005), 331347 [12] J Jahn, R Rauh, Contingent epiderivatives and set-valued optimization, Math Methods Oper Res 46, (1997), 193211 [13] B Jimenez, V Novo, Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets, Appl Math Optim 49, (2004), 123144 [14] S J Li, C R Chen, Higher-order optimality conditions for Henig efficient solutions in set-valued optimization, J Math Anal Appl 323, (2006), 11841200 [15] S J Li, K L Teo, X Q Yang, Higher-order optimality conditions for set-valued optimization, J Optim Theory Appl 137, (2008), 533553 [16] D T Luc, Contingent derivatives of set-valued maps and applications to vector optimization, Math Program 50, (1991), 99111 [17] J P Penot, Second-order conditions for optimization problems with constraints, SIAM J Control Optim 37, (1998), 303318 [18] S K Zhu, S J Li, K L Teo, Second-order Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions for set-valued optimization, Springer, New York (2014) ... bc hai v nún tip liờn tim cn bc hai i vi chp nhn c Jimộnez v Novo [13] ó nghiờn cu v iu kin cn v ti u bc hai cho bi toỏn ti u vộc t theo quan im ca tip liờn bc hai v nún tip liờn tim cn bc hai. .. qua cỏc vớ d c th 6 Chng o hm tip liờn bc hai Trong chng ny ta s trỡnh by v tip liờn bc hai, o hm tip liờn bc hai v cỏc tớnh cht ca o hm tip liờn bc hai Gi X, Y v Z l cỏc khụng gian nh chun thc,... 1.1 Tp tip liờn bc hai 1.2 o hm tip liờn bc hai 1.3 Tớnh cht ca o hm tip liờn bc hai 11 iu kin ti u Karush- Kuhn- Tucker bc hai 15 2.1 iu kin