Các dạng bài tập VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - TOANMATH.com

Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox ... Dạng 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi q[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng đoạn nửa đoạn  ) Hàm số F  x  gọi là nguyên hàm hàm số f  x  trên K Fʹ  x   f  x  với x  K Định lý 1: Nếu F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên K thì với số C, hàm số G  x   F  x   C là nguyên hàm f  x  trên K Định lý 2: Nếu F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên K thì nguyên hàm f  x  có dạng F  x   C, với C là số Hai định lý trên cho thấy: Nếu F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên K thì F  x   C,C   là họ tất các nguyên hàm f  x  trên K Kí hiệu  f  x dx  F  x   C Chú ý: Biểu thức f  x  dx chính là vi phân nguyên hàm F  x  f  x  , vì dF  x   Fʹ  x  dx  f  x  dx Tính chất nguyên hàm Tính chất  f ʹ  x  dx  f  x   C Tính chất  kf  x  dx  k  f  x  dx , k là số khác Tính chất  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K có nguyên hàm trên K Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp  u = u  x    u = ax + b;a    dx  x  C  du  u  C  d  ax  b   ax  b  C x  1  x dx   C   1   1 u 1 u  C   1  1   ax  b    ax  b  dx  a  1  1  C    1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C 1  x dx   x  C 1  u2 du   u  C  xdx  x x C  udu  u u  C  dx  x  C x  du  u  C u  e dx  e x x  a dx  x  e du  e C ax  C  a  0, a  1 ln a u u  a du  u 1   ax  b   1 dx   C a ax  b ax  bdx   ax  b  ax  b  C a 1 dx  ax  b  C a ax  b  e C au  C  a  0, a  1 ln a  ax  b dx  a ln ax  b  C ax  b mx  n  a dx  dx  ax  b e C a a mx  n  C  a  0, a  1 m ln a  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  tan xdx   ln cos x  C  tan udu   ln cos u  C  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C  cot xdx  ln sin x  C  cot udu  ln sin u  C  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  sin2 x dx   cot x  C  sin u du   cot u  C  cos x dx  tan x  C x  sin x dx  ln tan  C  cos u du  tan u  C u  sin u du  ln tan  C 1 x  u    cos x dx  ln tan     C cos u du  ln tan     C 1  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C 1  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C dx  sin  ax  b   a ln tan ax  b C  cos  ax  b  dx   ax  b   ln tan    C a 4  II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu  f(u)du  F(u)  C và u  u(x) có đạo hàm liên tục thì:  f u(x).uʹ(x)dx  F u(x)  C Hệ quả: Với u  ax  b  a   ta có  f  ax  b dx  a F  ax  b   C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì:  u  x vʹ  x  dx  u  x  v  x    uʹ  x v  x  dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm các phép biến đổi sơ cấp Phương pháp giải  Biến đổi các hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu các biểu thức chứa x, đó biểu thức chứa x là dạng có bảng nguyên hàm  Áp dụng các công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm Bài tập Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   2x  là ex A 2x  e x  C e x ln B 2x  e x  C e x  ln  1 C 2x  e x  C e x  ln  1 D 2x  ex  C e x  ln  1 Hướng dẫn giải Chọn C x Ta có: 2x 1 2x 2 x dx dx e dx     e x  C  ex   e   e x  ln  1 Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   x  x    x  2 A  2021 2021 C  x  2 2021 2021  x  2  2020 1010  x  2  2019 C B 2020 1010 C D là  x  2 2021  x  2 Hướng dẫn giải Chọn D 2020 2021 2021  x  2  2018 1009  x  2  C 2020 1010 C  x  x  2 Ta có: 2019    x  2 2020 dx    x      x   dx    x   2019 2019 dx  x  2 dx  2021 2021 Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   2020 C 1010 là e 1 2x   B x  ln e2 x   C A x  ln e2 x   C   x  2    C ln e2 x   C  D x  ln e2 x   C Hướng dẫn giải Chọn B   e2 x   e2 x e2 x    e2 x  e2 x  e2 x  Ta có:   2x  e2 x  d e 1 Do đó  x dx     x  x  ln e2 x   C  dx   dx   x e 1 e 1  e 1  Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x       A 1  C 1 x    x  2 x   C 6 x2 x 2  x 2 x 2 C    là: B 1 x   x    C 6 D 1  x  2 x   x   C 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:  dx   x 2  x 2 dx x 2  x 2 2 1     x  2 x    x  2 x    C   x  2 x    x  2 x   C 3 6  Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: Lưu ý:  ax  bdx  a b ab a b  ax  b  ax  b  C 3a Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   x  13 là: x  5x  A ln x   3ln x   C B 3ln x   ln x   C C ln x   3ln x   C D ln x   3ln x   C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: x  13 x  13  x  x   x   x  3 Ta phân tích: 5x  13  A  x    B  x  3 1 Thế x  và x  vào (1) ta có B  và A  Khi đó x  x     x  3 x  13 dx   dx   dx   dx  5x  x 3 x 2  x   x  3  ln x   3ln x   C Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   1 x4 là: x5  x     B ln x  ln x   C   D ln x  ln x   C A ln x  ln x   C  C ln x  ln x   C  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:   1 x4  2x4 1 x4 2x3    dx dx dx  x5  x  x x4 1  x  x  dx  ln x  ln x   C     3x  3x  là: Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x   x  3x  A ln x   ln x   C x 1 B ln x   ln x   C x 1 C ln x   ln x   C x 1 D ln x   ln x   C x 1 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 3x  3x  3x  3x  dx   x  3x    x  12  x   dx Ta phân tích 3x  3x   A  x  1  B  x  1 x    C  x   Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính A  1, C  và B  (thay x  2  A  1; x   C  và x   B  ) Khi đó 3x  3x  1   x  1  x   dx   x  dx   x  1dx  3  x  1 2 dx  ln x   ln x   C x 1 Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ I   Px Qx dx , với P  x  và Q  x  là các đa thức, cụ thể sau:  Nếu deg  P  x    deg  Q  x   thì ta thực phép chia P  x  cho Q  x  (ở đây, kí hiệu deg  P  x   là bậc đa thức P  x  )  Khi deg  P  x    deg  Q  x   thì ta quan sát mẫu số Q  x  ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách P  x  theo các tổ hợp các nhân tử đó Đến đây, ta sử dụng đồng thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng các phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp Trường hợp 1: Trường hợp 2:  ax  b  cx  d   a c    ad  bc  ax  b cx  d    Ax  Ba  x  Ad  Bb mx  n A B     ax  b  cx  d  ax  b cx  d  ax  b  cx  d  Ta đồng thức mx  n   Ax  Ba  x  Ad  Bb 1 Cách Phương pháp đồng hệ số  Ac  Ba  m Suy A, B Đồng đẳng thức, ta   Ad  Bb  n Cách Phương pháp giá trị riêng b d Lần lượt thay x   ; x   vào hai vế (1), tìm A, B a c Trường hợp 3: Trường hợp 4: mx  n  ax  b   A B  ax  b  ax  b 2 mx  n A   B C  cx  d ax  b  ax  b   cx  d   ax  b   mx  n  A  cx  d   B  ax  b   C  ax  b  cx  d  *  2 b d Lần lượt thay x   ; x   ; x  vào hai vế (*) để tìm A, B, C a c Trường hợp 5: Trường hợp 6: A Bx  C với   b  4ac    2    x m ax bx c    x m ax bx c      x  a   x  b 2  A B C D    x  a  x  a x  b  x  b 2 1  Bài tập Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f '  x   ; f    và 2x 1 2  f 1  Giá trị biểu thức P  f  1  f  3 là: A 3ln  ln B 3ln  ln C  ln D  ln15 Hướng dẫn giải Chọn D  ln  x  1  C1 x    f  x    f '  x  dx   dx  ln x   C   2x 1 ln 1  x   C x    f    C2   Vì  C1   f 1   ln  x  1  x  Suy f  x    ln 1  x   x   Do đó P  f  1  f  3   ln  ln   ln15 Bài tập f ' x  Cho hàm số ; f  3  f  3  ln x 1 f x và xác  1 f    2 định trên 1 f  0 2  \ 1;1 , Giá trị thỏa mãn biểu thức P  f  2   f    f   là: A ln  ln B ln  ln  ln C ln  ln  ln Hướng dẫn giải Chọn C f  x    f '  x  dx    x 1  dx    dx  ln  C  x 1 x 1  x 1 x 1    x 1  ln  x    C1 x      1 x x 1 Hay f  x   ln  C  ln  C2   x  x 1  1 x   x 1  ln    C3 x  1   x 1  f  3  f  3  ln C1  C3  ln  Theo bài ra, ta có:     1 C2   f   f    2   2 D ln  ln Do đó f  2   f    f    ln  C3  C2  ln  C1  ln  ln  ln Bài tập 10 Nguyên hàm P   x x  1dx là:   A P  x 1 C P  33 x 1  C x2 1  C     B P  x 1 D P  x 1 x2   C x2   C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:  x x  1dx  2 3 x  d x   x  C 2    Bài tập 11 Nguyên hàm hàm số A      sin x  cos x  sin xdx là: 1 x  sin x  cos x  C 4 1 C x  sin x  cos x  C 2 B 1 x  sin x  cos x  C 4 D 1 x  sin x  cos x  C 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:   sin x  cos x  sin xdx    sin  x  sin x cos x dx 1 1   cos x sin x      dx   x  sin x  cos x   C  2  2 2   Bài tập 12 Nguyên hàm hàm số A  tan x  cot x  C  sin dx là: x cos2 x B tan x  cot x  C C tan x  cot x  C D cot x  tan x  C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: sin x  cos2 x    dx  sin x cos2 x  sin x.cos2 x dx    cos2 x  sin x  dx  tan x  cot x  C Bài tập 13 Nguyên hàm hàm số A cot x C  cos B tan 2x  C dx là: x  cos2 x  C cot 2x  C D tan x C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:  cos 1 1 tan x C dx   dx   dx   d (2 x )  2 2 (2 cos x  1) cos x cos x x  cos x  Bài tập 14 Nguyên hàm hàm số  tan xdx là: A tan x  ln cos x  C B tan x  ln sin x  C C tan x  ln cos x  C D tan x C cos2 x Hướng dẫn giải Chọn A   Từ tan x  tan x  tan x  tan x Suy  tan xdx   tan xd  tan x    d  cos x  cos x tan x   ln cos x  C   Giá Bài tập 15 Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   sin x tan x thỏa mãn F    3   trị F   là: 4 A 1   12 B 1   12 C 1   12 D 1   12 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: F  x    sin x tan xdx   sin x.cos x Suy F  x    1  cos x  dx  x  sin x dx   sin xdx cos x sin x C  2 3      sin C  C  Theo giả thiết, ta có: F    3 3 Vậy F  x   x  sin x    2 3  1          Do đó F     sin    12 4 4 Bài tập 16 Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   cos4 x thỏa mãn F    2019 Giá trị   F   là: 8 A 3  16153 64 B 3  129224 C 3  129224 64 Hướng dẫn giải Chọn C D 3  129224 32   cos x  Ta có: cos x      cos x  cos x   1  cos8 x     cos x      cos x  cos8 x  4   Do đó F  x    1   cos x  cos8 x  dx   3x  sin x  sin x   C  8  Mà F    2019 nên ta có C  2019 1  Vậy F  x    x  sin x  sin x   2019 8     3  129224 Do đó F    64 8 Bài tập 17 Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   mãn F    A cos5 x  , với x   k 2 , k   và thỏa  sin x   Giá trị F    là:  2 B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta thấy: cos5 x  cos3 x 1  sin x    sin x cos x  cos3 x.sin x  sin x      F  x     sin x d  sin x    cos3 xd  cos x   sin x  Theo giả thiết, ta có F    sin x cos4 x  C nên C  sin x cos4 x Vậy F  x   sin x   C   Do đó F      2 Chú ý: Với n , * ta có: n n  sin x.cos xdx   sin xd  sin x   Bài tập 18 Biết là cosn 1 x  cos x.sin xdx    cos xd  cos x    n   C n a và sin n 1 x C n 1  5sin x  dx  b ln 5sin x   C,  a, b   cos x n   , ab là phân số tối giản Giá trị 2a  b A 10 B 4 C D 3 Hướng dẫn giải CHỌN D cos x d  5sin x   dx   ln 5sin x   C  5sin x   5sin x  Vậy a  1, b  Nên 2a  b  3  3 Bài tập 19 Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x     sin x  biết F    2 A F  x   x  cos x  sin 2x B F  x   x  cos x  sin 2x C F  x   x  cos x  sin 2x D F  x   x  cos x  sin 2x Hướng dẫn giải CHỌN B Ta có    cos 2x   dx    sin x  sin x dx     sin x  dx    x  cos x  sin 2x  c    3 3  3 F     cos  sin   c  c0 22 4 2  1  sin x  Vậy F  x   x  cos x  sin 2x Bài tập 20 Cho  sin x  cos x dx  F  x   C cos 2x A 2 và F     a  b Tính A   a  b  B C Hướng dẫn giải CHỌN C Ta có: F  x     cos 2x cos x  sin x dx   dx sin x  cos x sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  dx  sin x  cos x  F     1  a  b  A    cos x  sin x  dx  sin x  cos x D 1 Bài tập 21 Cho tích phân  sin x cos2 x dx  a Tính A  12 cot A 4a B 2a 2 2x theo a C 3a D a Hướng dẫn giải CHỌN C Ta có: F  x    2 sin xcos x dx    1  dx      dx sin x cos x  cos x sin x  sin x  cos2 x 2  tan x  cot x Theo đề: sin x cos x sin x  cos x 2 cos 2x    a cos x sin x sin x cos x sin 2x cos 2x a   sin 2x tan x  cot x   a A  12  12     3a sin 2x  2 cos 2x Bài tập 22 Cho F  x là nguyên hàm hàm số  sin x cos x  sin x dx và     F    f    Tính F    F   2 2 A B  D C Lời giải CHỌN B Ta có d cos x  sin x   2sin x cos x  8sin x cos x dx  6sin x cos xdx  3sin 2xdx      sin xdx  d cos x  sin x Do đó :      2 2 d cos x  sin x d cos x  sin x  cos2 x  4sin2 x  C   dx   3 cos2 x  sin x cos2 x  sin x cos2 x  sin x sin x   F  0  F      3C   C   2   Vậy F  0  F     2C   C  C   3 2 Bài tập 23 Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   x  x2   trên khoảng 2 2;2 thỏa mãn F    Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A x  B x  C x  1 D x   Hướng dẫn giải Chọn D x Ta có: F  x    8 x dx     8 x  d  x2    x2  C Mặt khác F       x  C   C  Vậy F  x     x  2  x  Xét phương trình F  x   x    x   x   x   x   2 8  x    x  x   x     x    x   2 x  x      x   Bài tập 24 Cho F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   và F 1  A 2x 1 trên khoảng  0;  x  x3  x2 Tổng S  F 1  F    F  3   F  2019  là 2019 2020 B 2019.2021 2020 C 2018 2020 Hướng dẫn giải Chọn C Phân tích f  x   2x 1 2x 1 2x 1   2 x  2x  x x  x  1 x2  x Khi đó F  x    2x 1 Mặt khác F 1  Vậy F  x     x x  dx   x x     d x2  x   C x x 1    C   C 1 2 1  1 1   1    1 x2  x x  x  1 x x    D  2019 2020 1   1 1 Do đó S  F 1  F    F  3   F  2019              2019 2019 2020   2 3  1    1   2018   2019  2018  2020 2020  2020  Bài tập 25 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định trên  thỏa mãn f    2, f  x   và f  x  f '  x    x  1  f  x  , x   Giá trị f 1 là: A B 10 C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f  x  f '  x    x  1  f  x   f  x  f '  x   Suy 1 f x dx    x  1 dx    f  x  f '  x  1 f  x  d 1 f  x 1 f Theo giả thiết f    2 , suy  2  2  2x 1    x  1 dx   x  f  x   x2  x  C CC3 Với C  thì  f  x   x  x   f  x   x   x  1 Vậy f 1  24  Bài tập 26 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  2;1 thỏa mãn f    và  f  x  f '  x   x  x  Giá trị lớn hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là: A 42 B 15 C 42 D 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f  x   f '  x   x  x  2 *  Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (*) ta được:   f  x   Theo giả thiết, ta có f    nên  f 0  f '  x  dx   x  x  dx  f  x   x  x  x  C  f  x   x  x  x  3C   03  2.02  2.0  C   27  3C  C   f  x   x  x  x  27 Ta tìm giá trị lớn hàm số g  x   x  x  x  27 trên đoạn  2;1 Ta có g '  x   x  12 x   0, x   2;1 nên đồng biến trên đoạn  2;1 Vậy max f  x   max g  x   42  2;1  2;1 Dạng 2: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u  x  Phương pháp giải Định lí: Cho  f  u  du  F  u   C và u  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Các bước thực đổi biến: Xét I   f  u  x   u '  x  dx Bước 1: Đặt u  u  x  , suy du  u '  x  dx Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu ẩn u ta I   f  u  du  F  u   C , đó F  u  là nguyên hàm hàm số f  u  Bước 3: Trả biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm là I  F  u  x    C Hệ quả: F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên K và a, b  ; a  ta có:  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Bài tập Bài tập Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   x e x 1 , biết F  1  là: 3 3 A F  x   e x 1  C B F  x   e x 1  2019 C F  x   e x 1  3 3 D F  x   e x 1 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt u  x  ta có du  x dx  x dx  du Suy  f  x  dx   e u 1 du  eu  C 3 Do đó F  x   e x 1  C Mặt khác F  1  nên C  Vậy Lưu ý: Ta có thể viết sau:  f  x  dx  e  f  x  dx   x e x 1 x 1 dx    x3 1 e d x   e x 1  C  3   Chú ý: Với các viết x dx  d x  , ta có thể tính nguyên hàm đã cho cách đơn giản và nhanh gọn Bài tập Nguyên hàm M   sin x dx là:  3cos x A M  ln 1  3cos x   C B M  ln  3cos x  C C M   ln  3cos x  C D M   ln  3cos x  C Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u   3cos x , ta có du  3sin xdx hay sin xdx   du Khi đó M   Vậy M   2 du   ln u  C  u sin x dx   ln  3cos x  C  3cos x   sin  x   4 a 43 a  Bài tập I   dx  , a, b    Tìm tỉ lệ b b sin 2x    sin x  cos x   A  B  C D Hướng dẫn giải CHỌN B    dt   cos x  sin x  dx   sin  x   dx 4 Đặt t  sin x  cos x     sin 2x  t   thì t :  và x :   I2   2  dt  2 t   1  t   dt  t  1 2 43   t11 Bài tập Cho  cos x sin xdx  F  x   C và F    a  b  Tính A  a  b2  2018 A 2018 B 2016 Hướng dẫn giải CHỌN A C 2022 D 2020  cos x sin xdx Đặt u  cos x  du  sin xdx 3  cos x sin xdx   u du    F0   u4 cos4 x C C 4 1  a  b   a  b  4 A  a  b  2018   a  b   2ab  a  b   2018  2018 m Chú ý: chú ý với a  và m, n  ; n  ta luôn có: a n  n a m Bài tập Nguyên hàm R   A R  x 1 1 ln x 1 1 x 1 1 C R  ln x 1 1 x x 1 dx là: C B R  C ln D R  ln x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 C Hướng dẫn giải Chọn D Đặt u  x   u  x  Suy x  u  và dx  2udu Khi đó R   2u  u 1  du   du    du  ln  C  u 1 u 1  u 1 u 1   u  1 u x 1 1 Vậy R  ln x 1 1 C Bài tập Nguyên hàm S   x x  9dx là: x A S  x B S  C S  x x D S   9 x2   3 x  9 x   C x2   3 x  9 x   C  9  9 x   9  3 x  9 x2  x2   C  x2   C Hướng dẫn giải Chọn A C Xét S   x x  9dx   x x  xdx Đặt u  x   u  x  Suy x  u2  và xdx  udu     Khi đó S   u  u.udu   u  9u du  x Vậy S   9 x2   3 x  9 x   C Bài tập Nguyên hàm T   A T  C T  u5  3u3  C x ln x  dx là: C B T  ln x   C  ln x  1 ln x   C D T  ln x   C ln x  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: T   x ln x  1 dx   ln x  d  ln x  1  ln x   C  x   dx 2022  x  1 2020 Bài tập Nguyên hàm U   1 x 2 A U    x   C U  là: 2021 C  x 2 6063  x    x 2 6060  x   D U   x 2 6069  x   2021 C Hướng dẫn giải Chọn C  x   dx   x  2020 dx Xét U   2022   x    x  12  x  1 2020 Đặt u  x 2 1  du  dx  du  dx 2 x 1  x  1  x  1  x 2 1 2021 u  C Vậy U  Suy U   u 2020 du  6063  x   6063 Lưu ý: n 1  ax  b  dx  1  ax  b  C   cx  d n2 n  ad  bd  cx  d  n 2020 B U  2021 C C 2023 C Bài tập Xét nguyên hàm V   ln x  x  ln x   dx Đặt u    ln x , khẳng định nào sau đây sai? dx A   2u   du x B V   16 C V  u  u  u3  4u  C D V  u  2u  u  2u   du u u 16   u  4u  C Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u    ln x   u  1   ln x  ln x  u  2u  Khi đó V    ln x x  ln x    dx   u  2u u dx   2u   du x   2u   du  16   u  5u3  8u  4u du  u  u  u3  4u  C   Bài tập 10 Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x   sin 2 x.cos3 x thỏa F    Giá trị 4 F  2019  là: A F  2019    15 B F  2019   C F  2019    Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u  sin x  du  cos xdx  du  cos xdx     u  u2 du   u2  u du  2 1 1  u3  u  C  sin x  sin x  C 10 10 Ta có F  x    sin 2 x.cos3 xdx      F     sin  sin  C   C   10 15 4 1 Vậy F  x   sin x  sin x  10 15 Do đó F  2019    15 15 D F  2019   15 Bài tập 11 Biết  x  3 dx  x  x  1 x   x  3    g  x   C (với C là số) Gọi S là tập nghiệm phương trình g  x   Tổng các phần tử S bằng: C 3 B 3  A D 3  Hướng dẫn giải Chọn C      Vì x  x  1 x   x  3   x  x x  x     x  x  1 nên ta đặt u  x  x , đó du   x  3 dx Nguyên hàm ban đầu trở thành Suy du   u  1  x  3 dx  x  x  1 x   x  3    x  C u 1 C  3x   3  x  Vậy g  x   x  x  1; g  x    x  x      3  x    3  3   ; Do đó S      Tổng giá trị các phần tử S 3 Bài tập 12 I   A 3cos 2x  sin 4x dx  F  x   C Tính F  1 , biết F  x  không chứa hệ số tự  sin x  cos x 17 B C Hướng dẫn giải CHỌN A   sin 2x  cos 2x dx 3cos 2x  sin 4x dx    sin x  cos x  sin x  cos x  sin 2x cos x  sin x    cos x  sin x  dx    sin x  cos x  I dt   cos x  sin x  dx Đặt t  sin x  cos x   sin 2x  t  15 D  3  t2   I 2t  t dt  2t  5t    t  dt    2t  4t   t   dt 2    t  2t  3t  ln t    C 3  Dạng 3: Tìm nguyên hàm cách đổi biến dạng Phương pháp giải Kiến thức cần nhớ: Các kĩ thuật đổi biến dạng thường gặp và Ta đã biết các đẳng thức sau: cách xử lí sin t  cos2 t  , với t    , t   k  k    cos t 1  cot t  , t  k  k    sin t  tan t  Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải nguyên hàm đổi biến số dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào các đẳng thức lượng giác và số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem xét các nguyên hàm sau đây: Bài toán 1: Tính A1   dx a x 2 dx Bài toán 1: Tính A1   a  x2     Đặt x  a sin t , với t   ;   2 x  a cos t với t   0;  Bài toán 2: Tính A2   dx a  x2 Bài toán 2: Tính A2   dx a  x2     ;  Đặt x  a tan t , với t    2 Bài toán 3: Tính A3   a x dx ax Bài toán 3: Tính A3   a x dx ax   Đặt x  a cos 2t với t   0;   2 Bài toán 4: Tính A4    x  a  x  b dx Bài toán 4: Tính A4    x  a  x  b dx   Đặt x  a   b  a  sin t với t  0;   2 Bài toán 5: Tính A5   x  a dx Bài toán 5: Tính A5   x  a dx Đặt x      với t   ;  sin t  2 a Bài tập x2 Bài tập Nguyên hàm I   A arcsin  x2 dx là: x x  x2  C x x  x2 C B arccos  2 x x  x2 C arccos  C D arcsin x x  x2  C 2 Hướng dẫn giải Chọn D     Đặt x  sin t với t   ;  Ta có cos t  và dx  cos tdt  2     ;  ) cos tdt   sin tdt (vì cos t  0, t    2  sin t sin t Khi đó I   Suy I   1  cos 2t  dt  2t  sin 2t  C Từ x  sin t  t  arcsin Vậy I   x2  x2 x x  x2 và sin 2t  sin t.cos t  2 dx  arcsin Bài tập Nguyên hàm I   A 1  x  2 C B x x  x2  C 2 1  x  x  x2 dx là: C C x 1  x  Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x  cos t, t     dx   sin t.dt Khi đó I    Vậy  sin t.dt dt x dt     cot t  C hay I  C sin t sin t  x2 1  x  dx  x  x2 C C D  x2 C x Ví dụ Nguyên hàm I   A arctan x  C dx là:  x2 B arccot x  C C arcsin x  C D arccos x  C Hướng dẫn giải Chọn A     ;  , ta có dx   tan t dt Đặt x  tan t với t   2   Khi đó I   Vậy I      1  tan t dt   dt  t  C  tan t dx  arctan x  C  x2 Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải Với u  u  x  và v  v  x  là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì ta có:  u.v  '  u ' v.v ' u Viết dạng vi phân d  uv   vdu  udv Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được:  d  uv    vdu   udv Từ đó suy  udv  uv   vdu 1 Công thức (1) là công thức nguyên hàm phần Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Bài toán: Tìm I   u  x  v  x  dx , đó u  x  và v  x  là hai hàm có tính chất khác nhau, chẳng hạn: u  x  là hàm số đa thức, v  x  là hàm số lượng giác u  x  là hàm số đa thức, v  x  là hàm số mũ u  x  là hàm số logarit, v  x  là hàm số đa thức u  x  là hàm số mũ, v  x  là hàm số lượng giác Phương pháp nguyên hàm phần u  u  x  du  u '  x  dx  Bước 1: Đặt   dv  v  x  dx v   v  x  dx Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:  udv  uv   vdu Lưu ý: Đặt u  u  x  (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu tiên xếp Còn nguyên hàm v   v  x  dx ta cần Chọn số thích hợp Điều này làm rõ qua các Bài tập minh họa cột bên phải Bài tập   Bài tập Kết nguyên hàm I   x ln  x dx là: A x2  x2 ln  x     C 2 B x  ln x    D     C x  ln x   x  C    x2  x2 ln x    C 2   Hướng dẫn giải Chọn D 2x  du  x  dx u  ln  x Đặt   v  x  dv  xdx   Khi đó I   x2  x2  x2 ln  x     xdx  ln  x     C 2 Chú ý: Thông thường thì với dv  xdx  v  Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý v  Bài tập Kết nguyên hàm I   x2 x2  mang lại hiệu ln  sin x  cos x  cos2 x x2 C dx là: A  tan x   ln  sin x  cos x   x  ln cos x  C B  tan x   ln  sin x  cos x   x  ln cos x  C C  tan x   ln  sin x  cos x   x  ln  cos x   C D  cot x   ln  sin x  cos x   x  ln cos x  C Hướng dẫn giải Chọn B cos x  sin x u  ln  sin x  cos x  du  dx   x  cos x sin Đặt   dx dv  v  tan x   sin x  cos x  cos x  cos x cos x  sin x dx cos x   tan x   ln  sin x  cos x   x  ln cos x  C Khi đó I   tan x   ln  sin x  cos x    Chú ý: Ở Bài tập này, Chọn v  tan x  có thể rút gọn tử và mẫu nguyên hàm  vdu Bài tập Kết nguyên hàm I   x sin xdx là: 2 A  x cos x  x sin x  cos 5x  C 25 125 C 2 x cos x  x sin x  cos 5x  C 25 125 2 B  x cos x  x sin x  cos 5x  C 25 125 2 D  x cos x  x sin x  cos x  C 25 125 Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích: Ở đây ta ưu tiên u  x là đa thức, nhiên vì bậc u là nên ta phần hai lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau: Bước 1: Chia thành cột: + Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến + Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu các phép toán đường chéo + Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân đầu tiên có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-),… cộng các tích lại với 2 Khi đó I   x cos x  x sin x  cos x  C 25 125 Chú ý: Kĩ thuật này đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm và nguyên hàm hai cột và Nếu nhầm lẫn thì đáng tiếc Bài tập Nguyên hàm I   x e3 x dx là:  x 4 x 12 x 24 x 24  A I        e3 x  C 3 3   B I   x 4 x 12 x 24 x 24  C I        e3 x  C 3 3    x 4 x 12 x D I     3  x e3 x C  3x e  C  Hướng dẫn giải Chọn A Nếu làm thông thường thì phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết và nhanh chóng  x 4 x 12 x 24 x 24  Vậy I        e3 x  C 3 3   Bài tập Nguyên hàm I   e x sin xdx là: A 2e x  sin x  cos x   C C x e  sin x  cos x   C B 2e x  sin x  cos x   C D x e  sin x  cos x   C Hướng dẫn giải Chọn C Phân tích: Sự tồn hàm số mũ và lượng giác cùng nguyên hàm dễ gây cho người học nhầm lẫn, ta không biết điểm dừng thì có thể bị lạc vào vòng luẩn quẩn Ở đây, để tìm kết thì ta phải phần hai lần Bài tập Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào dừng lại? Khi đó, ta có thể kết luận I  e x sin x  e x cos x   e x sin xdx Hay I  e x sin x  e x cos x Vậy I  e x  sin x  cos x   C Chú ý: Chỉ dừng lại đạo hàm nó có dạng giống dòng đầu tiên Dòng cuối thu   sin xe x dx   I Bài tập Tìm I   ln n  ax  b  v  x  dx , đó v  x  là hàm đa thức, n  * và a, b  ; a  Hướng dẫn giải Phân tích: Vì ưu tiên u  x   ln n  ax  b  nên du  na ln n 1  ax  b  ax  b không được, vì phải chuyển lượng t  x   dx và tiếp tục đạo hàm thì cột na từ cột sang nhân với v  x  cột để ax  b rút gọn bớt; tiếp tục quá trình đạo hàm cột 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường Bài tập 6.1 Kết nguyên hàm I   x ln xdx là: A x2 x2 ln   C B x2 x2 ln   C C x2 x2 ln   C Hướng dẫn giải Chọn A D x2 x2 ln   C Vậy I   x ln xdx  x2 x2 ln   C Chú ý: chuyển lượng t  x   x x2 bên cột sang nhân với v  x   ta thu kết Khi đó x 2 bên cột còn lại 1, đạo hàm nó 0; bên cột có nguyên hàm x x2 là Bài tập 6.2 Kết nguyên hàm I    x  1 ln  x  dx là:       3x  6x  C  3x  6x  C  3x  6x  C  3x  6x  C A x  x ln  x   x  x ln  x   x  x ln  x        B x  x ln  x   x  x ln  x   x  x ln  x        C x  x ln  x   x  x ln  x   x  x ln  x        D x  x ln  x   x  x ln  x   x  x ln  x   Hướng dẫn giải Chọn B       Vậy I  x  x ln  x   x  x ln  x   x  x ln  x   Chú ý: Chuyển   , nhân với 2x  x thu  x  3 x 3x  6x  C     Chuyển , nhân với x  x thu  x   x Chuyển , nhân với x  x thu  x   x Bài tập Cho F  x    x  1 e x là nguyên hàm hàm số f  x  e2 x Biết hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  Nguyên hàm hàm số f '  x  e2 x là: A   x  e x  C B   x  e x  C C 1  x  e x  C D 1  x  e x  C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có F '  x   f  x  e2 x  e x   x  1 e x  f  x  e2 x  f  x  e2 x  x.e x Xét  f ' xe 2x dx 2x 2x u  e du  2e dx Đặt   dv  f '  x  dx v  f  x  Do đó I  f  x  e2 x   f  x  e x dx  xe x   x  1 e x  C Vậy I   f '  x  e2 x dx    x  e x  C Dạng 5: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải Ý nghĩa vật lí đạo hàm: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S  S  t  , với S  t  là quãng đường mà chất điểm đó thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu Gọi v  t  và a  t  là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có: v  t   S '  t  và a  t   v '  t  Từ đó ta có: S  t    v  t  dt và v  t    a  t  dt Bài tập Bài tập Một vật chuyển động với gia tốc a  t    m / s2  , đó t là khoảng thời gian tính t 1 từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật là Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu? A 10 m/s B 15,2 m/s C 13,2 m/s Hướng dẫn giải Chọn C D 12 m/s Vận tốc vật thời điểm t tính theo công thức: v  t    a  t  dt   dt  3ln t   C t 1 Vì vận tốc ban đầu (lúc t  ) vật là v0  m / s nên: v    3ln   C   C   v  t   3ln t   Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 là: v 10   3ln 10    13,2  m / s  Bài tập Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a  t      t  t m / s , đó t là 24 16 khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát thì vận tốc vận động viên là bao nhiêu? A 5,6 m/s B 6,51 m/s C 7,26 m/s D 6,8 m/s Hướng dẫn giải Chọn B Vận tốc v  t  chính là nguyên hàm gia tốc a  t  nên ta có:   v  t    a  t  dt     t  t  dt   t  t  C 16  96 48  24 Tại thời điểm ban đầu  t   thì vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: v0   v        C   C  96 48 Vậy công thức vận tốc là v  t    t  t 96 48 Vận tốc vận động viên giây thứ là v  5  6,51 m / s Chú ý: Gia tốc vật chuyển động là a  t     m / s Ta tính v  t    a  t  dt , kết hợp với t 1 điều kiện vận tốc ban đầu v0  m / s Suy công thức tính vận tốc v  t  thời điểm t và tính v 10  Bài tập Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu? A 0,45 m/s B 0,4 m/s C 0,6 m/s D 0,8 m/s Hướng dẫn giải Chọn B Xem thời điểm t0  thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s Ta có s    và v    20 Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t là s n  t   9,8 m / s Nguyên hàm gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t là v  t    9,8dt  9,8t  C1 Do v    20 nên 9,8t  C1  20  C1  20  v  t   9,8t  20 Vậy vận tốc tên lửa sau 2s là v    9,8.2  20  0,  m / s  BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Chẳng hạn: F  x   x3  C là nguyên Định nghĩa Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  , với a  b hàm hàm số f  x   3x nên tích phân 1 f  x  dx  F  x   F 1  F   Nếu F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên  đoạn  a; b  thì giá trị F  b   F  a  gọi là tích  13  C    03  C   phân hàm số f  x  trên đoạn  a; b  Lưu ý: Giá trị tích phân không phụ b Kí hiệu  b thuộc vào số C a Trong tính toán, ta thường chọn C  f  x  dx  F  x   F  b   F  a  (1) a 0 Công thức (1) còn gọi là công thức Newton – Leibnitz; a và b gọi là cận và cận trên tích phân Chẳng hạn: Hàm số f  x   x  x  có Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x  là hàm số liên tục và không đồ thị âm trên đoạn  a; b  Khi đó, tích phân b  f  x  dx C  và f  x    x  1  , với x   a chính là diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành Ox và hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C  , trục Ox và hai đường thẳng x  1 và x  là S   f  x  dx  1 b S   f  x  dx a  x3     x2  x     x  x  1 dx 1  1 Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên khoảng K, đó K có thể là khoảng, nửa khoảng đoạn và a, b, c  K , đó: a  f  x  dx  a Nếu b  a thì Chẳng hạn: Cho hàm số f  x  liên tục, có a b Nếu f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì ta có: b   1; 2 f  1  và f    1  a f   x  dx  f  x  1 1  f    f  1  9 Lưu ý: Từ đó ta có b f  b   f  a    f   x  dx a b và f  a   f  b    f   x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a  k f  x   h.g  x  dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với k , h   d Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a  b b f  x  dx    f  x  dx a f Nếu f  x   0, x   a; b  thì b  f  x  dx  a b  f  x  dx  f  x   a g Nếu f  x   g  x  , x   a; b thì thỏa mãn Khi đó b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a đạo hàm trên đoạn và b  a b f  x  dx   g  x  dx a h Nếu m  f  x  và M  max f  x  thì  a ;b  a ;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn có b  a b b b a a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I   f  x  dx , a đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u   x  thì ta thực phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u  u  x  , suy du  u  x  dx đây thêm bước đổi cận + Đổi cận: + Khi đó x a b u u a u b b ub a ua  I   f  x  dx   g  u  du  G  u  ub ua  G  u  là nguyên hàm g  u  Đổi biến dạng Dấu hiệu Cách đặt a2  x2    x  a sin t ; t    ;   2 x2  a2 a2  x2 Lưu ý: Phương pháp đổi biến số x a     ; t   ;  \ 0 sin t  2    x  a tan t ; t    ;   2 , với ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2  x  a  b  x    x  a   b  a  sin t ; t   0;   2 Phương pháp tích phân phần Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí b Bài toán: Tính tích phân I   u  x  v  x  dx cho ta dễ dàng tìm v và tích phân a b b a a  vdu dễ tính  udv Hướng dẫn giải u  u  x  du  u  x  dx Đặt   dv  v  x  dx v  v  x  b Khi đó I   u.v  ba   v.du (công thức tích phân a phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; a  Khi đó a Đặc biệt  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) + Nếu f  x  là hàm số lẻ thì ta có a  f  x  dx  (1.1) a + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta có a f  x  dx f  x  dx  1 bx 0 a a và a a a  f  x  dx  2 f  x  dx (1.2)   b  1 (1.3) Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b  thì b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx  Hệ quả: Hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , đó:   f  sin x  dx   f  cos x  dx Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  b  x   f  x  thì b b ab a xf  x  dx  a f  x  dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng các tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân I    x  1 dx  a  b  c , với a, b, c   Giá trị biểu thức x  x x 1 P  a  b  c là A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I  x   x  0, x  1; 2 nên 2 x 1  x 1 dx   dx   dx  x  x  x x  x x 1 1      Suy a  4, b  c  2 nên P  a  b  c  Nhân liên hợp x   x Bài tập 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     và f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A f 1  3 B f 1  2 C f 1   D f 1  Hướng dẫn giải Chọn C Từ f   x   x  f  x   (1), suy f   x   với x  1; 2 Suy f  x  là hàm không giảm trên đoạn 1; 2 nên f  x   f    , x  1; 2 f  x Chia vế hệ thức (1) cho  f  x   ta  f  x    x, x  1; 2 (2) Lấy tích phân vế trên đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta f  x  1  dx  1  f  x  1 xdx   f  x       2  x2       1   f 1 f   Do f     nên suy f 1   3 Chú ý đề bài cho f   , yêu cầu tính f 1 , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta có thể dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí 1  Bài tập 3: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x   và f    1, f 1  2 2x 1 2 Khi đó f  1  f  3 A 1  ln15 B  ln C 2  ln D 1  ln15 Hướng dẫn giải Chọn A  Ta có 1 f   x  dx  f    f  1 nên suy f  1  f     f   x  dx 1    f   x  dx 1 Tương tự ta có f  3  f 1   f   x  dx  2   f   x  dx Vậy f  1  f  3  1   f   x  dx   f   x  dx  1  ln x  1  ln x  1 Vậy f  1  f  3  1  ln15 Bài tập 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   f   x  dx  và A 1  x f   x  dx  1 Giá trị I   f  x  dx là 0 B Chọn C   f   x  dx  (1)  x dx  thỏa mãn f 1  , C Hướng dẫn giải Ta có 0;1   49 x dx  (2) D và  14 x3 f   x  dx  14 (3) Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy dx  mà  f   x   x3     f   x   x   f   x   7 x3 Hay f  x    x4  C 7 f 1     C   C  4 x4  4 Do đó f  x    Vậy   x4  f  x  dx       dx  4 0 Bài tập 5: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ Biết  f  x  dx  5; g  x  dx  Giá trị A  A 12 B 24  1 C f  x  dx   g  x  dx là 1 D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f  x  là hàm số chẵn nên Vì g  x  là hàm số lẻ nên 1 1  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10  g  x  dx  1 Vậy A  10 Bài tập 6: Cho xdx   x  1  a  b ln với a, b là các số hữu tỉ Giá trị a  b A 12 B  C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có xdx   x  1 1  2x 11  1   dx      dx 2  x  1  x   x  1  D 12   1    ln  x  1    x  1  1    ln 1 Vậy a   , b   a  b  12 Bài tập 7: Cho 2x  dx  a ln  b ln 3, với a, b   Giá trị biểu thức a  ab  b là  x x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải Ta có 3 2x  2x 1 2   2x 1 2 x  x dx  2 x  x dx  2  x  x  x  x  dx   2x 1 2      dx  ln x  x  ln x  ln x  x  x x x 1 2    5ln  ln a  5   a  ab  b  41 b  Chọn D Bài tập Biết tích phân x 5x  dx  a ln  b ln  c ln 5, với a, b, c là các số nguyên Giá  5x  trị biểu thức S  a  bc là bao nhiêu? A S  62 B S  10 C S  20 D S  10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 5x  5x    1 x2  5x  dx  1  x  2 x  3 dx  1  x   x   dx   ln x   ln x    ln  ln  26 ln Suy a  26, b  4, c  Vậy S  a  bc  26  4.9  10  cos x  sin x.cos x  dx  a  b ln  c ln  , với a, b, c là các số hữu tỉ Giá Bài tập 9: Cho   cos x  sin x.cos x   trị abc A B 2 C 4 Hướng dẫn giải Chọn C D 6   cos x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x dx  dx   2  cos x  sin x.cos x  cos x  cos x  sin x.cos x  Ta có 4    tan x  tan x  tan x  tan x  dx   1  tan x  d  tan x   cos x 1  tan x   4    tan x    tan x   d tan x    1  tan x      2ln  2ln      ln tan x  3 4   Suy a  1, b  2, c  nên abc  4 x x  e  m, Bài tập 10: Cho hàm số f  x    liên tục trên   x  x , x  Biết  f  x  dx  ae  b 1  c  a, b, c    Tổng T  a  b  3c B 10 A 15 C 19 D 17 Hướng dẫn giải Chọn C Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục x   lim f  x   lim f  x   f     m   m  1 x0 x0 1 1 1  f  x dx   f  x  dx   f  x  dx  I Ta có 0 1 1 I1   x  x dx   2  I2   x  d   x   32   x  2  x2 2 3 1 16 I    e x  1 dx   e x  x   e  Suy  f  x  dx  I 1  I2  e   22 22 Suy a  1; b  2; c   3 Vậy T  a  b  3c    22  19  Bài tập 11: Biết A   m cos2 x   3 x dx  m Giá trị  B   m  cos2 x   3x dx  C   m Hướng dẫn giải Chọn A D   m     cos x cos x dx   dx   cos xdx   1  cos x  dx   Ta có  x x 1 1      Suy cos x   3x dx    m  Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến Phương pháp giải Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng và dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx, đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u  x  a Bước 1: Đặt u  u  x  , suy du  u  x  dx Bước 2: Đổi cận x a u u a B u b Bước 3: Tính b u b a u a I   f  x  dx   g  u  du G  u  u b ua Với G  u  là nguyên hàm g  u  Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx , ta có thể đổi biến sau: a Bước 1: Đặt x    t  , ta có dx     t  dt Bước 2: Đổi cận x a b t   Bước 3:       Tính I   f   t      t  dt   g  t  dt  G  t  Với G  t  là nguyên hàm g  t  Dấu hiệu Cách đặt    x  a sin t , t    ;   2 a2  x2 x2  a2 x     ,t   ; \ 0 sin t  2  a a2  x2    x  a tan t , t    ;   2 ax ax   x  a.cos 2t , t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t , t   0;   2  x  a  b  x    x  a   b  a  sin t , t   0;   2 Bài tập mẫu  Bài tập 1: Biết  sin cos x dx  a ln  b ln 3, với a, b là các số nguyên x  3sin x  Giá trị P  2a  b là A B C D Hướng dẫn giải Chọn A   2 cos x Ta có  dx   d  sin x  sin x  3sin x  sin x  1 sin x   0         d  sin x    ln sin x   ln sin x   sin x  sin x   0   ln  ln1   ln  ln   ln  ln Suy a  2, b  1  2a  b  Bài tập 2: Biết I   ln dx   ln a  ln b  ln c  , với a, b, c là các số nguyên tố x e  3e  c x Giá trị P  2a  b  c là A P  3 B P  1 C P  Hướng dẫn giải Chọn D D P  Ta có I   ln ln dx e x dx  e x  3e  x  0 e x  4e x  Đặt t  e x  dt  e x dx Đổi cận x   t  1, x  ln  t  Khi đó I  1 2 1  t 1  dt     dt  ln t  4t   t 1 t   t 3 2   ln  ln  ln  Suy a  3, b  5, c  Vậy P  2a  b  c   Bài tập 3: Biết dx   sin x  a b , với a, b  , c    và a, b, c là các số nguyên tố cùng c Giá trị tổng a  b  c A B 12 C D 1 Hướng dẫn giải Chọn A   x x    tan dx dx 2 dx   Ta có I     dx 2 0   sin x  x x x x 0   cos  sin    tan  1  tan  2 2 2       6 Đặt t   tan x x   2dt    tan  dx 2   Đổi cận x   t  1; x  3 I  cos 2dt  t t 3    t    3 Suy a  1, b  3, c  nên a  b  c  Lưu ý: x x x   sin x   sin  cos  Chia tử và mẫu cho cos   2  2 Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  Giá trị I  A B C 16 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x  2u  xdx  2du  xdx  du  xf  x  dx là D 64 Đổi cận x   u  0, x   u  1 0 Khi đó I   f  2u  du   f  x  dx  Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  0;   cho x  xf  e x   f  e x   1; với x   0;   Giá trị I  e  f  x  ln x e A I   x B I   dx là C I  12 D I  Hướng dẫn giải Chọn C Với x   0;   ta có x  xf  e x   f  e x    f  e x   Đặt ln x  t  x  et  dt   x2   x 1 x dx x Đổi cận x  e  t  ; x  e  t  1 2 Khi đó I   t f  et  dt   t 1  t  dt  12  Bài tập 6: Biết 3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  A 22 B 11 b ln  b ln  c ,  b, c    Giá trị là 13 c 22 C 22 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phân tích m  2sin x  3cos x   n  cos x  3sin x  3sin x  cos x  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x   2m  3n  sin x   3m  2n  cos x 2sin x  3cos x 2m  3n  3 11 Đồng hệ số ta có   m  ;n   m n 13 13    11 2sin x  3cos x    cos x  3sin x   3sin x  cos x 13 dx   13 dx Suy  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x 0   2 D 22 13   11 cos x  3sin x  dx   x      13 13 2sin x  3cos x  13     11 cos x  3sin x dx 13 0 2sin x  3cos x  3 11 d  2sin x  3cos x  3 11    dx   ln 2sin x  3cos x 26 13 2sin x  3cos x 26 13   11 b  13 b 11 26 22 3 11 11      ln  ln Do đó  c 13 3 26 13 13 c   26 Bài tập 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn   tan x f  cos x  dx  2 e2  e f  ln x  x ln x f  2x  dx là x dx  Giá trị I   A B C Hướng dẫn giải Chọn D   4 sin x.cos x f  cos x  dx  2 cos x Đặt A   tan x f  cos x  dx    Đặt t  cos x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx Đổi cận x   t  và x  f t  dt   t  Khi đó A   t  e2 Đặt B   f  ln x  x ln x e e2 dx   e Tương tự ta có B   Giá trị I   Đổi cận x  Khi đó I   x x ln x dx  f t  dt  t f  2x  ln x f  ln x  dx Đặt t  x  dx  dt 1  t  và x   t  4 f t  t dt   f t  t dt   f t  t dt    D và Bài tập 8: Cho   x  3 x  1 dx  a  b ; với a, b là các số nguyên Giá trị biểu thức a b  b a A 17 B 57 C 145 D 32 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Giá trị I    x  3 x  1 dx x   x  1 x 1 dx   x3 dx 2 dx   2tdt   tdt 2 x 1  x  1  x  1 Đặt t  Đổi cận x   t  3, x   t  Ta có I   Mà  dx  x   x  1 x 1  x  3 x  1  t  t  dt  3 2  dt  t   dx  a  b nên suy a  3, b  Từ đó ta có giá trị a b  b a  32  23  17 Bài tập 9: Cho  x a  dx  ln   b  , với a, b là các số nguyên tố Giá trị biểu thức x 1 a b  P   a  b  A 12 B 10 C 18 D 15 Hướng dẫn giải Chọn B Biến đổi I   x dx   x 1 x 1  x3 1    x  dx   1 x  x3 dx   Đặt u   1  u    2udu   dx và x3  u 1 x x x Đổi cận x   u  3; x   u  2 2udu  Ta có I   3  u  1 u 3 du u 1  u   ln u  x3 dx x 1 x 3   ln    2  Suy a  3, b  Vậy P   a  b   10 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần ln x b dx   a ln với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời x c Bài tập Cho tích phân I   b là phân số tối giản Giá trị biểu thức P  2a  3b  c là c A P  B P  C P  6 D P  Hướng dẫn giải Chọn D dx  du  u  ln x    x Đặt  dx    dv   v  x2  x Khi đó I   ln x x 2   ln x 1  ln dx       x2 x 1 2  x  Suy b  1, c  2, a  1 Do đó P  2a  3b  c  + Ưu tiên logarit u  ln x  + Đặt  dx dv  x  Bài tập 2: Biết x   cos x dx  a  b ln 2, với a, b là các số hũu tỉ Giá trị T  16a  8b là A T  B T  C T  Hướng dẫn giải Chọn A   4  x x 14 x dx   dx  dx  cos x cos x 0 cos x 0 Đặt A   u  x  du  dx  Đặt  dv  cos x dx  v  tan x Khi đó D T  2  1 A   x tan x         1   tan xdx    x tan x  ln cos x       1  1     ln     ln    ln 2  2  1 Vậy a  , b  đó 16a  8b    + Biến đổi  cos x  cos x + Ưu tiên đa thức u  x  + Đặt   dv  cos x dx Bài tập 3: Cho I   xe2 x dx  a.e2  b với a, b   Giá trị tổng a  b là A B C D Hướng dẫn giải Sử dụng phương pháp phần du  dx u  x   Đặt   2x 2x dv  e dx v  e  1 0 Khi đó I  u.v   v.du  Suy a.e  b  2x x.e 1  2x e dx  x.e2 x  20 1  e2 x 1  e2  4 e  4 1 Đồng hệ số hai vế ta có a  , b  Vậy a  b  4 Chọn A + Ưu tiên đa thức u  x + Đặt  2x dv  e dx Bài tập 4: Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  , f    16 và  f  x  dx  Tích phân x  xf    dx A 112 B 12 C 56 D 144 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  x  x  2t  dx  2dt x   t  Đổi cận  Do đó x   t  2 x 0 xf    dx  0 4tf   t  dt  0 xf   x  dx u  x  du  4dx Đặt    dv  f   x  dx v  f  x  Suy 2 2 0  xf   x  dx  4 xf  x    f  x  dx  f  2  4 f  x  dx  8.16  4.4  112  ln  sin x  cos x  dx  a ln  b ln  c với a, b, c là các số hữu tỉ cos x Bài tập Cho  Giá trị abc A 15 B C Hướng dẫn giải Chọn A u  ln  sin x  cos x   cos x  2sin x dx  du   Đặt  sin x  cos x dx dv  v  tan x  cos x  Khi đó   ln  sin x  cos x  cos x  dx   tan x   ln  sin x  cos x   cos x  2sin x dx cos x   3  ln  3ln     0 1  tan x dx    3ln  ln   x  ln cos x      3ln  ln   ln  3ln  ln  2 Suy a  3, b   , c   Vậy abc  18 D 17   x  1 Bài tập Biết e x x p q dx  me  n, đó m, n, p, q là các số nguyên dương và p là phân q số tối giản Giá trị T  m  n  p  q là A T  11 B T  10 C T  D T  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I    x  1 e x x dx    x  x  1 e Xét I1    x  1e x x x x e  I1   xe x x dx   x e x x x d  x   x 2e x dx  x e x x dx    x  1e 1 x   xe x dx   xe x x dx x x dx  I  x 2e x x 1 x 2 1 x x  x2  1 2  x  dx   x e d  x     x d  e x  x x    1 x x  x2e x  4e  1  m  4, n  1, p  3, q  Khi đó T  m  n  p  q      10 m Bài tập Tìm số thực m  thỏa mãn   ln x  1 dx  m B m  e A m  2e Hướng dẫn giải Chọn B m m m 1 A    ln x  1 dx   ln xdx   dx m I   ln xdx 1  u  ln x du  dx  Đặt  x dv  dx  v  x  m  I  x ln x   dx m m  e m A  x ln x  m ln m  m   m  C m  e2 D m  e  e k Bài tập Đặt I k   ln dx, k nguyên dương Ta có I k  e  khi: x A k  1; 2 B k  2;3 C k  4;1 D k  3; 4 Hướng dẫn giải Chọn A k e   e k u  ln du   dx  Đặt   I k   x.ln  +  dx   e  1 ln k   I k  e  x x x 1  dv  dx v  x   e  1 ln k   e   ln k  e3  ln k   e 1 e 1 Do k nguyên dương nên k  1; 2 Bài tập Tìm m để  e x  x  m  dx  e B m  e A m  C m  D m  e Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  x  m du  dx   x x dv  e dx  v  e 1  I   e x  x  m  dx  e x  x  m    e x dx  e x  x  m  1  me  m  1 Mặt khác: I  e  me  m   e  m  e  1  e   m  Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp b Bài toán: Tính tích phân I   g  x  dx a ( với g ( x ) là biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối trên  a; b Dựa vào dấu để tách tích phân trên đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần b Đặc biệt: Tính tích phân I   f ( x) dx a Cách giải Cách 1: +) Cho f ( x )  tìm nghiệm trên  a; b +) Xét dấu f ( x ) trên  a; b , dựa vào dấu f ( x ) để tách tích phân trên đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) +) Tính tích phân thành phần Cách 2: +) Cho f ( x)  tìm nghiệm trên  a; b giả sử các nghiệm đó là x1 ; x2 ; xn ( với x1  x2   xn ) x1 x2 x3 b a x1 x2 xn Khi đó I   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx    f ( x ) dx I  x1  f ( x)dx  a x2  f ( x)dx  x1 x3  b f ( x)dx   x2  f ( x)dx xn +) Tính tích phân thành phần Bài tập Bài tập 1: S   x2  x  dx  1   a a , a, b    , là phân số tối giản Giá trị a  b b b A 11 B 25 C 100 D 50 Hướng dẫn giải Chọn A S  1 x  x  dx    1   x3 x2    2x  x  x  dx        1     1                       Bài tập 2: I    sin 2xdx  a a , a  * Hỏi a là bao nhiêu? A 27 B 64 C 125 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:  sin 2x   sin x  cos x 2    sin x  cos x  sin  x   4  D    3  Với x  0;   x     ;   4          + Với x     ;  thì sin  x      4   3   + Với x   0;  thì sin  x    4           I    sin  x   dx   sin  x   dx  2 4 4    Chọn 3: Biết I   x  1 dx   a ln  b ln 5, với a , b là các số nguyên Giá trị S  a  b x A B 11 D 3 C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: I    x  1 x  1 x  1 dx   dx   dx x x x 5  2x 2x  22  x 1  x  2  dx   dx   dx   dx x x x x 2 5 3      x  dx      dx   5ln x  x    x  3ln x  2 x x   a   8ln  3ln     a  b  11 b  3 Bài tập 4: Cho tích phân 2   cos 2xdx  ab và a  b   2 Giá trị a và b là a  A   b  2 a  2 B   b  a  2 a  C    b  2  b  2 a  2 a  D    b  Hướng dẫn giải Chọn D 2   cos 2xdx  2  sin x dx   sin xdx   2 0     cos x  cos x 2   sin xdx  ab  a  2 a    X2   2 X       b   b  2 a  b   2    b  2 1  2 Bài tập 5: Tính tích phân I   x x - a dx, a  ta kết I  f ( a ) Khi đó tổng f (8)  f   có giá trị bằng: A B 91 C 17 24 D 2 17 Hướng dẫn giải Chọn B   x3 ax  a 11  TH1: Nếu a  đó I    x  x  a  dx       f (8)    0 3  a a TH 2: Nếu  a  đó I    x  x  a  dx   x  x  a  dx a   x3 ax2   x3 ax2  a3 a            0  a 3  1 1 1 f        24   11 91     24 Khi đó f (8)  f    Bài tập 6: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  f  x  dx  và  f  x  dx  14 Giá trị  f  x   dx 2 A 30 B 32 C 34 Lời giải Chọn B + Xét  f  x  dx  Đặt u  x  du  2dx ; x   u  ; x   u  Nên   f  x  dx  2 f  u  d u   f  u  du  0 + Xét  f  x  dx  14 Đặt v  x  dv  6dx ; x   v  ; x   v  12 Nên 14   f  x  dx  + Xét  2 12 f  v  dv  0 f  x   dx   2 12  f  v  dv  84 f  x   dx   f  x   dx D 36 Tính I1   f  x   dx 2 Đặt t  x  Khi 2  x  , t  5 x   dt  5dx ; x  2  t  12 ; x   t  12  1 1 f  t  dt    f  t  d t   f  t  d t    84    16  12 0  I1  Tính I1   f  x   dx Đặt t  x  Khi  x  , t  x   dt  5dx ; x   t  12 ; x   t  12 I2  12  1 1 f t d t    f t t  f  t  d t    84    16 d      52 0   f  x   dx  32 Vậy 2 Bài tập 7: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 và  f  x  dx  ;  f  x  dx  Giá trị  f  3x  dx 1 A C B D Hướng dẫn giải Chọn C  f  x  dx  1 1/3  f 1  x dx  1 1/3  f  3x  1dx 1/3  1 f 1  x d 1  x    f  x  1d  x  1 1 1/3  1 1 f  t dt   f  t d  t         4 30 3 3 Bài tập S    A 80 y  y  dy  a  24 Giá tị A  B b B 83 C 142 Hướng dẫn giải Chọn C D 79     y  4y   y  y    Xét dấu y  y  , ta có: y ‐ ‐∞ + y ‐1 y ‐3 2 (y ‐1)(y ‐3) S    1        + ‐ + ‐ ‐ + +∞ + ‐ ‐ + ‐ ‐ + y  4y  dy  y  1  y  4y  dy  1  y 4y      3y      +   y  4y  dy     4y   y dy   ‐1   4y  dy 1  y 4y   y 4y     3y      3y      3   1  1 112  24 15 Bài tập S   4x2  4x  1dx    a a , a, b    , là phân số tối giản Giá trị b b A B 3 C 35 a  4b D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: I7    2x  1 dx   2x  dx 0 1 0 1  I7   2x  dx   2x  dx   2x  dx     2x  dx    2x  1 dx  2 Suy ra: a  1, b  Bài tập 10 I  2  3  sin xdx  A B , biết A  2B Giá trị A  B A 72 B C 65 D 35 Hướng dẫn giải Chọn A  x x x x x  Ta có:  sin x   sin  cos   sin  cos  sin    2 2  2 4 x x    5  Với x  0;    0;      ;  2 4  + Với x    x     ;   thì sin     4  2 4 + Với x   5  x     ;  thì sin       2 4 I 3  2 x  x  sin    dx   sin    dx    2 4 3  Bài tập 11 Cho tích phân   sin x  cos xdx  a  b Giá trị A  a  b  B 5 A D 8 C Hướng dẫn giải Chọn D  0 I    sin 2x  cos2 xdx    sin x  sin x  cos x   tan x   x      cos x dx   sin x  cos x dx   k  Do x   0;  nên x   2    I   sin x  cos x dx   sin x  cos x dx     cos x  sin x      cos x  sin x    sin x      cos x dx     sin x   cos x dx  3           2 2  a  1; b   A  8 Dạng 5: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn Phương pháp giải a Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; a  Khi đó Bài tập 1: Tích phân I   cos x.ln 1 2 x dx 2 x a  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) Chứng minh a a a a 0 I Xét  f  x  dx B C D Hướng dẫn giải  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Ta có A 1 Đổi Hàm số f  x   cos x.ln 2 x xác định và liên tục 2 x biến trên đoạn  1;1 a Mặt khác, với x   1;1   x   1;1 và x  t  dx  dt f   x   cos   x  ln Đổi cận x  a  t  a; x   t  Khi đó a a a 0 I   f  t   dt    f  t  dt   f   x  dx 2 x 2 x   cos x.ln   f  x 2 x 2 x Do đó hàm số f  x   cos x.ln 2 x là hàm số lẻ 2 x 2 x dx  2 x Do đó (1) chứng minh Vậy I   cos x.ln Đặc biệt Chọn C + Nếu f  x  là hàm số lẻ thì ta có Bài tập 2: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục 1 trên đoạn  6;6 a  f  x  dx  (1.1) a + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta có a Tính (1.2) + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta có f  x x a dx  a f  x  dx   b  1 a (1.3) Đặt A  f  x  1 b x B I  C I  D I  14 Hướng dẫn giải Gọi F  x  là nguyên hàm hàm số f  x  trên  dx (*)  Đổi biến x  t  dx  dt Đổi cận x  a  t  a; x  a  t  a a f  1  1 b a  f  x  dx A I  11 a Khi đó A  t đoạn  6;6 ta có Chứng minh (1.3): a  f  2 x  dx  1  1 b  f  x  dx  2 f  x  dx a f  x  dx  và 1 a a  Biết a  dt    a bt f  t   bt dt f  2 x  dx    f  x  dx  3 F  x   Do đó F    F    hay  f  x  dx  Vậy I  6 1 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  14 bx f  x a Hay A   a  bx Bài tập 3: Tích phân I  Suy a 2A  Chọn D dx (**)  f  x  dx  A  a a f  x  dx a A I  C I  2021 2021 x 2020  e x  1dx có giá trị là 1 B I  22020 2019 D I  22019 2019 Hướng dẫn giải Áp dụng bài toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f  x   x 2020 và b  e ta có Ta có x 2021 I   x 2020 dx  1 2021 1  2.22021 22021 I 2021 2021 Chọn C b Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì b  a b f  x  dx   f  a  b  x  dx Bài tập 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa điều kiện f  x   f   x   cos x, với x    a  f  x  dx Hệ quả: hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , đó: Giá trị N      là 2 A N  1 B N  0 C N  D N  f  sin x  dx   f  cos x  dx Hướng dẫn giải  Ta có N     f  x  dx   f   x  dx  2  Suy N      f  x   f   x   dx   cos xdx    0 Vậy N   cos xdx  2sin x  Chọn D 2 Bài tập 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   f   x   x   x  , x   Giá trị tích phân G   f  x  dx là c Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b f  a  b  x   f  x  thì b và A G  B G  2 C G  D G  Hướng dẫn giải 2 0 Ta có G   f  x  dx   f   x  dx b ab a xf  x  dx  a f  x  dx 2 0 Suy 2G    f  x   f   x   dx   x   x  dx Vậy G  x   x  dx   20 Chọn C Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x  dx  và 1 0 x f  x  dx  Tích phân d Nếu f  x  liên tục trên đoạn f  x   với x   a; b  thì b  a  a; b a  f  x  dx A B C D và Hướng dẫn giải du  f   x  dx u  f  x    f  x  dx  và Đặt  x3 dv  x dx v   b  f  x  dx  f  x   1 Ta có  x f  x  dx   x3 f  x  1 1   x3 f   x  dx 30 x f   x dx    x f   x  dx  1  30 Cách 1: Ta có   f   x  dx  (1)  x dx  x7 1  1   49 x dx  49  (2) 7 1 0 3  x f   x  dx  1   14 x f   x  dx  14 (3) Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy 1 0   f '  x  dx   49 x dx   14 x f   x  dx     f  x   x3  dx  Do  f   x   x      f   x   x  dx  Mà   f   x   x f  x    dx   f   x   7 x x4  C 7 Mà f 1     C   C  4 Do đó f  x    Vậy  x4  4  x4  f  x  dx       dx  4 0 Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn Loại 1: Biểu thức tích phân đưa dạng: u ( x) f '( x) + u '( x) f ( x) = h ( x) Cách giải: + Ta có u ( x ) f '( x ) + u '( x ) f ( x ) = éëu ( x ) f ( x )ùû ' ' + Do đó u ( x ) f '( x ) + u '( x ) f ( x ) = h ( x )  éëu ( x ) f ( x )ùû = h ( x ) Suy u ( x) f ( x) = ò h ( x) dx Suy f ( x) Loại 2: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x) + f ( x) = h ( x) Cách giải: ' + Nhân hai vế với e x  e x f '( x ) + e x f ( x ) = e x h ( x )  êé e x f ( x )úù = e x h ( x ) ë û Suy e x f ( x) = ò e x h ( x) dx Suy f ( x) Loại 3: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x) - f ( x) = h ( x) Cách giải: ' + Nhân hai vế với e- x  e- x f '( x ) + e- x f ( x ) = e- x h ( x )  éê e- x f ( x )ùú = e- x h ( x) ë û Suy e- x f ( x ) = ò e- x h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 4: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x) + p ( x ) f ( x) = h ( x) Cách giải: eò + Nhân hai vế với Suy f ( x).e ò p( x )d x  f '( x ).e ò é  ê f ( x ).e ò êë p( x)dx = ò eò p( x )d x ù p( x)dx p( x )d x ' + p ( x ).e ò ú = h ( x ).e ò úû p( x )d x f ( x ) = h ( x ).e ò p( x )d x p( x )d x .h ( x ) dx Suy f ( x) b  Công thức a b f ( x)dx   f ( a  b  x)dx a Bài tập Bài tập 1: Cho số thực a  Giả sử hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên đoạn  0; a  thỏa mãn a dx là 1 f  x f  x  f  a  x   Giá trị tích phân I   A I  2a a B I  a C I  Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  a a a f  x 1 dt   dx   dx   dx 1 f a  t  1 f a  x 1 f  x 0 1 f  x a Khi đó I   D I  a a a f  x a dx   dx   1.dx  a Vậy I  1 f  x 1 f  x 0 a  2I   Ta có thể chọn hàm số f  x   , với x   0; a  thỏa mãn yêu cầu đề bài a a 1 a dx   dx  1 f  x 2 0 Khi đó I   Bài tập 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;1 và f   x   2019 f  x   e x , x   1;1 Tích phân M  f  x  dx 1 A e2  2019e B e2  e e2  2020e C D Hướng dẫn giải Chọn C  Ta có M  f  x  dx  1  f   x  dx 1 1 1 1 1 Do đó 2020 M  2019  f  x  dx   f   x  dx    f   x   2019 f  x   dx Suy M  e2  x e dx  2020 1 2020e Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì b b a a  f  x  dx    f  a  b  x  dx Bài tập Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x    cos x Giá trị tích phân P  3   f  x  dx là A P  B P  C P  Hướng dẫn giải Chọn C 3 Ta có P    2P  3  f  x  dx   f   x  dx  3 3     f  x   f   x  dx   3 2  cos xdx   sin x dx D P   3   Hay P   sin xdx   sin xdx  2 cosx  cos x 3   Bài tập 4: Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   sin x với x và f    Tích phân e f   A e  B e  C e  D  1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f  x   f   x   sin x nên e x f  x   e x f   x   e x sin x, x     e x f  x    e x sin x hay  e x f  x    e f         0  x x  e f  x  dx   e sin xdx x e  sin x  cos x   2   e f    f      e  1 e  Để ý  e x   e x nên nhân thêm hai vế f  x   f   x   sin x với e x thì ta có  e f  x    e sin x x x Bài tập 5: Cho hàm số f  x  tuần hoàn với chu kì     f   x  dx  và     và có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    , 2    f  x  cos xdx  Giá trị f  2019  2 A 1 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Bằng phương pháp tích phân phần ta có    f  x  cos xdx   f  x  sin x    2   Suy   f   x  sin xdx Suy   cos x  x  sin x  dx      Mặt khác  sin xdx            f   x  sin xdx        2 2 0   f   x  dx  2 sin xf   x  dx   sin xdx     f   x   sin x  dx  2    f   x    sin x Do đó f  x   cos x  C Vì f    nên C  2 Ta f  x   cos x  f  2019   cos  2019   1 Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thoả mãn f  x   xf   x   x 2018 với x   0;1 Tính I   f  x  dx A I  2018  2021 B I  2019  2020 C I  2019  2021 D I  2018  2019 Hướng dẫn giải Chọn C Từ giả thiết f  x   xf   x   x 2018 , nhân hai vế cho x ta x f  x   x f   x   x 2020   x3 f  x    x 2020 Suy x3 f  x    x 2020 dx  x 2021  C 2021 x 2018 Thay x  vào hai vế ta C   f  x   2021 Vậy  f  x  dx   1 2018 1 x dx  x 2019  2021 2021 2019 2021 2019 Bài tập 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0; 4 , thỏa mãn f  x   f   x   e  x x  với x   0; 4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A e f    f    26 B e4 f    f    3e C e f    f    e4  D e4 f    f    Lời giải Chọn A Nhân hai vế cho e x để thu đạo hàm đúng, ta e x f  x   e x f '  x   x    e x f  x    x  / Suy e x f  x    x  1dx   x  1 x   C Vậy e f    f    26 Bài tập 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên , thỏa mãn f '  x   2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x với x   và f    2018 Giá trị f 1 A 2018e 2018 B 2017e 2018 C 2018e2018 D 2019e2018 Lời giải Chọn D Nhân hai vế cho e2018 x để thu đạo hàm đúng, ta  f   x  e 2018 x  2018 f  x  e2018 x  2018 x 2017   f  x  e 2018 x   2018 x 2017 Suy f  x  e2018 x   2018 x 2017 dx  x 2018  C Thay x  vào hai vế ta C  2018  f  x    x 2018  2018  e 2018 x Vậy f 1  2019e2018 Bài tập 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f   x   xf  x   xe  x và f    2 Giá trị f 1 A e B e C e D  e Hướng dẫn giải Chọn C Nhân hai vế cho e x2 để thu đạo hàm đúng, ta x2 f   x  e  f  x  xe x2 Suy e f  x    xe  x2 dx   2e  x2 x2  xe  x2 x  x    e f  x    xe   2  C Thay x  vào hai vế ta C   f  x   2e  x 2 Vậy f 1  2e 1   e Bài tập 10: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f ( x)  f (1  x)   x Tích phân  f ( x)dx A B C 15 D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f ( x)  f (1  x)   x (1) Đặt t   x , thay vào (1) , ta được: f (1  t )  f (t )  t hay f (1  x)  f ( x)  x (2) Từ (1) & (2) , ta được: f ( x )  Do đó, ta có:  1 x x 5 f ( x ) dx  2 x dx    x d x     15 15 50 50 b b a a  f ( x)dx   f (a  b  x)dx Cách Công thức 1 0 Lấy tích phân vế ta  f ( x)dx  3 f (1  x )dx    x dx 1 2 5 f ( x)dx    f ( x)dx  15 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức  x2 x1 f  ax  b  dx   ax2  b ax1  b f  x  dx Khi đó: Từ f  x   f 1  x    x suy ra:  f  x  dx  3 f 1  x  dx     f  x  dx  3 f  x  dx   1 1 0  x dx 2   f  x  dx  15 1  x dx  50 f  x  dx  1 a I   f  t  dt   f  x  dx  21 21 Bài tập 11: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 Biết  f  x dx  và 1  f  2x  dx  Giá trị  f  x  dx 1 A C 1 B e D 14 Hướng dẫn giải Chọn D 3 1 Ta có y  f  x  là hàm số chẵn nên f  2x   f  2x  suy  f  2x dx   f  2x dx  3 Mặt khác:  f  2x dx  6 1 f  2x d  2x    f  x dx    f  x dx   21 22 6 1 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    14 k Bài tập 12: Tìm tất các giá trị thực tham số k để   2x  1 dx  lim x 0 k  A  k   k  1 C   k  2 k  B   k  2 x 1 1 x  k  1 D  k  Hướng dẫn giải Chọn D  2x  1 1  2x  1 dx  1  2x  1 d  2x  1  k Ta có k x 1 1  lim x 0 x Mà lim  x 0   k  2k  1    lim x 1 1 x 1 1   x x 1 1 x 0  2 x 1 1  2k  1    2k     k  x 1 1 Khi đó   2x  1 dx  lim     k  1 x 0 x  k f  x  f  a  x   Bài tập 13: Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn  và f  x   0, x   0;a  a dx  1 f x  ba b , đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản Khi đó b  c có giá c c trị thuộc khoảng nào đây? A 11; 22  B  0;9  C  7; 21 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  0 a a a f  x  dx dt dx dx dx     1 f  x  a 1 f a  t  1 f a  x  1 1 f  x 0 f x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx   1dx  a  f  x   f  x  0 a Suy 2I  I  I   Do đó I  a  b  1; c   b  c  D  2017; 2020  Cách Chọn 2: f x  là hàm thỏa các giả thiết Dễ dàng tính I  a  b  1; c   b  c  Bài tập 14: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  4, x   f  sin x  cos xdx  Giá trị tích phân  f  x  dx B A D 10 C Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C f  Xét   x  dx  Đặt t  x  t  x, suy 2tdt  dx x x   t  Đổi cận  x   t  Suy   f  x  dx  x 3 1  f  t  2dt   f  t  dt    Xét  f  sin x  cos xdx  Đặt u  sin x, suy du  cos xdx  x   u   Đổi cận  Suy   f  sin x  cos xdx   f  t  dt  0  x   u  3 0 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   Bài tập 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  tan x  dx  4, x2 f  x  0 x2  dx  Giá trị 1 tích phân I   f  x  dx A I  B I  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  Xét  f  tan x  dx  C I  D I  Đặt t  tan x, suy dt  dt dx   tan x  1 dx  dx  cos x 1 t2  x   t  1 f t  f  x  Khi đó   f  tan x  dx   dt   dx Đổi cận:   t 1 x 1 0  x   t  1 f  x x f  x dx    Từ đó suy I   f  x  dx   dx   x 1 x 1 0 1  Bài tập 16: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  tan x f  cos x  dx  1, e  e f  ln x  x ln x dx  Giá trị tích phân I   f  2x x A dx C B D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  ● Xét A   tan x f  cos x  dx  Đặt t  cos x Suy  tan xdx   dt  2sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t.tan xdx  dt 2t x   t   Đổi cận:    x   t  1 1 f  x f t  f t  f  x Khi đó  A    dt   dt   dx   dx  21 t 21 t 21 x x e2 ● Xét B   e Suy du  f  ln x  x ln x dx  Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du  dx  dx  dx  x x ln x x ln x x ln x 2u x  e  u  Đổi cận:  x  e  u  4 4 f  x f u  f  x du   dx   dx  Khi đó  B   21 u 21 x x f  2x dx x ● Xét tích phân cần tính I    dx  dv Đặt v  x, suy  Đổi cận: x  v  Khi đó I   1  x   v    x   v  4 f v f  x f  x f  x dv   dx   dx   dx    v x x x 1 2 Bài tập 17: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0; 2 Biết f    và f  x f 2  x  e x2  x với x   0; 2 Giá trị tích phân I   x A  14 B    3x f   x  f  x 32 16 C  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Từ giả thiết f  x  f   x   e x x Ta có I    3x  f '  x  f  x 4 x x2  f    u  x  x 2  du   x  x  dx dx Đặt  f ' x   dv  f x dx v  ln f  x     Khi đó I   x3  x  ln f  x  f   1    x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3 J x  t Ta có J    x  x  ln f  x  dx  0    t  2    t   ln f   t  d   t       x     x   ln f   x  d   x     x  x  ln f   x  dx   2 Suy 2 J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f   x  dx 0    x  x  ln f  x  f   x  dx    x  x  ln e x 4 x dx    x  x  x  x  dx  32 16 J 15 15 dx D  16 Vậy I  3 J   16    Bài tập 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên   ;  và thỏa mãn f  x   f   x   cos x Giá  2  trị tích phân I   f  x  dx  A I  2 B I  C I  D I  Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B Từ giả thiết, thay x  x ta f   x   f  x   cos x Do đó ta có hệ 2 f  x   f   x   cos x 4 f  x   f   x   cos x   f  x   cos x  2 f   x   f  x   cos x  f  x   f   x   cos x  Khi đó I     f  x  dx  2  cos xdx  sin x     2  1  Bài tập 19: Cho hàm số f  x  liên tục trên  ;  và thỏa mãn f  x   f 2  tích phân I   A f  x x dx B C Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Từ giả thiết, thay x 1 ta f    f  x   x x  x Do đó ta có hệ  f   f   1  f  x   f  x   3x       f  x    x x 1 4 f  x   f       f  x     x  x x x  x   f  1   3x x Khi đó I   1    x Giá trị x f  x     dx     1 dx     x  x   x  1 x 2  D 1 Cách khác Từ f  x   f    x  f  x   x  f  x Khi đó I   2 Xét J     f  x dx     x 1 2  1   x 1 1 f   2 f    x   dx  dx   x  dx 1 1 x x   2  1 f  1  x  dx Đặt t  , suy dt   dx  t dx  dx   dt x x x t   x   t  Đổi cận:  x   t   2 2 f t  f  x  1 Khi đó J   tf  t     dt   dt   dx  I t x  t  1 2 2 2 Vậy I  3 dx  I  I   dx  1 Bài tập 20: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x với x   và f    f     Giá trị f 1 A B C Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhận thấy  f   x    f  x  f   x    f  x  f   x   Do đó giả thiết tương đương với  f  x  f   x    15 x  12 x       C  Suy f  x  f   x    15 x  12 x dx  3x5  x  C  f  f  1  f  x  f   x   3x5  x   f  x  f   x  dx    x  x  1 dx  Thay x  vào hai vế ta f  x  x6   x  x  C ' 2 f 0 C'C' 2 D 10 Vậy f  x   x  x  x   f 1  Bài tập 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos x, x   Giá trị I   f  x  dx A  B C Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A   f  tan x   cos x  f  tan x      tan x    f x  x 1  1   f  x  dx  2 2  D  Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân Phương pháp Áp dụng các bất đẳng thức: b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b thì  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b và m  f  x   M thì m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a b b  b + Nếu f  x  , g  x  liên tục trên  a; b thì   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx dấu "  " xẩy a a  a và f  x   k g  x  + Bất đẳng thức AM-GM Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  1 và  x f  x  dx  Giá trị phân A 1  f  x  dx B C D Hướng dẫn giải Chọn B 1 x3 f  x    x f '  x  dx Kết hợp với giả thiết Dùng tích phân phần ta có  x f  x  dx  30 0 f 1  , ta suy  x f '  x  dx  1 1  x7 Theo Holder  1    x f '  x  dx    x dx.  f '  x   dx  0  Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x   kx , thay vào .7  1  x f '  x  dx  1 ta k  7 Suy f '  x   7 x  f '  x   7 x , x   0;1  f  x    x  C 7 7  C   f  x    x    f  x  dx  4 f 1  Bài tập 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  , 11  x f  x  dx  78 f x d f x  và        13 Giá trị f   A B 251 C 256 D 261 Hướng dẫn giải Chọn D 2  12 4 2   Theo Holder      x f  x  dx    x dx.  f   x   dx   13 13 169  13   0   f   x   x6  f  x   Vậy f  x   f 1 1 x  C  C  7 261 x   f  2  7 Bài tập 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  2, f    và   f   x  dx  Tích phân   f  x   2018x  dx A B 1011 C 2018 D 2022 Hướng dẫn giải Chọn B 1  1 Theo Holder    f '  x  dx    dx.  f '  x   dx  1.4  0  0    f '  x    f  x   x  C   C  f 0 Vậy f  x   x    f  x   2018 x  dx  1011 Bài tập 4: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  ef   và  dx    f   x   dx  Mệnh đề nào sau đây đúng? f  x A f 1  2e e 1 B f 1  C f 1  2e2 e2  D f 1  Hướng dẫn giải  e  2 e 1 e  2 e 1 Chọn C  Ta có 1 AM  GM f '  x   2 dx         2 f x x f x x ' d ' d dx         0 f  x   f  x  0  f  x    ln f  x   ln f 1  ln f    ln Mà  f 1  ln e  f  0 dx  f  x f ' x     f '  x   dx  nên dấu ''  '' xảy ra, tức là f '  x   f  x f  x   f  x  f '  x  dx   xdx  f  x  x  C  f  x   x  2C Theo giả thiết f 1  ef   nên ta có  f  x  2x   2C  e 2C   2C  e 2C  C  e2  2 2e2  f     e2  e2  e2  Bài tập 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương và liên tục trên  0;1 , 1 3 thỏa mãn f    và   f  x    f   x    dx  3 f   x  f  x  dx Giá trị I   f  x  dx   0 A   B  e  1 e 1 C e 1 Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có f  x    f '  x     f '  x     3  f '  x   3 f  x f  x  f ' x f  x 2 Suy 3 0  f  x    f '  x   dx  30 f '  x  f  x  dx Mà 3 0  f  x    f '  x   dx  30 f '  x  f  x  dx nên dấu ''  '' xảy ra, tức là  f '  x     f  x f  x  2 f  x f  x   f ' x  f  x 2 x C f ' x f ' x 1 dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e   2 f  x f  x D e2  1 x Theo giả thiết f     C   f  x   e   f  x  dx    e 1 Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   , thỏa mãn   f   x  sin xdx  1 và   f  x  dx    Giá trị tích phân  xf  x  dx A  B   C   D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B    0 Theo Holder 1   f  x  cos xdx   f  x  dx  cos xdx   f  x     cos x   xf  x  dx   x cos x  dx       Bài tập 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa t f 1  0, x  0 cos   f  x  dx  Giá trị ích phân A  B  2 0  f   x  dx  và  f  x  dx C  D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2  x  2    x        sin   f '  x  dx    sin   dx.  f '  x   dx   4 0       f ' x    x  x  f 1  sin    f  x   cos    C  C      x Vậy f  x   cos     f  x  dx     Bài tập 8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương liên và tục trên  0;1 , thỏa mãn  A xf   x  1 dx  và f    1, f 1  e Giá trị f   f  x 2 B C e D e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Hàm dấu tích phân là hàm đúng xf '  x  f  x  x f ' x f  x , x   0;1 Điều này làm ta liên tưởng đến đạo f ' x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f  x f ' x f  x  mx  m xf '  x  f  x với m  và x   0;1 Do đó ta cần tìm tham số m  cho  f ' x  xf '  x  mx d x m     0 f  x  0 f  x  dx   hay ln f  x  m x2  m  20 Để dấu ''  '' xảy thì ta cần có   Với m  thì đẳng thức xảy nên   m  ln f 1  ln f    m m  m m  m  m  f ' x  4x f  x f ' x dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C f  x  f    1 Theo giả thiết   C   f  x   e2 x  f    e 2  f 1  e Cách Theo Holder 2  xf '  x    f ' x  f ' x f 1 1   dx     x dx    xdx. dx  ln   f  x   f  x   f  x f  0    f ' x  kx, thay vào Vậy đẳng thức xảy nên ta có f  x Suy f ' x f  x  x (làm tiếp trên)  xf '  x  f  x dx  ta k  Bài tập 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn B   f  x  f   x  dx  và 1 f    1, f 1  Giá trị f   2 A C D e e Lời giải ĐÁP ÁN A Hàm dấu tích phân là  f  x  f '  x   Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f  x  f '  x  , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f  x  f '  x    m  m f  x  f '  x  với m  Do đó ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx hay  m  m f  x   m  m Để dấu ''  '' xảy thì ta cần có  m  m  m   f  x f ' x  Với m  thì đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x       f  x  f '  x   1 f  x  f  x  f '  x   1   f  x  f '  x  dx    dx  0 1  f  x  f '  x     f  x  f '  x  dx   dx   x   1 (vô lý) f  x  x  C  f  x   x  2C  f    1 1 Theo giả thiết   C   f  x   x   f    2 2  f 1   Cách Ta có f  x  f '  x  dx  f  x   f 1  f     2 1  2 Theo Holder    f  x  f '  x  dx    dx.  f  x  f '  x   dx  1.1  0  Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k , thay vào  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy f '  x  f  x   (làm tiếp trên) Bài tập 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên 1;  , thỏa  f   x   dx  24 và f 1  1, f    16 Giá trị f  mãn xf  x  2 A B   C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  f '  x    f '  x   Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng   Hàm dấu tích phân là xf  x  x f  x f ' x f  x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x   f ' x  mx  m với m  và x  1; 2 xf  x  f  x Do đó ta cần tìm tham số m  cho   f '  x     mx  dx  m f '  x  dx  1  xf  x  1 f  x     hay 24  2m  m f  x  24  2m  m  f  2   Để dấu ''  '' xảy thì ta cần có 24  2m f 1   24   12 m  m  16  2m  12 m  m  16  f '  x   f ' x  16 x   2x Với m  16 thì đẳng thức xảy nên xf  x  f  x  f ' x f  x dx   xdx  f  x   x2  C  f  x    x2  C   f 1  Theo giả thiết   C   f  x   x4  f  f    16 Cách Ta có  f ' x f  x f ' x dx  2. f  x    dx  f  x  2   f  2   f 1    2  f ' x     f '  x   f ' x x2 2 Theo Holder    dx     x dx    xdx. dx  24  36  f  x    xf  x  xf x       Vậy đẳng thức xảy nên ta có k  Suy f ' x f  x f ' x xf  x  k x  f ' x f  x  kx, thay vào  f ' x f  x dx  ta  x (làm tiếp trên) Bài tập 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , và f 1  f     f   x   2 x , x   0;1 Khi đó, giá trị tích phân   f   x  14 Biết dx thuộc khoảng nào sau đây?  13 14  B  ;  3 3 A  2;   10 13  C  ;   3 Hướng dẫn giải Chọn C Do  f   x   2 x , x   0;1 nên   f   x    x, x   0;1 1 Suy   f   x   dx   xdx hay 0   f   x  dx  (1) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1  2 2       f x dx dx f x dx f f                      f   x   dx  0 0   Vậy    f   x   dx  2    f   x   dx D 1;3 BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không âm trên  a; b  Khi đó diện tích S hình thang b cong giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và đường thẳng x  a, x  b là: S   f ( x)dx a Bài toán liên quan Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  , trục b hoành và hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S   f ( x) dx a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , y  g ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng b x  a , x  b xác định: S   f ( x)  g ( x) dx a y  (C ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f ( x ) (H )  x  a x  b  (C ) (C ) b a c1 O c2 b S  x  f1 (x )  f2 (x ) dx a b Chú ý: Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  a b f ( x) dx   f ( x)dx a Bài toán 3: Diện tích hình phẳng giới hạn các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng d y  c , y  d xác định: S   g ( y )  h( y ) dy c Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f ( x) là: S x2  f ( x)  g ( x) dx Trong đó: x1 , x2 tương ứng là nghiệm phương trình f ( x)  g ( x),  x1  x2  x1 II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm x , ( a  x  b) Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Thể tích khối tròn xoay Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn các đường x  g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn các đường b y  f ( x) , y  g ( x ) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: V    f ( x)  g ( x) dx a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích giới hạn đồ thị Phương pháp: a/ Phương pháp 1: b S   | f ( x) | dx a * Xét dấu biểu thức f ( x) ; x  [a; b] , phá dấu trị tuyệt đối và tính tích phân b/ Phương pháp 2: * Giải phương trình f ( x)  ; chọn nghiệm [a; b] Giả sử các nghiệm là  ;  với    * Áp dụng tính chất liên tục hàm số f ( x) trên [a; b] ; ta có: S |a f ( x )dx |  | f ( x )dx |  |b f ( x )dx | Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị y  x , trục hoành và đường thẳng x  A S  B S  16 C S  16 D S  Hướng dẫn giải CHỌN D Nhận thấy rằng, để tính diện tích ta cần phải tìm cận Để tìm thêm cận còn lại ta giải phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  P  : y  x với trục hoành Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  P  : y  x với trục hoành: x   x  Áp dụng công thức ta có S   x dx  Nhận xét: Nếu ta vẽ đồ thị hàm số y  x và đường thẳng x  ta dễ dàng xác định hình phẳng giới hạn các đường này Từ đó ta dễ dàng tính diện tích S Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y  x e x , trục hoành và đường thẳng x  A e  B  e C  e Hướng dẫn giải CHỌN A Phương trình hoành độ giao điểm x e x   x  Ta có: 1 0 S   x e x dx   x 2d  e x   x e x   e x d  x  1 0  e  2 xe x dx  e  2 xd  e x   e  2xe x  2 e x dx 0 D  e  2e  2e x  e  2e   e  Lời bình: Bài toán trên đã có cận, ta cần tìm thêm cận cách giải phương trình hoành độ giao điểm Sau đó áp dụng công thức Nếu vẽ đồ thị bài này để tìm hình phẳng giới hạn các đường là không nên vì đồ thị hàm số phức tạp Việc tìm công thức S   x e x dx và tính tích phân này ta có thể dùng MTCT để tính và chọn Chọn Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y   x và trục hoành: A   B  C D  Hướng dẫn giải CHỌN D Phương trình hoành độ giao điểm của, Ox là  x   x  1 Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là S    x dx 1    x   t  Đặt x  sin t  dx  cos tdt và   x  1  t     Suy S    x dx  1     sin t.cos tdt     cos   2 tdt   Lời bình: Bài toán trên chưa có cận, ta phải giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm cận Sau đó áp dụng công thức Việc tìm công thức S    x dx và tính tích phân này tương đối phức tạp, đó ta 1 có thể dùng MTCT để tính và chọn Chọn Nếu vẽ đồ thị thì ta xác định hình phẳng và diện tích nó dễ dàng, đó chính là diện tích đường tròn bán kính Do  đó: S  R  2 Bài tập 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn các đường A S   e B S   e y  lnx, x  e, x  C S   e và trục hoành e D S   e Hướng dẫn giải CHỌN A Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y  lnx và trụ hoành là ln x   x  e e e e e S   ln x dx    ln xdx   ln x.dx   x  x ln x    x ln x  x    e e 1 Bài tập 5: Diện tích tam giác cắt các trục tọa độ và tiếp tuyến đồ thị y  ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là: A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm: ln x   x  Ta có: y '   ln x  '  y ' 1  x' Phương trình tiếp tuyến đồ thị y  ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là: y  1 x  1  hay y  x  Đường thẳng y  x  cắt Ox điểm A 1;0  và cắt Oy điểm B  0; 1 1 Tam giác vuông OAB có OA  1, OB   SOAB  OA.OB  2 b b b a a a SD   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    f  x dx   f  x dx Bài tập 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  ax  a   , trục hoành và đường thẳng x  a ka Tính giá trị tham số k A k  B k  C k  Hướng dẫn giải 12 D k  Chọn B a a 4 Có S   ax dx  a .x  a  ka  k  3 0 Bài tập 7: Cho hình cong giới hạn các đường y  e x , y  0, x  và x  ln Đường thẳng x  k với  k  ln chia thành hai phần có diện tích là S1 và S2 hình vẽ bên Tìm k để S1  2S2 A k  ln B k  ln C k  ln D k  ln Hướng dẫn giải Chọn D 2 Do S1  2S2  S1  S  3 ln  e dx  x ln  e dx  e x ln 2 x k Do đó: S1   e x dx  e k    e k   k  ln Dạng 2: Tính diện tích giới hạn hai đồ thị Phương pháp: b Công thức tính S   | f ( x)  g ( x) | dx Tính dạng a Một số bài tập mẫu Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y 1   ;y ;x  ; x  2 cos x sin x Lời giải Ta có: S    /3  /6 1  dx cos x sin x Trong trường hợp này chọn cách xét dấu biểu thức y  vẽ đồ thị hàm số y  1    ; x ;   2 6 3 cos x sin x 1    ; x   ;  là khá khó khăn  2 6 3 cos x sin x Vì ta chọn cách sau: + Xét phương trình: 1         ; x   ;   cos x  sin x  x   ;  cos x sin x 6 3 6 3      cos x  ; x   ;   x  6 3 Từ đó suy ra: S    /4  S | (tan x  cot x) |  /3   1    dx  |    dx  2 4/4  cos x sin x   cos x sin x  4   /4  |  | (tan x  cot x) |     /6 4   Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ; x 1 y Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị trên:  x  1 x2  x4  x2    x2     x 1  x 1 Vì hình phẳng đã cho có diện tích là: S   1 Do trên ( 1;1) phương trình S x2  dx  x2  1 Tính I1   1 x2  dx x2  x2 vô nghiệm nên ta có:  x2   x2     x  dx  1  1 1 x2  d x  x  1 dx 1 dx x 1    dt +/ Đặt x  tan t ; t    ;   dx  cos t  2    x  1  t    /4 cos t dt   /4 dt    I1   +/ Đổi cận:   /4  /4  tan t x  1 t    I2  x2 1 dx  Thay vào ta được: S       3 Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  x  và y  Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị trên: x2  x2  4x   x   x2  4x     x   x  x   3  ‖x Khi đó: S  S S 0 x x 2    x  | 3 | dx |04 x  x  | 3 dx |   x   dx    3 x    x   dx     x   x   dx   x dx    x  x  dx   x  x dx | 3  x3   x3   x3   S  S    x2      x2  x     x2   0  1    Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  sin | x | ; y  | x | -  Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ: sin | x || x |  Đặt | x |  t Khi đó trở thành: sin t  t    sin t  t    Xét hàm số f (t )  sin t  t   ; t  [0, )  f  (t )  cost   t  [0, ) BBT hàm số f (t ) sau:  phương trình có nghiệm t    phương trình có nghiệm phân biệt: x    và x     S   |sin | x |  | x |  | dx      (sin | x |  | x |  )dx  Bài tập Bài tập 1: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y   x  3x  và đường thẳng  d  : y  2x  là: A B 13 C 19 Hướng dẫn giải Chọn B D 11  x  1 Xét phương trình  x  3x   2x    x  x     x  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y   x  3x  và đường thẳng  d  : y  2x  là  x2 x3  13 S     x  3x  3   2x  1 dx     x  x  dx   2x      1  1 2 Vậy S  13 x2 chia hình tròn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào: Bài tập 2: Parabol y  A  0, 4;0,5 B  0,5;0,  C  0, 6;0,  D  0, 7;0,8 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình đường tròn: x  y2   x   y2 Thế vào phương trình parabol, ta y   y2  y  2y    y2   x   x  2   y l    Diện tích phần tạo phần đường tròn phía trên với Parabol là: 2  x2  x2 x2 x3 2 S1     x  dx    x dx   dx  I1  I ; I   dx    2 2 2  2 2 2 2 Tính I1   2  x dx    x dx Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt; x   t  ; x   t    0   cos 2t  dt   2 I1   2 cos t2 cos tdt  16 cos tdt  16 S1  I1  I   2    2 3 4  Diện tích hình tròn: S  R  8  S2  S  S1  8    2   6  3   2 S1    0, 435   0, 4;0,5  S2 6  Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   y x2 và đồ thị hàm số x2 A 2  B 2  C 2  D Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm: 2  x  16  l  x2 x2 4    x  2 Khi đó S   4  x  2 4 x2 x2   2  4 Bài tập 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn các đường my  x , mx  y (với m  ) Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  Hướng dẫn giải Chọn C Vì m  nên từ my  x ta suy y  x2  0; m Từ mx  y nên x  và y  mx Xét phương trình x  x2  mx  x  m3 x   m x  m Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: m S   mx  m  x2 x2  dx    mx   dx m m 0 2 m x3    x x   3m   m  2 m  m 3 D m  Yêu cầu bài toán S   m   m   m  (vì m  ) Bài tập 5: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y  x2 và y  2x là x 1 S  a  b ln với a, b là số hữu tỷ Giá trị a  b là A  C  B D Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm  C1  : y  x2 và  C2  : y  2x là x 1 x  2x x   x  1  x  x  x    x  1 x 1  x  2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 0  x3   2x    S    x  dx      x  dx   x  ln x    x 1 x 1 3    1  1  Suy a  và b  2 Vậy a  b    1  ln Bài tập 6: Cho  H  là hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung tròn có phương trình y   x (với  x  ) và trục hoành (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích  H  là A 4  12 B 4  C 4   D  2 Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm parabol y  3x và cung tròn y   x (với  x   x  3x   x  3x  x  ) lả Diện tích  H  là S   x dx   3  x dx  x 2 I   I với I    x dx    Đặt x  2sin t , t    ;   dx  cos t.dt  2 Đổi cận x   t   , x2t       2 2 I    4sin t cos t.dt   cos t.dt   1  cos 2t  dt   x  sin 2t   2     6 6 2  Vậy S  Chọn B 3 2 4  I     3 Bài tập 7: Hình phẳng  H  giới hạn đồ thị  C  hàm đa thức bậc ba và parabol  P  có trục đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô đậm hình vẽ có diện tích A 37 12 B 12 C 11 12 D 12 Hướng dẫn giải Chọn A Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung các điểm có tung độ là y  và y  nên ta xét hai hàm số là y  ax3  bx  cx  , y  mx  nx (với a, m  ) Suy  C  : y  f  x   ax3  bx  cx  và  P  : y  g  x   mx  nx Phương trình hoành độ giao điểm  C  và  P  là: ax  bx  cx   mx  nx   ax  bx  cx     mx  nx   Đặt P  x    ax  bx  cx     mx  nx  Theo giả thiết,  C  và  P  cắt các điểm có hoành độ là x  1 , x  , x  nên P  x   a  x  1 x  1 x   Ta có P    2a Mặt khác, ta có P    f    g     a  Vậy diện tích phần tô đậm là S  37   x  1 x  1 x   dx  12 1 Dạng 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay dựa vào định nghĩa Phương pháp: Gọi B là phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm x , (a  x  b) Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a, b Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  và x  Cắt phần vật thể B mặt phẳng vuông góc trục Ox điểm có hoành độ x   x   , ta diện tích là tam giác có độ dài cạnh x  x Tính thể tích V phần vật thể B Lời giải Một tam giác cạnh a có diện tích S  a2  Do tam giác cạnh x  x có diện tích là S ( x)  2 0 Suy thể tích S   S ( x)dx   x2   x   x2   x  3 Ca sio dx  x   x dx       4 3 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho vật thể nằm hai mặt phẳng x  và x   , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x,   x    là tam giác cạnh là sin x Tính thể tích vật thể đó Lời giải Một tam giác cạnh a có diện tích S  a2 Do đó tam giác cạnh sin x có diện tích là S  x   2 0 4sin x  sin x Suy thể tích V   S  x  dx   sin xdx  Bài tập 3: Một bồn trụ chứa dầu đặt nằm ngang có chiều dài bồn là m , bán kính đáy 1m Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5 m đường kính đáy Tính thể tích gần đúng dầu còn lại bồn Lời giải * Thể tích khối trụ V1   R h   12.5  5  m3  * Tính thể tích phần khối trụ bị y y= R2-x2 d x O R d R d + Cách 1: Sviên phân   R  x dx    x dx  0, 61 V2  Sviên phân h    x dx   3, 07 Suy thể tích khối trụ còn lại V  V1  V2  5  2  x dx   12, 637  m3  + Cách 2: Tính góc tâm cos   OH   2      R y A x O H S viên phân   2 2   sin R   sin       0, 614 2  3   2 2   sin V2  Sviên phân h   5  3  B R  2 2  sin V  V1  V2  5    3     12, 637  m   Bài tập 4: Bạn A có cốc thủy tinh hình trụ, đường kính lòng đáy cốc là cm, chiều cao lòng cốc là 10 cm đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc Lời giải Phân tích: Thể tích nước có hình dạng “cái nêm”; có phương pháp tính thể tích này + Cách – Chứng minh công thức PP tích phân: Xét thiết diện cắt cốc thuỷ tinh vị trí x   R  x  R  bất kỳ; ta có diện tích thiết diện là 1 S  x   R  x  R  x tan     R  x  tan  ; thể tích 2 R R   V   S x dx  tan    R  x  dx  R3 tan  R R Cách 2: Gọi S là diện tích thiết diện mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng này cắt trục Ox điểm có hoành độ h  x  Ta có: r hx (h  x) R  r , vì thiết diện này là nửa hình tròn bán kính r R h h  (h  x)2 R  S ( x)   r  2h Thể tích lượng nước chứa bình là Bài giải + Cách 1: Áp dụng công thức tính thể tích cái nêm biết góc mặt cắt và mặt đáy  là V 2 2 h h R h  R tan  với tan   ta V  R  32.10  60  cm3  R R 3  (h  x)2 R + Cách 2: Tính trực tiếp bài toán PP tích phân  S ( x)   r  ; thể tích 2h 9 (10  x) dx  60 (cm3 ) V   S ( x)dx V   S ( x)dx   200 0 h 10 h Bài tập 5: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối hình vẽ bên Biết thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy là và 14 Tính thể tích Lời giải  AB    AD  AE  DE  ; suy bán kính khối trụ là Tính các số đo:  AE  10  DE  14    R AD 4  Cách 1: Thể tích khối thể tích “khối trụ trung bình”:  AB  CE  V H    R     11  176  đvtt     Cách 2: Áp dụng công thức tính thể tích “cái nêm”: Lấy mặt phẳng  P  vuông góc với đường sinh hình trụ và qua điểm A , đó chia khối  H  thành hai khối: + Khối 1: là khối trụ chiều cao h  , bán kính r  nên thể tích V1   r h  128 + Khối 2: là phân nửa khối trụ có chiều cao DE  và bán kính r  nên thể tích 1 V2   r AD   42.6  48 2 + Vậy V H   V1  V2  128  48  176  đvtt  Bài tập Câu 1: Cho T  là vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x  Tính thể tích V T  biết cắt T  mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x ,  x  , ta thiết diện là tam giác có cạnh  x A V   B V  3  C V  D V   3 Lời giải Chọn C Ta có diện tích tam giác cạnh   x là S  x   1 0 Thể tích vật thể T  là V   S  x  dx   Câu 2: 1 x   1  x   1  x  3  dx  1  x   8 Cho vật thể T  giới hạn hai mặt phẳng x  0; x  Cắt vật thể T  mặt phẳng vuông góc với trục Ox x   x   ta thu thiết diện là hình vuông có cạnh  x  1 e x Thể tích vật thể T  A  13e4  1 B 13e4  C 2e D 2 e2 Lời giải Chọn B Diện tích thiết diện là S  x    x  1 e x 2 0 Thể tích vật thể T  là V   S  x dx    x  1 e2 x dx 2 2  9e4   x  x 2x 2x  V   x  1 e    x  1 e dx  e   e2 x dx    2 20 0   2 9e  3e  1 x 1 13e     e  3e  e   2 4 4 Dạng 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị Phương pháp: Vật thể tròn xoay sinh miền hình phẳng giới hạn: Đồ thị y  f ( x) ; trục Ox( y  0) ; x  a, x  b ; quay xung quanh Ox - Nếu thiếu cận thì giải phương trình f ( x ) = để bổ sung cận b - Tính thể tích theo công thức: VOx   a f ( x)dx Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x và trục hoành Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Lời giải x  Phương trình hoành độ giao điểm x  x    x  2 Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm V     x  x  dx  16 15 Bài tập 2: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: y  xe x , Ox x  quay xung quanh Ox Tính thể tích vật thể tạo thành Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số: y  xe x và trục Ox xe x   x      x 2x Vậy vật thể tròn xoay có thể tích là: V   0 xe dx   0 x e dx 1 e2 1   V    x e x    xe x dx      xe x dx 0 2 0    2x 1 2x   2x  e 1 V    xe   e dx   e  0 2 2   e2 Bài tập 3: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: y  x  x, y  ; quay xung quanh Ox tính thể tích vật thể tạo thành Lời giải Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số: y  x  x và đường thẳng y  là nghiệm phương x  trình: x  x    x  Vật thể tạo thành có thể tích là:   V    x  x dx      x5 16 x3  512 x  x  16 x dx     x    0 15   Bài tập 4: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quanh hình phẳng giới hạn các đường y  x ; y  0; x  và trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác MOH quanh trục Ox Biết V  2V1 Tính a Lời giải Ta có V      x dx    xdx  8  V1  V  4 Tam giác MOH quanh trục Ox tạo nên hai khối nón chung đáy Gọi N là hình chiếu vuông góc M trên trục Ox Suy r  MN  yM  y  a   a 1  V1  OH  r  4 3 Suy 4   a  4 a 4 a a 3 Bài tập 5: Cho  H  là hình phẳng giới hạn độ thị hàm số y  x ; trục Ox và đường thẳng  x2 x  Tính thể tích khối tròn xoay thu quay quanh hình  H  xung quanh trục Ox Lời giải x   x   x2 Phương trình hoành độ giao điểm Theo bài toán thì thể tích vật thể tròn xoay cần tìm V  x  dx   ln  x 2 4 x   ln  a  ln b Do đó a  4, b   a  b  Bài tập Câu 1: Cho hình phẳng  H  giới hạn các đường y  x  3, y  0, x  0, x  Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 A V     x  3 dx B V    x  3 dx 2 C V    x  3 dx D V     x  3 dx 0 Lời giải Thể tích vật thể tạo nên là V     x  3 dx Câu 2: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục hoành elip có phương trình A 550 x2 y   V có giá trị gần với giá trị nào sau đây? 25 16 B 400 C 670 D 335 Lời giải Chọn D Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng:   x2 H   y   , y  0, x  5, x  5 25   Vậy thể tích khối tròn xoay sinh H quay xung quanh trục hoành là:   16 x  16 x3  320 V    16  dx 16 x      335,1    5 25  75  5   Câu 3: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y  m  x ( m là tham số khác ) và trục hoành Khi ( H ) quay xung quanh trục hoành khối tròn xoay có thể tích V Có bao nhiêu giá trị nguyên m để V  1000 A 18 B 20 C 19 Lời giải D 21 Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm đường cong và trục hoành là: m  x   x  m 2 m 4 m m 2     ( ) ( ) |  m x dx m x x  3 m m m Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: V   Ta có: V  1000  Ta có 4 m m  1000  m  750   750  m  750 750  9, 08 và m  Vậy có 18 giá trị nguyên m x3 , trục hoành và trục tung Khối x 1 tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V   ( a  b ln 2) với a , b là Câu : Cho hình phẳng D giới hạn các đường cong y  các số nguyên Tính T  a  b A T  B T  C T  10 Lời giải D T  1 Dựa vào đồ thị hàm số trên ta có: 2 3   16  x3  V    dx dx       1       x 1  x 1 x  ( x  1) 0 0 0   dx  16      x  ln( x  1)     (15  16 ln 2)  a  15; b  16 x 1  Vậy T  a  b  1 Câu 4: Cho hình  H  hình vẽ đây quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bao nhiêu? A 2 B  C 2 D 2 Lời giải Thể tích khối tròn xoay nhận quay hình  H  quanh trục Ox là   cos x     dx   x  sin x   2 0  V     sin x  dx    Câu 5: Vật thể parabolide tròn xoay hình vẽ bên có đáy có diện tích B  chiều cao h  Thể tích vật thể trên là h B A V   B V  C V   Lời giải D V  y h x O R Đường cong parabol có dạng: y  ax và qua điểm có tọa độ  R; h  nên ta có: y h x R2 x R y h h Thể tích khối tròn xoay trên là: V    R2 R2 h   R2h ydy   y h h 1 Áp dụng công thức ta có: V   R h  Bh  3.4  2 Câu 6: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d ,  a, b, c, d  , a   có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng y  điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y  f '  x  cho hình vẽ đây Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị  C  và trục hoành quay xung quanh trục Ox A 725  35 B  35 C 6 D Chọn khác Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x   f '  x    x  1 Khi đó f  x    f '  x dx  x  3x  C Điều kiện đồ thị hàm số f  x  tiếp xúc với đường thẳng y  là:  x  x  C   f  x    x  1 suy f  x   x  x   C     C  x   f x '         +  C   Ox  hoành độ giao điểm là x  2; x  +Khi đó V   x 2  3x   dx  729  35 Dạng 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị Phương pháp: Nếu hình phẳng D giới hạn các đường y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b thì thể tích khối b 2 tròn xoay sinh quay D quanh trục Ox tính công thức: V    f  x   g  x  dx a Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Cho hình phẳng giới hạn các đường y  a.x , y  bx,  a, b   quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V   C V   b3  1     a3   b5 3a B V   D V   b5 5a b5  1     a3   Hướng dẫn giải Chọn D  b b2  Tọa độ giao điểm hai đường y  a.x và y  b.x là các điểm O (0; 0) và A  ;  Vậy thể a a  b a b a 0 tích khối tròn xoay cần tính là: V   b x dx   a x dx   b5  1     a3   2 Bài tập 2: Cho hình phẳng giới hạn các đường y   x , y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V  24 B V  28 C V  28 D V  24 Hướng dẫn giải Chọn B Tọa độ giao điểm hai đường y   x và y    x là các điểm A  3;1 và B   3;1 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: V     x  dx     28  x dx   Bài tập 3: Cho hình phẳng giới hạn các đường y  x , y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V  88 B V  9 70 C V  4 D V  6 Hướng dẫn giải Chọn D Với x   0;  thì y  4x  y  4x Tọa độ giao điểm đường y  x với y  4x là các điểm O (0; 0) và A(1;2) Vậy thể tích 1 khối tròn xoay cần tính là: V    4xdx    4x dx   0 Bài tập 4: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn các đường elip x  y  quay quanh Ox bằng: A  B 2 Hướng dẫn giải Chọn D C 3 D 4 Ta có: x  y   y   x2  x2 dx  4  V    y dx    9 3 3 Bài tập 5: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn các đường y  x , y  x quanh trục Ox bằng: A       B   x  x dx x  x dx 1 C    x  x  dx D    x  x  dx 0 Hướng dẫn giải Chọn D Xét phương trình x0 xx  x  0; x  x  x Và   x  x x   0;1  V    ( x )  x dx     x  x  dx 2 Bài tập Câu 1: Quay hình phẳng hình tô đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích là: A V  3 B V  3 C V  3 Hướng dẫn giải Chọn A 2  x2   x  y  Xét hệ phương trình:    x    y 1  y  Do đối xứng qua Oy nên: D V  3 V  2  Câu 2: 2     x    dx  2  3  x    x  dx  2  3x      3 Quay hình phẳng hình tô đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích: A V  46 B V  46 15 C V  23 D V  13 Hướng dẫn giải Chọn B  x  y   x  1 Xét hệ phương trình:   y  x Do đối xứng qua Oy nên V  2     x     x  dx  2   4  x  x  dx  x x  46  2  x      15  Câu 3: Quay hình phẳng hình tô đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích là: A V  3 B V   C V 2 D V  2 Hướng dẫn giải Chọn D  y    x2  Ta có: x   y  1    y  1   x   y    x 2 2   Ta có: V  2     x 0   1  2  x2   dx  8   x dx      Đặt x  sin t ;  t    ;     2    2   sin 2t   V  8  cos 2tsdt  4  1  cos 2t  dt  4  t    2   0 Câu 4: x Cho hình  H  giới hạn các đường cong  C  : y  e , tiếp tuyến  C  điểm M 1; e  và trục Oy Thể tích khối tròn xoay quay  H  quanh trục Ox bằng: y x -1 A e2 B e2  O C e2  D e2  Lời giải Chọn D Ta có y  e x Phương trình tiếp tuyến  C  M 1; e  là y  e  x  1  e  y  ex  x e2  e2  2x 2 Diện tích  H  bằng: V     e  e x  dx   e  x   0 2 Câu 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn các đường y  x  4, y  x  4, x  0, x  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A  32 B 6 C 6  Lời giải Chọn D D 32 2 Suy thể tích cần tìm là V     x   dx     x   dx  2 32 Dạng 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn nhiều đồ thị Phương pháp: Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn các đường y  x , y  và x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm y  x M y M a K O H x Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi đó A a  B a  2 C a  D a  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x   x  Khi đó V    xdx  8  Ta có M a; a  Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón  N1  có đỉnh là O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ; Hình nón  N  thứ có đỉnh là H , chiều cao h2  HK   a , bán kính đáy R  MK  a 1 Khi đó V1   R h   R h   a 3 Theo đề bài V  2V1  8   a  a  Bài tập 2: Cho hình thang cong giới hạn các đường y  e x , y  0, x  0, x  ln Đường thẳng x = k   k  ln  chia thành hai hình phẳng là S1 và S2 hình vẽ bên Quay S1 , S2 quanh trục Ox khối tròn xoay có thể tích là V1 ,V2 Với giá trị nào k thì V1  2V2 32 k  ln A k  ln11 B 11 k  ln C D k  ln 32 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: k ln  e2 x  k  e2k   e x  ln  e2k x          V1     e x  dx    ; V e dx      k 2  0   k Theo giả thiết: V1  2V2   e2 k     e2k  2k   8    e  11  k  ln11 2   Bài tập 3: Cho hình phẳng D giới hạn các đường y  x và đường thẳng x  Thể tích khối tròn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là: A 32 C 16 B 64 D 4 Hướng dẫn giải : Chọn A Giao điểm hai đường y  x và x  là D  4; 4  và E  4;  Phần phía trên Ox đường y  x có phương trình y  x Từ hình vẽ suy thể tích khối tròn xoay cần tính là:  V   x  dx  32 Bài tập 4: Cho hình phẳng giới hạn các đường y  x, y  x, x  0, x  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V  8 B V  4 C V  2 D V   Hướng dẫn giải Chọn A Tọa độ giao điểm đường x  với y  x và y  3x là các điểm C 1;1 và B  3;1 Tọa độ giao điểm đường y  3x với y  x là O  0;0  Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1 V   .9 x dx   .x dx   0 Bài tập 5: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng giới hạn các đường  P  : y  x ;  P ' : y  x ;  d  : y  Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox bằng: A 9 B 4 C 7 D 2 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt V là thể tích cần tìm  x2 Xét phương trình hoành độ giao điểm và: x     x  2  x 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm và: x     x  1  y  x2  VOAC là thể tích khối tròn xoay sinh quay:  y  quanh Ox  Oy  VOAB  y  4x2  là thể tích khối tròn xoay sinh quay:  y  quanh Ox  Oy  2 2 Lúc đó: V  VOAC  VOAB       x   dx       x   dx      x  dx      16 x  dx     0 0   x5  x5  32 16  4     x      x  16          0 0 5    Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Cho  H  là hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số  P  : y  x , y  0, y   x Thể tích khối tròn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox là: A 1  B C 3  D  Lời giải Chọn D 0  x  0  x  x  2 x     x 1  x  (2  x)  x  5x   V  Câu 2:  x 2 dx    (2  x ) dx   Cho hình  H  giới hạn các đường y  x 1; y  trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích là: 13 125 B A 6 C ; x  Quay hình  H  quanh x 35 D 18 Lời giải Chọn C y Phương trình hoành độ giao điểm: x   x x   x2  x    x  0   x  x  3  l  Vì  x   với x  1;2 nên thể tích cần tính là x 2  35 V      dx     x  1 dx  1 x Câu 3: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn các đường: y  3x ; y  x ; x  Quay  H  xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích là: A 8 B 8 C 8 D 8 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: 3x  x  x  và 3x  x  với x   0;1 1 Thể tích cần tính là V     3x  dx    x dx  Câu 4: 8 Cho hình phẳng  H  giới hạn các đường y  x , y  x Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A 16  15 B 21 15 C 32 15 D 64 15 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x và y  x là nghiệm phương trình x  x2  x   x  Thể tích khối tròn xoay tạo thành là 2 V  π   x  dx  π   x Câu 5: 2  x5  64π 4  dx  π  x   π    3 0   15  2 2 Cho hình phẳng giới hạn các đường y   x , y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V  28  B V  28  C V  Lời giải Chọn B Giải phương trình  x2  x2  x   3 24  D V  24  Thể tích cần tìm là V    4 x   2  x2  28 dx      dx  3  3 Dạng 7: Một số bài toán thực tế ứng dụng tích phân Phương pháp giải * Một vật chuyển động có phương trình vận tốc v  t  khoảng thời gian từ t  a đến Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   160  10t  m / s  Quãng đường t  b  a  b  di chuyển quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t   s  đến là: thời điểm mà vật dừng lại là b S   v  t  dt a A 1028m B 1280m C 1308m D 1380m Hướng dẫn giải Khi vật dừng lại thì v  t   160  10t   t  16 16 16 0 Do đó S   v  t  dt   160  10t  dt  160t  5t  16  1280  m  Chọn B * Một vật chuyển động có phương trình gia tốc a  t  thì vận tốc vật đó sau Ví dụ 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc v  t   m / s  , có gia tốc khoảng thời gian t1 ; t2  là: a  t   v  t   t2 v   a  t  dt t1  m / s2  2t  Vận tốc ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là A 4,6 m/s B 7,2 m/s C 1,5 m/s D 2,2 m/s Hướng dẫn giải Vận tốc ô tô sau 10 giây là 10 v 3 dt  ln 2t  2t  10  ln 21  4,  m / s  Chọn A * Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ t1 đến t2 là: t2 Q   I  t  dt t1 Bài tập Bài tập 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 4300 m B 4300 m C 430 m D 430 m Hướng dẫn giải Chọn A Hàm vận tốc v  t    a  t  dt    3t  t  dt  3t t   C Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc  v    10  C  10 Ta v  t   3t t   10 Sau 10 giây, quãng đường vật là  3t t   t3 t4    10 dt     10t  S     12  0 10 10  4300  m v  t    a  t  dt Bài tập 2: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là   i  t   I cos  t   Biết i  q với q là điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t  , điện lượng 2   chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch đó thời gian từ đến là  A  2I0  B C 2I0  Hướng dẫn giải D  I0  Chọn C Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến     I     Q   I  t  dt   I cos  t   dt  sin  t   2 2    0    2I0   là  Q  t    I  t  dt Bài tập 3: Gọi h  t  cm  là mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết 13 t  và lúc đầu bồn không có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01cm) h  t   A 2,67 cm B 2,66 cm C 2,65 cm D 2,68 cm Hướng dẫn giải Chọn B Mức nước bồn sau bơm nước giây là 6 13 3  t  8dt    t   t    20   h  t  dt    2, 66  cm  Bài tập 3: Một viên đá bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ điểm cao m cách mặt đất Vận tốc viên đá sau t giây cho công thức v  t   40  10t m/s Tính độ cao lớn viên đá có thể lên tới so với mặt đất A 85 m B 80 m C 90 m D 75 m Lời giải Chọn A Gọi h là quãng đường lên cao viên đá v  t   h '  t   h  t    v  t  dt    40  10t  dt  40t  5t c Tại thời điểm t  thì h  Suy c  Vậy h  t   40t  5t  h  t  lớn v  t    40  10t   t  Khi đó h    85 m Bài tập 4: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh còn gọi là “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   40t  20 đó t là khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn là bao nhiêu? A m B m C m D m Lời giải Chọn D Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đạp phanh  t   Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại Khi đó vận tốc lúc dừng là v T   Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là v T    40T  20   T  Gọi s  t  là quãng đường ô tô khoảng thời gian T Ta có v  t   s   t  suy s  t  là nguyên hàm v  t  1 T Vậy  s  ô tô quãng đường là:  v  t  dt    40t  20  dt   20t  20t   t Bài tập 5: Một ô tô xuất phát từ A chuyển dộng với vận tốc nhanh dần đều, 10 giây sau, ô tô đạt vận tốc và từ thời điểm đó ô tô chuyển động Ô tô thứ hai xuất phát từ A sau ô tô thứ là 10 giây, chuyển động nhanh dần và đuổi kịp ô tô thứ sau 25 giây Vận tốc ô tô thứ hai thời điểm đó là A 12 B C 10 D Lời giải Chọn A Ta có gia tốc 10 s đầu ô tô thứ là a  v  v0   0,5  m/s  t  t0 10 Trong 10 s đầu, ô tô thứ chuyển động nhanh dần với vận tốc v  t   0,5t 10  Quãng đường ô tô thứ 10 s là  0,5tdt  25  m  Trong 25 s tiếp theo, ô tô thứ 5.25  125 Vậy quãng đường ô tô thứ đến bị đuổi kịp là 25  125  150  m  Mặt khác S  S0  at 2  Gia tốc ô tô thứ hai là a   S  S0  t  2.150  0, 48  m/s  25 Vậy đuổi kịp ô tô thứ nhất, vận tốc ô tô thứ hai là vt  v0  at  12 Bài tập 6: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1  t   7t , người lái xe phát chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a  70  m/s  Tính quãng đường S  m  ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn B S  87,50  m  A S  95, 70  m  C S  94, 00  m  D S  96, 25  m  Lời giải Chọn D Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh 5 t2 S1   v1  t  dt   7tdt  0  87,  m  Vận tốc v2  t  m/s  ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thỏa mãn v2  t     70  dt  70t  C , v2  5  v1  5  35  C  385 Vậy v2  t   70t  385 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thỏa mãn v2  t    t  5,5  s  Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn 5,5 S2  5,5  v  t  dt    70t  385 dt  8, 75  m  5 Quãng đường cần tính S  S1  S2  96, 25  m  Bài tập 7: Một vật di chuyển với gia tốc a  t   20 1  2t  2  m / s  Khi t  thì vận tốc vật là 30  m / s  Tính quãng đường vật đó di chuyển sau giây A S  46m B S  47m C S  48m D S  49m Lời giải : Chọn C Vận tốc vật là : v  t    a  t  dt   20 1  2t  dt  10 1  2t   C 2 1 Khi t  thì v    10 1  C  30  C  20 1 Nên v  t   10 1  2t   20  m / s  1   Suy : S   10 1  2t   20 dt  48  m  1 Bài tập 8: Vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m / s và có gia tốc xác định công thức a m / s  Vận tốc vật sau 10s đầu tiên là  t 1 A 10 m / s B m / s C 11m / s D 12 m / s Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có v  t    dt  2ln  t  1  c t 1 Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : v     ln   1  c   c  Nên v  t   ln  t  1  Vận tốc vật sau 10s đầu tiên là : v 10   ln 11   9,8 Chọn Chọn A Bài tập 9: Trong thực hành môn Vật Lí Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu chuyển động các hạt Trong quá trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hạt prôton di chuyển điện trường với biểu thức gia tốc là: a  20 1  2t  Với t ta tính giây Nhóm 2 sinh viên đã tìm hàm vận tốc v theo t , biết t  thì v  30m / s Hỏi biểu thức đúng là?  10   10  A v   B v    25  cm / s  20  cm / s   2t   1 t   10  C v    10  cm / s   2t   10  D v    20  cm / s   2t  Hướng dẫn giải : Chọn D Trước hết để giải bài toán này ta chú ý Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là: v   a.dt Áp dụng công thức trên, ta có : v   adt   20 1  2t  dt Đến đây ta đặt : u   2t  du  2dt  dt  v du 10 10 10 du   10u 2 du   K  K u u  2t Với t  0, v  30  K  20  10  Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là : v    20  cm / s   2t  Bài tập 10: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi biểu thức vận tốc tia lửa điện là? A v  9,8t  15 B v  9,8t  13 C v  9,8t  15 D v  9,8t  13 Hướng dẫn giải Chọn A Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s  Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là : v   adt   9,8dt  9,8t  C Ở đây, với : t  0, v  15m / s  C  15 Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng : v  9,8t  15 Bài tập 11: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là bao nhiêu? A 6.235  m  B 5.635  m  C 4.235  m  D 6.875  m  Hướng dẫn giải Chọn D Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s  Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là : v   adt   9,8dt  9,8t  C Ở đây, với t  0, v  15m / s  C  15 Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng: v  9,8t  15 Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta có bểu thức quãng đường: s   vdt    9,8t  15 dt  4,9 t  15t  K Theo đề bài, ta t   s   K  Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là : s  4,9t  15t Khi t  2,5  s  , ta s  6,875  m  Dạng 8: Bài toán thực tế Phương pháp: Vận dụng các kiến thức tích phân và bài toán ứng dụng Các Bài tập mẫu: Bài tập 1: Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình tròn  C  : x   y    quanh trục Ox Hướng dẫn giải: Hình tròn  C  có tâm I  0;  , bán kính R  là x   y     y    x2 Ta có  y  1   x  1  x  1    y    x 2 Thể tích cần tính:   V       x2 1    2   x2   dx  4 2 Bài tập 2: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang sông dài 500m , biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m ,biết bên đầu cầu và mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết nhịp cầu hình vẽ Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu A 20m3 C 40m3 B 50m3 D 100 m Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với gốc O  0;0  là chân cầu, đỉnh I  25;  , điểm A  50;0  Gọi Parabol trên có phương trình:  P1  : y1  ax  bx  c  ax  bx  O   P1    y2  ax  bx  20 ax  ax  bx  là phương trình parabol 100 Ta có I , A   P1    P1  : y1   2 2 x  x  y2   x  x 625 25 625 25 Khi đó diện tích nhịp cầu là S  S1 với S1 là phần giới hạn y1 ; y2 khoảng  0; 25  15  0,2  2   S  2    x  x  dx   dx   0,9m   625 25   0,2 0 Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày V  S 0,  1,98m3  số lượng bê tông cần cho nhịp cầu  2m3 Vậy mười nhịp cầu hai bên cần  40m bê tông Chọn Chọn C Bài tập 3: Trong Công viên Toán học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa và nó tạo thành đường cong đẹp toán học Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy là 16 y  x  25  x  hình vẽ bên y x Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 125 m2   250 C S  m2   A S  125 m2   125 D S  m2   B S  Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết bài toán, ta có y   x  x Góc phần tư thứ y  x 25  x ; x   0;5 Nên S( I )  125 125 x 25  x dx  S (m )  40 12 Bài tập 4: Một Bác thợ gốm làm cái lọ có dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn các đường y  x  và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính là 2dm và 4dm , đó thể tích lọ là: 15  dm 15 D dm2 Lời giải A 8 dm C B 14  dm Chọn B  r1  y1   x1  y x O  r2  y2   x2   x2  15 Suy ra: V    y dx     x  1 dx     x  30     0 Bài tập 5: Để kéo căng lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính công ( A ) sinh kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 18cm 3 A A  1,56 ( J ) B A  ( J ) C A  2, ( J ) D A  ( J ) Lời giải Chọn A x f  x   k x M O x x Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên là f  x   kx , với k  N /m  là độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm , lượng kéo giãn là cm  0.05 m Điều này có nghĩa f  0.05   40 , đó: 0, 05k  40  k  40  800  N /m  0, 05 Vậy f  x   800 x và công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 18cm là: 0,08 A  800 dx  400 x 0,05 0,08 0,05 Góc phần tư thứ y  2  400  0, 08    0, 05    1,56  J    x 25  x ; x   0;5 Nên S( I )  125 125 x 25  x dx  S (m )  40 12 3 Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Trong chương trình nông thôn mới, xã X có xây cây cầu bê tông hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu 0, 5m 2m 5m 0, 5m A 19m3 19m B 21m3 0, 5m C 18m3 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục Oxy hình vẽ D 40m y x O Ta có  19  Gọi  P1  : y  ax  c là Parabol qua hai điểm A  ;  , B  0;       19  0  a    a    Nên ta có hệ phương trình sau:  x 2 361   P1  : y    2 361 2  b b    5 Gọi  P2  : y  ax  c là Parabol qua hai điểm C 10;0  , D  0;   2   a   40 0  a 10   Nên ta có hệ phương trình sau:     P2  : y   x  40 5  b b    19  10  5    x  dx   40m3 Ta có thể tích bê tông là: V  5.2     x  dx     0 2  361     40 Câu 2: Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1  thuộc  S2  và ngược lại Tính thể tích phần chung V A V   R B V   R3 hai khối cầu tạo (S1 ) và ( S ) C V  5 R3 12 D V  Hướng dẫn giải Chọn C y (C ) : x  y  R O R R x 2 R3 Gắn hệ trục Oxy hình vẽ Khối cầu S  O, R  chứa đường tròn lớn là C  : x2  y2  R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là R V  2  R Câu 3:  R  x3  5 R R  x dx  2  R x    R 12  2  Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m Biết mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu là bao nhiêu? A 425, lit B 425162 lit C 212581 lit D 212,6 lit Hướng dẫn giải Chọn A y S A 0,4m 0,3m x O 0,5m  Gọi  P  : y  ax  bx  c là parabol qua điểm A  0, 5; 0,  và có đỉnh S  0; 0,  Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn  P  , trục hoành và hai đường thẳng x  0,5 quay quanh trục Ox  Dễ dàng tìm  P  : y   x  0,  Thể tích thùng rượu là: V  Câu 4: 0,5  2  0,5   x  0,  dx  2 203  2  0   x  0,  dx  1500  425,5 (l) 0,5 Bác Năm làm cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là mét Giá thuê mét vuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33750000 đồng đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D 3750000 Hướng dẫn giải Chọn C y B x O A  Gắn parabol  P  và hệ trục tọa độ cho  P  qua O (0; 0)  Gọi phương trình parbol là:  P  : y  ax  bx  c Theo đề ra,  P  qua ba điểm O (0; 0) , A(3; 0) , B (1,5; 2, 25) Từ đó, suy  P  : y   x  x  Diện tích phần Bác Năm xây dựng: S    x  x dx  9  Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000  6750000 Câu 5: Ông An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m và độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé elip làm trục đối xứng Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? 8m A 7.862.000 đồng đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử elip có phương trình x2 y   a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a  16  a  và 2b  10  b  D 7.826.000   y   64  y ( E1 ) x2 y  1  Vậy phương trình elip là 64 25  y  64  y ( E )  Khi đó diện tích dải vườn giới hạn các đường ( E1 ); ( E2 ); x  4; x  và diện 4 5 tích dải vườn là S   64  x dx   64  x dx 20 4  3 Tính tích phân này phép đổi biến x  8sin t , ta S  80    6   3 Khi đó số tiền là T  80    100000  7652891,82  7.653.000 6  Câu 6: Người ta dựng cái lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy là hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO  6m Các cạnh bên là các sợi dây c1, c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến với mặt phẳng vuông góc với SO là lục giác và qua trung điểm SO thì lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần không gian nằm bên cái lều đó S c6 c1 1m c2 c5 c4 c3 O 3m A 135 3 (m ) B 96 (m ) C 135 3 (m ) Hướng dẫn giải Chọn D D 135 3 (m ) Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ là A(0;6), B(1;3), C (3;0) nên có phương trình là y  x  x  2 Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện là BM Nếu ta đặt t  OM thì BM   2t  Khi đó diện tích thiết diện lục giác: BM 3  1 S (t )     2t   , với t   0;6 2 4 37 1 135 Vậy thể tích túp lều theo đề bài là: V   S (t )dt     2t   dt  2 4 0 Câu 7: Một vật có kích thước và hình dáng hình vẽ đây Đáy là hình tròn giới hạn đường tròn x  y  16 , cắt vật các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta thiết diện là tam giác Thể tích vật thể là: y O A V  32 3 B V  256 3 x C V  256 D V  32 Hướng dẫn giải Chọn B Giải phương trình x  y  16  y  16  x  y   16  x Diện tích thiết diện là S ( x)   16  x sin  16  x  3 4 4 4   Thể tích cần tìm là V   S ( x)dx   16  x dx  256 Dạng 9: Các bài toán chất đặt sắc tích phân Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên  2; 6 hình vẽ bên Biết các miền A, B, x  2 có diện tích là 32; 2; Tích phân   f  x    1 dx 2 A 45 B 41 C 37 Hướng dẫn giải Chọn D D 41 Ta có   f  x    1 dx  2  f  x   dx  2 Xét I1   f  x   dx 2 Đặt t  x   dt  2dx  dx  dt Đổi cận: x  2  t  2 ; x   t  Suy I1   f  t  dt 2 Gọi x1 ; x2 là các hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trực hoành  2  x1  x2   Ta có x x2 1 I1    f  t  df   f  t  df   f  t  df  2 x1 x2 33   32   3  2 Vậy   f  x    1 dx  I 2 4     S A  S B  SC    33 41 4 2 Bài tập 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề nào đây đúng? A g  3  g  3  g 1 B g  3  g  3  g 1 C g 1  g  3  g  3 D g 1  g  3  g  3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có g   x   f   x    x  1 g   x    f   x   x  Đây là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng d: y  x  x  Dựa vào đồ thị ta thấy: g   x    f   x   x     x  3 Bảng biến thiên: x g  x  g  x –3  – +  – + g 1   g  3 g  3 Suy g  3  g 1 và g  3  g 1 Gọi S1 , S2 là diện tích các hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f   x  , đường thẳng d: y  x  trên các đoạn  3;1 và 1;3 ta có: +) Trên đoạn  3;1 ta có f   x   x  nên S1   3 g   x  dx  1  f   x    x  1  dx 3  +) Trên đoạn 1;3 ta có f   x   x  nên S   g   x  dx   x  1 f   x   dx 1  Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2 nên ta có: g  x 3   g  x   g 1  g  3   g  3  g 1  g  3  g  3 Vậy g 1  g  3  g  3 Lưu ý: - Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng d: y  x  chính là nghiệm phương trình g   x   - Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn g  3 Ta cần so sánh g  3 và g  3 - So sánh diện tích dựa vào đồ thị Ví dụ 4: Hình phẳng  H  giới hạn đồ thị  C  hàm đa thức bậc ba và parabol  P  có trục đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô đậm hình vẽ có diện tích A 37 12 B 12 C 11 12 D 12 Hướng dẫn giải Chọn A Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung các điểm có tung độ là y  và y  nên ta xét hai hàm số là y  ax3  bx  cx  , y  mx  nx (với a, m  ) Suy  C  : y  f  x   ax3  bx  cx  và  P  : y  g  x   mx  nx Phương trình hoành độ giao điểm  C  và  P  là: ax  bx  cx   mx  nx   ax  bx  cx     mx  nx   Đặt P  x    ax  bx  cx     mx  nx  Theo giả thiết,  C  và  P  cắt các điểm có hoành độ là x  1 , x  , x  nên P  x   a  x  1 x  1 x   Ta có P    2a Mặt khác, ta có P    f    g     a  Vậy diện tích phần tô đậm là S  37   x  1 x  1 x   dx  12 1