Viet va ung dung trong cac bai toan

• Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho 2 nghiệm này độc lập đối với tham số m.. • Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm đã cho[r]

Định lý Viet

Có nghiệm

Cho phương trình bậc : ax² +bx+c = (a≠0)

1

2

b x

a

  

 2

2

b x

a

Suy ra

Vậy đặt:

Tổng nghiệm S Tích nghiệm P

1

2

2 2

b b b b

x x

a a a

       

   

2

1 2 2 2

( )( ) 4

4 4 4

b b b ac c

x x

a a a a

       

   

1

b

S x x

a



  

1

c P x x

a

• Hai số x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c =

chúng thỏa mãn hệ thức

1

b x + x =

-a ;

c x x =

Xét phương trình ax² + bx + c = (*) ta thấy:

Nếu cho x = thì ta có (*) a.1² + b.1+c = => a+b+c=0

Như phương trình có nghiệm nghiệm cịn lại

1 1

x 

2

c x

a

Nếu cho x =−1 thì ta có (*) a.(−1)² + b.(−1)+c =

a − b + c=0

Như phương trình có nghiệm nghiệm cịn lại



1 1

x 

2

c x

a

Ví dụ

• Dùng hệ thức Viete để nhẩm nghiệm phương trình sau

1) 2x²+ 5x + = (1) 2) 3x² + 8x −11 = (2)

Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm

Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm

1 1

x  2 3

2

x 

1 1

x  2 11

3

• Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm

x1 x2 phân tích thành nhân tử

Ví dụ

• Phân tích đa thức f(x) = -5x2 + 3x + thành

nhân tử

Giải

Ta có đa thức f(x)= -5x2 + 3x + có hai nghiệm

nên2

5

 ( ) 5( 1)( 2)

5

• Nếu hai số có Tổng S tích P số nghiệm phương trình:

(điều kiện để có số )

2 0

x  Sx P 

2 4 0

Ví dụ

• Tìm số a,b biết tổng S = a+b = -3

tích P = ab = -4

Vì a + b = -3 ab = -4 nên a,b nghiệm phương trình :

Giải phương trình ta Vậy a =1 b = -4

a = -4 b =

2 3 4 0

x  x  

1 1

x 

2 4

Ví dụ 2

• Tìm số a b biết: a + b = và a²+ b² = 41

Khi biết tổng số a b,áp dụng hệ thức Viet tìm tích a b

- Từ

Suy ra: a,b nghiệm phương trình có dạng:

2

9 ( ) 81

a b   a b   a  2ab b 81

2

81 ( )

20 2

a b

ab  

  

1

2

4 20

TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO NGHIỆM NÀY ĐỘC

Các bước làm

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình

cho có nghiệm ( thường a ≠ 0 )

- Áp dụng hệ thức Viet viết

- Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo

Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm

1

x x2

1

x x2

1

x x2

0

 

1

S x  x

1

Ví dụ

• Cho phương trình :

có nghiệm ; Lập hệ thức liên hệ ; cho chúng không phụ thuộc vào

Để phương trình có nghiệm thì:

2

(m  1)x  2mx m  4 0

1

x x2

m

1

x x2

1

4

5 m m m m                x x 1 0 ' 0

m       

( 1)( 4)

m

m m m 

  

• Theo hệ thức Viet ta có:

2

1 2

2 2 1 1 m

x x x x

m m

m

x x x x

m m                             (1) (2)

Rút từ m (1) ta có :

Rút từ m (2) ta có :

1

1

2 2

2 1

1 x x m 2

m        x  x  (3)

1

1

3 3

1 1

1 x x m 1

m        x x

• Đồng vế (3) và (4) ta có:

1 2

3(x x ) 2x x 8 0

    

1 2

1 2

2 3

2 1

2(1 ) 3( 2)

x x x x

x x x x



  

• Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm

Ví dụ 2

• Gọi ; nghiệm phương trình:

• Chứng minh biểu thức

không phụ thuộc giá trị

2

(m  1)x  2mx m  4 0

1 2

3( ) 2 8 A  x  x  x x 

1

x x2

• Để phương trình có nghiệm thì: x1 x2

Theo hệ thức Viet ta có :

1 2

1 2

2 2 1 1 m

x x x x

m m

m

x x x x

m m                            

(Thay vào A)

1 0 ' 0

m   



 



1

( 1)( 4) 0

m

m m m

         1

5 4 0

• Ta có:

1 2

3( ) 2 8 A  x  x  x x 

2 4

3. 2. 8

1 1 m m m m      

6 2 8 8( 1)

1

m m m

m       0 0 1 m   

Vậy A = với

Do biểu thức A không phụ thuộc vào 1

m  4

5

m 

Các bước làm

o Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm ( thường a ≠ và )

o Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Viet để giải phương trình ( có ẩn tham số)

o Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm

1

x x2

Ví dụ

• Cho phương trình

• Tìm giá trị tham số m để nghiệm thỏa mãn hệ thức:

2 6 ( 1) 9 ( 3) 0

m x  m  x  m  

1

x x2

1 2

Giải

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

 

0

' 3 21 9( 3) 0

m m m                2 0

' 9( 2 1) 9 27 0

m

m m m

            0 0

' 9( 1) 0 1

• Theo hệ thức Viet ta có

Và từ giả thiết

1 2

x  x x x

Suy ra

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3)

6 6 9 27

m m m m m m m m           

3m 21 m 7     (N)

1

1

6( 1) 9( 3)

m x x x

m m x x m            

Với m= phương trình cho có nghiệm thỏa mãn hệ thức:

x x2

1 2

XÁC ĐỊNH DẤU CÁC

Cho phương trình ax² +bx+c = (a≠0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm

Dấu nghiệm Điều kiện chung

Trái dấu Cùng dấu Cùng dương

Cùng âm

1

x x2        

S x  x

0

S 

0

S 

1

P x x

0 P  P  P  P          

; P  ; P 

;S  ;S 

0        

; P  ; P 

BẢNG XÉT DẤU

Chú ý: Nếu P>0 phải tính  (hoặc ’) để xem phương

• Ví dụ 1: xác định tham số m cho phương trình:

có nghiệm trái dấu

2

2x  (3m 1)x m  m  6 0

2

( 7)

2 ( 3)( 2)

m m

m P m m

    

     

   



Để phương trình có nghiệm trái dấu thì

Giải

Vậy với phương trình có nghiệm trái dấu

2 m

   0 0 P        2

(3 1) 4.2.( 6)

0

Ví dụ 2:Cho phương trình x2 – 2x + m – =

• Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

• Giải

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 

    

3 - m > m - >

2 > Vậy với

thì phương trình có nghiệm

dương phân biệt

 < m <

 2 < m < 3

     

P S

Ứng dụng định lý Viet • Nhẩm nghiệm phương trình.

• Phân tích đa thức thành nhân tử.

• Tìm số biết tổng tích chúng.

• Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình cho nghiệm độc lập tham số m.

• Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm cho.

• Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai.